中考针对性训练——几何探究压轴题有答案详解

中考针对性训练——几何探究压轴题有答案详解

针对性训练-----几何探究题 1.如图 1,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP=AB，PB=PC，连结 AC、PD. （1）求证:△APB≌△DPC；（2）求证:∠PAC= ∠BAP；（3）若将原题中的正方形 ABCD 变为等腰梯形 ABCD(如图 2),AD∥BC,且 BA=AD=DC,形内一点 P 仍满足 AP=AB，PB=PC,试问(2) 中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由. 2 1 A B D C P 图 1 P C DA B 图 2② 2．如图 1，在 中， 为锐角，点 为射线 上一点，联结 ，以 为 一边且在 的右侧作正方形 ． （1）如果 ， ， ①当点 在线段 上时（与点 不重合），如图 2，线段 所在直线的位置关 系为 __________ ，线段 的数量关系为 ； ②当点 在线段 的延长线上时，如图 3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果 ， 是锐角，点 在线段 上，当 满足什么条件 时， （点 不重合），并说明理由． (3）若 AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交 于点 P，求线段 CP 长的最大值。 ABC△ ACB∠ D BC AD AD AD ADEF AB AC= 90BAC = ∠ D BC B CF BD、 CF BD、 D BC AB AC≠ BAC∠ D BC ACB∠ CF BC⊥ C F、 2 图 1 A B D F E C 图 2 A B D E C F F D 图 3 A B DC E 图 2 B C A D E B C A G D F E 图 1 3.如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠GCE＝45°，则 GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识， 完成下题： 如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E 是 AB 上 一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求 DE 的长． 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点， 点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q，过点 Q 作 QR∥BA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ＝x，QR＝y． （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点 P，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若 不存在，请说明理由． A B C D E R P H Q A B C D E RP H Q A B C D E R P H Q A BCD E M N 图18 A B C D E M N 图19图17 N M E D C B A 5．如图 17，点 A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC ＝k·AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N． ⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明． 说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再 完成你的证明，选取①比选原题少得 2 分，选取②比选原题少得 5 分． ① 如图 18，k＝1；②如图 19，AB＝AC． ⑵若△ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？ 如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形， 并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系． 6.已知， 是经过 顶点 的一条直线， ． 分别是直线 上两点， 且 ． （1）若直线 经过 的内部，且 在射线 上，请解决下面两个问题： ①如图 9-1，若 ， ， 则 ； （填“ ”，“ ”或“ ”）； ②如图 9-2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件 ， 使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图 9-3，若直线 经过 的外部， ，请提出 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． CD BCA∠ C CA CB= E F， CD BEC CFA α∠ = ∠ = ∠ CD BCA∠ E F， CD 90BCA∠ =  90α∠ =  BE CF EF BE AF− > < = 0 180BCA< ∠ <  α∠ BCA∠ CD BCA∠ BCAα∠ = ∠ EF BE AF， ， A B C E F D D A B C E F A DF C E B 图 9-1 图 9-2 图 9-3 7．在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时， BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系． 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量 关系是 ； 此时 ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示）． ABC∆ ABC °=∠ 60MDN °=∠ 120BDC AMN∆ ABC∆ = L Q ≠ x x G B D C E F A 参考答案 1. (1)略（2）略 （3）设 ， 得 即 2．