北京中考数学一模试卷函数题汇编

北京中考数学一模试卷函数题汇编

y x8642O S3 S2 S1 P1 P2 P3 P4 y = 12 x （2011 年昌平区一摸） 5． 函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 A． B． C． D． 答案：A （ 2011 年 昌 平 区 一 摸 ） 12 ． 如 图 ， 在 函 数 （x＞0）的 图象上，有点 ， ， ，…， ， ，若 的横坐标为 a，且以后 每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为 2， 过点 ， ， ，…， ， 分别作 x 轴、 y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影 部分的面积从左到右依次记为 ， ， ，…， ， 则 = ， + + +…+ = ．（用 n 的代数式表示） 答案：6， （2011 年昌平区一摸）23． 已知二次函数 ． （1）二次函数的顶点在 轴上，求 的值； （2）若二次函数与 轴的两个交点 A、B 均为整数点（坐标为整数的点），当 为整数时， 求 A、B 两点的坐标. 答案：解：（1）方法一∵二次函数顶点在 轴上， ∴ ，且 即 ，且 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）∵二次函数与 轴有两个交点， ∴ ，且 ．　　　　　　　　　　　　 即 ，且 ． 当 且 时，即可行． ∵ 、 两点均为整数点，且 为整数 ∴ 当 时，可使 ， 均为整数， ∴当 时， 、 两点坐标为 和 （2011 年朝阳区一摸） 8．已知二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（-1，1），则 ab 有 A．最大值 1 B．最大值 2 C．最小值 0 D．最小值 答案： 1x − 1x ≥ 1x ≤ 1x > 1x ≠ 12y x = 1P 2P 3P nP 1nP + 1P 1P 2P 3P nP 1nP + 1S 2S 3S nS 1S 1S 2S 3S nS 12 1 n n + 2 2( 1) (3 1) 2y k x k x= − − − + x k x k x 2 -4 =0b ac 0a≠ ( ) ( )2 23 1 4 2 1 0a k− − × − = 2 -1 0k ≠ =3k x 2 -4 0b ac＞ 0a≠ 2-3 0k（ ）＞ ±k≠ 1 3k ≠ 1k ≠ ± A B k 1 2 2 2 -1 + -3 -1+ -3 -4 2= = = =-1 -1 -1 +1 k k k k kx k k k k （3 ）（ ） 3 4 2（ ） 2（ ） 2（ ） 2 2 2 2 -1 - -3 -1- +3 +2 1= = = =-1 -1 -1 -1 k k k k kx k k k k （3 ）（ ） 3 2 2（ ） 2（ ） 2（ ） =0k 1x 2x =0k A B (-1 0)， (2 0)， 4 1− （2011 年朝阳区一摸） 9．在函数 中，自变量 x 的取值范围是______． 答案： （2011 年朝阳区一摸）16．如图，一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 的图象的一个交 点为 A（2，3）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，若点 P 在反比例函数图 象上，且△PBC 的面积等于 18，求 P 点的坐标． 答案： 解：（1）把 A（2，3）代入 ，∴m=6. ∴ . 把 A（2，3）代入 y=kx+2， ∴ . ∴ . ∴ （2）令 ,解得 x=-4，即 B（-4，0）. ∵AC⊥x 轴，∴C（2，0）. ∴ BC=6. 设 P(x,y)， ∵S△PBC= =18， ∴y1=6 或 y2=-6. 分别代入 中， 得 x1=1 或 x2=-1. ∴P1（1，6）或 P2（-1，-6） 2 1 += xy 2−≠x x my = x my = xy 6= 322 =+k 2 1=k .22 1 += xy 022 1 =+x yBC ⋅⋅ 2 1 xy 6= 答案： (1)证明：∵ ∴无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点. (2)m＜-1 且 m≠-4. (3)解：令 ， 解得 x1=m+1，x2=-3. 可求得顶点 . ①当 A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ ， ∴ 解得 . ∴ .②当 A(-3,0)、B(m+1,0)时， 同理得 . 解得 . ∴ . （2011 年大兴区一摸） 6 ．下列图形中，阴影部分面积为 1 的是 答案：D ( ) ( ) ( )13142 2 +×−×−−=∆ mm ( ) 04 2 ≥+= m ( ) 013)2(2 =++−+−= mxmxy ( )       +− 4 4,2 2 2mmP ABCPAO SS ∆∆ = ( ) ( ) ( ) ( )1342 1 4 412 1 2 +×−−=+×+ mmmm 16−=m 45182 −−−= xxy ( ) ( ) ( )[ ]1342 1 4 432 1 2 +−×+=+×× mmm 5 8−=m 5 9 5 182 −−−= xxy O A． x y 1 1 （1，2） O B． x y 1 3 ( 0)2y x x= ≥ O C． x y 1 1 ( 0)y xx = > O D． x y 2 1y x= − 1− （2011 年大兴区一摸）8. 如图，已知点 F 的坐标为（3，0），点 A、B 分别是某函数图像与 x 轴、y 轴的交点，点 P 是此图像上的一动点，设点 P 的横坐标为 x，PF 的长 为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=5－ x(0≤x≤5)，则结论：① AF= 2 ② BF=4 ③ OA=5 ④ OB=3，正确结论的序号是 A．①②③ B ①③ C．①②④ D．③④ 答案：B （2011 年大兴区一摸） 9．函数 中，自变量 的取值范围是 ． 答案： （2011 年大兴区一摸） 16．已知直线 与双曲线 相交于点 A（2，4），且 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，AD 垂直平分 OB，垂足为 D，求直线和双曲线的解析式。 答案：16．解法一：∵双曲线 经过点 A（1，2） ∴ ∴双曲线的解析式为 由题意，得 OD=1，OB=2 ∴B 点坐标为（2，0） ∵直线 经过点 A（1，2），B（2，0） ∴ ∴ ∴直线的解析式为 解法二：同解法一，双曲线的解析式为 ∵AD 垂直平分 OB，∴AD/ /CO ∴点 A 是 BC 的中点，∴CO=2AD=4 ∴ 点 C 的坐标是（0，4） ∵ 直线 经过点 A（1，2），C（0，4） ∴ ∴ ∴直线的解析式为 （2011 年大兴区一摸） 18．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（0，6），点 B 在一次函 数 y＝－x＋m 的图象上，且 AB＝OB＝5．求一次函数的解析式． 答案：解：∵AB＝OB，点 B 在线段 OA 的垂直平分线 BM 上， 如图，当点 B 在第一象限时，OM＝3，OB＝5． 在 Rt△OBM 中， . ∴　B（4，3）． ∵　点 B 在 y＝－x＋m 上， 3 5 1−= xy x 1≥x bxky 1 += x ky 2= x ky 2= 22 =k xy 2= bxky += 1    =+ =+ 02 2 1 1 bk bk    = −= 4 21 b k 42 +−= xy xy 2= bxky 1 +=    = =+ 4 21 b bk    = −= 4 21 b k 42 +−= xy 2 2 2 25 3 4BM OB OM= − = − = ∴　m＝7． ∴ 一次函数的解析式为 . 当点 B 在第二象限时，根据对称性，B'（－4，3） ∵　点 B'在 y＝－x＋m 上， ∴　m＝－1． ∴ 一次函数的解析式为 . 综上所述，一次函数的解析式为 或 . （2011 年大兴区一摸） 25．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1， ） ，点 B 在 x 轴的负半轴上， ∠ABO=30°. （1）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 AC+OC 的值最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中 轴下方的抛物线上是否存在一点 P，过点 P 作 轴的垂线，交直线 AB 于点 D，线段 OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形 BPOD 面积比为 2：3 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 ：解： （1）过点 A 作 AF⊥x 轴于点 F， ∵∠ABO=30°，A 的坐标为（1， ）， ∴ BF=3 . ∵ OF=1 , ∴ BO=2 . ∴ B(-2,0). 设抛物线的解析式为 y=ax(x+2)，代入点 A（1, ），得 ， ∴ （2）存在点 C. 过点 A 作 AF 垂直于 x 轴于点 F，抛物线的对称轴 x= - 1 交 x 轴于点 E. 当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时，AC+OC 的值最小. ∵ △BCE∽△BAF, ∴ . ∴ 7y x= − + 1y x= − − 7y x= − + 1y x= − − 3 x x 3 3 3 3a = 23 2 3 3 3y x x= + AF CE BF BE = 3 3=⋅= BF AFBECE ∴C（ ， ） （3）存在. 