广州市中考数学试卷及答案

广州市中考数学试卷及答案

‎2016年广州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（ ）‎ ‎ (A)支出20元 (B)收入20元 (C)支出80元 (D)收入80元 ‎2. 图1所示几何体的左视图是( )‎ 图1‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎3.据统计，2015年广州地铁日均客运量约为6 590 000 人次，将6 590 000 用科学记数法表示为( )‎ ‎(A) 6.59×104 (B) 659×104 (C) 65.9×105 (D) 6.59×106‎ ‎4.某个密码锁的密码三个数字组成，每个数字都0~9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开.如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5.下列计算正确的是( )‎ ‎(A) (y≠0) (B) (y≠0) ‎ ‎(C) (x≥0，y≥0) (D) ‎ ‎6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按原路匀速返回时，汽车速度v千米/小时与时间t小时的函数关系( )‎ ‎(A)v＝320t (B)v＝ ‎ A B C D E 图2‎ ‎(C)v＝20t (D)v＝ ‎ ‎7.如图2，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，‎ 则CD＝( )‎ ‎(A)3 (B)4 ‎ ‎(C)4.8 (D)5 ‎ ‎8.若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）‎ ‎(A)ab＞0 (B)a－b＜0 (C)a2＋b＞0 (D)a＋b＞0 ‎ ‎9.对于二次函数y＝＋x－4，下列说法正确的是（ ）‎ ‎(A)当x＞0时，y随x的增大而增大 (B)当x＝2时，y有最大值－3‎ ‎(C)图象的顶点坐标为(－2，－7) (D)图象与x轴有两个交点 ‎ ‎10.定义新运算：a★b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为（ ）‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)与m有关 ‎ A B C D E F 图3‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11.分解因式：‎2a2＋ab＝ .‎ ‎12.代数式有意义时，实数x的取值范围是 .‎ ‎13.如图3，△ABC中，AB＝AC，BC＝‎12cm，点D在AC上，DC＝‎4cm，将线段DC沿CB方向平移‎7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm .‎ A B O P 图4‎ ‎14.方程的解是 .‎ ‎15.如图4，以点O为圆心的两个同心弧中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12，OP＝6，则劣弧的长为 (结果保留p).‎ A B C D E F G H 图5‎ ‎16.如图5，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④ BC＋FG＝1.5.‎ 其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分）‎ ‎17(本小题满分9分)‎ 解不等式组： 并在数轴上表示解集.‎ A B C D O 图6‎ ‎18. (本小题满分9分)‎ 如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数.‎ ‎19. (本小题满分10分)‎ 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：‎ 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 ‎91‎ ‎80‎ ‎78‎ 乙 ‎81‎ ‎74‎ ‎85‎ 丙 ‎79‎ ‎83‎ ‎90‎ ‎(1)计算各小组平均成绩，并从高分到低分确定小组排名顺序；‎ ‎(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高？‎ ‎20.(本小题满分10分)‎ 已知A＝(a，b≠0且a≠b)‎ ‎(1)化简A；‎ ‎(2)若点P(a，b)在反比例函数y＝－ 的图象上，求A的值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ A B C 图7‎ 如图7，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB.‎ ‎(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 如图8，某无人机于空中A处探测到目标B、D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为‎60m，随后无人机从A处继续水平飞行‎30m到达A′处，‎ A B C D A′‎ 图8‎ ‎ 30°‎ ‎ 60°‎ ‎(1)求A、B之间的距离；‎ ‎(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值. ‎ ‎23. (本小题满分12分)‎ 如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C与直线AD交于点 A(，)，点D的坐标为(0，1).