中考数学总复习教案精
2010年中考数学复习教案
第一讲 实数的有关概念
例1 ①a的相反数是-,则a的倒数是_______．
②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:
则化简│b-a│+=______．
③（2006年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．
例2.(-2)3与-23( )．
(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16
分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A
例3.-的绝对值是 ；-3 的倒数是 ；的平方根是 ．
分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案：，-2/7，±2/3
例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D
A．-3与 B．｜-3｜与一 C．｜-3｜与 D．-3与
分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念
掌握实数的分类
例1 下列实数、sin60°、、（）0、3.14159、-、（-）-2、中无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
第二讲 实数的运算
【例题经典】
例1、（宝应 ）若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18
Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。选（A）
例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( )
A．5．90 ×105千米 B．5．90 ×106千米
C．5．89 ×105千米 D．5．89×106千米
分析：本题考查科学记数法 答案：A
例3.化简的结果是( )．
(A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2)
分析：考查实数的运算。答案：B
例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．
①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：C
例5 （2006年成都市）计算：-+（-2）2×（-1）0-│-│．
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已知1克大米约52粒)
如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大米
分析：本题考查实数的运算。答案：25
例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法．
分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和
答案：89
例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
计算：= ．
分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98！答案：9900
第二章 代数式与中考
第一讲 整 式
【例题经典】
代数式的有关概念
例1、(日照市)已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B）
同类项的概念
例1 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．
【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可
例2（05宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）
A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy
评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。选（B）
幂的运算性质
例1（1）am·an=_______（m，n都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：a0=1（a≠0），a-p=（a
≠0，p是正整数）；
（3）（am）n=______（m，n都是正整数）；（4）（ab）n=________（n是正整数）
（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．（6）完全平方公式：（a±b）2=__________．
【点评】能够熟练掌握公式进行运算.
例2.下列各式计算正确的是( )．
(A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a3·2a2=8a6 (D)a8÷a2=a6
分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D
例3.下列各式中，运算正确的是 ( )
A．a2a3=a6 B．(-a+2b)2=(a-2b)2
c．(a+b≠O) D．
分析：考查学生对幂的运算性质 答案：B
例4、(泰州市)下列运算正确的是
A． ; B．(－2x)3=－2x3 ;
C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ;
D．
评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。选 （D）
整式的化简与运算
例5 计算：9xy·(-x2y)= ；
（2006年江苏省）先化简，再求值：
[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．
【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．
第二讲 因式分解与分式
【例题经典】
掌握因式分解的概念及方法
例1、分解因式：
①x3-x2=_______________________;
②（2006年绵阳市）x2-81=______________________;
③（2005年泉州市）x2+2x+1=___________________;
④a2-a+=_________________;
⑤（2006年湖州市）a3-2a2+a=_____________________.
【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。
例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的结果是 ．．
分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)
例3.分解因式：a2—4a+4=
分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2
分 式
知识点:
分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算
大纲要求:
了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。
考查重点与常见题型:
1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ）
（A）-40 =1 (B) (-2)-1= (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-1
2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：
化简并求值：
. +(–2),其中x=cos30°,y=sin90°
知识要点
1．分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
（M为不等于零的整式）
3．分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
(异分母相加，先通分)；
4．零指数
5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
熟练掌握分式的概念：性质及运算
例4 （1）若分式的值是零，则x=______．
【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0．
（2）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠-4且x≠-2 B．x=-4或x=2
C．x=-4 D．x=2
（3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．不变 D．扩大2倍
例5：化简()÷的结果是 ．
分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-
例6.已知a=，求的值．
分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。
答案：a=2-<1，原式=a-1+=3．
例7.已知|a-4|+ =0，计算的值
答案：由条件，得a-4=0且b-9=0 ∴a=4 b=9
原式=a2/b2
当a=4，6=9时，原式=16/81
例8.计算(x—y+)(x+y-)的正确结果是( )
A y2-x2 B.x2-y2 c．x2-4y2 D．4x2-y2
分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B
因式分解与分式化简综合应用
例1（2006年常德市）先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．
例2、（05 河南）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
点评：化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。
第三讲 数的开方与二次根式
【例题经典】
理解二次根式的概念和性质
例1 （1）（2006年南通市）式子有意义的x取值范围是________．
【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．
（2）已知a为实数，化简．
【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．
掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法
例2（2006年海淀区）下列根式中能与合并的二次根式为（ ）
A．
【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．
掌握二次根式化简求值的方法要领
例3 （2006年长沙市）先化简，再求值:
若a=4+，b=4-，求．
【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．
第三章方程（组）与中考
第一讲 一次方程（组）及应用
【例题经典】
掌握一元一次方程的解法步骤
例1 解方程：x-
【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，五步进行
掌握二元一次方程组的解法
例2 （2006年枣庄市）已知方程组的解为，求2a-3b的值．
【点评】将代入原方程组后利用加减法解关于a，b的方程组．
例3、（安徽）某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每播1次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：
⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？
⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？
点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。
解：（1）设15s广告播放x次，30s广告播放y次。
15x+30y=120 而x,y均为不小于2的正整数，
∴ 或
（2）方案1 4.4万元；方案2 4.2万元。
一次方程的应用
例1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29 cm的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2．5 cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为X cm，则x为 ( )
A．2 B．2．15 C．2．33 D．2．36
分析：考查列一元一次方程并解方程
答案：A
例2（2006年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？
【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．
例4.小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m2．最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工30元； (1个工人干1天是一个工)；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．
请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算(最省)．
分析：考查方程和方程的应用，方案一：5*10*30+4800=6300元 方案二：4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元
答案：方案二
第二讲 一元二次方程及应用
【例题经典】
掌握一元二次方程的解法
例1 解方程：
（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2-2x+2=0
例2.用换元法解方程(x-)2-3x++2=0时，如果设x-=y，那么原方程可转化为( )D
(A)y2+3y+2=O (B)y2—3y-2=0 (C)y2+3y-2=0 (D)y2-3y+2=0
分析：考查用换元法解方程 答案：D
例3.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p的值是 ．
分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1
答案：±2
例4.关于x的一元二次方程的两根为，，则分解因式的结果为_________________________；
分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将x1、x2的值代入方程求出b、c
答案：(x-1)(x-2)
会判断一元二次方程根的情况
例1 不解方程判别方程2x2+3x-4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根； B．有两个不相等的实数根；
C．只有一个实数根； D．没有实数根
【点评】根据b2-4ac与0的大小关系来判断
例2 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根
(1) 求k的取值范围;
(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值. 点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的整数解等知识点。
一元二次方程的应用
例3 （2006年包头市）某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x，即60+60（1+x）+60（1+x）2=200
第三讲 分式方程及应用
【例题经典】
理解分式方程的有关概念
例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）
①=5 ②=5 ③x2-5x=0 ④+3=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．
掌握分式方程的解法步骤
例2 解方程：
（1）（2006年成都市）；
（2）（2006年绍兴市）。
【点评】注意分式方程最后要验根。
例3.解方程：
分析：考查解分式方程 答案： x1=3，x2=4/3都是原方程的根
例4（1）、用换元法解分式方程＋＝3时，设＝y，原方程变形为（ ）
（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0
（2）、用换元法解方程x2＋8x＋＝23，若设y＝，则原方程可化为（ ）
（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0
分式方程的应用
例5（2006年长春市）某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．
【点评】要用到关系式：工作效率＝。
例6某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10 200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天．但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队?为什么?