如图，连结 AO， 设 p(x,y)，直线 AB 为 y=kx+b,则 ， ∴直线 AB 为 ， = |OB|| P|+ |OB|| D|=| P|+| D| = . ∵S△AOD= S△AOB-S△BOD = - ×2×∣ x+ ∣=- x+ . ∴ = = . ∴x1=- , x2=1(舍去). ∴p(- ,- ) . 又∵S△BOD = x+ , ∴ = = . ∴x1=- , x2=-2. P(-2,0)，不符合题意. ∴ 存在，点 P 坐标是（- ，- ）. （2011 年东城区一摸） 11. 已知 A、B 是抛物线 y=x2-4x+3 上关于对称轴对称的两点，则 A、 B 的坐标可能 是 .（写出一对即可） 答案：（1,0），（3,0）或（0,3），（4,3）等 （2011 年东城区一摸）21．在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 y=k x+b 与反比例函数 y= 的图象交于 1− 3 3 3 3, 3 2 0. 2 3 3 kk b k b b  = + =  − + =  = 解得 3 2 3 3 3y x= + BODBPOBPOD ∆∆ += SSS四 1 2 y 1 2 y y y 23 3 2 3 3 3 3x x− − + 3 2 1 3 3 3 32 3 3 3 3 ODB OD S S P A 四 ∆ 3 32 3 3-3 3- 3 3 3 3 2 + +− xx x 3 2 2 1 2 1 4 3 3 3 3 32 ODB BOD S S P四 ∆ 3 32 3 3 3 3 3 32 3 3 2 +−− + xx x 3 2 2 1 2 1 4 3 1 x k2 A(1,6)，B(a,3)两点 . （1）求 k ， k 的值； （2）如图，点 D 在 x 轴上，在梯形 OBCD 中，BC∥OD,OB=DC,过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE 和 反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 18 时，求 PE：PC 的值. 答案：解：（1）∵点 A(1,6),B(a,3)在反比例函数 y= 的图象上， ∴ k =1×6=6. ∴ a× 3=6，a=2. ∴B(2，3). 由点 A(1,6),B(2,3)也在直线 y=k x+b 上， 得 解得 k =-3. ∴k =-3， k =6. (2) 设点 P 的坐标为（m,n）. 依题意，得 ×3（m+2+m-2）=18，m=6. ∴ C（6,3），E（6,0）. ∵ 点 P 在反比例函数 y= 的图象上， ∴ n=1. ∴PE ：PC=1：2 . （2011 年东城区一摸）23. 已知关于 x 的方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0 有两个正整数根. (1) 确定整数 m 值； (2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程 (m-1)x2-(2m-1)x+2+ =0 的实数根的个数. 答案：解： 由方程(m-1)x2-(2m-1)x+2+ =0 可得 = ， ∵ 均为正整数，m 也是整数， 1 2 x k2 2 1    =+ =+ ,32 ,6 1 1 bk bk 1 1 2 2 1 x 6 x m x m )1(2 2)1(4)12()12( 2 − ×−×−−±−−= m mmmx )1(2 )32(12 )1(2 )32()12( 2 − +±−=− −±− m mm m mm 1 1 1 −= mx .22 =x 21, xx O x y ∴m=2. （2）由（1）知 x2-3x+2+ =0. ∴x2-3x+2= - . 画出函数 y= x2-3x+2，y= - 的图象， 由图象可知，两个函数图象的交点个数是 1. （2011 年东城区一摸）25. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与 x 轴交于点 A （ -2 ， 0 ）， B ， 与 y 轴 交 于 点 C ， tan∠ABC=2． （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标； （2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的 垂直平分线上是否存在点 P，使得经过 点 P 的直线 PM 垂直于直线 CD，且与直 线 OP 的夹角为 75°？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物 线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？ 答案：解：（1）依题意，可知 C(0,8),则 B(4,0) 将 A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax2+bx+8， 解得 配方得 y ，顶点 D（1,9）. （2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ， 由 求得直线 的解析式为 ， 它与 轴的夹角为 ． 过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N. 依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°. ∵PN=2，∴ON= 或 2 ． ∴存在满足条件的点 ， 的坐标为（2， 2 2 8y x x∴ = − + + 2( 1) 9x= − − + P (2 )P t， (0 8) (19)C D，， ， CD 8y x= + x 45 P P x 2 x 2 x 2    =++ =+− .08416 ,0824 ba ba    = −= .2 ,1 b a 3 32 3 F P 2 M 2 N 2 P 1 N 1 M 1 H A BO x y C D 1 1 E y -5 2 x1 3 -4 1 2 3 -1 -2 -3 -1-2 O ）和(2，2 )． （3）由上求得 ． 当抛物线向上平移时，可设解析式为 ． 当 时， ． 当 时， ． 或 ． 由题意可得 m 的范围为 ． ∴ 抛物线最多可向上平移 72 个单位． （2011 年房山区一摸） 8.如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一 动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. 设 AP=x,△PBE 的面积为 y. 则能够正确反映 与 之间的函数关系的图象是 答案： A （2011 年房山区一摸） 9．函数 中自变量 x 的取值范围是 ． 答案： （2011 年房山区一摸）18．（本小题满分 5 分）已知直线 经过点 M（2，1），且与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B． （1）求 k 的值； （2）求 A、B 两点的坐标； （3）过点 M 作直线 MP 与 y 轴交于点 P，且△MPB 的面积为 2，求点 ( 8 0) (412)E F− ，， ， 2 2 8 ( 0)y x x m m= − + + + > 8x = − 72y m= − + 4x = y m= 72 0m∴− + ≤ 12m ≤ 0 72m∴ < ≤ y x 3 32 3 y 3 x= − 3x ≤ 3y kx= − A B C D O x y 1 1 2 x y 1 1 2O 2 1 1 y xO 2 1 1 y xO P 的坐标． 答案：解：（1）∵直线 y=kx-3 过点 M(2,1) ∴ ，∴ - （2）∵ ，∴ ∴A（ ，0），B（0，-3）- （3）∵P、B 两点在 y 轴上， ∴点 M 到 y 轴的距离为 2 ∵△MPB 的面积为 2，∴PB=2 ∵B（0，-3）∴点 P 的坐标为： ， （ 2011 年 房 山 区 一 摸 ） 23 ．（本 小 题 满 分 7 分 ） 已 知 ： 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论 取何值，抛物线 y= 总 过 轴上的一个固定点； （3）若 为正整数，且关于 的一元二次方程 有两个不 相等的整数根，把抛物线 y= 向右平移 4 个单位长度，求平移后的 抛物线的解析式． 答案：解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实 数根 ∴ ＞0 ∴ 且 m≠2 （2）证明：令 得， ∴ ， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（ ），（ ） ∴无论 m 取何值，抛物线 y= 总过 x 轴上的定点（ ） （3）∵ 是整数 ∴只需 是整数. ∵ 是正整数，且 ∴ . 当 时，抛物线为 把它的图象向右平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式为 （2011 年房山区一摸） 24．（本小题满分 8 分）如图，抛物线 （ ＞0） 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的左侧， 且 ． 