2010中考数学试题分类汇编共28专题11二次函数
25．(2010湖南湘潭市)（本题满分10分）
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0
MN成立的x的取值范围。
解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
（2010红河自治州）22．（本小题满分11分）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.
（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
解：画图如图所示：
依题意得：
=
=
∴平移后图像的解析式为：
（2）当y=0时，=0
∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）
由图可知，当x<或x>时，二次函数的函数值大于0.
（2010年镇江市）12．已知实数的最大值为 4 .
（2010年镇江市）23．运算求解（本小题满分6分）
已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（3）若的取值范围.
（1） （1分）
轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.
∴C1的顶点坐标为（—1，0） （2分）
（2）设C2的函数关系式为
把A（—3，0）代入上式得
∴C2的函数关系式为 （3分）
∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A（—3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. （4分）
（3）当的增大而增大，
当 （5分）
(9题图)
(2010遵义市)如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
答案：A
(2010台州市)10．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(▲)
y
x
O
（第10题）
A．－3 B．1 C．5 D．8
答案：D
(2010遵义市)（14分）如图，已知抛物线的顶点坐
（27题图）
标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两
点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C
沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，
交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，
问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，
求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案： 27．（14分）解：（1）（3分）
∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴， 即
（2）（7分）分两种情况：
①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P1(1,0)
②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)
∴()+()=0
, ∴, (舍)
∴当=2时,
==-1
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)
(3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,-1), ∴可令F(,1)
∴
解之得: ,
∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)
(2010台州市)（第24题）
H
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
24．（14分）（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………
3分
（图1）
（图2）
∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………3分
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………2分
当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是．……………………………………………………………………1分
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如图2，当时，
若DE=DH，=，； …………………………………………1分
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，． ……………………………………1分
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相应给分）
图7
（玉溪市2010）15. 如图7是二次函数在平面直角坐标
系中的图象，根据图形判断 ① ＞0；② ++＜0；
③ 2-＜0； 2+8＞4中正确的是（填写序号）② 、④ ．
（玉溪市2010）23．如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
x
y
A
0
B
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中，轴下方的抛物线上是否存在一点P，
过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD
把△AOB分成两个三角形.使其中一个三角形面积
与图10
四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意得:
∴B（－2，0） …………3分
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，
∴ …………6分
C
A
B
O
y
x
（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.
∵ △BCE∽△BAF,
…………9分
（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则
，
∴直线AB为，
= |OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|
=.
∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.
y
x
A
O
D
B
P
∴==.
∴x1=- , x2=1(舍去).
∴p(-,-) .
又∵S△BOD =x+,
∴ == .
∴x1=- , x2=-2.
P(-2,0)，不符合题意.
∴ 存在，点P坐标是（-，-）. …………12分
（桂林2010）11．将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）．
A． B．
C． D．
（桂林2010）12．如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个
动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE=，FC=，则当
点E从点B运动到点C时,关于的函数图象是( A )．
A． B． C． D．
（桂林2010）15．函数的自变量的取值范围是 ．>1
（2010年兰州）5. 二次函数的图像的顶点坐标是
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
答案 A
（2010年兰州）13. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
答案 B
（2010年兰州）15. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
x
x
x
x
x
第15题图
答案D
（2010年兰州）20. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
答案
（2010年兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1 第28题图 图2
答案28. （本题满分11分）
解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
（2）① 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7分
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分
当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分
当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
（2010年无锡）24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和（2,0），BC=．
设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E；本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，
M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求
△CMN面积的最大值．
答案解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，
则，解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则，解得．
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8,0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
=
=
∴当x=5时，S△CMN有最大值
（2010年连云港）25．（本题满分10分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件60元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系．
售价x(元)
…
70
90
…
销售量y(件)
…
3000
1000
…
（利润＝(售价－成本价)×销售量）
（1）求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；
（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000 元？
答案 （1）设一次函数的关系式为，根据题意得............................2分
解之得
所以所求的一次关系式为y= -100x+10000........................................................................................5分
（2）由题意得 （x-60）(-100x+10000)=40000
即所以
所以
答 当定价为80元时，才能使工艺品厂每天的利润为40000元
（2010宁波市）O
第18题
y
·P
x
18．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2—1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_________________．
（2010宁波市）20．如图，已知二次函数y＝— x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．
O
第20题
y
A
x
C
B
8. （2010年金华） 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ）B
A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2
15. （2010年金华）若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
的一个解，另一个解 ▲ ；
y
(第15题图)
O
x
1
3
答案：-1；
20．（2010年金华）(本题8分)
已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移
▲ 个单位．
解：(1)由已知，有，即，解得
∴所求的二次函数的解析式为. …………………………………………6分
(2) 4 …………………………………………………………………………………………2分
25．（2010年长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx
∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ……………………………3分
（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 …………………………4分
由得 ……………………………………5分
① ∵△＝
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解
∴两函数有两个不同的交点． ………………………………………6分
（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解
∴
∴＝
或由求根公式得出 ………………………………………………………8分
∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1
令函数 ∵在1 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
答案：B
3、（2010年杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，
点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物
线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点
P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
答案：
(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，
代入y = +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M（0，2）
(2) 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得： , 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = – + x –2.
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1± ,
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2
∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2( +1)，解得x = 0 ，
∴t =–+ 0 –2 = –2
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM = PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即 +1=2´2，解得： x = ± .
当x = – 时，得t = – – –2 = –8 – ,
当x = 时， 得t = –8.