解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，则
(a+b)×6=10200 a-b=300解：设甲队独做需x天完成，则乙队独做(x+5)天完成．
由题意，列方程．
整理得x2-7x-30=O．解之得x1=10，x2=-3．
经检验x1'x2都是原方程的根，但x2=-3不合题意舍去．
∴甲队独做需10天完成，
乙队独做需15天完成． 解之得a=1000 b=700
所以甲队独做的费用为1000×10=10 000(元)，
乙队独做的费用为700×15=10 500(元)．
∵10 500>10 000．
．若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队．
例7为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11．8万立方米，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万立方米．
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?
(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石，运输公司派出A型、B型两种载重汽车，A型汽车6辆、B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆、B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完．那么每辆A型汽车、每辆B型汽车每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载)
解：(1)设甲水厂的日供水量是x万立方米，则乙水厂的日供水量是3x万立方米，丙水厂的日供水量是(x/2+1)万立方米．
由题意得：x+3x+x/4+1=11．8 解得：x=2．4
答：甲水厂日供水量是2．4万立方米，乙水厂日供水量是7．2万立方米，丙水厂日供水量是2．2万立方米．
(2)每辆A型汽车每次运土石lO吨、每辆B型汽车每次运土石15吨．
第四讲 列出方程(组)解应用题
一、填空题
1.某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是
2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元
3.某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元
4.某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为
5.在农业生产上，需要用含盐16％的盐水来选种，现有含盐24％的盐水200千克，需要加水多少千克？
解：设需要加水x千克根据题意，列方程为 ，解这个方程，得 答： .
6.某电视机厂1994年向国家上缴利税400万元，1996年增加到484万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率
7.某种商品的进货价每件为x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10％（相对于进价），则x＝ 元
8．一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元.
(1)设这个学校初三年级共有x名学生，则(a)x的取值范围应为
(b)铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元
（用含x，m的代数式表示）
(2)若按批发价每购15支比按零售价每购15少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名学生，并确定m的值。
二．列方程解应用题
1． 某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？
2． 我省1995年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为8万人，1997年上升到9万人，求则两年平均增长的百分率（取=1.41）
3． 甲、乙两队完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快15天，如果甲单独先工作10天，再由乙单独工作15天，就可完成这项工作的，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？
4． 某校校长暑期将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠（即按全票价的60％收费），若全票为240元
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）
(2)当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠？
5． 现有含盐15％的盐水内400克，张老师要求将盐水质量分数变为12％。某同学由于计算失误，加进了110克的水，请你通过列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加了多少克的水？
6． 甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲的？
7． 中华中学为迎接香港回归，从1994年到1997年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树棵数的年增长率相同，那么该校1997年植树多少棵？
8． 要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？
9． 永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额各是多少？
10．小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年期存入。若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
11.某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？
12.某车间在规定时间内加工130个零件，加工了40个零件后，由于改进操作技术，每天比原来计划多加工10个零件，结果总共用5天完成任务。求原计划每天加工多少个零件?
13.东西两车站相距600千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相向而行，相遇后，甲车以原速，乙车以每小时比原速快10千米的速度继续行驶，结果，当乙车到达西站1小时后，甲车也到达东站，求甲、乙两车相遇后的速度？
14.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时。如果单独开放甲管10小时后，加入乙管，需要6小时可把水池注满。问单独开放一个水管，各需多少小时才能把水池注满？
15.某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），1996年由于在销售管理上进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，（1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？
（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？
16.甲、乙两辆汽车同时从A地出发，经C地去B地，已知C地离B地180千米，出发时甲车每小时比乙车多行驶5千米。因此，乙车经过C地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从C地起将车速每小时增加10千米，结果两从同时到达B地，求（1）甲、乙两从出发时的速度；（2）A、B两地间的距离.
17.某项工程，甲、乙两人合作，8天可以完成，需费用3520元；若甲单独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，这样需要费用3480元，问：（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？
（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？
18．某河的水流速度为每小时2千米，A、B两地相距36千米，一动力橡皮船从A
地出发，逆流而上去B地，出航后1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂移，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，求橡皮船在静水中起初的速度.
第四章 不等式与不等式组与中考
第一讲 一元一次不等式（组）及应用
【例题经典】
不等式的性质及运用
例1 下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a>b，则a+1>b+1；②若a>b，则a-1>b-1；
③若a>b，则-2a<-2b；④若a>b，则2a<2b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】注意观察前后两个式子的变化，想一想与不等式的性质是否相符．
会解一次不等式，并理解解集用数轴表示的意义
例2 （2006年嘉兴市）解不等式x>x-2，并将其解集表示在数轴上．
【点评】步骤类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向的变化．
例3、关于x的不等式的解集如图所示，则a的取值是（ ）
·
0
·
·
—1
—2
○
考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间的对应。解为-1
例4. 不等式2x+1≥5的解集在数轴上表示正确的是 ( )
分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件，不等式的解为x≥2 答案：D
例5．如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是__________。
分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件
答案：-1，0
例6.函数y=中，自变量x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥2 C.x≤2D．x>2
分析：通过不等式的形式2算术平方根中被开方数的非负性。答案：B
例7.如果最简二次根式与是同类根式，那么使有意义的x的取值范围是 ( )
A．x≤10 B．x≥10 C．x<1O D．x>10
分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的条件。答案：A
借助数轴，解一元一次不等式组
例8 （2006年淄博市）解不等式组，并在数轴上表示解集.