1 2 3k= − 2k = 2k = 2 3y x= − 3 2 1(0, 1)P − 2 (0, 5)P − x 2 (3 2) 2 2 0mx m x m− − + − = m m 2 (3 2) 2 2mx m x m− − + − x m x 2 (3 2) 2 2 0mx m x m− − + − = 2 (3 2) 2 2mx m x m− − + − x 2 (3 2) 2 2 0mx m x m− − + − = 2 2 2[ (3 2)] 4 (2 2) 4 4 ( 2)m m m m m m∆ = − − − − = − + = − 0≠m 0=y 2 (3 2) 2 2 0mx m x m− + − + − = 1 1x = 2 2 2mx m −= 1,0 2 2 ,0m m − 2 (3 2) 2 2mx m x m− − + − 1,0 1x = 2 2 22m m m − = − m 0, 2m m≠ ≠ 1m = 1m = 2y x x= − 2 9 20y x x= − + 2 3 3y mx mx= + − m 1tan 3OCB∠ = （1）求此抛物线的解析式； （2）如果点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，设 D 点的横坐标为 x， △ACD 的面积为 S，求 S 与 x 的关系式，并求当 S 最大时点 D 的坐标； （3）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P 为顶点的平行四边形？ 若存在求点 P 坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解： （1）由已知可得 C（0，-3）， ∵ ，∠COB=90°，∴ ， ∴B（1,0） ∵抛物线 （ ＞0）过点 B， ∴m+3m-3=0 ， ∴m= ∴抛物线的解析式为 （2）如图 1，∵抛物线对称轴为 ，B（1,0） ∴A（-4,0） 联结 OD， ∵点 D 在抛物线 上 ∴设点 D（x ， ），则 = = ∴S= ∴当 x=-2 时，△ACD 的面积 S 有最大值为 6. 此时，点 D 的坐标为（-2， ）． 1tan 3OCB∠ = 1 3 OB OC = 2 3 3y mx mx= + − m 4 3 34 9 4 3 2 −+= xxy 2 3−=x 34 9 4 3 2 −+= xxy 34 9 4 3 2 −+ xx ACD AOD DOC AOCS S S S∆ ∆ ∆ ∆= + − ( )21 3 9 1 14 3 3 4 32 4 4 2 2x x x × − − + + × − − × ×   23 62 x x− − ( )23 2 62 x− + + 9 2 − （24 题图） (备用图) N M L M N L （3）①如图 2，当以 AC 为边，CP 也是平行四边形的边时， CP∥AE，点 P 与点 C 关于 抛物线的对称轴对称，此时 P（-3，-3）. ②如图 3，当以 AC 为对角线，CP 为边时，此时 P 点的坐标是（-3，-3） ③如图 4、图 5，当以 AC 为边，CP 是平行四边形的对角线时，点 P、C 到 x 轴的距离相 等，则 =3，解得 ，此时 P（ ，3）（如图 4） 或（ ，3）（如图 5） 综上所述，存在三个点符合题意，分别是 （-3，-3）， （ ，3）， （ ，3）． -------------------------------------------------------- 8 分 （2011 年丰台区一摸） 8. 一电工沿着如图所示的梯子 NL 往上爬，当他爬到中点 M 处时， 由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点 M 的坐标为（x，y）（x>0）,则 y 与 x 之间 的函数关系用图象表示大致是 34 9 4 3 2 −+ xx 2 413 ±−=x 2 413 −− 2 413 +− 1P 2P 2 413 −− 3P 2 413 +− （图 2） （图 3） （图 4） （图 5） x x x x y y yy OOOO A． B． C． D． 答案：C （2011 年丰台区一摸）10．在函数 中，自变量 x 的取值范围是 . 答案： （2011年丰台区一摸）18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、 y轴分别 交于A、B两点. （1）求点 A、B 的坐标； （2）点 C 在 y 轴上，当 时，求 点 C 的坐标. 答案：18．解：（1）令 y=0,则 ， ∴x=2，点 A（2，0）； ………………1’ 令 x=0,则 y=1，点 B（0，1）；………2’ （2）设点 C 的坐标为（0,y）， （2011年丰台区一摸）23.已知: 反比例函数 经过点B(1,1) ． （1）求该反比例函数解析式； （2） 联结OB，再把点 A(2,0)与点B联结,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O ，写出 的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由； （3）若该反比例函数图象上有一点F(m， )（其中m＞0），在线段OF上任取一点 E,设E点的纵坐标为n,过F点作FM⊥x轴于点M，联结EM，使△OEM的面积是 ，求 代数式 的值． 2 1 −= xy 2≠x 12 1 +−= xy 2ABC AOBS S∆ ∆= 012 1 =+− x ( )y 0k kx = ≠ ' 'A B ' 'A B 3 12 m − 2 2 2 2 2 3n n+ − 2 , 1 12 ,2 2 2 , 3 (0,1) 1, 2 (0,3) (0, 1). 5 ’ 或 ’ ∆ ∆= ∴ ⋅ = × ⋅ ∴ = ∴ = ∴ = ∴ −     ABC AOBS S OA BC OA OB BC OB B OB BC C x y O H GF E 答案：⑴反比例函数解析式： ⑵∵已知B(1,1),A(2,0) ∴△OAB是等腰直角三角形 ∵顺时针方向旋转135°， ∴B’(0,- ), A’(- ,- ) ∴中点P为(- , - )． ∵（- ）·（ - ）=1 ∴点P在此双曲线上． ⑶∵EH=n , 0M=m ∴S△OEM = = = ，∴m= 又∵F(m， ) 在函数图象上 ∴ =1． 将m = 代入上式，得 - =1 ∴ + = ∴ + -2 = （2011年丰台区一摸）24.已知：如图，在□ EFGH中，点F的坐标是（-2，-1）， ∠EFG=45°． （1）求点 H 的坐标; （2）抛物线 经过点 E、G、H,现将 向左平移使之经过点 F，得到抛物线 ,求抛物线 的解析式； （3）若抛物线 与 y 轴交于点 A，点 P 在抛物线 的对称轴上运动．请 问：是否存在以 AG 为腰的等腰三角形 AGP？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 1y x = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 EHOM ⋅ 2 1 mn2 1 2 2 2 n 3 12 m − )12 3( −mm 2 n 2)2(2 3 n 2 n 2n 2n 3 2n 2n 3 3− 1C 1C 2C 2C 2C 2C 答案： 解：（1）∵在□ABCD 中 ∴EH=FG=2 ，G（0，－1）即 OG=1 ∵∠EFG=45° ∴在 Rt△HOG 中，∠EHG=45° 可得 OH=1 ∴H（1，0） （2）∵OE=EH-OH=1 ∴E（－1，0）， 设抛物线 解析式为 = +bx+c ∴代入 E、G、H 三点， ∴ =1 ，b=0,，c=－1 ∴ = －1 依题意得，点 F 为顶点，∴过 F 点的抛物线 解析式是 = －1 （3）∵抛物线 与 y 轴交于点 A ∴A（0，3），∴AG=4 情况 1：AP=AG=4 过点 A 作 AB⊥对称轴于 B ∴AB=2 在 Rt△PAB 中，BP= ∴ (-2,3+ )或 (-2,3- ) 情况 2：PG=AG=4 同理可得： (-2,-1+ )或 (-2,-1- ) ∴P 点坐标为 (-2,3+ )或 (-2,3- )或(-2,-1+ )或(-2,-1- ). （2011 年燕山区一摸） 8．类比二次函数图象的平移，把双曲线 y= 向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位，其对应的函数解析式变为 A． B． C． D． 答案：A （2011 年燕山区一摸） 9．函数 y= 的自变量取值范围是 ． 答案：x ≥ （2011 年燕山区一摸） 18．如图，某一次函数 y=kx+b 的图象与一个 反比例函数的图象交于 A、B 两点，点 A 和 点 B 关于直线 y=x 对称. （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）直接写出点 B 的坐标； （3）求 k 和 b 的值. 1C 1y 2ax a 1y 2x 2C 2y 2( +2x ） 2C 2 3 1P 2 3 2P 2 3 3P 2 3 4P 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x 1 2x 3xy + += 2x 1xy + += 2x 1xy − += 2x 1xy − −= 12x − 2 1 俯视图 左视图主视图 A B C D E A＇ A B C D E A＇ A B C D E A＇ 答案：18. ⑴ 由题意,可认定点 A 的坐标是(-1, 2), 把 x = -1, y=2 代入 y= , 解得 m= -2. ∴ 反比例函数的解析式是 y= - . ⑵ 点 B (2, -1). ⑶ 把点 A(-1,2)、B (2, -1)分别代入 y=kx+b， 得 解得，k= -1，b=1. （2011 年燕山区一摸） 23．已知在同一直角坐标系中，直线 l：y=x-3k+6 与 y 轴交于点 P， M 是抛物线 C： y=x2-2 (k+2) x+8k 的顶点. （1）求证：当 k≠2 时，抛物线 C 与 x 轴必定交于两点； （2）A、B 是抛物线 c 与 x 轴的两交点，A、B 在 y 轴两侧，且 A 在 B 的左边，判断：直 线 l 能经过点 B 吗？