杨浦区中考数学二模试卷及答案

杨浦区中考数学二模试卷及答案

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研 ‎ 数 学 试 卷 2015.4‎ ‎ (完卷时间 100分钟 满分 150分)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题；‎ ‎2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；‎ ‎3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．‎ 一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．如果x=2是方程的根，那么a的值是 （ ▲ ）‎ ‎（A）0； （B）2； （C）-2； （D）-6．‎ ‎2．在同一直角坐标系中，若正比例函数的图像与反比例函数的图像没有公 共点，则 （ ▲ ）‎ ‎（A）k1k2＜0； （B）k1k2＞0； （C）k1+k2＜0； （D）k1+k2＞0．‎ ‎3．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：‎ 年龄（岁）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 人数 ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ）‎ ‎ （A）2, 19； （B）18, 19； （C）2, 19.5； （D）18, 19.5． ‎ ‎4．下列命题中，真命题是 （ ▲ ）‎ ‎（A）周长相等的锐角三角形都全等； （B）周长相等的直角三角形都全等； ‎ ‎（C）周长相等的钝角三角形都全等； （D）周长相等的等腰直角三角形都全等．‎ ‎5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ▲ ）‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）.‎ ‎6．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是 （ ▲ ）‎ ‎（A） ①④； （B）②③； （C）①②④； （D）①③④．‎ 一、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．分解因式：= ▲ . ‎ ‎8．不等式的解集是 ▲ . ‎ ‎9．方程的解为 ▲ . ‎ ‎10．如果关于x的方程有两个实数根，那么m的取值范围是 ▲ . ‎ ‎11．如果将抛物线平移到抛物线的位置，那么平移的方向和距离分别是 ▲ . ‎ ‎12．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 ▲ . ‎ ‎13．如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，M为AC中点，AD与BM交于点G，那么的值为 ▲ . ‎ ‎14．如图，在中，记，点P为BC边的中点，则= ▲ （用向量、来表示）. ‎ ‎15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相内切，那么⊙A的半径长为 ▲ cm. ‎ ‎（第13题图）‎ ‎（第14题图）‎ ‎（第15题图）‎ A B C P A C B O A B C D M G ‎16．本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ .‎ ‎ ‎‎ 学生出行方式扇形统计图 ‎17．对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P＇的坐标为（）（其中 k为常数，且），则称点P＇为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生 点”为P＇（），即P＇（3，6）．若点P的“k属派生点”的坐标为（3，‎ ‎3），请写出一个符合条件的点P的坐标： ▲ .‎ ‎18．如图，钝角△ABC中，tan∠BAC=，BC=4，将三角形绕着点 A旋转，点C落在直线AB上的点C，处，点B落在点B，处，若C、‎ ‎（第18题图）‎ B、B，恰好在一直线上，则AB的长为 ▲ .‎ E D 一、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）‎ ‎19．(本题满分10分) 计算：．‎ ‎20．(本题满分10分) 解方程组：‎ ‎21. (本题满分10分) ‎ A C 北 B 东 P 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观察站，A在B的正东方向，A与B相距2千米。有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向。‎ ‎（1）求点P到海岸线的距离；‎ ‎（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间 后到达点C处，此时，从B点测得小船在北偏西 的方向。求点C与点B之间的距离。‎ ‎（注：答案均保留根号）‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．(本题满分10分)‎ 现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务，已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.‎ ‎23．(本题满分12分) ‎ ‎（第23题图）‎ A B C D E G H M 已知：如图，Rt△ABC和 Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE =，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H。‎ ‎（1）求证：MB=MD；‎ ‎（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形。‎ ‎ 24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) ‎ 已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线 x y O 的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C。‎ ‎（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；‎ ‎（3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称 轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。‎ ‎（第24题图）‎ ‎25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分）‎ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，，点O是AB边上动点，以O为圆 心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE。‎ （1） 当AE//BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；‎ （2） 设BO=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式，并写出定义域；‎ A B C 备用图 图（1）‎ A B C D E O A C B E O D 备用图 （3） 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长。‎ ‎（第25题图）‎ 杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研 ‎ 数学试卷答案及评分标准 2015.4‎ 一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）‎ ‎1．C ；2． A；3． B；4． D；5． A；6． C 二、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）‎ ‎7． ；8． ；9． ；10． ；11．右，2；12． ；13． ‎ ‎14． ；15． ；16． 15；17．（1,2）等；18． ‎E D 三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）‎ ‎19．解：原式=---------------------------------------------------(8分)‎ ‎ =-----------------------------------------------------------------------------------(2分)‎ ‎20．解：由(2)变形得-----------------------------------------------(2分)‎ 由此,得:-------------------------------------------------------(2分)‎ ‎∴原方程组转化为或---------------------------------------(2分)‎ 解得：-----------------------------------------(4分)‎ 原方程组的解为 ‎21.解：（1）作PD⊥AB于点D，设PD=x，‎ 由题意可知∠PBA=，∠PAB=，-------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴BD=x，AD=，--------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵AB=2，∴,--------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴,------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴点P到直线AB的距离是千米。