【点评】先求每个不等式的解集，再借助数轴求不等式组的解集．
例9．不等式组的最小整数解是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
分析：整数包括正整数、负整数和0答案：A
例10.不等式组 的整数是（ ）
（A） -1，0，1 （B） -1，1 （C） -1，0 （D） 0，1答案：C
会列不等式（组）解应用题
例11（2006年广东省）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
【点评】从题意寻求两个不等关系，列出不等式组，求出解集，并取正整数解．
例10、（05广东茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；
⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
⑵若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
考查内容：根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实际问题。
解：设安排x辆甲种货车，（10-x）辆乙种货车
得，方案1：甲车5辆，乙车5辆，费用16500元；方案2：甲车6辆，乙车4辆，费用16200元；方案3：甲车7辆，乙车3辆，费用17900元；
例12.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠．且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份．
(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x的取值范围．
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书。那么应当选择哪一个厂?需要多少费用?
分析：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分析和解决实际问题
的能力．
解：(1)y甲=1．2x+900(元)x≥500(份)，且x是整数
y乙=1．5x+540(元) x≥500(份)，且x是整数
(2)
若y甲>y乙，即1．2x+900>1．5x+540∴x<1200
若y甲=y乙，即 1．2x+900=1．5x+540∴x=1200
若y甲
1200
当x=2000时，y甲=3300
答：当500≤x<1200份时，选择乙厂比较合算；
当x=1200份时，两个厂的收费相同；
当x>1200份时，选择甲厂比较合算；
所以要印2000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3300元．
第二讲 不等式（组）与方程（组）的应用
【例题经典】
例1 （2006年内江市）内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．
（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？
【点评】（1）利用方程组解决;（2）利用不等式解决，结合实际取值.
例2 （2005年潍坊市）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？
【分析】本题与学生生活实际联系紧密，是一道很好的列不等式组应用题，解决本题应注意路口人数与总人数之间的关系．
例3 华溪学校科技夏令营的学生在3名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活．现有两个旅行社前来承包，报价均为每人2000元，他们都表示优惠；希望社表示带队老师免费，学生按8折收费；青春社表示师生一律按7折收费．经核算，参加两家旅行社费用正好相等．
（1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？
（2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？
【点评】方程与不等式的综合应用，注意取值与实际生活要相符
第五章函数与中考
第一讲 变量之间的关系与平面直角坐标系
【例题经典】
了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标
例1、在平面直角坐标系中，点(－1，－2)所在的象限是 ( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
分析：考查已知的点的坐标，确定它的象限 答案：D
例2 .如果代数式有意义．那么直角坐标系中点A(a、b)的位置在( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
分析：要使根式有意义，a和b都要大于0 答案： A
例3（1）（2006年益阳市）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．
（2）（2006年德州市）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是__________．
【解析】利用数形结合的方法，直观求解．
会根据图象获取信息，进行判断
例4、函数中，自变量x的取值范围是___________________；
答案：x≥l
例5、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．
分析：D图不能用函数式表示出来。
答案：D
例6（2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”
(1) (2)
【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键．
例7、（05 枣庄）水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
选（D）
了解函数的表示方法，理解函数图象的意义
例8（2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）
【评析】本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图找出解题的突破口．另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助．
例9.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量x(克)
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y(厘米)
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则y关于x的函数图象是( )．
分析：当砝码的质量大于或等于275克时，指针位置7.5(厘米)不变
答案：D
第二讲 正比例、反比例、一次函数
第一节 一次函数
【例题经典】
理解一次函数的概念和性质
例1、下列函数中，正比例函数是( )
A．y==—8x B．y==—8x+1 C．y=8x2+1 D．y=-
分析：A是正比例函数，B是一次函数，C是二次函数，D是反比例函数
答案：A
例2、大连市内与庄河两地之间的距离是160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程y (千米)与行驶的时间x (小时)之间的函数关系式为_________________________；
答案：y=-80x+160
例3、如图2，直线与轴交于点(－4 , 0)，则> 0时，的取值范围是 ( )
A、>－4 B、>0 C、<－4 D、<0
分析：考查一次函数图像
答案：A
例4、 若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．
【分析】这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y=kx+b（k≠0）．首先要考虑m2-2m-2=1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k>0,b>0，而k=2，只需考虑m-2>0．由便可求出m的值．
用待定系数法确定一次函数表达式及其应用
例5 （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长
16
19
24
27
鞋码
22
28
38
44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？
【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．
建立函数模型解决实际问题
例6（2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的
关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于
4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从
第几天开始进行人工灌溉？
【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题
情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．
第二节 反比例函数
【例题经典】
理解反比例函数的意义
例1 若函数y=（m2-1）x为反比例函数，则m=________．
【解析】在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k·x-1，故需满足两点，一是m2-1≠0，二是3m2+m-5=-1
【点评】函数y=为反比例函数，需满足k≠0，且x的指数是-1，两者缺一不可．
会灵活运用反比例函数图象和性质解题
例2、若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（ ）
A、＞＞ B、＞＞
C、＞＞ D、＞＞
点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便一目了然，渗透了数形结合的数学思想。
例3 （2006年常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x10知双曲线两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y的值随着x值的增大而减小，点P1，P2，P3的横坐标均为负数，故点P1，P2均在第三象限内，而P3的第一象限．故y>0．此题也可以将P，P，P三点的横坐标取特殊值分别代入y=中，求出y1，y2，y3的值，再比较大小．
例4．某蓄电池的电压为定值，右图表示的是该蓄电池电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系图像．请你写出它的函数解析式是 ．
答案：I=36/R
例5.已知直线y=kx+b与双曲线y= 交于A(x1，y1)，，B(x2，y2)两点，则x1·x2的值( )
A.与k有关、与b无关 B.与k无关、与b有关
C．与k、b都有关 D.与k、b都无关
答案：D
例6（2006年烟台市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的
值的x的取值范围．
【解析】（1）求反比例函数解析式需要求出m的值．
把A（-2，1）代入y=中便可求出m=-2．把B（1，n）代入y=中得n=-2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围．
例7、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=-x+(k+1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC
的面积．
解：(1)设A点坐标为(x，y)，S△ABO=3/2
k=±3，∵点A在第四象限内，∴k=-3，．反比例函数的解析式为y=-3/x，一次函数的解析式为y=-x-2； (2) 解两个解析式的方程组得x1=-3 y1=1 x2=1 y2=-3．A点坐标为(1，-3)，C点坐标为(-3，1)，设直线AC与y轴交于点D，则D点坐标为(O，-2)，S△AOC=S△AOD+S△COD=4(平方单位)．
第三节 二次函数
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，
则m的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数
y＝kx2＋bx－1的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）（2005年武汉市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.
