2014山东青岛市中考数学试题

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青岛市二○一四年初中学生学业考试 数 学 试 题 ‎（考试时间：120分钟；满分：120分）‎ 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！‎ ‎ ‎ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． ‎ ‎1．（2014山东省青岛市，1，3分）的绝对值是（ ）．‎ ‎ A． B．‎7 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．（2014山东省青岛市，2，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎3．（2014山东省青岛市，3，3分）‎ 据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4．（2014山东省青岛市，4，3分）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．‎ ‎ 据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）．‎ A．2.5万人 B．2万人 C．1.5万人 D．1万人 ‎【答案】C ‎5．（2014山东省青岛市，5，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2＝5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）．‎ A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 ‎【答案】C ‎6．（2014山东省青岛市，6，3分）某工程队准备修建一条长‎1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（ ）．‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D A B F E C D D′‎ ‎（第7题）‎ C′‎ ‎7．（2014山东省青岛市，7，3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的 ‎ 中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）．‎ ‎ A．4 B． ‎ ‎ C．4.5 D．5 ‎ ‎【答案】A x O y x O y x O y x O y ‎8．（2014山东省青岛市，8，3分）函数与（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．（2014山东省青岛市，9，3分）计算： ．‎ ‎【答案】2+1‎ 平均数（g）‎ 方差 甲分装机 ‎200‎ ‎16.23‎ 乙分装机 ‎200‎ ‎5.84‎ ‎10．（2014山东省青岛市，10，3分）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为‎200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：‎ 则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．‎ ‎【答案】乙 ‎11．（2014山东省青岛市，11，3分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 ．‎ ‎【答案】（1,0）‎ ‎12．（2014山东省青岛市，12，3分）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是 °．‎ ‎【答案】35‎ ‎（第11题）‎ O ‎-4‎ ‎-3‎ ‎1‎ x ‎-2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y B ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ C A B C O A D ‎（第12题）‎ ‎（第13题）‎ A B F E C P D ‎13．（2014山东省青岛市，13，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线AC平分∠BCD， E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎14．（2014山东省青岛市，14，3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块． ‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎【答案】54‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ ‎15．（2014山东省青岛市，15，4分）已知：线段a，∠α．‎ 求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．‎ a α ‎【答案】解：正确作图； 3分 正确写出结论． 4分 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（本小题满分8分，每题4分）（2014山东省青岛市，16，4分）‎ ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎（1）计算：；　‎ ‎【答案】（1）解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝ ．‎ ‎（2014山东省青岛市，16，4分）（2）解不等式组： ‎ ‎【答案】解：解不等式①，得 x＞． ‎ 解不等式②，得 ‎ x＜3．‎ 所以，原不等式组的解集是＜x＜3． 4分 ‎17．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，17，6分）‎ 空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．‎ 某市2013年每月空气质量良好以上天数统计图 某市2013年每月空气质量良好以上天数分布统计图 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎13‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ 天数/天 月份 A：20天以上 B：10~20天 C：小于10天 A C B 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是_____天，众数是_____天；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；‎ ‎（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．‎ ‎【答案】解：（1）14，13． 2分 ‎（2）360°×＝60°，‎ 答：扇形A的圆心角的度数是60°． 4分 ‎（3）合理即可． 6分 ‎18．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，18，6分）‎ 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．‎ ‎（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；‎ ‎（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客 ‎ 更合算？ ‎ ‎（第18题）‎ 红 绿 绿 绿 绿 绿 绿 黄 黄 黄 ‎【答案】解：（1）P（转动一次转盘获得购物券）＝＝． 2分 ‎（2）（元）‎ ‎∵40元＞30元，‎ ‎∴选择转转盘对顾客更合算． 6分 ‎ ‎19．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，19，6分）‎ x/s y/m O ‎2‎ ‎22‎ l2‎ ‎（第19题）‎ ‎10‎ l1‎ 甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑‎10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x(s)之间的函数关系，其中l1的关系式为y1＝8x，问甲追上乙用了多长时间？ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：设y2＝kx＋b（k≠0），‎ 根据题意，可得方程组 解这个方程组，得 所以y2＝6x＋10．‎ 当y1＝y2时，8x＝6x＋10，‎ 解这个方程，得x＝5．‎ 答：甲追上乙用了5s． 6分 ‎20．（本小题满分8分）（2014山东省青岛市，20，8分）‎ 如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进‎80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．