（需写出判断的过程） （3）在(2)的条件下，是否存在实数 k，使△ABP 和△ABM 的面积相等？如果存在，请求出 此时抛物线 C 的解析式；若不存在，请说明理由. 答案：⑴ 证明：在抛物线 C 中， Δ=4 (k+2)2-32k =4k2-16k+16 =4 (k-2)2 . ∵ 当 k≠2 时，4 (k-2)2＞0， ∴方程 x2-2(k+2) x+8k=0 有两个不相等的实数根. ∴ 当 k≠2 时，抛物线 C 与 x 轴必定交于两点. ⑵ 解方程 x2-2(k+2) x+8k=0， 得 x1=4，x2=2k. ∵点 A、B 在 y 轴两侧，且 A 在 B 的左边， ∴k＜0，点 B（4，0）. 把点 B（4，0）代入 y=x-3k+6， 得 k= ＞0，与“k＜0”不符. ∴ 直线 l 不可能经过点 B. ⑶ y=x2-2(k+2) x+8k =[x-(k+2)]2-(k-2)2， 作 MH⊥x 轴于 H，则 MH=(k-2)2. ∵k＜0, ∴-3k+6＞0. ∴OP= -3k+6. 由 S△ABP=S△ABM ，得 -3k+6=(k-2)2 解得 k1= -1，k2= 2（舍去） ∴存在实数 k= -1，使得 S△ABP=S△ABM . 此时，抛物线 C 的解析式是 y=x2-2x-8. 、、 （2011 年延庆区一摸） 8. 如图：已知 是线段 上的动点（ 不与 重合）， x m x 2    −=+ =+ .12 2,bk- bk 3 10 P AB P BA， 第 17 题图 第 8 题图 -1 O y 分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等 边 ，连结 ，设 的中点为 ；点 在线段 上且 ，当点 从点 运动到点 时， 设点 到直线 的距离为 ，则能表示 与 点移动的 时间 之间函数关系的大致图象是 答案：D （ 2011 年 延 庆 区 一 摸 ） 9. 函 数 中 自 变 量 的 取 值 范 围 是 ． 答案： （2011 年延庆区一摸）10. 已知: 的顶点纵坐标为 ,那么 的值是 ． 答案：4 （2011 年延庆区一摸） 17. 如图， 点是正比例函数 和反比例函数 的图象 的一个交点. （1）求这两个函数的解析式； （2）在反比例函 数 的图象上取一点 ,过点 做 垂直 于 轴，垂足为 ，点 是直线 上一点， 垂直于 轴，垂足为 ，直线 上是否存在这样的点 ，使得 的面积是 的面积的 倍？如果存在，请求出 点 的坐标，如果不存在，请说明理由； 答案：(1)由图可知， 点的坐标为(-1,2) 点是正比例函数 和反比例函数 的 图象的一个交点 ∴ , (2) ∵点 在反比例函数 的图象上,且 ∴ 设 由题意可知: AP PB AB AEP∆ PFB∆ EF EF G DC、 AB BDAC = P C D G AB y y P x 2y x= − x 2≥x axxy +−= 42 b ba − M kxy = x my = x my = P P AP x A Q MO QB y B MO Q OBQ∆ OPA∆ 2 Q M M kxy = x my = xy 2−= xy 2−= P xy 2−= 2−=px 1=py )2,( aaQ − OPAOBQ SS ∆∆ = 2 A． B． C． D． xxy 42 +−= 第 24 题图 1 第 24 题图 2 ∴ ∴ ∴ ∴点 的坐标( )或( ) （2011 年延庆区一摸） 24. 如图 1，已知矩形 的顶点 与点 重合， 、 分别在 轴、 轴上， ， ；抛物线 经过坐标原点 和 轴上另一点 （1）当 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形 以每秒 个单位长度的速度从图 所示的位置沿 轴的正方向匀速 平行移动，同时一动点 也以相同的速度从点 出发向 匀速移动.设它们运动 的时间为 秒（ ），直线 与该抛物线的交点为 （如图 所示）. ① 当 时，判断点 是否在直线 上，并说明理由； ② 以 为顶点的多边形面积是否可能为 ，若有可能，求出此时 点的坐标；若无可能，请说明理由． 答案：解：（1）因抛物线 经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0） 故可得 c=0,b=4 所以抛物线的解析式为 由 得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. （2）① 点 P 不在直线 ME 上. 已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 ，解得 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. 由已知条件易得，当 时，OA=AP= ， ∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. ∴ 当 时，点P 不在 cbxxy ++−= 2    =+ =+ 42 04 bk bk    = −= 8 2 b k 4 11=t 4 11 4 11=t 122 1222 1 −×=− aa 22 =a 2±=a Q 22,2 − 22,2− ABCD A O AD AB x y 2=AD 3=AB cbxxy ++−= 2 O x )0,4(E x ABCD 1 1 x P A B t 30 ≤≤ t AB N 2 4 11=t P ME DCN 、、、P 5 N 4)2(4 22 +−−=+−= xxxy 直线 ME 上. ②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5 ∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t （ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形 的高为 AD，∴ S= DC·AD= ×3×2=3. （ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S= (CD+PN)·AD= [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3 当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2 而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5 综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5， 当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3） 当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4） （2011 年西城区一摸） 11. 定义[ ]为函数 的特征数，下面给出特征 数为[ ， ， ] 的函数的一些结论：①当 时，函数图象的顶点坐标 是 ；②当 时，函数在 时， 随 的增大而减小；③无论 m 取何值， 函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有 .（填写正确结论的序号） 答案： ①③ （2011 年西城区一摸）15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一条直线 l 与 x 轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 ，与正比例函数 y＝mx(m≠0)的图象 相交于点 ． （1）求直线 l 的解析式；（2）求△AOP 的面积． 答案：解：（1）如图 1. 设直线 的解析式为 (k，b 为常数且 k≠0). ∵ 直线 经过点 ，点 ， ∴ 解得 ∴ 直线 的解析式为 （2）∵ 直线 的解析式为 ， 2 1 2 1 2 1 2 1 , ,a b c 2y ax bx c= + + 2m 1 4m− 2 1m − 1 2m = 1 1( )2 4 −， 1−=m 1x > y x (0,2)B (1,1)P l y kx b= + l (0,2)B (1,1)P 2, 1. b k b =  + = 1, 2. k b = −  = l 2y x= − + l 2y x= − + 图 1 ∴ 点 A 的坐标为 ． ∵ 点 P 的坐标为 ， ∴ ＝ ． （2011 年西城区一摸） 23．抛物线 ，a＞0，c＜0， ． （1）求证： ； （2）抛物线经过点 ，Q ． ① 判断 的符号； ② 若抛物线与 x 轴的两个交点分别为点 A ，点 B （点 A 在点 B 左 侧），请说明 ， ． 答案：23．（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ a＞0，c＜ 0， ∴ ， ． ∴ ． （2）解：∵ 抛物线经过点 P ， 点 Q ， ∴ ① ∵ ，a＞0，c＜0， ∴ ， ． ∴ ＜0 ＞0． ∴ ． ② 由 a＞0 知抛物线 开口向上． ∵ ， ， ∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方． ∵ 点 A，B 的坐标分别为 A ，B （点 A 在点 B 左侧）， ∴ 由抛物线 的示意图可知，对称轴右侧的点 B 的横坐标 满足 ．