中考攻略专题15函数关系式的建立方法探讨含答案

中考攻略专题15函数关系式的建立方法探讨含答案

‎【2013年中考攻略】专题15：函数关系式的建立方法探讨 ‎“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”这是《课标》关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。‎ 结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。‎ 一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。‎ 典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，‎2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(‎2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】16。‎ ‎【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，‎ ‎∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。‎ 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∴ ，解得 。‎ ‎∴直线l的解析式为：y=2x－1。‎ ‎∵Q（m，n）是直线l上的点，∴‎2m－1=n，即‎2m－n=1。‎ ‎∴(‎2m－n＋3)2=（1+3）2=16。‎ 例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。‎ ‎（2）设点C的坐标为（x，y），‎ ‎∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2。‎ ‎∴y=2×2﹣2=2。‎ ‎∴点C的坐标是（2，2）。‎ ‎【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。‎ ‎（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。‎ 例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．‎ ‎（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；‎ ‎（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？‎ ‎【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，‎ ‎∵图象经过（0，1500），（25，1000），‎ ‎∴，解得：。‎ ‎∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。‎ 清洗阶段：y=0。‎ 灌水阶段：设解析式为：y=at+c，‎ ‎∵图象经过（195，1000），（95，0），‎ ‎∴，解得：。‎ ‎∴灌水阶段解析式为： y=10t﹣950。‎ ‎（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，‎ ‎∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。‎ ‎∴排水时间为75分钟。‎ 清洗时间为：95﹣75=20（分钟），‎ ‎∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为‎1500 m3‎，‎ ‎∴1500=10t﹣950，解得：t=245。‎ 故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。‎ ‎（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。‎ 例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设反比例函数图象设解析式为，‎ 将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为。故选B。‎ 例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎(2)求△ABD的面积；‎ ‎(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，‎ ‎∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．‎ 把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎，解得。‎ ‎∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。‎ ‎(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。‎ 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。‎ ‎∴AB＝3－(－1)＝4。‎ ‎∴△ABD的面积＝×4×4＝8。‎ ‎(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，‎ ‎∵点A对应点G的坐标为(3，2)。‎ ‎∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，‎ ‎∴点G不在该抛物线上。‎ ‎【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。‎ ‎(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。‎ ‎(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。‎ 例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】y=﹣x2+4x﹣3。‎ ‎【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ 又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ ∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。‎ ‎ ∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。‎ 例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；‎ ‎（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．‎ ‎①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；‎ ‎②若⊙M的半径为，求点M的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）‎ ‎∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），‎ ‎ 将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。‎ ‎（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，‎ 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，‎ 解得，x=，即OP=。‎ ‎（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。‎ ‎（i）如图1，当H在点C下方时，‎ ‎∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。‎ ‎∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。‎ ‎∴M（1，﹣2）。‎ ‎（ii）如图2，当H在点C上方时，‎ ‎∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。‎ 由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，‎ 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，‎ 把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。‎ ‎∴y=x﹣2。‎ 由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。‎ 此时y=。‎ ‎∴M′（）。‎ ‎②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，‎ 在Rt△AOC中，AC=。‎ ‎∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，‎ ‎∴△AED∽△AOC，‎ ‎∴，即，解得AD=2。‎ ‎∴D（1，0）或D（﹣3，0）。‎ 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。‎ 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，‎ 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，‎ 解得。 ‎ ‎∴点M的坐标为（）或（）。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ ‎2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．‎ ‎3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为‎0.25m，则y与x的函数关系式为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；‎ ‎ ①y随x变化的部分数值规律如下表：‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；‎ ‎ ③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．‎ ‎ (2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．‎ ‎5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．‎ ‎ (1)求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎ (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；‎ ‎ (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．‎ 二、应用等量关系建立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式。这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系（含公式）”类函数建模题。常用的寻找等量关系的方法有：（1）从常见的数量关系中找等量关系；（2）从关键句中找等量关系；（3）从题中反映的（或隐蔽的）基本数量关系确定等量关系。（有关几何问题的等量关系我们在下面介绍）‎ 典型例题：例1. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.‎ ‎（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？‎ ‎（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：‎ 每天售出瓶数 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5‎ 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；‎ ‎（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.‎ ‎【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式 为y=5x－60 ‎ 当5x－60≥0时，x≥12，‎ ‎∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。‎ ‎（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，‎ ‎∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。‎ ‎（3）小明说的有道理。理由如下：‎ ‎∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.‎ 而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y=5x－57‎ ‎ 在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，‎ 总获利为28+33×2+38×7=360>355 。‎ ‎∴小明说的有道理。‎ ‎【考点】一次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。‎ ‎（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。‎ ‎（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。‎ 例2. （2012新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．‎ ‎（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；‎ C D 总计 A x吨 ‎200吨 B ‎300吨 总计 ‎240吨 ‎260吨 ‎500吨 ‎（2）当x为何值时， A村的运费较少？‎ ‎（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．‎ ‎【答案】解：（1）填表如下：‎ C D 总计 A x吨 ‎（200﹣x）吨 ‎200吨 B ‎（240﹣x）吨 ‎（60+x）吨 ‎300吨 总计 ‎240吨 ‎260吨 ‎500吨 由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；‎ yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。‎ ‎（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），‎ ‎∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，‎ ‎∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）。