（1）①垂直，相等；……………1 分 ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立．………………2 分 由正方形 ADEF 得 AD＝AF ，∠DAF＝90º． ∵∠BAC＝90º，∴∠DAF＝∠BAC ， ∴∠DAB＝∠FAC， 又 AB＝AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF＝BD ， ∠ACF＝∠ABD． ∵∠BAC＝90º， AB＝AC ， ∴∠ABC＝45º，∴∠ACF＝45º， ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90º． 即 CF⊥BD.…………5 分 （2）当∠ACB＝45º 时，CF⊥BD（如图）． …………6 分 理由：过点 A 作 AG⊥AC 交 CB 或 CB 的延长线于点 G， 则∠GAC＝90º， ∵∠ACB＝45°,∠AGC＝90°—∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠AGC，∴AC＝AG， ∵点 D 在线段 BC 上，∴点 D 在线段 GC 上，由（1）①可知 CF⊥BD. …7 分 （3）如图：作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC ∴ = 设 CD 为 x（0＜x＜3）则 DQ=CQ－CD=4－x 则 = ∴PC= (－x2+4x)=－ (x－2)2+1≥1 当 x=2 时，PC 最长，此时 PC=1 °=∠°=∠ yBAPxPAC , °−=∠=∠ )60( xDCACAD则 °=∠ yPDC xyxX −+=+ 6060型得，由 xy 2= BAPPAC ∠=∠ 2 1 2 DQ PC AQ CD x PC −4 4 x 4 1 4 1 B C A G D F E 图 1 3.（1）证明：如图 1，在正方形 ABCD 中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF．…….3 分 （2）GE＝BE＋GD 成立．理由是： ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD 即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°． ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ……..4 分 ∴GE＝GF ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．…..5 分 （3）解：过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G． 在直角梯形 ABCD 中，∵AD∥BC ∴∠A＝∠B＝90°． 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形 ABCG 为正方形． ………6 分 ∴AG＝BC＝12． 已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．.. 7 分 设 DE＝x，则 DG＝x－4， ∴AD＝AG－DG=12－（x－4）=16－x． 在 Rt△AED 中， ∵ ，即 ． 解这个方程，得：x＝10． ∴DE＝10． 4. （ 1 ） ， ， ， ． 点 为 中 点 ， ． ， ． ， ， ．---------------2 分 （2） ， ． ， ， ， ，即 关于 的函数关系式为： ． -------5 分 （3）存在，分三种情况： ①当 时，过点 作 于 ，则 ． ， ， ．  RtA∠ = ∠ 6AB = 8AC = 10BC∴ =  D AB 1 32BD AB∴ = = 90DHB A∠ = ∠ =  B B∠ = ∠ BHD BAC∴△ ∽△ DH BD AC BC ∴ = 3 12810 5 BDDH ACBC ∴ = = × = QR AB ∥ 90QRC A∴∠ = ∠ =  C C∠ = ∠ RQC ABC∴△ ∽△ RQ QC AB BC ∴ = 10 6 10 y x−∴ = y x 3 65y x= − + PQ PR= P PM QR⊥ M QM RM= 1 2 90∠ + ∠ =  2 90C∠ + ∠ =  1 C∴∠ = ∠ 222 AEADDE += ( ) 222 816 +−= xx B C A D E G A B C D E R P H Q M 2 1 ， ， ， ． --------8 分 ②当 时， ， ． -------10 分 ③当 时，则 为 中垂线上的点， 于是点 为 的中点， ． ， ， ． -----13 分 综上所述，当 为 或 6 或 时， 为等腰三角形． -----14 分 5．（1）∠ANB+∠BAE=180º．……1 分 证明：（法一）如图 1，延长 AN 到 F，使 MF=AM，连接 DF、EF. ………………2 分 ∵点 M 是 DE 的中点，∴DM=ME， ∴四边形 ADFE 是平行四边形 ，……………3 分 ∴AD∥EF，AD=EF， ∴∠DAE+∠AEF =180º， ∵∠BAC+∠DAE=180º， ∴∠BAC=∠AEF ，………4 分 ∵AB=kAE，AC=kAD， ∴ ， ∴ ……6 分 ∴△ABC∽△EAF ∴∠B=∠EAF …………8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º 即∠ANB+∠BAE=180º，…………10 分 （法二）如图 2，延长 DA 到 F，使 AF=AD，连接 EF.………2 分 ∵∠BAC+∠DAE=180º，∠DAE +∠EAF =180º， ∴∠BAC=∠EAF，………………3 分 ∵AB=kAE，AC=kAD， ∴ ， ∴ ，………4 分 ∴△ABC∽△AEF，………5 分 ∴∠B=∠AEF，………6 分 ∵点 M 是 DE 的中点，∴DM=ME， 8 4cos 1 cos 10 5C∴ ∠ = = = 4 5 QM QP ∴ = 1 3 6 42 5 12 5 5 x − +  ∴ = 18 5x∴ = PQ RQ= 3 1265 5x− + = 6x∴ = PR QR= R PQ R EC 1 1 22 4CR CE AC∴ = = = tan QR BAC CR CA = = 3 6 65 2 8 x− + ∴ = 15 2x∴ = x 1 8 5 15 2 PQR△ AD AC AE AB = EF AC AE AB = AD AC AE AB = AF AC AE AB = A B C D E RP H Q A B C D E R P H Q M A D N EB C F 图 1 M A D N EB C F K H 图 2 又∵AF=AD， ∴AM 是△DEF 的中位线， ∴AM∥EF，……7 分 ∴∠NAE=∠AEF， ∴∠B=∠NAE，……8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º， ∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º， 即∠ANB+∠BAE=180º．