北京市2013年中考数学试题（有答案）

北京市2013年中考数学试题（有答案）

‎2013 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 学校 姓名 准考证号 ‎ ‎1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 招 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。‎ 生 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 须 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ ‎6．转载请注明学而思培优首发。‎ 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的.‎ ‎1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出 了共计约 3 960 亿元的投资计划，将 3 960 用科学记数法表示应为 A． 39.6 ´102‎ ‎2． - 3 的倒数是 ‎4‎ A． 4‎ ‎3‎ ‎B． 3.96 ´103‎ B． 3‎ ‎4‎ ‎C． 3.96 ´104‎ C． - 3‎ ‎4‎ ‎D． 0.396 ´104‎ D． - 4‎ ‎3‎ ‎3．在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为 A． 1‎ ‎5‎ ‎B． 2‎ ‎5‎ ‎C． 3‎ ‎5‎ ‎D． 4‎ ‎5‎ ‎4．如图，直线 a ， b 被直线 c 所截， a ∥b ， Ð1 = Ð2 ，若 Ð3 = 40° ， 则 Ð4 等于 A． 40° B． 50° C． 70° D．80° ‎5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A ，在近 岸取点 B ，C ， D ，使得 AB ^ BC ，CD ^ BC ，点 E 在 BC 上， 并 且 点 A ， E ， D 在 同 一条 直线 上， 若测 得 BE = 20 m ， BE = 10 m ， CD = 20 m ，则河的宽度 AB 等于 A． 60 m B． 40 m C． 30 m D． 20 m ‎6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ‎‎ c ‎3‎ a ‎2 1‎ ‎4 b A B E C D A B C D ‎7．某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：‎ 时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎5‎ 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A． 6.2 小时 B． 6.4 小时 P C． 6.5 小时 D．7 小时 ‎8．如图，点 P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点， AB = 2 ，‎ 设弦 AP 的长为 x ，△APO ‎的面积为 y ，则下列图象中，能表示 y A O B 与 x 的函数关系的图象大致是 y y ‎1 1‎ ‎2 2‎ ‎1 2 x A ‎y ‎1‎ ‎2‎ ‎1 2 x B ‎y ‎1‎ ‎2‎ ‎1 2 x C ‎‎ ‎1 2 x D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）‎ ‎9．分解因式： ab2 - 4ab + 4a = .‎ ‎10．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解 析式， y = .‎ A M D ‎11．如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，‎ 若 AB = 5 ， AD = 12 ，则四边形 ABOM 的周长为 .‎ O ‎12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： y = -x - 1 ，双曲 B C 线 y = 1 ，在 l 上取一点 A ，过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点 x 1 1‎ y B1 ，过 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2 ，请继续操作并探究：过 A2‎ 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2 ，过 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A3 ，…，这样依次得到 l 上的点 A1 ， A2 ， A ，…， An ，….‎ 记点 An 的横坐标为 an ， 若 a1 = 2 ， 则 a2 = ，‎ a2013 = ；若要将上述操作无限次地进行下云，则 a1 不 ‎‎ ‎1 B1‎ A2‎ O 1 x A1 l 能取的值是 .‎ 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）‎ C ‎13．已知：如图，D 是 AC 上一点，AB = DA ，DE ∥AB ，ÐB = ÐDAE . E D 求证： BC = AE .‎ ‎14．计算： (1 - ‎‎ ‎3)0 + | - ‎2 | -2 cos 45° + ( 1 )-1 .‎ ‎4 A B 3x > x - 2 ，‎ ‎15．解不等式组：‎ ‎16．