例5、（2005年天津市）已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1，O)，B(x2，O)两点(x1∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1·x2=3<0，又∵x1O，x1∠ACO．
例7、（04·青海湟中县实验区卷）“已知函数的图象经过点A（c，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
第四节 二次函数的应用
【例题经典】
用二次函数解决最值问题
例1 （2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B
第五节 用函数的观点看方程（组）或不等式
【例题经典】
利用一次函数图象求方程（组）的解
例1 （1）（2006年陕西省）直线y=kx+b（k≠0）的图象如图1，则方程kx+b=0的解为 x=_______，不等式kx+b<0的解集为x_______．
（1） (2) (3)
【点评】抓住直线与x的交点就可迎刃而解．
（2）（2006年重庆市）如图2,已知函数y=ax+b和y=kx的图象，则方程组的解为_______．
【点评】两直线的交点坐标即为方程组的解．
利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围
例2 （2006年吉林省）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和直线y2=kx+b（k≠0）的图象如图3，则当x=______时，y1=0；当x______时，y1<0；当x______时，y1>y2．
【点评】抓住抛物线与x轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析．
利用函数与方程、不等式关系解决综合问题
例3 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10-3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:
（1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
【点评】从图中提供有效信息建立函数关系，并转化为不等式为解决．
第六节 函数的综合应用
【例题经典】
一次函数与反比例函数的综合应用
例1 （2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．
一次函数与二次函数的综合应用
例2 （2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．
二次函数与图象信息类有关的实际应用问题
例3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）
【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．
第六章三角形与中考
第一讲 几何初步及平行线、相交线
〖考查重点与常见题型〗
1． 求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如：
已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是
2． 利用平行线的判定与性质证明或计算，常作为主要定理或公理使用，如：
如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED平分∠BEF， A E B
交CD于D，则∠EDF＝
【例题经典】
角的计算
例1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．
解析：这类题是近几年中考的常见题型，主要考查学生对问题的转化思想及分析、解决问题的能力．通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易．
点评：适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生多方面、多角度去思考．
例2、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。
考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念，以及与角平分线概念相联系的其它概念和原理。
【平行线的应用】
例1、(05浙江)如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．
例2．如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
分析：根据平行线的判定或性质，不难得到：∠2=∠3不能判断L1∥L2．
点评：这类问题可由选项出发找结论，也可由结论出发找选项．
例3.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=5O°，则∠2的度数为( )．
(A)50° (B)6 O° (C)6 5° (D)7 O°
答案：C
例4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第…次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( )．
(A)120° (B)130° (C)140° (D)150°
答案：D
根据条件求线段长度或长度比
例5．（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（ ）
A．a-b B．a+b C．│a-b│ D．│a+b│
（2）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（ ）
A．3：4 B．2：3 C．3：5 D．1：2
分析：本类题目做时注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值．
点评：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷．根据条件求线段长度或长度比可引导学生从不同的途径分析解答．
第二讲 三角形的概念和全等三角形
【例题经典】
三角形内角和定理的证明
例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．
点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．
探索三角形全等的条件
例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．
其中正确的结论是_________．
解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF
可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．
∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．
依此类推得①、②、③
点评：注意已知条件与隐含条件相结合．
全等三角形的应用
例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．
（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．
【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．
例6.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 ．
答案：80°
第三节 等腰三角形
【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=·180°+∠A．
【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．
例4.如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个?并在图中作出所有符合条件的点．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
答案：有2个 作图}连结AB 作AB的垂直平分线
以AB为直径作圆 圆与AB的中垂线的交点就是所求作的点
第四节 直角三角形
〖考查重点与常见题型〗
直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解答题，如：
（1） 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为
（2） 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
（3） 在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形
【例题经典】
直角三角形两锐角互余
例1．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．
【分析】∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．
【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．
图2
【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．
例2、（05梅州）如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC= 。
特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用
例3.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有( )．
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
答案：B
例4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C’点，折痕为BE，则C'E的长是 ．
答案：
例5．（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．
（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2
）试说明该车是否超过限速．
【解析】（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离，
在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米
由勾股定理得CA==25（米）
在△OBC中,∠BOC=30°
∴BC=OB.