‎ ‎（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；‎ ‎（2）求索道AC的长（结果精确到‎0.1m）．‎ ‎（参考数据：tan31° ≈，sin31° ≈，tan39° ≈，sin39° ≈）‎ A ‎（第20题）‎ B C ‎39°‎ ‎31°‎ E ‎【答案】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，‎ ‎ 设山AD的高度为x m，‎ 在Rt△ABD中,∠ADB＝90°，‎ tan31°＝，‎ ‎∴．‎ 在Rt△ACD中,∠ADC＝90°，‎ tan39°＝，‎ ‎∴．‎ ‎∵‎ ‎∴ ，‎ 解这个方程，得. ‎ 即山的高度为‎180米. 6分 ‎（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，‎ sin39°＝，‎ ‎∴（米）．‎ 答：索道AC长约为‎282.9米. ． 8分 ‎21．（本小题满分8分）（2014山东省青岛市，21，8分）‎ A B C E D O ‎（第21题）‎ 已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：△AOD≌△EOC；‎ ‎（2）连接AC，DE，当∠B∠AEB °时，‎ 四边形ACED是正方形？请说明理由．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．‎ 又∵OC＝OD，‎ ‎∴△AOD≌△EOC．‎ ‎ 4分 ‎（第21题）‎ A B C E D O ‎（2）当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形.‎ ‎∵△AOD≌△EOC，‎ ‎∴OA＝OE．‎ 又∵OC＝OD，‎ ‎∴四边形ACED是平行四边形. ‎ ‎∵∠B＝∠AEB＝45°，‎ ‎∴AB＝AE，∠BAE＝90°.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD．‎ ‎∴∠COE＝∠BAE＝90°．‎ ‎∴□ACED是菱形．‎ ‎∵AB＝AE，AB＝CD，‎ ‎∴AE＝CD．‎ ‎∴菱形ACED是正方形. 8分 ‎22．（本小题满分10分）（2014山东省青岛市，22，10分）‎ 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． ‎ ‎ （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）‎ ‎【答案】解：（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]‎ ‎ ＝（x－50）（－5x＋550）‎ ‎＝－5x2＋800x－27500‎ ‎∴y＝－5x2＋800x－27500． 4分 ‎（2）y＝－5x2＋800x－27500‎ ‎＝－5(x－80)2＋4500‎ ‎∵a＝－5＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下．‎ ‎∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，‎ ‎∴当x＝80时，y最大值＝4500． 6分 ‎（3）当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，‎ 解这个方程，得x1＝70，x2＝90．‎ ‎∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．‎ 由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x＋550）≤7000，‎ 解这个不等式，得x≥82．∴82≤x≤90，‎ ‎∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间. 10分 ‎23．（本小题满分10分）（2014山东省青岛市，23，10分）‎ 数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．‎ 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个 面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．‎ 探究一：计算．‎ 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；‎ ‎……‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和 为，最后空白部分的面积是．‎ ‎…‎ ‎…‎ 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 根据第n次分割图可得等式：＝．‎ 探究二：计算．‎ ‎ 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……；‎ ‎ ……‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和 为，最后空白部分的面积是．‎ ‎…‎ ‎…‎ 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 根据第n次分割图可得等式：＝，‎ 两边同除以2， 得＝．‎ 探究三：计算．‎ ‎（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）‎ 第n次分割 解决问题：计算．‎ ‎（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）‎ 第n次分割 根据第n次分割图可得等式： ，‎ 所以，＝ ．‎ 拓广应用：计算 ．‎ ‎ 【答案】 ‎…‎ 第n次分割 ‎ ‎ 解：探究三： ‎ 第1次分割，把正方形的面积四等分，‎ 其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，‎ 阴影部分的面积之和为；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，……；‎ ‎ ……‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和 为，最后的空白部分的面积是，‎ 根据第n次分割图可得等式：＝，‎ 两边同除以3， 得＝．‎ 第n次分割 ‎…‎ ‎ 4分 解决问题：‎ ‎ ＝，‎ ‎ ．‎ ‎ 8分 拓广应用：‎ 原式 ‎ ‎ ‎24．（本小题满分12分）（2014山东省青岛市，24，12分） ‎ 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝‎12cm，BD＝‎16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为‎1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为‎1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)（0＜t＜8）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ A B F E C P D O Q ‎（第24题）‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC=AC＝6，OB＝OD=BD＝8．‎ A B F E C P D O Q G ‎（第24题）‎ 在Rt△AOB中，AB＝＝10．‎ ‎∵EF⊥BD，‎ ‎∴∠FQD＝∠COD＝90°．‎ 又∵∠FDQ ＝∠CDO，‎ ‎∴△DFQ∽△DCO．‎ ‎∴＝．‎ 即＝，‎ ‎∴DF＝t．‎ ‎∵四边形APFD是平行四边形，‎ ‎∴AP＝DF．‎ 即10－t＝t，‎ 解这个方程，得t＝．‎ 答：当t＝s时，四边形APFD是平行四边形． 4分 ‎（2）过点C作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵S菱形ABCD＝AB·CG＝AC·BD，‎ 即10·CG＝×12×16，‎ ‎∴CG＝．‎ ‎∴S梯形APFD＝（AP＋DF）·CG ‎＝ （10－t＋t）·＝t＋48．‎ ‎∵△DFQ∽△DCO，‎ ‎∴＝．‎ 即＝，‎ ‎∴QF＝t．‎ 同理，EQ＝t．‎ ‎∴EF＝QF＋EQ＝t．‎ ‎∴S△EFD＝EF·QD＝ ×t×t＝t2．‎ ‎∴y＝（t＋48）－t2＝－t2＋t＋48． 8分 A B F E C P D O Q M N ‎（第24题）‎ ‎（3）若S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40，‎ 则－t2＋t＋48＝×96，‎ 即5t2－8t－48＝0，‎ 解这个方程，得t1＝4，t2＝－（舍去）‎ 过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，‎ 当t＝4时，‎ ‎∵△PBN∽△ABO，‎ ‎∴＝＝，即＝＝．‎ ‎∴PN＝，BN＝．‎ ‎∴EM＝EQ－MQ＝＝．‎ PM＝BD－BN－DQ＝＝．‎ 在Rt△PME中，‎ PE＝＝＝(cm)． 12分