………10 分 (2)变化．如图 3（仅供参考），∠ANB=∠BAE．……12 分 选取（ⅰ），如图 4. 证明：延长 AM 到 F，使 MF=AM，连接 DF、EF. ∵点 M 是 DE 的中点，∴DM=ME ∴四边形 ADFE 是平行四边形，…………4 分 ∴AD∥FE，AD=EF， ∴∠DAE+∠AEF =180º， ∵∠BAC+∠DAE=180º， ∴∠BAC=∠DAE， ………6 分 ∵AB=kAE，AC=kAD， ， ∴AB=AE ，AC=AD， ∴AC=EF，……7 分 ∴△ABC≌△EAF， ∴∠B=∠EAF， …8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º， ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º， 即∠ANB+∠BAE=180º．……10 分 选取（ⅱ），如图 5. 证明：∵AB=AC，∴∠B= （180º-∠BAC），…………3 分 ∵∠BAC+∠DAE=180º， ∴∠DAE=180º-∠BAC， ∴∠B= ∠DAE， ∵AB=kAE，AC=kAD， ∴AE=AD， ∵AM 是△ADE 的中线，AB=AC， ∴∠EAM= ∠DAE， ∴∠B=∠EAM，………4 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º， ∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º， 即∠ANB+∠BAE=180º．…5 分 1=k 2 1 2 1 2 1 A B C D E M N F 图 4 A B C D M N 图 5 E 图 3 A B C D E M N 6.（1）① ； ； 2 分 ②所填的条件是： ． 4 分 证明：在 中， ． ， ． 又 ， ． 又 ， ， ． ， ． 又 ， ． 7 分 （2） ． 7.（I）如图 1， BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时 ． （II）猜想：结论仍然成立． 证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE． ,且 ． ． 又 是等边三角形， ． 在 与 中： (SAS) ． DM=DE, 在 与 中： (SAS) MN=NE=NC+BM 的周长 Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB 而等边 的周长 L=3AB . （III）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ， 则 Q=2 + （用 、L 表示）． = = 180BCAα∠ + ∠ =  BCE△ 180 180CBE BCE BEC α∠ + ∠ = − ∠ = − ∠  180BCA α∠ = − ∠ CBE BCE BCA∴∠ + ∠ = ∠ ACF BCE BCA∠ + ∠ = ∠ CBE ACF∴∠ = ∠ BC CA= BEC CFA∠ = ∠ ( )BCE CAF AAS∴△ ≌△ BE CF∴ = CE AF= EF CF CE= − EF BE AF∴ = − EF BE AF= + 3 2= L Q  CDBD = 120=∠BDC ∴ 30=∠=∠ DCBDBC ABC∆ ∴ 90MBD NCD∠ = ∠ =  MBD∆ ECD∆    = ∠=∠ = DCBD ECDMBD CEBM ∴ ≅∆MBD ECD∆ ∴ CDEBDM ∠=∠ ∴ 60=∠−∠=∠ MDNBDCEDN MDN∆ EDN∆    = ∠=∠ = DNDN EDNMDN DEDM ∴ ≅∆MDN EDN∆ ∴ AMN∆ ABC∆ ∴ 3 2 3 2 == AB AB L Q x x L3 2 x G HD 24--2 E Q P N A F M BC 8.如图 24－1，正方形 ABCD 和正方形 QMNP， M 是正方形 ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F， QM 交 AD 于 E． （1）猜想：ME 与 MF 的数量关系 （2）如图 24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变， 探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系，并加以证明． （3）如图 24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且 AB:BC=1:2，其它条件不变， 探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系，并说明理由． （4）如图 24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ， AB:BC = m，其它条件不变，求出 ME：MF 的值。（直接写出答案） 8.（1）ME=MF ……………1 分 （2）ME=MF． ………… 2 分 证明：过点 M 作 MH⊥AD 于 H，MG⊥AB 于 G，连结 AM． ∵M 是菱形 ABCD 的对称中心，∴O 是菱形 ABCD 对角线的交点， ∴AM 平分∠BAD，∴MH=MG ∵∠M=∠B，∴∠M+∠BAD=180º，又∠MHA=∠MGF=90º， ∴∠HMG+∠BAD=180º．∴∠EMF=∠HMG， ∴∠EMH=∠FMG．∵∠MHE=∠MGF， ∴△MHE≌△MGF，∴ME=MF．……4 分 （3）ME:MF=1:2．…………………………5 分 证明：过点 M 作 MH⊥AD 于 H，MG⊥AB 于 G， ∵∠M=∠B，∴∠A=∠EMF=90º，又∵∠MHA=∠MGA=90º， ∴∠HMG=90º．