∴（2BC）2=BC2+252
∴BC=（米）
∴AB=AC-BC=25-=（米）
∴从A到B的速度为÷1.5=（米/秒）
（2）米/秒≈69.3千米/时
∵69.3千米/时<70千米/时
∴该车没有超过限速．
【点评】此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用．
勾股定理的逆定理的应用
例3．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图．
第七章四边形与中考
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查特殊四边形的判定、性质及从属关系，此类问题在中考中常以填空题或选择题出现，也常以证明题的形式出现。如：
下列命题正确的是（ ）
（A） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B） 对角线相等的四边形一定是矩形
（C） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2． 求菱形、矩形等的面积，线段的长，线段的比及面积的比等，此类问题以不同种题型常以如选择题,填空题出现，也常以论证题型和求解题型出现。如：
若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
（A） 4cm （B）8cm （C）16cm （D）20cm
3． 三角形和四边形与代数中的函数综合在一起
4． 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题，如：
(1)正五边形的每一个内角都等于 度
(2)若正多边形的边心距与边长的比是1：2，则这个正多边形的边数是
(3)已知正六边形的边长是2，那么它的边心距是
第一节 多边形与平行四边形
【例题经典】
利用平行四边形的性质求面积
例1．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．
∵E是DC的中点，∴DE=CE．
∴△AED≌△FEC．
∴S△AED =S△FEC．
∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =SABCD
会根据条件选择适当方法判定平行四边形
例2．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．
能利用平行四边形的性质进行计算
例3．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．
【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．
第二节 矩形、菱形、正方形
【例题经典】
会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
例1．（2005年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．
【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：DE=DF．
(2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明)
解：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC∵．∠DEB=∠DFC=90°
∵AB=AC，∴∠B=∠C．又DB=DC，
△DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF．
． (2)∠A=90°；四边形AFDE是平行四边形等
(方法很多，如∠B=45°或BC=AB或DE⊥DF或F为AC中点或DF∥AB等
矩形、菱形的综合应用
例2．（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．
例3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ( )
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 答案：C
例4.矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48 cm，则矩形ABCD的面积为 cm2． 答案：128
会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
例5．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
例6.如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为 cm．
答案：8
第三节 梯形
考查重点与常见梯形
1． 考查梯形的判定、性质及从属关系，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明题的形式出现。如：
（A） 圆内接平行四边形是矩形；
（B） 一组对边平行另一组对边不平行的四边形一定是梯形；
（C） 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是菱形；
（D） 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
2． 求梯形的面积、线段的长，线段的比及面积的比等，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明题的形式出现。 如：如图梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S⊿AOD：S⊿COB＝1：9，则S⊿DOC：S⊿BOC＝
3． 梯形与代数中的方程、函数综合在一起， 如在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝10，AD、BC 的长是x2-20x+75=0方程的两根，那么以点D为圆心、AD长为半径的圆与以C圆心，BC为半径的圆的位置关系是 。
【例题经典】
与梯形有关的计算
例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的长．
【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件．
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．
(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm 答案：C
等腰梯形的判定
例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD于F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE为等腰梯形；
（2）求AE的长．
【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE为梯形，再说明AE=BF，作DG⊥AB于G，利用CD=AB解决AE=BF．（2）问要利用Rt△BCF∽Rt△ABF，求出AF长，再用BF2=CF·AF，即可求出BF长，进而得到AE长．
例3．
如图，矩形ABCD中，AC，BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF＝60°，CF＝cm。(1)求证四边形BCFE是等腰梯形；(2)求这个梯形的中位线长。
梯形性质的综合应用
例4．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
【解析】△ADE是等边三角形．
理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，
∵∠B=∠C．
∴E为BC的中点，
∵BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE．
∵AE=DE．
∴AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AB=DE
∵AB=AD，
∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
第24课 中位线与面积
第八章图形的变换与中考
例题精讲
例1．4根火柴棒形成如图所示的象形“□”字，平移火柴棒后，原图形能变成的象形汉字是( )．”
答案：B
8．在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式． ( )
答案：C
例2.如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，…个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了( )．
(A)5 5米 (B)5 5．5米 (C)5 6米 (D)5 6．5米
答案：C
例3下面4张扑克牌中，属于中心对称的是 ( )
答案：D
例4.一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形.那么另外一个为( )
A.正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D．正六边形
答案：B
例5.将一个底面半径为2cm高为4cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为__________________cm2；
答案：16a
例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是 cm．(不取近似值)
答案：π
例7.将如图所示图案绕点O按顺时针方向旋转900，得到的图案是………………( )
A.
B.
C.
D.
第5题.
例8.小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是( )
A. B. C. D.
例9.△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例10.下列现象中，不属于旋转变换的是( )
A. 钟摆的运动 B.大风车传动
C. 方向盘的转动 D. 电梯的升降运动
【例题经典】
例1 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四个图形来看，图A有2条对称轴；图B有4条对称轴；图C不是轴对称图形，它没有对称轴；图D只有一条对称轴，所以图B的对称轴条数最多．
旋转、平移作图、设计图案
例2 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．
【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．
【解析】所画的图形如图所示．
与平面镶嵌有关的问题
例3 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据图，填写下表中的空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个
内角的度数
60°
90°
108°
120°
（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【解析】（1）．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n应是方程m·90°+n·135°=360°的正整数解．即2m+3n=8的正整数解，这个方程的正整数解只有一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．
（第1题）
第九章视图与投影与中考
展开与折叠
例1 （2006年泉州市）小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“_______”．
【解析】如图是一个正方体的展开图．与“我”相对的面不可能相邻．排出“喜、欢”二字，而“喜”与“数”相对．“欢”与“课”相对，因此，“我”与“学”相对．故“我”相对的面所写的字是“学”．
平行投影
例2 如图，画出在阳光下同一时刻旗杆的影子．
分析：在阳光下的投影是平行投影，由树高及影长确定了光线的方向，由此就可画出旗杆在同一时刻的影子．
中心投影的应用
例3 （2006年深圳市）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的距离AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【解析】如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB．
∴△GCD∽△ABD，∴
设BC=x，则=．同理，得=．
∴=，∴x=3，∴=，∴AB=6．
【答案】B
【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．
例题精讲
例1．平行投影中的光线是 （ ）
A 平行的 B 聚成一点的 C 不平行的 D 向四面八方发散的
答案：A
例2．在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是
（ ）
A 两根都垂直于地面 B 两根平行斜插在地上 C 两根竿子不平行 D 一根到在地上
答案：C
例3．有一实物如图，那么它的主视图 （ ）
A B C D
答案：A
例4、将一圆形纸片对折后再对折，得到如图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( )
答案：C
例5.一电动玩具的正面是由半径为1Ocm的小圆盘和半径为20 cm的大圆盘依右图方式连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动(大圆盘不动)，回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是(不妨动手试一试!) ( )
答案：B
例6．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光.如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到1米.，）
解：过点C作CE⊥BD于E，（作辅助线1分）
∵AB = 米
∴CE = 米
∵阳光入射角为
∴∠DCE =
在Rt⊿DCE中
∴
∴，而AC = BE = 1米
∴DB = BE + ED =米
答：新建楼房最高约米。
与中考
第一讲 圆的有关性质
〖考查重点与常见题型〗
1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ）
(A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2． 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
【例题经典】
有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算
例1 （2005年重庆市）如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．
圆心角、弧、弦和垂径定理的应用
例2（2006年广东省）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB
于点E、F，且AE=BF，请你找出与的数量关系，并给予证明．
【点评】该题是一道变式题，主要考查圆心角、弧和垂径定理的综合应用.