‎ ‎(1)求直线AD的解析式；‎ A O C D x y 图9‎ B ‎(2)直线AD与x轴交于点B若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标.‎ ‎24.(本小题满分14分)‎ 已知抛物线y＝mx2＋(1－‎2m)x＋1－‎3m与x轴相交于不同的两点A，B，‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；‎ ‎(3)当＜m≤8时，由(2)求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及相应的m值；若没有，请说明理由.‎ ‎25.（本小题满分14分）‎ A B C D 图10‎ 如图10，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B、D重合），‎ ‎∠ACB＝∠ABD＝45°，‎ ‎(1)求证：BD是该外接圆的直径；‎ ‎(2)连接CD，求证：AC＝BC＋CD;‎ ‎(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.‎ ‎2016年广州市中考数学试卷答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1-5.CADAD 6-10.BDCBA 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11. a(‎2a＋b) .‎ ‎12. x≤9 .‎ ‎13. ‎13 cm .‎ ‎14. x＝－1 .‎ ‎15. 8p .‎ ‎16. ①②③ . ‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17(本小题满分9分)‎ 解不等式组： 并在数轴上表示解集.‎ 解： 解不等式①，得 x＜ 解不等式②，得 x≥－1‎ ‎∴ 原不等式组的解集是 －1≤x＜ 解集在数轴上如图所示：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎18. (本小题满分9分)‎ 如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数.‎ 解：A B C D O 图6‎ ∵ 四边形ABCD是矩形 ‎∴ OA＝OC＝AC， OB＝OD＝BD ，AB＝CD ‎∴ OA＝OB (这里跳步－2分)‎ 又 ∵ AB＝AO ‎∴ △ABC是等边三角形 ‎∴∠ABO＝60°‎ ‎∴ ∠ABD＝60°‎ ‎19. (本小题满分10分)‎ 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”‎ 比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：‎ 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 ‎91‎ ‎80‎ ‎78‎ 乙 ‎81‎ ‎74‎ ‎85‎ 丙 ‎79‎ ‎83‎ ‎90‎ ‎(1)计算各小组平均成绩，并从高分到低分确定小组排名顺序；‎ ‎(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高？‎ 解：甲组平均成绩：(91＋80＋78)÷3＝83‎ 乙组平均成绩：(81＋74＋85)÷3＝80‎ 丙组平均成绩：(79＋83＋90)÷3＝84‎ ‎∵ 84＞83＞80‎ ‎∴ 丙＞甲＞乙 即丙第一，甲第二，乙第三.‎ ‎(2) 甲组成绩：91×40%＋80×30%＋78×30%＝83.8‎ 乙组平均成绩：81×40%＋74×30%＋85×30%＝80.1‎ 丙组平均成绩：79×40%＋83×30%＋90×30%＝83.5‎ ‎∵ 83.8＞83.5＞80.1‎ ‎∴ 甲＞丙＞乙 即甲组成绩最高.‎ ‎20.(本小题满分10分)‎ 已知A＝(a，b≠0且a≠b)‎ ‎(1)化简A；‎ ‎(2)若点P(a，b)在反比例函数y＝－ 的图象上，求A的值.‎ 解：(1)A＝＝ ＝＝＝ ‎(2) ∵ P(a，b)在反比例函数y＝－ 上，‎ ‎∴ b＝－ ‎ ‎∴ ab＝－5‎ 代入 A＝＝＝－ ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ A B C 图7‎ 如图7，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB.‎ ‎(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)‎ 解：作图如图7－1所示，‎ A E 图7-1‎ D C B 下面证明：CD∥AB ‎ ‎∵ AD＝BC ‎∠CAE＝∠ACB AC＝AC ‎∴ △DAC≌△BCA (SAS)‎ ‎∴ ∠ACD＝∠CAB ‎∴ CD∥AB ‎22. (本小题满分12分)‎ A B C D A′‎ 图8‎ ‎ 30°‎ ‎ 60°‎ 如图8，某无人机于空中A处探测到目标B、D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为‎60m，随后无人机从A处继续水平飞行‎30‎m到达A′处，‎ ‎(1)求A、B之间的距离；‎ ‎(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值. ‎ ‎(1)在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝60，‎ AB＝＝＝120 (m)‎ ‎(或者直接 AB＝‎2AC＝120)‎ A B C D A′‎ 图8-1‎ ‎ 30°‎ ‎ 60°‎ E ‎(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝60°‎ CD＝(m)‎ 过D 作 DE ⊥ AA′ 于E 如图8－1所示，则 四边形ACDE是矩形，AE＝CD＝20 ‎ 从无人机A′上看目标D的俯角即为 ∠DA′E 在Rt△A′DE中，‎ A′E＝AE＋AA′＝30＋20＝50 ‎ DE＝AC＝60‎ tan∠DA′E ＝ ‎23. (本小题满分12分)‎ 如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C与直线AD交于点 A O C D x y 图9‎ B A(，)，点D的坐标为(0，1).