∴∠EMF=∠HMG，∴∠EMH=∠FMG． ∵∠MHE=∠MGF，∴△MHE∽△MGF ，∴ ． --------6 分ME MH MF MG = 24--1 Q P N F E D C B M A 24--3 D E Q P A N F B M C D 24--2 E Q P N A F M BC F E Q M D N P B A C G H 24--3 D E Q P A NF B M C 又∵M 是矩形 ABCD 的对称中心，∴O 是矩形 ABCD 对角线的中点， 又∵MG⊥AB，∴MG∥BC，∴ 同理可得 ，∴ME:MF=1:2． …………7 分 (4) ME:MF=m ……………………8 分 9.在△ABC 中,AC=BC=2,∠C=90o，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交射线 AC，CB 于 D，E 两点,如图 1,2,3 是 旋转三角板得到的图形中的 3 种情况，，研究： ⑴三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图 2 加以证明。 ⑵三角板绕点 P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时 CE 的长）；若不能，请说明理由。 ⑶若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处,且 AM:MB=1:3，和前面一样操作,试问线 段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图 4 加以证明。 9、（1）PD=PE （提示：连结 PC，证△PDC≌△PEB 可得） （2）能，CE 的长： （3）MD：ME=1：3 10．图 1 是边长分别为 4 3和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 C′D′E′叠放在一起（C 与 C′重合）。 （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点 C 顺时针旋转 30°得到△CDE，连结 AD、BE，CE 的延长线交 AB 于 F（图 2）； 探究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。 （2）操作：将图 2 中的△CDE，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移， 1 2MG BC= 1 2MH AB= 2210 ±或或 P 图 1 A BC D E P 图 2 A BC D E P 图 3 A BC D E M 图 4 A B C D E 平移后的△CDE 设为△PQR（图 3）； 请问：经过多少时间，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积恰好等于 ？ （3）操作：图 1 中△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点 C 落在 C′E′的中点， 边 BC 交 D′E′于点 M，边 AC 交 D′C′于点 N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90，图 4）； 探究：在图 4 中，线段 C N·E M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求 出 C N·E M 的值，如果有变化，请你说明理由。 10.（1）BE=AD 证明：∵△ABC 与△DCE 是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD（也可用旋转方法证明 BE=AD） （2）设经过 x 秒重叠部分的面积是 ，如图在△CQT 中 ∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴ RT=3－x ∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90° 由已知得 ×32 － （3－x）2= x ＝1，x ＝5，因为 0≤x≤3，所以 x=1 （3）C′N·E′M 的值不变 证明：∵∠ACB=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120° 7 3 4 7 3 4 3 4 3 8 7 3 4 1 2 Q P R A B C F 图3 T S ∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C= × = 11．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB = AC，点 D、E 分别为线段 BC 上 两动点，若∠DAE=45°.探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABE′，连结 E′D， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间存在的数 量关系式，直接写出你的猜想； 图（1） （2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线 段 CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明. 图（2） （3）已知：如图(3)，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且∠DCE=30°，请你找出 一个条件，使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶 角的度数； 11.（1） DE2=BD2+EC2 ……1 分 图（3） （2）关系式 DE2=BD2+EC2 仍然成立 ………5 分 证明：将△ADB 沿直线 AD 对折， 得△AFD，连 FE ∴ △AFD≌△ABD ……………6 分 ∴AF=AB，FD=DB / / / / E M E C C C C N = 3 2 3 2 9 4 ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45° ∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE ∴△AFE≌△ACE ∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°…………7 分 ∴在 Rt△DFE 中 DF2＋FE2=DE2 即 DE2=BD2+EC2 ……8 分 （2）当 AD=BE 时，线段 DE、AD、EB 能 构成一个等腰三角形. 