圆周角定理的应用
例3、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是 ( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
答案：A
例4 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．
（1）求证：AB·AC=AD·AE；（2）求证：AB·AC·BC=4RS．
【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．
（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．
第二讲 与圆有关的位置关系
考查重点与常用题型：
1．判断基求概念，基本定理等的证误。在中考题中常以选择填空的形式考查形式对基本概念基求定理的正确理解，如：已知命题：(1)三点确定一个圆；(2)垂直于半径的直线是圆的切线；(3)对角线垂直且相等的四边形是正万形；(4)正多边形都是中心对称图形；(5)对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有 ( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
2．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。
3．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。
【例题经典】
直线与圆位置关系的判定
例1 （1）（2005年河北省）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O有交点，则下列结论中正确的是（ ）
A．d=r B．d≤r C．d≥r D．d>r
【分析】此题解题关键是明白直线与圆的交点个数同直线与圆位置关系的联系，进而判断d与r的关系．
（2）已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=_____时，AB与⊙O相切．
【分析】此题关键是求出圆心C到直线AB的距离d．也就是求出Rt△ABC斜边上的高，常用方法是面积相等法．
第三讲 圆的切线的性质和判定
【例题经典】
关于三角形内切圆的问题
例1（2006年宜昌市）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．
圆的切线性质的应用
例2（2006年徐州市）已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连结AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，PA=，求BC的长．（结果保留根号）
圆的切线的判定
例3（2005年宁夏自治区）已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．
【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目．解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．
第四讲 圆与圆的位置关系
考查重点与常甩题型：
1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的
形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( )
(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切
2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
【例题经典】
两圆位置关系的识别
例2 （1）（2006年浙江省）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，
那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
（2）（2006年金华市）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
（3）（2006年无锡市）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，圆心距O1O2=3，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
（4）（2006年广安市）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ ）
A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对
【分析】此例中4个题所考查的知识点都是：两圆的位置关系的判定．解决问题的关键是弄清圆心距、两圆半径与两圆位置关系之间的联系．
例3 （2006年宿迁市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．
【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．
第五讲 圆的有关计算
【例题经典】
有关弧长公式的应用
例1 如图，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求的长度．
【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．
有关阴影部分面积的求法
例2 （2006年济宁市）如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A．-1 B．-2 C．-1 D．-2
【分析】有关此类不规则图形的面积问题，一般采用“割补法”化为几个已学过的规则图形求解．
求曲面上最短距离
例3 （2006年南充市）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（ ）
A．2 B．4 C．4 D．5
【分析】在曲面上不好研究最短距离问题，可以通过展开图把曲面问题转化成平面问题，利用“两点之间，线段最短”来解决问题．
第十一章相似形与中考
第一节 图形的相似与位似
【例题经典】
辨别图形相似与位似
例1．下列说法中不正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误．
会用定义判定相似多边形
例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
点评：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．
例3．（2006年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线．
第二节 相似三角形（1）
【【例题经典】
会判定两三角形相似
例1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．
（2）判定△ABC与△DEF是否相似？
点评：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．
例2．如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
点评：结合判定方法补充条件．
例3．（2006年德州市）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．
点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．
第三节 相似三角形（2）
【例题经典】
相似三角形性质的应用
例1．（2006年深圳市）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．
例2．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．
图形的放大与缩小
例3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．
点评：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．
例题精讲
图9
图8
例1.三角形的两条边长分别为3cm和4cm，第三边的长度量数是奇数，那么这个三角
是形的周长 （ ）B
A、8cm或10cm B、10cm或12cm
C、12cm或14cm D、12cm
答案：B
例2.如图8，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别
为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中
的等腰三角形有 （ ）C
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
答案：C
例3.已知：如图9，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四
个条件中： ① ∠ACP=∠B ② ∠APC=∠ACB
③ AC2=AP·AB ④ AB·CP=AP·CB，能满足△APC和
△ACB相似的条件是 （ ）D
A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③
答案：D
例4.如图7，在正方形网格上有6个三角形
① △ABC，② △BCD，③ △BDE，
④ △BFG，⑤ △FGH，⑥ △EFK，其中
②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）B
A、②③④ B、③④⑤
C、④⑤⑥ D、②③⑥
答案：B
图7
例5.如图，在．△ABC中，AC>AB，点D在AC边上(点D不与A、C重合)，若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是
答案：∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC AD/AB=AB/AC
例6.如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
答案：/5或2/5
例7. 如图3，在△ABC中，如果AB=30cm，BC=24cm，
CA=27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，
图中阴影部分的三个三角形周长的和为 cm；
答案：81；
例8.在△ABC中AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相
图5
交所得的锐角为50°，则底角B的大小为 。
答案：70°或20°
例9. 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边三角形ADB，连结DC，
以DC为边作等边三角形DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求：BE的值。
. 解：∵∠ADC=60°－∠BDC，∠BDE=60°－∠BDC，
∴∠ADC=∠BDE，
再由AD=BD，CD=ED，∴△ADC≌△BDE
∴AC=BE，在等腰三角形ABC中，AB=，∴AC=1，即BE=1
例10. 如图，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交
于F，
请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
解：△ACE≌△BCD；证明过程如下：
∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD
∴△ACE≌△BCD
例
11. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB
证明：连结AF AD=AE DF=EF △ADF≌△AEF
AF=AF
∠ADC = ∠AEB
AD=AE △ADC≌△AEB
∠DAC = ∠EAB
例12. 如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE；
求证：△PQR是等腰三角形
证明：∵ BF=CE ∴ BC=EF
又∵ ∠B=∠E，AB=DE ∴ △ABC≌△DEF
∴ ∠ACB=∠DEF
又∵ QR∥BE ∴ ∠ACB=∠Q，∠DFE=∠R
∴ ∠Q=∠R ∴ △PQR是等腰三角形
例13. 如图，在△ABC中，∠A=90°P为AC边的中点，PD⊥BC，D为垂足；
求证：BD2－CD2 = AB2
证明：连结BP，在Rt△BPD中，BD2= BP2－PD2 ①
在Rt△CDP中，CD2= PC2－PD2 ②
由①－② 得： BD2－CD2 = BP2－PC2
∵ AP=PC ∴ BD2－CD2 = BP2－AP2
又∵ ∠A=90° ∴ 在Rt△ABP中，AB2= BP2－AP2
∴ BD2－CD2= AB2
例14. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E为DC中点，直线BE交AC于F，交AD的延长
线于G；求证：EF·BG=BF·EG
证明：∵ AB∥DC ∴ △EFC∽△BFA，△GDE∽△GAB
∴ EF/BF = EC/AB， EG/BG = DE/AB
又∵ DE = EC ∴ EC/AB = DE/AB
∴ EF/BF = EG/BG 即EF·BG = BF·EG
第十二章解直角三角形与中考
第一节 锐角三角函数与解直角三角形
【例题经典】
锐角三角函数的定义和性质
【例1】在△ABC中，∠C=90°．
（1）若cosA=，则tanB=______;（2）若cosA=，则tanB=______．
【例2】（1）已知：cosα=，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．45°<α<60°
C．30°<α<45° D．60°<α<90°
（2）（2006年潜江市）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ
C．tanθ>sinθ>cosθ D．cotθ>sinθ>cosθ
解直角三角形
【例3】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC∠的平分线，∠CAB=60°，CD=，BD=2，求AC，AB的长．
（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？
（3）某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．
【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解．
第二节 解直角三角形的应用
【例题经典】
关于坡角
【例1】（2005年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）
（1）求山坡路AB的高度BE．
（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？
（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）
方位角.