（如图 6 所示） ∵ 抛物线的对称轴为直线 ，由抛物线的对称性可 ， (2,0) (1,1) 1 2AOP PS OA y∆ = × × 1 2 1 12 × × = 2y ax bx c= + + 2 3 6 0a b c+ + = 1 02 3 b a + > 1( , )2P m (1, )n mn 1( ,0)x 2( ,0)x 1 1 6x < 2 1 12 x< < 2 3 6 0a b c+ + = 1 2 3 6 2 3 6 6 b a b c c a a a a ++ = = − = − 0c a < 0c a − > 1 02 3 b a + > 1( , )2 m (1, )n 1 1 ,4 2 . a b c m a b c n  + + =  + + = 2 3 6 0a b c+ + = 22 3 ab c+ = − 2 23 ab c= − − 1 1 1 2 1 1 1( )4 2 4 2 4 3 12 b cm a b c a a a a += + + = + = + − = − 2( 2 )3 3 a an a b c a c c c= + + = + − − + = − 0mn < 2y ax bx c= + + 0m < 0n > 1( , )2 m (1, )n 1( ,0)x 2( ,0)x 2y ax bx c= + + 2x 2 1 12 x< < 2 bx a = − 1 2 2 2 x x b a + = − 图 6 由（1）知 ， ∴ ． ∴ ，即 ． （2011 年西城区一摸） 24．如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，A ，B ．将△ OAB 绕点 O 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到△OCD（O，A，B 的对应点分别为 O，C，D），将△OAB 沿 轴负方向平移 m 个单位得到△EFG（m＞0，O，A，B 的对应 点分别为 E，F，G），α，m 的值恰使点 C，D，F 落在同一反比例函数 (k≠0)的 图象上． （1）∠AOB= °，α= °； （2）求经过点 A，B，F 的抛物线的解析式； （3）若（2）中抛物线的顶点为 M，抛物线与直线 EF 的另一个交点为 H，抛物线上 的点 P 满足以 P，M，F，A 为顶点的四边形的面积与四边形 MFAH 的面积相等 （点 P 不与点 H 重合），请直接写出满足条件的点 P 的个数，并求位于直线 EF 上方的点 P的坐标． 答案：解：（1）∠AOB= 30 °，α= 60 °． （2）∵ A ，B ，△OAB 绕点 O 顺时针旋转α角得到△OCD，（如图 7） ∴ OA=OB=OC=OD=4． 由（1）得 ． ∴ 点 C 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 的坐标为 ． ∵ 点 C，D，F 落在同一反比例函数 （k≠0）的图象上， ∴ ． ∵ 点 F 是由点 A 沿 轴负方向平移 m 个单位得到， 1 2 3 b a − < 1 2 1 2 3 x x+ < 1 2 2 2 1 3 3 2x x< − < − 1 1 6x < (2 3,2) (4,0) x ky x = (2 3,2) (4,0) 30BOC AOB∠ = ° = ∠ (2 3, 2)− ky x = 4 3C Ck x y= ⋅ = − x ∴ ， ，点 F 的坐标为 ． ∴ 点 F 与点 A 关于 y 轴对称，可设经过点 A，B，F 的抛物线的解析式为 ． ∴ 解得 ∴ 所求抛物线的解析式为 ． （3）满足条件的点 P 的个数为 5 ． 抛物线 的顶点为 ． ∵ △EFG 是由△OAB 沿 轴负方向平移 m 个单位得到， ∴ ， ，∠FEG=∠AOB=30°． ∴ 点 E 的坐标为 ． 可得直线 EF 的解析式为 ． ∵ 点 H 的横坐标是方程 的解， 整理，得 ． 解得 ． ∴ 点 H 的坐标为 ． 由抛物线的对称性知符合题意的 点的坐标为 ． 可知△AFM 是等边三角形，∠MAF= 60°． 由 A，M 两点的坐标分别为 A ， ， 可得直线 AM 的解析式为 ． 过点 H 作直线 AM 的平行线 l，设其解析式为 （b≠8）． 将点 H 的坐标代入上式，得 ． 解得 ，直线 l 的解析式为 ． 2Fy = 4 3 2 32Fx −= = − ( 2 3,2)− 2y ax c= + 2 (2 3) 2, 16 0. a c a c  + = + = 1 ,2 8. a c  = −  = 21 82y x= − + 21 82y x= − + (0,8)M x 4 3m FA= = 4 3E Ox x m= − = − ( 4 3,0)− 3 43y x= + 23 14 83 2x x+ = − + 23 2 3 24 0x x+ − = 1 2 4 3 , 2 33x x= = − 4 3 16( , )3 3 1P 4 3 16( , )3 3 − (2 3,2) (0,8)M 3 8y x= − + 3y x b= − + 16 4 333 3 b= − × + 28 3b = 283 3y x= − + ∵ 直线 l 与抛物线的交点的横坐标是方程 的解． 整理，得 ．解得 ． ∴ 点 满足 ，四边形 的面积与四边形 MFAH 的面积相等．（如图 8） 点 关于 y 轴的对称点 也符合题意，其坐标为 ． 综上所述，位于直线 EF 上方的点 P 的坐标分别为 ， ， ． （2011 年通州区一摸）17．如图，直线 与反比例函数 的图象只有一个 交点，求反比例函数的解析式. 答案：解： 直线 与 只有一个交点， 且 解之得： 反比例函数 的解析式为： （2011 年通州区一摸）24．已知如图， 中， ， 与 x 轴平行，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，抛物线 经过 的三个顶点， （1）求出该抛物线的解析式； （2）若直线 将四边形 面积平分，求此直线的解析式. （3）若直线 将四边形 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定 中 k 的取值范围. 答案：解.（1）由题意可知，抛物线的对称轴为： ， 与 轴交点为 把 代入 得： 228 13 83 2x x− + = − + 23 6 3 8 0x x− + = 1 2 4 3 2 3,3 3x x= = 2P 2 3 22( , )3 3 HAMAMP SS ∆∆ = 2 2P MFA 2P 3P 3P 2 3 22( , )3 3 − 1P 4 3 16( , )3 3 − 2P 2 3 22( , )3 3 3P 2 3 22( , )3 3 − 2y x= − + ky x =  2+−= xy x ky = ∴ 2+−= xx k 0=∆ 1=k ∴ xy 1= ABC∆ AC BC= BC 2 5 4y ax ax= − + ABC∆ 7+= kxy ACBD bkxy += ACBD bkxy += 2 5 2 5 =−−= a ax y )4,0(c∴ )4,5();0,3( BA − )0,3(−A 452 +−= axaxy 04159 =++ aa 解之得： （2）直线 将四边形 面积平分，则直线一定经过 OB 的中点 P. 根据题意可求 P 点坐标为（ ） 把 P（ ）代入 得： ， 直线的解析式为： （3） （2011 年顺义区一摸） 6． 如图，A、B 是函数 的图象上关于原点对称的任意两点， BC∥ 轴，AC∥ 轴，△ABC 的面积记为 ，则 A． B． C． D． 答案：B （2011 年顺义区一摸）8．如图，矩形 中， ， ， 是 的 中 点 ，点 在 矩 形 的 边 上 沿 运 动 ， 则 的面积 与点 经过的路程 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 答案： A （2011 年顺义区一摸）18． 已知：如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象分别与 轴交于点 A、 B，点 在 轴上，若 ,求直线 PB 的函数解析 式． 6 1−=a ∴ 46 5 6 1 2 ++−= xxy 7+= kxy ACBD 2,2 5 2,2 5 7+= kxy 2−=k ∴ 72 +−= xy 5 4 5 4 ≥−≤ kk 或 2y x = x y S 2S = 4S = 2 4S< < 4S > ABCD 1AB = 2AD = M CD P A B C M→ → → APM△ y P x xOy 2 4y x= − + x y、 P x 6ABPS∆ = C． D． 1 1 2 3 3.5 x y 0 A． 1 1 2 3 3.5 x y 0 B． 1 1 2 3 3.5 x y 0 1 1 2 3 3.5 x y 0 D C BA P M 答案： 解：令 ，得 ∴ A 点坐标为（2 ，0） 令 ， 得 ∴ B 点坐标为（0 ，4）- ∵ ∴ 即 ∴ P 点的坐标分别为 或 设直线 的函数解析式为 ∴ 或 ∴ 或 ∴ 直线 的函数解析式为 或 （2011 年顺义区一摸）25． 已知：如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点，点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标； （2）设点 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形 面积相等的四边 形 的点 的坐标； （3）求 的面积． 答案：解：（1）∵抛物线 与 轴交于点 ，与 轴 交于 ∴ 解得 ∴ 抛物线的解析式为 ∵ x B x 0y = 2x = 0x = 4y = 6ABPS∆ = 1 4 62 AP× × = 3AP = 1( 1,0)P − 2 (5,0)P PB y kx b= + 0 4 k b b − + =  = 5 0 4 k b b + =  = 4 4 k b =  = 4 5 4 k b  = −  = PB 4 4y x= + 4 45y x= − + 2 2 ( 0)y ax ax c a= − + ≠ y (0,3)C A A ( 1,0)− D P ACDB ACPB P APD∆ 2 2 ( 0)y ax ax c a= − + ≠ y (0,3)C A ( 1,0)− 2 0 3 a a c c + + =  = 1 3 a c = −  = 2 2 3y x x= − + + 2 2 2( 2 ) 3 ( 2 1 1) 3 ( 1) 4y x x x x x= − − + = − − + − + = − − + 　　　　∴顶点 的坐标为（ 1 ，4 ） （2）连结 ,过点 D 作 轴于点 . 