‎ ‎（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），‎ 则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，‎ ‎∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，‎ ‎∴当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元。‎ ‎∴按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为16920元。‎ C D A ‎0吨 ‎200吨 B ‎40吨 ‎240吨 ‎【考点】一次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可。‎ ‎ 由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别 为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式。‎ ‎（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0≤x≤200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。‎ ‎（3）设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值。　‎ 例3. （2012甘肃白银10分）衬衫系列大都采用国家5.4标准号、型（通过抽样分析取的平均值）．“号”指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小），单位均为：厘米．下表是男士衬衫的部分号、型和码数的对应关系：‎ 号/型 ‎…‎ ‎170/84‎ ‎170/88‎ ‎175/92‎ ‎175/96‎ ‎180/100‎ ‎…‎ 码数 ‎…‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎…‎ ‎（1）设男士衬衫的码数为y，净胸围为x，试探索y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若某人的净胸围为‎108厘米，则该人应买多大码数的衬衫？‎ ‎【答案】解：（1）根据表可以得到号码每增大1，则净胸围增加‎4cm，‎ 则y与x一定是一次函数关系，函数关系式是：x=84+4（y－38），即 ‎（2）当x=108时，。‎ ‎∴若某人的净胸围为108厘米，则该人应买‎44码的衬衫。‎ ‎【考点】一次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据表可以得到号码每增大1，则净胸围增加‎4cm，则y与x一定是一次函数关系，函数关系式可以求得。‎ ‎（2）把x=108代入（1）所求的函数解析式，即可求得码数。‎ 例4. （2012湖北荆门3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为【 】‎ A． B． C． 或 D．或 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。‎ ‎【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴k=±2。‎ 把k=±2分别代入反比例函数的解析式得：或。故选C。‎ 例6. （2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。‎ （1） 求二次函数的解析式；‎ （2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；‎ （3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间 的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，‎ ‎∴二次函数图象的对称轴为。‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴二次函数解析式为。‎ ‎（2）∵二次函数图象经过A点，‎ ‎∴，A（－3，－6）。‎ 又∵一次函数的图象经过A点，‎ ‎∴，解得。‎ ‎（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为 ‎，，‎ 则向左平移后得到的图象C的解析式为，。‎ 此时一次函数的图象平移后的解析式为。‎ ‎∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与。‎ ‎∴当时，，即；‎ 当时，，即。‎ ‎∴‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。‎ ‎ （2）由二次函数图象经过A点代入可求得 ‎，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。‎ ‎（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。‎ 例7. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）‎ ‎（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　 　元（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？‎ ‎（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？‎ ‎【答案】解：（1） 1400﹣50x。‎ ‎（2）根据题意得：‎ y=x（﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000。‎ 当x=14时，在范围内，y有最大值5000。‎ ‎∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元。‎ ‎（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0，即：50 （x﹣14）2+5000=0，‎ 解得x1=24，xz=4，‎ ‎∵x=24不合题意，舍去。‎ ‎∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。‎ ‎【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出，‎ 当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，‎ ‎∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，‎ ‎∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x。‎ ‎（2）根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可。‎ ‎ （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50 （x－14）2+5000=0，求出x即可。 ‎ 例8. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/‎ 件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）‎ ‎【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400‎ ‎ ∴当时，函数Z取得最大值。‎ ‎∵x为正整数，且， ‎ ‎∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。‎ 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。‎ ‎【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。‎ 例9. （2012江苏盐城12分）‎ ‎ 知识迁移： 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.‎ ‎ 直接应用：已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值为_________.‎ ‎ 变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值.‎ ‎ 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？‎ ‎【答案】解：直接应用：1；2 。‎ 变形应用：∵ ，‎ ‎∴有最小值为。‎ 当，即时取得该最小值。‎ 实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则 ‎， ‎ ‎∴当(千米)时, ‎ 该汽车平均每千米的运输成本最低，‎ 最低成本为元。‎ 例10. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：‎ 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 收入（百元）/件 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。‎ （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。‎ （2） 求y与x之间的函数关系式。‎ （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？‎ ‎【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， ‎ 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。‎ ‎（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。‎ ‎（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720‎ 由题意得，解得30≤x≤120。‎ 由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服 ‎270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。‎ ‎【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。‎ ‎【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。‎ ‎（2）由（1）整理得：y=360－3x。‎ ‎（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，‎ 解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012青海省8分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？‎ ‎（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润=销售所得金额﹣进货所需金额）‎ ‎2. （2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？‎ ‎3. （2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.‎ ‎ （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.‎ ‎ （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？‎ ‎ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？‎ ‎4. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：‎ 现要配制这种营养食品‎20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．‎ ‎(1)至少需要购买甲种原料多少千克?‎ ‎(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少?‎ ‎5. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各‎1千克共需资金40元，购买甲种材料‎2千克和乙种材料‎3千克共需资金105元．‎ ‎（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？‎ ‎（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？‎ ‎（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）‎ ‎6. （2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？‎ ‎7. （2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．‎ ‎（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？‎ ‎（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．‎ ‎8. （2012湖南常德7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：‎ ‎ A种产品 ‎ B种产品 ‎ 成本 （万元／件）‎ ‎ 0.6‎ ‎ 0.9‎ ‎ 利润 （万元／件）‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.4‎ 若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎9. （2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．‎ ‎（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？‎ ‎（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？‎ ‎10. （2012四川内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）符合题意的搭配方案有几种？‎ ‎（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ ‎ 造型花卉 甲 乙 A ‎80‎ ‎40‎ B ‎50‎ ‎70‎ 三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函数关系式。常用的数量等量关系有面积公式，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比），锐角三角函数，有关圆的公式等。‎ 典型例题：例1. （2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为‎24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是【 】．‎ ‎(A)y=－2x+24(0

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