【例2】（2006年襄樊市）如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在
它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？
【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法．
坡度
【例3】（2005年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：
（1）渠面宽EF；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
例题精讲
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
答案：B
例2．在A ABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( )
A． B． c． D．
答案：D
例3.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
（A）a=csinA；（B） a=bcotB；（C） b=csinB；
（D） c= .
答案：D
例4.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为( )B
（A）米；（B）米； （C）米； （D）米
答案：B
例5．在中，，，则为（ ）C
A． B． C． D．
答案：C
例6.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室的距离AC为( )
A．2 米 B．3米 c．3．2米 D．米
答案：B
例7.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米
答案：100sinβ
例8.如图7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB的高度．(的近似值取1．7，结果保留小数)
解：设AE为x米，在Rt△EF中，∠AFE=60°，
∴EF=x/3
在Rt△AGE中，∠AGE=45° AE=GE
8+x/3=x ∴x=12+4
即x≈18．8(的近似值取1．7，结果保留小数)
∴AB=AE+EB≈20．4
答：旗杆高度约为20．4米
例9.如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形证明勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)
解：(1)图形规范、正确 写出是直角梯形
(2)S梯形= (a-b)2
S梯形==ab- c2
(a-b)2=ab- c2 整理，得a2+b2=c2
(3)拼出能证明勾股定理的图形．
例10.下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米．从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)
(1)求山坡路AB的高度BE．
(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?
(sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781) ．
解：(1)在Rt△ABE中，BE=8．72(米)
(2)在Rt△CBH中，CH=CF-HF=15．28．BC=73．497
在Rt△DBI中，DB=175．229
∴DB-BC≈175．229-73．497=101．732≈101．73(米)
第十三章 统计与中考
第一节 数据的代表
【例题经典】
考查众数和中位数的概念
例1 （2006年临安市）某青年排球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁）
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ）
A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19
【点评】关键弄清众数和中位数的概念，明确众数可以是1个，多个，也可以没有；求中位数要把数据从小到大排列．
考查平均数的概念和计算公式
例2 （2006年泸州市）江北水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（m）3
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1
（1）计算这10户家庭该月平均用水量；
（2）如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少立方米？
【点评】关键是能够灵活运用公式求平均数．
考查极差、方差、标准差的概念及生活中的应用
例3 在暑假开展的社会实践活动中，小丽同学帮助李大爷统计了一周内卖出A、B两种品牌雪糕的数量，记录数据如下表：
品牌
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
A
20
22
26
24
25
28
30
B
15
20
25
29
32
35
40
品牌
平均数
方差
A
25
B
64.57
（1）请你用统计表提供的数据完成上表；
（2）若A种雪糕每支利润0.20元，B种雪糕每支利润0.15元，请你根据题中提供的信息，对李大爷购进雪糕提出建议，并简述你的理由．
【点评】极差最简单、用得最少，即最大数与最小数之差，方差与标准差所反映数据情况准确一些．
第二节 数据的收集与处理
【例题经典】
考查运用统计知识进行说明的能力
例1 射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下：
甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6；
乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9．
如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由．
【点评】答案不唯一，多鼓励学生说明理由即可．
考查统计图的应用
例2 （2006年随州市）为了了解某校1000名初中生右眼视力情况，随机对50名学生右眼视力进行了检查，绘制了如下统计表和频率分布直方图．
视力
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
人数
1
1
3
2
3
4
2
视力
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
人数
2
4
8
4
2
6
请解答下列问题：
（1）补全统计表和频率分布直方图；
（2）填空：在这个问题中，样本是________，在这个样本中，视力的中位数是________，视力的众数落在频率分布直方图（从左至右依次是第一、二、三、四、五小组）的________小组内．
（3）如果右眼视力在0.6及0.6以下的必须矫正，试估计该校右眼视力必须矫正的学生约有多少人？
【点评】理解样本与总体的关系
考查制作统计图的能力
例3 （2006年绍兴市）如图表示某校七年级360位同学购买不同品牌计算器人数的扇形统计图，每位同学购买一只计算器，试回答下列问题：
（1）分别求出购买各品牌计算器的人数；
（2）试画出购买不同品牌计算器人数的频数分布直方图．
【点评】要注意扇形统计图与条形统计图之间转换时，数据代表的意义．
例题精讲
今年我市初中毕业生人数为12．8万人，比去年增加了9％，预计明年初中毕业生人数将比今年减少9％，下列说法：①去年我市初中毕业生人数约为万人；②按预计，明年我市初中毕业生人数将与去年持平；③按预计，明年我市初中毕业生人数会比去年多．其中正确的是( )
A①② B①③ C.②③ D．①
答案：D
在样本方差的计算式S2=(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中，数字10与20分别表示样本的 ( )
A．容量、方差 B．平均数、容量
C．容量、平均数 D．标准差、平均数
答案：C
下表是某校初三(1)班20名学生某次数学测验的成绩统计表
成绩(分)
60
70
80
90
100
人数(人)
1
5
x
y
2
(1)若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x和y的值；
(2)在(1)的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为a，中位数为b，求a，b的值．
解：根据题意，得1+5+x+y+2=20 60+70×5+80x+90y+100 2=8220 ，解得x=5 y=7 (2)a=90 b=80
已知一组数据：6，3，4，7，6，3，5，6
(1)求这组数据的平均数、众数、中位数；
(2)求这组数据的方差和标准差．
解：(1)按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7．
平均数5 众数是6，中位数是5．5
(2)方差=2 标准差s=
为了调查不同面额纸币上细菌数量与使用频率之间的关系．某中学研究性学习小组从银行、商店、农贸币场及医院收费处随机采集了 8种面额的纸币各30张，分别用无菌生理盐水漂洗这些纸币，对洗出液进行细菌培养，测得数据如下表．
面额
2角
5角
1元
2元
5元
10元
50元
100元
细菌总数(个／30张)
126150
147400
381150
363100
98800
145500
25700
12250
(1)计算出被采集的所有纸币平均每张的细菌个数约为 (结果取整数)．(2)由表中数据推断出面额为 的纸币的使用频率较高．根据上面的推断和生活常识总结出：纸币上细菌越多，纸币的使用频率 ．看来，接触钱币以后要注意洗手噢!