如图②，与（1）类似，以 CE 为一边，作 ∠ECF=∠ECB，在 CF 上截取 CF=CB，可得 △CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA. ∴AD=DF，EF=BE. 图② ∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5 分 若使△DFE 为等腰三角形，只需 DF=EF，即 AD=BE. ∴当 AD=BE 时，线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6 分 且顶角∠DFE 为 120°. 京模 12.如图 1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点 E 在 AB 上， F 是线段 BD 的中点，连结 CE、FE. （1）请你探究线段 CE 与 FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转，使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC 在同一条直线上（如图 2），连结 BD，取 BD 的中点 F，问（1）中的结论是否仍 然成立，并说明理由； （3）将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图 3），连结 BD，取 BD 的 中点 F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 12 F ED C A B B Ｐ Ｍ Ｎ D C E A 图3 F 图2 B D C F E Ｇ A 12．（1）线段 CE 与 FE 之间的数量关系是 CE= FE．………2 分 （2）（1）中的结论仍然成立． 如图 2，连结 CF，延长 EF 交 CB 于点 G． ∵ ∴ DE∥BC ． ∴ ∠ EDF= ∠ GBF． 又∵ ，DF=BF，∴ △EDF≌△GBF． ∴ EF=GF，BG＝DE＝AE． ∵ AC=BC， ∴ CE=CG． ∴∠EFC=90°，CF=EF． ∴ △CEF 为等腰直角三角形． ∴∠CEF=45°．∴CE= FE ………5 分 （3）（1）中的结论仍然成立． 如图 3，取 AD 的中点 M,连结 EM，MF,取 AB 的中点 N,连结 FN，CN， CF． ∵DF=BF， ∴ ∵AE=DE，∠AED=90°, ∴AM=EM，∠AME=90°. ∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴ ，∠ANC=90°. ∴ ，FM=AN =CN. ∴四边形 MFNA 为平行四边形. ∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA. ∴∠EMF=∠FNC. ∴△EMF≌△FNC. ∴FE = CF，∠EFM=∠FCN. 由 ，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°. ∴∠FCN＋∠PFC=90°. ∴∠EFM＋∠PFC=90°. 图1 图2 F CC B D B E F E D B A 图3 E AA F C D 2 90 ,ACB AED∠ = ∠ = ° EFD GFB∠ = ∠ 2 1// , .2FM AB FM AB=且 1 2CN AN AB= = //MF AN //MF AN ∴∠EFC=90°. ∴ △CEF 为等腰直角三角形． ∴∠CEF=45°. ∴ CE= FE．……………8 分 另法:延长 CF 至 G, 使 FG=CF, 连结 EG 与 DG. 证△DFG≌△FBC. 从而 DG=CB=AC, 再证△ACE≌△DEG 13.如图①，已知△ABC 中，AB=AC，点 P 是 BC 上的一点，PN⊥AC 于点 N，PM⊥AB 于点 M，CG ⊥AB 于点 G，则 CG=PM+PN． 　　(1)如图②，若点Ｐ在ＢＣ的延长线上， 则ＰＭ、ＰＮ、ＣＧ三者是否还有上述关系， 若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想； 　　(2)如图③，AC 是正方形 ABCD 的对角线,AE=AB, 点 P 是 BE 上任一点, PN⊥AB 于点 N， PM⊥AC 于点 M，猜想ＰＭ、ＰＮ、ＡＣ有什么关系；（直接写出结论） 　　(3)观察图①、②、③的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有ＰＭ、Ｐ Ｎ、ＣＧ这样的线段，并满足图①或图②的结论，写出相关题设的条件和结论. 　13．（1）猜想ＣＧ=ＰＭ－ＰＮ． 　　证明：过 C 点作 CE⊥PM 于 E. 　∵PN⊥AB，CG⊥AB，∴四边形 CGME 是矩形. 　　∴ME=CG，CE∥AB． 　　∴∠B=∠ECP. 　　∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠PCN. 　　∴∠ECP=∠PCN.　　∵∠PNC=∠PEC=90°，PC=PC，∴△PNC≌△PEC. ∴PN=PE . 　　∴CG= ME=PM－PE=PM－PN . ………4 分 2 图 2图 1 　　（2）PM+PN= AC . 　　证明：连接 BD，交 AC 于 O，过点 P 作 PF⊥BD 于 F. 　　∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠COB=90°，OB=OC= AC. 　　∵PM⊥AC，∴四边形 PFOM 为矩形.　∴MP=OF，PF∥AC.∴∠OEP=∠FPB. 　　∵AE=AB，∴∠OEP=∠ABP. 　　∴∠ABP=∠FPB. 　　∵PB=PB，∠PFB=∠PNB=90°，∴△PFB≌△BNP. 　　∴BF=PN.∴OB=OF+FB= PM+PN= AC. ………………8 分 　　（3）点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差） 等于这个等腰三角形腰上的高.如图③，④都有 BG=PM+PN. 　　如图⑤ＣＧ=ＰＭ－ＰＮ. ………………10 分