令 则 ∴ ， ∴ 点 B 的坐标为（3 ，0） ∴ ∵ ∴ ∵点 是在第一象限内抛物线上的一个动点， ∴ ∴ 点 P 是过 D 且与直线 BC 平行的直线和抛物线的交点 而直线 BC 的函数解析式为 ∴设直线 DP 的函数解析式为 ， 过点 D（1，4） ∴ ， ∴直线 DP 的函数解析式为 把 代入 中，解得 ， ∴点 的坐标为（2，3） （3）∵点 P 与点 C 关于 DE 对称，点 B 与点 A 关于 DE 对称 ∴ ∴ ．源:学科网] （2011 年石景山区一摸） 4．函数 的自变量 的取值范围是 A． B． C． D． 答案：B （2011 年石景山区一摸）9．将二次函数 配方为 形式，则 ____， ________． 答案： ； （2011 年石景山区一摸）17．已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ ）的图象交于点 ． 轴于点 ， 轴于点 ．一次函数的图象 D BC DE x⊥ E 0y = 2 2 3 0x x− + + = 1 1x = − 2 3x = AOC EBDACDB OEDCS S S S∆ ∆= + +四边形 梯形 1 1 11 3 (3 4) 1 2 4 92 2 2 = × × + × + × + × × = 1 4 3 62ABCS∆ = × × = 3BCDS∆ = P ACDB ACPBS S=四边形 四边形 3BCP BCDS S∆ ∆= = 3y x= − + y x b= − + 1 4b− + = 5b = 5y x= − + 5y x= − + 2 2 3y x x= − + + 1 1x = 2 2x = P APD BCD∆ ≅ ∆ 3APD BCDS S∆ ∆= = 1 2y x = − x 0x ≠ 2x ≠ 2x ≥ 2x > 562 ++= xxy khxy +−= 2)( =h =k 4,3 −− 3+= kxy x my = 0>x P xPA ⊥ A yPB ⊥ B 分别交 轴、 轴于点 、点 ，且 , ． （1）求点 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值? 答案：17．解：（1）根据题意，得： …………………………………1 分 （2）在 △ 和 △ 中， , ∴ ∴ △ 中，∴ ∴ ， 一次函数的解析式为： 反比例函数解析式为： （3）如图可得： （2011 年石景山区一摸）23．已知抛物线 ： 的顶点在坐标轴上． （1）求 的值； （2） 时，抛物线 向下平移 个单位后与抛物线 ： 关于 轴对称，且 过点 ，求 的函数关系式； （3） 时，抛物线 的顶点为 ，且过点 ．问在直线 上是否 存在一点 使得△ 的周长最小，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请 说明理由． 答案：解：当抛物线 的顶点在 轴上时 解得 或 当抛物线 的顶点在 轴上时 ∴ 综上 或 ． （2）当 时， 抛物线 为 ． x y C D 27=DBPS△ 2 1= CA OC D x )3,0(D Rt COD Rt CAP 2 1= CA OC 3=OD ,6=AP 6=OB 9=DB Rt DBP ,272 =× BPDB 6=BP )6,6( −P 32 3 +−= xy xy 36−= 6>x C ( ) 112 ++−= xmxy m 0>m C ( )0>nn 1C cbxaxy ++= 2 y 1C ( )3,n 1C 03 <<− m C M ( )0,1 yP 1−=x Q QPM Q C x ( )[ ] 041 2 =−+−=∆ m 1=m 3-=m C y ( ) 01 =+− m 1−=m 1±=m 3-=m 0>m 1=m C 122 +−= xxy 向下平移 个单位后得到 抛物线 与抛物线 ： 关于 轴对称 ∴ ， ， ∴抛物线 ： ∵ 过点 ∴ ，即 解得 （由题意 ，舍去）∴ ∴抛物线 ： ． （3）当 时 抛物线 ： 顶点 ∵过点 ∴ ∴ 作点 关于直线 的对称点 直线 的解析式为 ∴ （ 2011 年 平 谷 区 一 摸 ） 9 ． 在 函 数 中 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 是 ． 答案： （2011 年平谷区一摸）23．已知二次函数 的图象经过点 ，和 ，反比例函数 （x＞0）的图象经过点（1，2）． （1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数 （ ）的图象与二次函数 ）的图象 在第一象限内交于点 ， 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两 个相邻的正整数； （3）若反比例函数 （ ）的图象与二次函数 的 图象在第一象限内的交点为 ，点 的横坐标 满足 ，试求实数 的取值范 围． 答案：解：（1）把 ，和 分别代入 解方程组，得 ∴ 抛物线解析式为 ( )0>nn nxxy -122 +−= nxxy -122 +−= 1C cbxaxy ++= 2 y 1=a 2=b nc −= 1 1C nxxy −++= 122 1C ( )3,n 3122 =−++ nnn 022 =−+ nn 2,1 21 −== nn 0>n 1=n 1C xxy 22 += 03 <<− m 1−=m C 12 += xy ( )1,0M ( )0,1 yP 2110 =+=y ( )2,1P ( )1,0M 1−=x ( )1,2' −M 'PM 3 5 3 1 += xy     − 3 4,1Q 3y x= + x 3x −≥ )0a(2 3bxaxy 2 ≠−+= (1 0)， ( 3 0)− ， x k=1y x k=1y 0x > )0a(2 3bxaxy 2 ≠−+= 0 0( )A x y， 0x 2 ky x = 0 0k x> >， )0a(2 3bxaxy 2 ≠−+= A A 0x 02 3x< < k (1 0)， ( 3 0)− ， )0a(2 3bxaxy 2 ≠−+= .1b,2 1a == 2 3 2 1 2 −+= xxy ∵ 反比例函数 的图象经过点（1，2）， ∴ k=2. ∴ (2)正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 由图象可知，这两个相邻的正整数为 1 与 2. (3)由函数图象或函数性质可知：当 2＜x＜3 时，对 y= ，y 随着 x 的增大而增大， 对 y2= （k＞0），y2 随着 x 的增大而减小.因为 A（x0,y0）为二次函数图象与反比例函数图象 的交点，所以当 x0=2 时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得 y2＞y. 即 ＞ ， 解得 k＞5. 同理，当 x0=3 时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得 y＞y2， 即 ＞ ，解得 k＜18. 所以 k 的取值范围为 5＜k＜18. （2011 年密云区一摸） 3.在函数 y= 中，自变量 的取值范围是 A. x 3 B. x>3 C. x 3 D. x<3 答案：A （2011 年密云区一摸） 11.二次函数 图像的顶点坐标为 ． 答案：(-1,2) （2011 年密云区一摸） 18.已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 AB 与 轴交于 点 A（-2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点 B(2,n)，连接 BO,若 S△AOB=4． （1）求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 与 y 轴的交点为 C,求△OCB 的面积． 答案：解:(1)由 A(-2,0),得 OA=2. ∵点 B(2，n)在第一象限，S△AOB=4. ∴ ∴ . ∴点 B 的坐标是（2，4）． 设该反比例函数的解析式为 . 将点 B 的坐标代入，得 ∴ x k=1y x 2y1 = 2 3 2 1 2 −+ xx x k 2 k 2 3222 1 2 −+× 2 3332 1 2 −+× 3 k 3x − x ≥ ≤ 2 2 3y x x= − + xOy x .42 1 =⋅ nOA 4=n )0( ≠= ax ay ,24 a= 8=a _x _y _O _C _A _B _ ∴反比例函数的解析式为： . 设直线 AB 的解析式为 . 将点 A,B 的坐标分别代入，得 解得 ∴直线 AB 的解析式为 （2）在 中，令 得 ∴点 C 的坐标是（0，2）.∴OC=2. ∴S△OCB= 甲型 20 台，获租金最高 （2011 年密云区一摸） 23.光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙 型 30 台.现将这 50 台联合收割机派往 A、B 两地区收割小麦，其中 30 台派往 A 地区,20 台派往 B 地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台甲型收割机的租金 A 地区 1800 1600 B 地区 1600 1200 （1）派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为 y(元) 求 x 与 y 间的函数关系时，并写出 x 的取值范围； （2）若使农机租菱公司这 50 台联合收割机一天的租金总额比低于 79600 元，说明有 多少种分配方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出 一条合理建议。 