答案：(1)5417(2)l元，越高
小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程(千米)
46
39
36
50
54
91
34
请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米?(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升3．45元．请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元?
解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米)．
∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米)．
答：小谢家小轿车每月要行驶1500千米．
(2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元．
第十四章 概率与中考
第一节 概率的简单计算
【例题经典】
知道辨别确定事件、不确定事件
例1 （2006年泸州市）下列事件中是必然事件的是（ ）
（A）打开电视机，正在播广告
（B）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是6
（C）地球总是绕着太阳转
（D）今年10月1日，泸州市一定会下雨
【点评】ABD都属于不确定事件 C是必然事件
会用树状图求某一事件的概率
例2 （2006年浙江省）有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张牌背面朝上洗匀后，摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D表示）；
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
【点评】只有摸出BC两种图案才是中心对称图形
会用列表格方法求某一事件的概率
例3 （2006年成都市）小明、小芳做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成紫色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负．
（1）利用列表方法表示此游戏所有可能的结果；
（2）此游戏的规则，对小明、小芳公平吗？试说明理由．
【点评】列表格时要注意横栏与纵栏表示的对象是否与题意相符．
第二节 频率与概率
【例题经典】
能够理解用试验得到的频率当作概率用
例1 （2006年成都市）含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有________张．
【点评】频率为25%，就作为概率即36×25%=9（即可）
能够根据实际情况制作模拟试验
例2 你几月份过生日？和同学交流，看看6个同学中是否有2个人同月过生日，开展调查，看看6个月中2个人同月过生日的概率大约是多少？
【点评】以12月份为号码编球或用计算器作模拟试验．
能借助用频率估计理论概念的方法解决问题
例3 （2006年临安市）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼________条．
【点评】这种方法本身就是一种估算，不能说它是一种准确值．
例题精讲
例1.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为( )．
①F R P J L G □ ②H I O □
③N S □ ④B C K E ⑤V A T Y W U □
(A)Q X Z M D (B)D M Q Z X
(C)Z X M D Q (D)Q X Z D M
答案：D
例2.在一次向“希望工程”捐款的活动中，已知小刚的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，则下列判断中，正确的是( )．
(A)小刚在小组中捐款数不可能是最多的
(B)小刚在小组中捐款数可能排在第12位
(C)小刚在小组中捐款数不可能比捐款数排在第7位的同学的少
(D)小刚在小组中捐款数可能是最少的
答案：B
．某校为了了解学生的身体素质情况，对三年级二班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分．如图2，是将该班学生所得的三项成绩(成绩均为整数)之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0．02，0．1，0．12，0．46．下列说法：
①学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22．5～26．5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22．5～26．5)范围内．其中正确的说法是( )
A.①② B②③ C①③ D．①②③
答案：C
例.现有编号为a1，a2，…，a2004的盒子，按编号从小到大的顺序排放．已知a1中有7个球，a4中有8个球，且任意相邻四个盒子装球总数为30个，那么a2004盒中有 个球．
答案：8
例.某中学对本校初中二年级女生身高情况进行抽测后得到部分资料，将其分成 八个小组(身高单位：cm，测量时精确到1cm)，列表如下：
分组编号
分组
频率
1
145.5～148.5
0.02
2
148.5～151.5
0．04
3
151.5～154.5
0.08
4
154.5～157.5
0.12
5
157.5～160.5
0.30
6
160.5～163.5
7
163.5～166.5
0.18
8
166.5～169.5
0.06
已知身高在151cm(含151cm)以下的被测女生共3人，请回答下列问题：
(1)填上表格中第6小组的频率；
(2)求被测女生总人数；
(3)被测女生身高的中位数落在8个小组中的哪个小组内?
答案：(1)频率为0．20
Q)被测女生总人数50人
(3)中位数落在第3小组内
例.某教育部门为了研究城市独生子女人格发展状况，随机抽取某地区300名中学生和300名中学生家长进行了调查．下面是收集有关数据汇总后绘制的两个统计图；
观察上面的统计图，回答下面问题：
(1)在被调查的300名学生中，有多少人“缺乏生活自理能力”?(结果取整数)
“经常陪着孩子做功课”的家长占被调查盼300名家长的百分比是多少?
(2)若该地区独生子女家长有10万人，请估计有多少家长“为孩子安排课余学习内容”?
(3)从上面的两个统计图中，你还能发现哪些信息，根据你发现的信息提出一个问题．
答案：(1)“缺乏生活自理能力”的学生数约为62(人)．
“经常陪着孩子做功课”的家长占被调查的300名家长的百分比为129÷300=43％．
(2)估计10万独生子女家长中“为孩子安排课余学习内容"的家长为=7(万)
(3)只要能根据两个统计图提供的信息，写出一个能解决的问题即可(不解答)