（2010陕西省）10.将抛物线C：y=x²+3x-10，将抛物线C平移到Cˋ。若两条抛物线C,Cˋ关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是 （C）
A将抛物线C向右平移个单位 B将抛物线C向右平移3个单位
C将抛物线C向右平移5个单位 D将抛物线C向右平移6个单位
（2010陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得
a- b+c=0 a=
9a+3b+c=0 解之，得 b=
c=-1 c=-1
∴所求抛物线的表达式为y=x²-x-1
（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。
又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .
而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，
此时P1（4，）P2（-4,7）
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可
又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3
而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）
综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）
（2010年天津市）（10）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（D）
第（10）题
y
x
O
①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的个数是
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（2010年天津市）（16）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
…
…
0
…
则该二次函数的解析式为 ．
（2010年天津市）（26）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
E
y
x
F
B
D
A
O
C
如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线的解析式为，则
解得
∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）
则抛物线的解析式为，
此时，抛物线与轴的交点为，
与轴的交点为，.（）
过点作EF∥CB与轴交于点，连接，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.
设该抛物线的对称轴与轴交于点.
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．
∴ ，即．
结合题意，解得 ． ①
∵ 点在直线上，有． ②
∴ 由①②，结合题意，解得．
有，．
∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（2010宁夏7．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （ B ）
A． B． C． D．．
（2010山西23．（本题10分）已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
1.（2010宁德）（本题满分12分）如图1，抛物线
与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线交于A、D两点。
⑴直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；
⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？
图2
-1
3
y
x
0
D(5,-2)
C
B
A
图1
解：⑴ A点坐标：(－3，0)，C点坐标：C(4，0)；………………2分
直线AD解析式：.………………5分
⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）：………………8分
第一次
第二次
－1
1
3
4
－1
（－1，－1）
（－1， 1）
（－1，3）
（－1，4）
1
（1，－1）
（1， 1）
（1，3）
（1，4）
3
（3，－1）
（3， 1）
（3， 3）
（3， 4）
4
（4，－1）
（4， 1）
（4， 3）
（4， 4）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在
图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种：
（－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）. …………11分
因此P（落在抛物线与直线围成区域内）＝.………………12分
（注：落在抛物线与直线围成区域内的点列举错误1个扣1分，2个及2个以上扣2分。由点列举错误引起概率计算错误不扣分。）
2.（2010宁德）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
B E→ F→ C
A D
G
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
解：⑴ x，D点；………………3分
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；………………6分
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.………………9分
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.………………11分
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.………………12分
B E C F
A D
G
P
H
图2
综上所述：当x＝时，y最大＝.………………13分
B E F C
A D
G
N
M
图1
3（2010黄冈）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（D ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
4. （2010黄冈）（11分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.
（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；
（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.
图a 图b
解：（1）
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）
（3）
(4) 相等的关系
5. （15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.
第10题图
y
x
O
－1
2
1．（2010山东济南）二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时
x的取值范围是
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜2
D．x＜－1或x＞2
答案：C
2．（2010山东济南 ）
如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
D
C
M
N
O
A
B
P
l
第24题图
y
E
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
答案：.解：⑴令，
解得：，
∴A(－1，0)，B(3，0) 2分
∵=，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
将x=1代入，得y=2，
∴C（1，2）. 3分
⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴∠CAE=60º，
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC为等边三角形， 4分
∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN = CM，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM. 5分
②四边形AMNB的面积有最小值． 6分
设AP=m，四边形AMNB的面积为S，
由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=，
∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，
过M作MF⊥BC,垂足为F,
则MF=MC•sin60º=，
∴S△CMN==•=， 7分
∴S=S△ABC－S△CMN
=－（）
= 8分
∴m=2时，S取得最小值3. 9分
3．（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
答案： 解：（1）设抛物线的解析式为：
由题意得： ……………1分
解得： ………………2分
∴抛物线的解析式为： ………………3分
l′
（2）存在 ………………4分
抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0)
在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°
∴DM = 1, CD = = ∴ C (1, )
设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：
解得：
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由 解得：
∴点P的坐标为：， ………………8分
∵ 抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：
，即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：，，， ………12
分
（本题其它解法参照此标准给分）
1．（2010山东德州）
为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
2．（2010四川宜宾）
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
24题图
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2010山东德州）
已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
x
y
O
A
B
C
P
Q
M
N
第23题图
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
答案：1、解：（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需元，故；-------------------1分
当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤+100=250． ------------------------2分
即100≤x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；----------4分
当x>250时，购买一个需3500元，故； ----------------5分
所以，
． -------------------------------7分
(2) 当0MN成立的x的取值范围。
解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H（，） …………4分
∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由得
该函数简图如图所示：
当00，即HP>MN
(苏州2010中考题29)．(本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立?请说明理由．
答案：
（益阳市2010年中考题20）.如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.
20．解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，
解得
∴抛物线的解析式为 ……………………………4分
⑵ 的坐标为 ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
由
求得交点的坐标为 ……………………………8分
⑶ 连结交于，的坐标为
又∵，
∴，且
∴四边形是菱形 ……………………………12分
x
（第9题图）
y
O
9. （莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函
数的图象不经过（ D ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（第24题图）
x
y
O
A
C
B
D
E
F
24. （莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作
⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧
EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直
于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA
的面积被直线AC分为1︰2两部分.
解：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：. …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分
∴劣弧EF的长为：． …………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为. …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分
1．（2010，安徽芜湖）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
【答案】B
2．（2010，浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2＝ ▲ ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ▲ ．
P
y
x
·
【答案】2(x－2)2 或
3．（2010，安徽芜湖）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm,当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。
【答案】解：根据题意得:等腰直角三角形的直角边长为xm,矩形的一边长为2xm.
其相邻边长为
所以，该金属框围成的面积S=
= (0
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