答案：解：（1） x 的取值范围： （2）由题意得 ，解得： ，由于 x 取 28，29，30. ①派往 A 地区甲型 2 台，乙型 28 台；派往 B 地区甲型 18 台，乙型 2 台. ②派往 A 地区甲型 1 台，乙型 29 台；派往 B 地区甲型 19 台，乙型 1 台. ③派往 A 地区乙型 30 台；派往 B 地区甲型 20 台. …5 分 (3) (元) 建议农机公司派往 A 地区乙型 30 台，派往 B 地区 （2011 年门头沟区一摸） 9． 在函数 中，自变量 x 的取值范围是 答案： 1 1y x = − 1x ≠ xy 8= )0( ≠+= kbkxy    =+ =+− .42 ,02 bk bk    = = .2 ,1 b k .2+= xy 2+= xy ,0=x .2=y .2222 1 2 1 =××=⋅ BxOC 200 7400....................1y x= + 分 10 30.x≤ ≤ 200 7400 79600x + ≥ 28x ≥ 10 30.x≤ ≤ 6000 74000 80000= + =最大当x=30时，y Ｂ OＤ１ x y 1 1 A ． Ｄ２ （2011 年门头沟区一摸） 11．将二次函数 化为 的形式，则 y= ． 答案： （2011 年门头沟区一摸）18．如图，正比例函数 和反比例函数 的图象 都过点 A（1，a），点 B（2，1）在反比例函数的图象上． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）过 A 点作直线 AD 与 轴交于点 D，且△AOD 的 面积为 3，求点 D 的坐标． 答案：解：（1）∵反比 例函数 的图象经过点 B（ 2，1）, ∴ ． ∴反比例函数的解析式是 ． 点 A（1，a）在反比例函数 的图象上， ∴ ． ∴ ． ∵正比例函数 的图象经过点 ， ∴ ． ∴正比例函数的解析式是 ． （2）依题意，得 ． ∴ ． ∴ D 点坐标为 或 ． （2011 年门头沟区一摸） 23．已知关于 的一元二次方程 ． （1）若此一元二次方程有实数根，求 m 的取值范围； （2）若关于 x 的二次函数 和 的图象都 经过 x 轴上的点（n，0），求 m 的值； （3）在（2）的条件下，将二次函数 的图象先沿 x 轴翻折，再向 下平移 3 个单位，得到一个新的二次函数 的图象．请你直接写出二次函数 的 解析式，并结合函数的图象回答：当 x 取何值时，这个新的二次函数 的值大于二 次函数 的值． 2 4 6y x x= − + 2( )y x h k= − + 2( -2) 2x + y mx= ny x= x ny x = 2n = 2y x =  2y x = 2a = (1 2)A ， y mx= (1 2)A ， 2m = 2y x= 1 2 32 OD× × = 3OD = 1( 3,0)D − 2 (3,0)D x 2( 2) 2 1 0m x x+ − − = 2 1 ( 2) 2 1y m x x= + − − 2 2 ( 2) 1y m x mx m= + + + + 2 1 ( 2) 2 1y m x x= + − − 3y 3y 3y 2y 1 2 3 4 4 3 2 1 x y O-1-2-3-4 -4 -3 -2 -1 · A B O x y 1 1 答案：解：（1）根据题意，得 解得 ∴m 的取值范围是 m≥－3 且 m≠－2． （2） 关于 x 的二次函数 和 的图 象都经过 x 轴上的点（n，0）， ∴ ． 解得 n=－1． 当 n=－1 时， ， 解得 m=－3． （3） ． 当 x 的取值范围是 或 时，二次函数 的值大于二次函数 的 值． （2011 年门头沟区一摸） 25．在平面直角坐标系 xOy 中，关于 y 轴对称的抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交 于点 C，P 是这条抛物线上的一点（点 P 不在坐标轴上），且点 P 关于直线 BC 的对称点在 x 轴上，D（0，3）是 y 轴上的一点． （1）求抛物线的解析式及点 P 的坐标； （2）若 E、F 是 y 轴负半轴上的两个动点（点 E 在点 F 的上面），且 EF＝2，当四边形 PBEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标； （3）若 Q 是线段 AC 上一点,且 ， M 是直线 DQ 上的一个动点，在 x 轴上方的 平面内存在一点 N，使得以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点 N 的坐标． 答案：解：（1）∵抛物线 关于 y 轴对称, ∴m－2=0． ∴m=2． ∴抛物线的解析式是 . 令 y＝0，得 . 2 2 0, Δ ( 2) 4( 2) ( 1) 0. m m + ≠  = − − + × − ≥ 2, 3. m m ≠ −  ≥ −  2 1 ( 2) 2 1y m x x= + − − 2 2 ( 2) 1y m x mx m= + + + + 2 2( 2) 2 1 ( 2) 1m n n m n mn m+ − − = + + + + 2 2 1 0m + + − = 2 3 2 2y x x= + − > 0x 5< 2x − 3y 2y 21 ( 2) 4 73 my x m x m −= − + − + − Δ Δ2COQ AOQS S= 21 ( 2) 4 73 my x m x m −= − + − + − 21 13y x= − + 3x = ± ∴ ， ． 在 Rt△ 中，OC＝1, OB＝ ,可得∠OBC＝30º. 在 Rt△ 中，OD＝3, OB＝ ,可得∠OBD＝60º. ∴BC 是∠OBD 的角平分线 . ∴直线 BD 与 x 轴关于直线 BC 对称. 因为点 P 关于直线 BC 的对称点在 x 轴上， 则符合条件的点 P 就是直线 BD 与抛物线 的交点. 设直线 BD 的解析式为 . ∴ ∴ ∴直线 BD 的解析式为 . ∵点 P 在直线 BD 上，设 P 点坐标为 . 又因为点 P 在抛物线 上， ∴ . 解得 . ∴ . ∴点 P 的坐标是 . （2）过点 P 作 PG⊥ 轴于 G，在 PG 上截取 ，连结 AH 与 轴交于点 ，在 轴的 负半轴上截取 . ∵ PH∥EF， ， ∴ 四边形 为平行四边形，有 . 又 ∵ 、 的长为定值， ∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小. ∵ OE∥GH， ∴ Rt△ ∽Rt△ . ∴ . ∴ . ∴ . ∴ 点 的坐标为（0， ），点 的坐标为（0， ）. ………………………… 5 分 （3）点 N 的坐标是 或 或 .……………… 8 分 （2011 年怀柔区一摸） 9. 函数 y＝ 1 x－2中，自变量 x 的取值范围是 ． 答案： ( 3,0)A − ( 3,0)B BOC 3 BOD 3 21 13y x= − + y kx b= + 3 0, 3. k b b  + = = 3, 3. k b  = − = 3 3y x= − + ( , 3 3)x x− + ( , 3 3)x x− + 21 13y x= − + 213 3 13x x− + = − + 1 23, 2 3x x= = 1 20, 3y y= = − (2 3, 3)− x 2PH = y E y 2EF = PH EF= PHEF HE PF= PB EF E F PBEF AOE AGH OE AO GH AG = 3 1 33 3 OE = = 1 723 3OF OE EF= + = + = E 1 3 − F 7 3 − 1 3 338 2N（ ，） 2 3 1257 1919 19N（ ， ） 3 24 18319 19N（- ， ） 2x ≠ x y G HE F -1 D 17 . （本题满分 5 分）一个涵洞成抛物线形，它的截面 如图（1）．现测得，当水面宽 AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点 O 与水面的距离为 2.4 m．ED 离水面的高 FC=1.5 m,求涵洞 ED 宽是多少？是否会超过 1 m？（提示：设涵洞所成抛物线 为 ） 答案：解： ∵抛物线 点 B 在 抛 物 线 上 , 将 B(0.8,2.4) 它 的 坐 标 代 人 ,求得 所求解析式为 再由条件设 D 点坐标为 则有： ＜ ＜0.5 2 ＜1 所以涵洞 不超过 1m. （2011 年怀柔区一摸）21. （本题满分 6 分） 如图,已知二次函数 y = x －4x + 3 的图象交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）抛物线 y = x －4x + 3 交 y 轴于点 C，（1）求线段 BC 所在直线的解析式. （2）又已知反比例函数 与 BC 有两个交点且 k 为正整数，求 的值. 答案：21. （本题满分 6 分） 解：（1）令 x －4x + 3=0， =1， =3………………… 则 A(1,0) B(3,0) C(0,3) BC 所在直线为 （2）反比例函数 与 BC 有两个交点且 k 为正整数 整理得：x －3x + k=0 ∵△=9-4k＞0 ∴ k＜ 又因为反比例函数 与 BC 的交点 所以 k＞0，因为 k 为正整数 所以 k=1 或 k=2 （2011 年怀柔区一摸） 25.