‎ ‎(1)求直线AD的解析式；‎ ‎(2)直线AD与x轴交于点B若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标.‎ 解：(1)设 AD : y＝kx＋b(k≠0) ‎ A O C D x y 图9-1‎ E B 解得 ‎∴ 直线AD的解析式是y＝x＋1 .‎ ‎(2) △BOD与△BCE相似 ， 可分为两种情况：‎ ‎① △BOD ∽ △BCE ，CE ⊥ x轴，如图9－1‎ 在直线y＝－x＋3中，令y＝0，得 x＝3‎ ‎∴ C(3，0) ‎ A D y E O C x 图9-2‎ B F 当x＝3时，代入AD y＝x＋1，y＝×3＋1＝ ‎ ‎∴ E(3， )‎ ‎② △BOD ∽ △BEC 时 ，BE ⊥ AD，如图9－2‎ 方法一：kCE＝＝－2 ， 设 AD :y＝－2x＋b1 ‎ 代入C(3，0)， －2×3＋b1＝0 ，b1＝6‎ ‎∴ AD :y＝－2x＋6‎ ，解得 ， ∴E(2，2)‎ 方法二：过E作EF⊥x轴于F，‎ ‎∵ △BOD ∽ △BEC ‎ ‎∴ ＝＝ ，BO＝2 ，BC ＝ 3－(－2)＝5 ，BD＝，OD＝1 ‎ ‎∴ ＝＝ ∴ BE＝2 ，CE＝ ‎ ‎(或者用等积法 ×BE×CE ＝×BC×EF ， EF＝BE×CE/BC＝＝2)‎ ‎△BEF∽△BCE ， ＝ ， ＝，EF＝2，‎ ‎∴ x＋1＝2 ，x＝2 ， ∴ E(2，2)‎ 综合①② ，E(3，) 或 E(2，2)‎ ‎24.本小题满分14分 已知抛物线y＝mx2＋(1－‎2m)x＋1－‎3m与x轴相交于不同的两点A，B，‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；‎ ‎(3)当＜m≤8时，由(2)求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及相应的m值；若没有，请说明理由.‎ 解：m≠0‎ D＝(1－‎2m)2－‎4m(1－‎3m)＝‎16m2‎ －‎8m ＋1 ＝(‎4m－1)2＞0 ,m≠ ‎ ‎∴ m≠0 ,且m≠ ‎ ‎(2) y＝mx2＋(1－‎2m)x＋1－‎3m ＝m(x2 －2x－3)＋x＋1‎ 当x2 －2x－3＝0 时，m无论取何值，y与m无关，‎ 解x2 －2x－3＝0得x＝－1 或 x＝3‎ 当x＝－1时y＝0 , 当 x＝3 时 y＝4‎ ‎∵ P不在坐标轴上，‎ ‎∴ P(3，4)‎ ‎(3) 令y＝0, mx2＋(1－‎2m)x＋1－‎3m＝0 ,‎ x1,2＝ x1＝ x2＝－1‎ ‎∴ │AB│＝│＋1│＝＝4－ S△ABP＝ ×│AB│×│ yP│＝2│AB│=2(4－)‎ ‎∵ ＜m≤8 ，6＜2(4－)≤ A B C D 图10‎ ‎∴S△ABP 有最大值 ，无最小值.‎ ‎25.（本小题满分14分）‎ 如图10，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B、D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°，‎ ‎(1)求证：BD是该外接圆的直径；‎ ‎(2)连接CD，求证：AC＝BC＋CD;‎ A B C D M C′‎ O 图10-2‎ ‎(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.‎ ‎(1)证明：∵ ∠D＝∠C，‎ ‎∠BAD＝180°－∠D－∠DBA＝180°－45°－45°＝90°‎ ‎∴ BD 是圆的直径.‎ ‎ ‎ ‎(2)将△ACD以A为旋转中心，顺时针旋转90°，‎ 得到△AC′B ，如图10－2，‎ ‎∠A′D′C＝∠ABC′， AC＝A′C ∠CAC′＝90° ，CB′＝CD A B C D E M C′‎ O 图10-3‎ ‎∠ABC＋∠ABC′＝∠ABC＋∠ADC＝180° ，‎ ‎∴B、C、D′ 三点共线 ‎(∵BD是直径，∴∠BCD＝90°)‎ ‎∴CC′＝＝AC 又 ∵ CC′＝BC＋BC′＝BC＋CD ‎∴ AC＝BC＋CD.‎ ‎(3)延长MB与圆交于E，连接DE ，如图10－3‎ ‎∵BD是直径，∴DM2＝ME2＋DE2‎ 又 ∵ ME2＝(BM＋BE)2‎ ‎＝BM2＋BE2＋2BM•BE＝ BC2＋BE2＋2BC•BE ‎∴ DM2＝BC2＋BE2＋2BC•BE＋DE2‎ ‎＝BC2＋BD2＋2BC•BE ①‎ ‎∵ ∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ABC＝∠ABM，∠ABM＋∠ABE＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝∠ABE，‎ ‎∴180°－∠ADC＝180°－∠ABE， ∠ADE＝∠ABC(圆的内接四边形对角互补)，‎ ‎∴∠ADB＋∠BDE＝∠ABD＋∠CBD， 又∵∠ABD＝ADB＝45°， ‎ ‎∴∠CBD＝∠EBD， ∴ BE＝CE ②‎ ‎∵ BM2＋2AM2＝BC2＋‎2AC2＝BC2＋(BC＋CD)2‎ ‎＝BC2＋BC2＋CD2＋2BC×CD＝ BC2＋BD2＋2BC×CD ③‎ 由①，②，③可得 DM2＝BM2＋2AM2‎ ‎∴ DM2＝BM2＋2AM2 .‎