已知 x2 - 4x -1 = 0 ，求代数式 (2x - 3)2 - (x + y)(x - y) - y2 的值.‎ ‎17．列方程或方程组解应用题：‎ 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工 人，结果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿 化面积.‎ ‎18．已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x + 2k - 4 = 0 有两个不相等的实数根.‎ ‎（1）求 k 的取值范围；‎ ‎（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值.‎ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）‎ ‎19．如图，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E ，‎ 使 CE = 1 BC ，连接 DE ， CF .‎ ‎2‎ ‎A F D ‎（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；‎ ‎（2）若 AB = 4 ， AD = 6 ， ÐB = 60° ，求 DE 的长.‎ ‎20．如图 AB 是 O 的直径， PA ， PC 与 O 分别相切于点 A ，‎ C ，PC 交 AB 的延长线于点 D ，DE ^ PO 交 PO 的延长线 于点 E .‎ ‎（1）求证： ÐEPD = ÐEDO ；‎ ‎（2）若 PC = 6 ， tan ÐPDA = 3 ，求 OE 的长.‎ ‎4‎ ‎21．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18‎ ‎‎ B C E P C B A O D E 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。‎ 第六届至第九届园博会 园区陆地面积和水面面积统计图 ‎第九届园博会 植物花园区各花园面积分布统计图 ‎4‎ ‎3.5‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0‎ 第六届 第七届 第八届 第九届 届次 ‎‎ ‎3.7‎ ‎3‎ ‎‎ ‎2.5‎ ‎1‎ ‎‎ ‎1.7‎ ‎0.5‎ ‎‎ 陆地 紫薇园 面积 樱花园 水面 面积 月季园 ‎‎ 牡丹园‎ 丁香园 ‎（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，‎ 牡丹园面积为 平方千米；‎ ‎（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八 届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；‎ ‎（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车 位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。‎ 根据小娜的发现，请估计，将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停 车位数量（直接写出结果，精确到百位）。‎ 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游 客量 ‎（万人次）‎ 单日最多接待 游量 ‎（万人次）‎ 停车位 数量 ‎（个）‎ 第 七届 ‎0.8‎ ‎6‎ 约 ‎3000‎ 第 八届 ‎2.3‎ ‎8.2‎ 约 ‎4000‎ 第 九届 ‎8（预计）‎ ‎20（预计）‎ 约 ‎10500‎ 第 十届 ‎1.9（预计）‎ ‎7.4（预计）‎ 约 ‎22．阅读下面材料：‎ 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a (a > 2) 的正方形 ABCD 各边上分别截 取 AE = BF = CG = DH = 1 ，当 ÐAFQ = ÐBGM = ÐGHN = ÐDEP = 45° 时，求正方形 MNPQ 的面积。‎ R A F E D Q M P N B G E W A Q D H H S M P F N C B G C T 图1 图2‎ 小明发现，分别延长 QE ， MF ， NG ， PH 交 FA ， GB ， HC ， ED 的延长线于 点 R ， S ，T ，W ，可得△RQF ， △SMG ， △TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角 三角形（如图 2）。‎ 请回答：‎ A ‎（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 ‎（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ； D ‎（2）求正方形 MNPQ 的面积。 R 参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ 如图 3，在等边△ABC 各边上分别截取 AD = BE = CF ， Q F 再分别过点 D ， E ， F 作 BC ， AC ， AB 的垂线，得到等边 B E C ‎△RPQ ，若 S△EPQ =则 AD r 的长为 。 图3‎ 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）‎ ‎23．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx2 - 2mx - 2(m ≠0) 与 y 轴交于点 A ，其对称轴 与 x 轴交于点 B 。