如图,设抛物线 C 1: , C2: ,C1 与 C2 的交点为 A, B,点 A 的坐标是 ,点 B 的横坐标是－2. )0(2 <= aaxy )0(2 <= aaxy )0(2 <= aaxy 4 15−=a 2 4 15 xy −= )9.0,( −x 2 4 159.0 x−=− 0.24x = 0.25 x x ED 2 2 ky x = k 2 1x 2x 3y x= − + ky x = 2 9 4 ky x = ( ) 51 2 −+= xay ( ) 51 2 +−−= xay )4,2( （1） （1）求 的值及点 B 的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H, 在DH的右侧作正三角形DHG. 过C2顶点Ｍ的 直线记为 ,且 与x轴交于点N. ① 若 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为 (1, 2)，求点 N 的横坐标； ② 若 与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围. (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分) 答案：解：（1）∵ 点 A 在抛物线 C1 上， ∴ 把点 A 坐标代入 得 =1 ∴ 抛物线 C1 的解析式为 设 B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) （2）①如图 1: ∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且 DH⊥x 轴，∴ 点 M 在 DH 上，MH=5. 过点 G 作 GE⊥DH,垂足为 E, 由△DHG 是正三角形,可得 EG= , EH=1， ∴ ME＝4. 设 N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, 由△M EG∽△MHN,得 , ∴ , ∴ ∴ 点 N 的横坐标为 ． ② 当点Ｄ移到与点 A 重合时,如图 2， 直线 与 DG 交于点 G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作 x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ （x，0） ∵ A (2, 4) ∴ G ( , 2) ∴ NQ= ＮF = GQ=2 MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF ∴ ∴ a l l l l )4,2( ( ) 51 2 −+= xay a 422 −+= xxy 3 HN EG MH ME = 1 3 5 4 −= x =x 134 5 + 134 5 + l 322 + 322 −−x 1−x MF GQ NF NQ = 5 2 1 322 =− −− x x 第 25 题图 1 第 25 题图 2 第 25 题图 ∴ . 当点 D 移到与点 B 重合时,如图 3 直线 与 DG 交于点 D,即点 B 此时点 N 的横坐标最小. ∵ B(－2, －4) ∴ H(－2, 0), D(－2, －4) 设 N（x，0） ∵ △BHN∽△MFN， ∴ ∴ ∴ ∴ 点 N 横坐标的范围为 ≤x≤ （2011 年怀柔区一摸） 23． (本题满分 7 分) 如图，已知二次函数 的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点 C（0， -5）． （1）求该二次函数的解析式和它与 x 轴的另一个交点 B 的坐标。 (2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点 P（2,-2），连结 OP,找出 x 轴上所有点 M 的坐标， 使得△OPM 是等腰三角形． 答案：解：（1）根据题意，得 … （2 分） 解得 ∴二次函数的表达式为 ． B(5,0)） （2）令 y= 0，得二次函数 的图象与 x 轴 的另一个交点坐标 C（5, 0） 由于 P(2,-2) ,符合条件的坐标有共有 4 个，分别是 (4,0) (2,0) (-2 ,0) ( 2 ,0) （2011 年海淀区一摸） 17．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 A （2，1），B（-1， ）两点. （1）求 k 和 b 的值； （2）结合图象直接写出不等式 的解集. 3 8310 +=x l MF BH FN NH = 5 4 1 2 =− + x x 3 2−=x 3 2− 3 8310 + 2 4y ax x c= − +    +×−×=− +−×−−×= .0405 ,)1(4)1(0 2 2 ca ca    −= = .5 ,1 c a 542 −−= xxy 542 −−= xxy 1P 2P 3P 2 4P 2 y kx b= + my x = n 0mkx b x + − > 第 25 题图 3 图 4 x n 1− 2O y 1 B A y kx b= + my x = 答案：解：（1）∵ 反比例函数 的图象过点 A（2，1）， ∴ m=2. ∵ 点 B（-1，n）在反比例函数 的图象上， ∴ n = -2 . ∴ 点 B 的坐标为（-1，-2）. ∵ 直 线 过点 A（2，1），B（-1，-2）， ∴ 解得 （2） 或 . （写对 1 个给 1 分） （2011 年海淀区一摸） 23．已知关于 的方程 . （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围； （3）设抛物线 与 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点关 于直线 的对称点恰好是点 M，求 的值. 答案：证明：（1） ， 所以方程总有两个实数根. 解：（2）由（1） ，根据求根公式可知, my x = 2y x = y kx b= + 2 1, 2. k b k b + = − + = − 1, 1. k b =  = − 1 0x− < < 2x > x 2 ( 3) 4 0x m x m− − + − = 2 ( 3) 4y x m x m= − − + − y y x= − m 2 2 2 24 ( 3) 4( 4) 10 25 ( 5)b ac m m m m m∆ = − = − − − = − + = − ≥0 2( 5)m∆ = − y xO 1 （备图） 方程的两根为： 即： ， , 由题意，有 ，即 . （3）易知，抛物线 与 y 轴交点为 M（0， ）,由（2）可知 抛物线与 x 轴的 交点为（1,0）和（ ,0），它们关于直线 的对称点分别为（0, ）和 （0, ）， 由题意，可得： 或 ，即 或 . （2011 年海淀区一摸） 24．已知平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 与直线 的一个公共点为 . （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点 P 在线段 OA 上，过点 P 作 y 轴的平行线交（1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N 在此抛物线上，若四边形 AOMN 恰好是梯形， 求点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积. 答案：解：（1）由题意，可得 及 ，解得 ， 所以，抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 . （2）设点 P 的坐标为 ，可得点 Q 的坐标为 ，则 23 ( 5) 2 m mx − ± −= 1 1x = 2 4x m= − 4 4 8m< − < 8 12m< < 2 ( 3) 4y x m x m= − − + − 4m − 4m − y x= − 1− 4 m− 1 4m− = − 4 4m m− = − 3m = 4m = 2 ( 1)y ax a x= − + y kx= (4,8)A 8 16 4( 1)a a= − + 8 4k= 1, 2a k= = 2 2y x x= − 2y x= 4( ,2 ) (0 )tt t ≤ ≤ 2( , 2 )t t t− y xO 1 （备图1） y xO 1 （备图 2） 所以，当 时， 的长度取得最大值为 4. （3）易知点 M 的坐标为（1，-1）.过点 M 作直线 OA 的平行线交抛物线于点 N，如图所示， 四边形 AOMN 为梯形.直线 MN 可看成是由直线 OA 向下平移 b 个单位得到，所以直 线 MN 的方程为 .因为点 M 在直线 上，解得 b =3,即直线 MN 的方 程为 ，将其代入 ，可得 即 解得 ， 易得 ， 所以，直线 MN 与抛物线的交点 N 的坐标为（3,3）. 如图，分别过点 M、N 作 y 轴的平行线交直线 OA 于点 G、H， 显然四边形 MNHG 是平行四边形.可得点 G（1,2），H（3,6）. 所以，梯形 AOMN 的面积 . 2 2 22 ( 2 ) 4 ( 2) 4PQ t t t t t t= − − = − = − − + 2t = PQ 2y x b= − 2y x b= − 2 3y x= − 2 2y x x= − 22 3 2x x x− = − 2 4 3 0x x− + = 1 1x = 2 3x = 1 1y = − 2 3y = 1 1 3(1 0) [2 ( 1)]2 2 2OMGS MG= × − × = × − − =△ 1 1 3(4 3) (6 3)2 2 2ANHS NH= × − × = × − =△ (3 1) 2 3 6MNHGS NH= − × = × =△ 9OMG MNHG ANHAOMNS S S S= + + =△ △ △梯形 x1O y (4,8)A 1 M N H G