--------------------------------------------------------（1分）‎ ‎（2）过点B作BF⊥AC于点F，由题意得∠PBC=，∠CPB=，---（1分）‎ ‎∴∠C=，--------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 在Rt△ABF中，∠PAB=，AB=2，∴BF=1，------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴BC=-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴点B与点C之间的距离为千米。-----------------------------------------------------------（1分）‎ ‎22．解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装(x+2)台空调，-------（1分）‎ 根据题意得：，----------------------------------------------------------------------（3分）‎ 整理得：，-----------------------------------------------------------------------（1分）‎ 解方程得： ， ------------------------------------------------------------------（2分） ‎ 经检验 是方程的解，并且符合实际. -----------------------------------------------------（1分）‎ ‎ ， ---------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ‎ ‎ 答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调. ---------------------（1分）‎ ‎23． ‎ 证明：（1）方法一：取BD中点P，联结MP，------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，-------------------------（1分）‎ ‎∵点M为AE中点，点P为BD中点，∴MP//AB，-------------------------------------------（1分）‎ ‎∴∠MPD=∠ABC=，即MP⊥BD，∴MP为线段BD的垂直平分线，--------------（1分）‎ ‎∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，‎ ‎∴∠ABM=∠MTE， ‎ 又∵∠AMB=∠EMT，点M为AE中点，∴△AMB≌△EMT，---------------------------------（1分）‎ ‎∴BM=TM，------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠CDE =，∴ED⊥BD，∴DM=BT，--------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎（2）方法一：取BD中点P，联结MP，∴BP=BC=（BC+CD），‎ ‎∵AB//ED，点M为AE中点，∴MP =（AB+DE），‎ ‎∵AB=BC，DC=DE，∴BP= MP，-----------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎∵MP⊥BD，∴∠MBP =，--------------------------------------------------------------------（1分）‎ 又∵DC=DE，∠CDE =，∴∠ECD=，∴BM//CE 同理DM//AC，∴四边形MGCH为平行四边形，-----------------------------------------------（2分）‎ ‎∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，-----（1分）‎ ‎∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，‎ ‎∵△AMB≌△EMT，∴AB=ET，∵AB=BC，∴BC= TE，----------------------------------------（1分）‎ ‎∵DC=DE，∴，∴CE//BT-------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴∠BMD+∠MHC=，‎ ‎∵BC= TE，DC=DE，∴BC+DC=TE+DE，即BD=TD，‎ ‎∵BM=TM，∴DM⊥BT，即∠BMD=，----------------------------------------------------（2分）‎ ‎∴∠MHC=，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 又∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，--（1分）‎ ‎∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) ‎ 解：（1）∵直线y=x+1与y轴交与点B，∴B（0,1）-----------------------------------(1分)‎ 的顶点D（m,n）, ∵D在直线y=x+1上，∴n=m+1，‎ ‎∴抛物线与y轴的交点C（0，），-----------------------------------------(1分)‎ ‎∵点C与点B重合，∴，解之得，‎ ‎∵点C不是顶点，∴，--------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴抛物线的表达式是。---------------------------------------------------(1分)‎ ‎（2）∵直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B，‎ ‎∴A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=，‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠CBD=∠BCD =，∴CD=BD，‎ 作DH⊥BC于H，∴CH=BH，--------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∵D（m,m+1），C（0, ）∴H（0, ），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴，--------------------------------------------(1分)‎ ‎∴C（0, ），D（2，3），∴CD=，AD=，‎ ‎∵CD⊥AB，∴.-----------------------------------------------------(2分)‎ ‎（3）∵A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=，∴∠ABC=，‎ 又A（-1,0），D（2，3），∴∠ADP=，∵CD⊥AB，∴∠CDP=，∴∠CDP=∠ABC,‎ ‎∵∠DCP=∠CAD，∴∽，--------------------------------------------------(2分)‎ ‎∴，即，∴DP=8，-------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴P（2，-5）-----------------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分）‎ 解：（1）∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴BE=BD，∴∠EBA=∠DBA，‎ ‎∵AE//BC，∴∠EAB=∠DBA，∴∠EAB=∠EBA，∴BE=AE，∴BD= AE， ‎ 又∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴AC//DE，∴AEDC为平行四边形，‎ ‎∴AE= DC，∴BD=DC=5，---------------------------------------------------------------------------（2分）‎ 作OH⊥BC于M，则BH=DH=BD=，∵，∴BO=，----------（2分）‎ 即⊙O的半径长是。‎ ‎（2）联结AD，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴AB是DE的中垂线，∴AD=AE=y， ‎ 作OH⊥BC于H，则BH=DH， ‎ 在Rt△BOH中，∵BO=x，，∴BH=，∴BD=，-----------------（1分）‎ 作AM⊥BC于M，则得AM=，BM=，∴DM=，------------------------（1分）‎ 在Rt△ADM中，，即，-----------------（1分）‎ ‎∴（）----------------------------------------------------（2分，1分）‎ （3） 设DE、AB交于点P，则DP=EP，‎ 方法一、情况1：D与C不重合 ‎∵⊙A过点D、C，∴AD=AC，作AK⊥BC于K，则DK=CK=，‎ ‎∴BD=10-2×=，∴DP=BD•sin∠ABC=，∴DE=。---------------（2分）‎ 情况2：D点与C点重合时，E、A、C三点共线，DE=2AC=12. ----------------（2分）‎ ‎∴DE的长为12或。‎ 方法二、设DP=x，∵，∴BD=，BP=，∴AP=，‎ 联结EA，∵⊙A过点D、E、C，∴ AE=AC=6，‎ 在Rt△AEP中，，整理得，------------------（1分）‎ 解得，----------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 经检验，都符合题意。∴DE的长为12或。------------------------------------------------（2分）‎