‎ ‎（1）求点 A ， B 的坐标；‎ ‎（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；‎ ‎（3）若该抛物线在 -2 < x < -1这一段位于直线 l 的上方，并且在 2 < x < 3 这一段位于直 线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-4 -3 -2 -1 O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎-6‎ ‎1 2 3 4 x ‎24．在△ABC 中， AB = AC ，ÐBAC = a（ 0°＜a＜60° ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD 。‎ ‎（1）如图 1，直接写出 ÐABD 的大小（用含 a 的式子表示）；‎ ‎（2）如图 2， ÐBCE = 150° ， ÐABE = 60° ，判断△ABE 的形状并加以证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接 DE ，若 ÐDEC = 45° ，求 a 的值。‎ A A D D E B C B C 图1 图2‎ ‎25．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙ C 上存在两个点 A, B ， 使得 ÐAPB = 60° ，则称 P 为⊙ C 的关联点。‎ ç 2 2 ÷ 已知点 D æ 1 , 1 ö ， E (0, -2) ， F (2 3, 0) 。‎ è ø ‎（1）当⊙O 的半径为 1 时，‎ ‎①在点 D, E, F 中，⊙O 的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎②过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G ，使 ÐGFO = 30° ，若直线 l 上的点 P (m, n) 是⊙O 的关联点，求 m 的取值范围;‎ ‎（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围。‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-4 -3 -2 -1 O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎-6‎ ‎1 2 3 4 x 一、选择题 ‎2013 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 参 考 答 案 ‎1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．A 二、填空题 ‎9． a(b - 2)2‎ ‎‎ ‎10． x2 + 1‎ ‎11．20 12． - 3 ， - 1 ，0，-1‎ ‎2 3‎ 三、解答题 ‎13．证明：∵ DE ∥AB ‎∴ ÐCAB = ÐADE 在 △ABC 与△DAE 中 ìÐCAB = ÐADE í ï AB = DA î ïÐB = ÐDAE ‎∴ △ADE ≌△BAC （ASA）‎ ‎∴ BC = AE ‎14．解：原式 = 1 + ‎=5‎ ‎‎ ‎2 - 2 ´ ‎‎ ‎2 + 4‎ ‎2‎ ‎15．解：由 3x > x - 2 ，得 x > -1‎ 由 x + 1 > 2x ，得 ‎3‎ x < 1‎ ‎5‎ ‎∴ -1 < x < 1‎ ‎5‎ ‎16．代数式化简得：‎ ‎4x2 -12x + 9 - x2 + y2 - y2‎ = 3x2 -12x + 9‎ = 3(x2 - 4x + 3)‎ ‎∵ x2 - 4x = 1代入得 ‎∴原式 = 12‎ ‎17．设每人每小时的绿化面积为 x 平方米.‎ 则有： 180 - 180 = 3‎ ‎6x 解得 x = 2.5‎ ‎(6 + 2)x 经检验： x = 2.5 是原方程的解 答：每人每小时的绿化面积为 2.5 平方米 ‎18．（1）△= 4 - 4(2k - 4) = 20 - 8k ‎∵方程有两个不等的实根 ‎∴ △> 0‎ 即 20 - 8k > 0‎ ‎∴ k < 5‎ ‎2‎ ‎（2）∵ k 为整数 ‎∴ 0 < k < 5 即 k = 1 或 2，‎ ‎2‎ ‎‎ x1、2 ‎ ‎‎ = -1 ± ‎‎ ‎5 - 2k ‎∵方程的根为整数，∴ 5 - 2k 为完全平方数 当 k = 1时， 5 - 2k = 3‎ k = 2 时， 5 - 2k = 1‎ ‎∴ k = 2‎ ‎19．（1）在 ABCD 中， AD∥BC ‎∵ F 是 AD 中点.‎ ‎∴ DF = 1 AD ，又∵ CE = 1 BC .‎ ‎2 2‎ ‎∴ DF = CE 且 DF ∥CE ‎∴四边形 CEDF 为平行四边形 ‎（2）过 D 作 DH ^ BE 于 H 在 ABCD 中 ‎∵ ÐB = 60° ‎∴ ÐDCE = 60° ‎∵ AB = 4‎ ‎∴ CD = 4‎ ‎∴ CH = 2 ， DH = 2 3‎ 在 CEDF 中， CE = DF = 1 AD = 3‎ ‎2‎ ‎∴ EH = 1‎ 在 Rt△DHE 中 DE = ‎(2 3)2 + 12 = 13‎ ‎20．（1）∵ PA 、 PC 与 O 分别相切于点 A 、 C ‎∴ ÐAPO = ÐEPD 且 PA ^ AO 即 ÐPAO = 90° ‎∵ ÐAOP = ÐEOD ， ÐPAO = ÐE = 90° ‎∴ ÐAPO = ÐEDO 即 ÐEPD = ÐEDO ‎（2）连结 OC ‎∴ PA = PC = 6‎ ‎∵ tan ÐPDA = 3‎ ‎4‎ ‎∴在 Rt△PAD 中 AD = 8 ， PD = 10‎ ‎∴ CD = 4‎ ‎∵ tan ÐPDA = 3‎ ‎4‎ ‎∴在 Rt△OCD 中， OC = OA = 3 ， OD = 5‎ ‎∵ ÐEPD = ÐEDO ‎∴ △OED ∽△DEP ‎∴ PD = DE = 10 = 2‎ OD OE 5 1‎ 在 Rt△OED 中 OE2 + DE2 = 52‎ ‎∴ OE = 5‎ ‎21．（1） 0.03‎ ‎（2）陆地面积 3.6 水面面积1.5 图略 ‎（3）3700‎ ‎22．（1） a ‎（2）四个等腰直角三角形面积和为 a2‎ 正方形 ABCD 的面积为 a2‎ ‎∴ S正方形MNPQ = S△ARE + S△DWH + S△GCT + S△SBF = 4S△ARE = 4 ´ 1 ´12‎ ‎2‎ = 2‎ ‎（3） 2‎ ‎3‎ ‎23．解：（1）当 x = 0 时， y = -2 .‎ ‎∴ A(0 ，- 2)‎ 抛物线对称轴为 x = - -2m = 1‎ ‎2m ‎∴ B(1，0)‎ ‎（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A(2 ，- 2)‎ 则直线 l 经过 A 、 B .‎ 没直线的解析式为 y = kx + b 则 ì2k + b = -2‎ í îk + b = 0‎ ‎，解得 ìk = -2‎ í îb = 2‎ ‎∴直线的解析式为 y = -2x + 2‎ ‎（3）∵抛物线对称轴为 x = 1‎ 抛物体在 2 < x < 3 这一段与在 -1 < x < 0 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在 -2 < x < -1这一段位于直线 l 的上方 在 -1 < x < 0 这一段位于直线 l 的下方 ‎∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 -1 ；‎ 当 x = -1 时， y = -2x(-1) + 2 = +4‎ 则抛物线过点（-1，4）‎ 当 x = -1 时， m + 2m - 2 = 4 ， m = 2‎ ‎∴抛物线解析为 y = 2x2 - 4x - 2 .‎ ‎24．解：（1） 30°- 1 a ‎2‎ ‎（2）△ABE 为等边三角形 证明连接 AD 、 CD 、 ED ‎∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD 则 BC = BD ， ÐDBC = 60° 又∵ ÐABE = 60° ‎∴ ÐABD = 60° - ÐDBE = ÐEBC = 30° - 1 a ‎2‎ 且 △BCD 为等边三角形.‎ 在 △ABD 与△ACO 中 ì AB = AC í ï AD = AD î ïBD = CD ‎∴ △ABD ≌△ACD （SSS）‎ ‎∴ ÐBAD = ÐCAD = 1 ÐBAC = 1 a ‎2 2‎ ‎∵ ÐBCE = 150° ‎∴ ÐBEC = 180° - (30° - 1 a ) - 150° = 1 a ‎2 2‎ 在 △ABD 与△EBC 中 A ìÐBEC = ÐBAD í ïÐEBC = ÐABD î ïBC = BD D ‎∴ △ABD ≌△EBC （AAS） E ‎∴ AB = BE B C ‎∴ △ABE 为等边三角形 ‎（3）∵ ÐBCD = 60° ， ÐBCE = 150° ‎∴ ÐDCE = 150° - 60° = 90° 又∵ ÐDEC = 45° ‎∴ △DCE 为等腰直角三角形 ‎∴ DC = CE = BC ‎∵ ÐBCE = 150° ‎∴ ÐEBC = (180° - 150°) = 15° ‎2‎ 而 ÐEBC = 30° - 1 a = 15° ‎2‎ ‎∴a = 30° ‎25. 解：(1) ① D、E ；‎ ‎② 由题意可知，若 P 点要刚好是圆 C 的关联点；‎ 需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角度为 60° ； 由图1 可知 ÐAPB = 60° ，则 ÐCPB = 30° ，‎ 连接 BC ，则 PC = ‎BC sin ÐCPB ‎‎ = 2BC = 2r ；‎ ‎∴若 P 点为圆 C 的关联点；则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 £ d £ 2r ；‎ 由上述证明可知，考虑临界位置的 P 点，如图 2； P 点 P 到原点的距离 OP = 2´1= 2 ；‎ 过 O 作 x 轴的垂线 OH ，垂足为 H ；‎ t anÐOGF = OF = 2 3 = 3 ； A B OG 2‎ ‎∴ ÐOGF = 60° ； C ‎∴ OH = OG×sin 60° = 3 ；‎ ‎∴ sin ÐOPH = OH = 3 ；‎ OP 2‎ ‎∴ ÐOPH = 60° ；‎ 易得点 P1 与点 G 重合，过 P2 作 P2 M ^ x 轴于点 M ； 易得 ÐP2 OM = 30° ；‎ ‎∴ OM = OP2 ×cos30° = 3 ；‎ ‎‎ 图1‎ y G(P1) H O M F x 图2‎ 从而若点 P 为圆 O 的关联点，则 P 点必在线段 P1 P2 上；‎ ‎∴ 0 £ m £ 3 ；‎ ‎(2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，‎ 则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 3；‎ 即恰好 E、F 点为圆 K 的关联时，则 KF = 2KN = 1 EF = 2 ；‎ ‎2‎ ‎∴此时 r =1 ； y 故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点， F 这个圆的半径 r 的取值范围为 r ³1. x K N E 图3‎ ‎ ‎