中考数学专题训练类比探究类问题解析版

中考数学专题训练类比探究类问题解析版

类比探究类问题解析版 ‎1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．‎ ‎(1) 如图1，求证：AE=DF；‎ ‎(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；‎ ‎(3) 如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G．‎ ‎① 直接写出线段AE长度的取值范围；‎ ‎② 判断△GEF的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。‎ ‎∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。‎ ‎（2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：‎ 过点G作GH⊥AD于H，‎ ‎∵∠A=∠B=∠AHG=90°，‎ ‎∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=2。‎ ‎∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。‎ ‎∴∠AME＋∠GMH=90°。‎ ‎∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。‎ 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。‎ ‎∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。‎ 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。‎ 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。‎ ‎∴△GEF是等腰直角三角形。‎ ‎ （3）①＜AE≤。‎ ‎②△GEF是等边三角形。理由如下：‎ 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，‎ ‎∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。‎ ‎∴GH=AB=2。‎ ‎∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。‎ ‎∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。‎ 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴。‎ 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=。∴∠MEG=600。　‎ 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。‎ 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。‎ ‎2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．‎ ‎（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．‎ ‎【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，‎ ‎∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。‎ ‎（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。‎ ‎ 由（1）知△CBE≌△CDF，‎ ‎∴∠BCE＝∠DCF。‎ ‎∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，‎ 即∠ECF＝∠BCD＝90°。‎ 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。‎ ‎∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，‎ ‎∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，‎ ‎∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。‎ ‎（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．‎ 在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。‎ 又∠CGA＝90°，AB＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG＝BC。‎ 已知∠DCE＝45°，‎ 根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。 ‎ ‎∴10=4+DG，即DG=6。‎ 设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，‎ 在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。‎ 解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。‎ ‎∴AB=12。‎ ‎∴。‎ ‎∴梯形ABCD的面积为108。‎ ‎3、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．‎ ‎（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）‎ ‎（2）通过观察、测量、猜想：= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分）‎ ‎（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，‎ 求的值．（用含α的式子表示）（5分） ‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，‎ ‎∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。‎ ‎∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。‎ ‎∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。‎ ‎（2）。证明如下：‎ 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，‎ ‎∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。‎ ‎∵∠OBC=∠OCB =450， ∴ ∠NBP=∠NPB。‎ ‎∴NB=NP。‎ ‎∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。‎ ‎∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。‎ ‎∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。‎ ‎∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。‎ 又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF ，即BF=BM。‎ ‎∴BF=PE， 即。‎ ‎（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，‎ ‎∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。‎ 由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。 ‎ ‎∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。‎ ‎∴。‎ 在Rt△BNP中，， ∴，即。‎ ‎∴。‎ ‎4、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A. ‎ ‎  （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；‎ ‎  （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎  （3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。‎ ‎ 【答案】解：（1）180°－2α。‎ ‎（2）EB=EF。证明如下：‎ 连接BD交EF于点O，连接BF。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，‎ ‎∠ADC=180°－∠C=180°-α。‎ ‎∵AB=AD，∴∠ADB=（180°－∠A）=α。‎ ‎∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。‎ 由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。‎ 又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴，即。‎ ‎∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。‎ ‎∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。‎ ‎（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，‎ 则∠G=∠AEG=。‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。‎ ‎∴∠EDF=∠G。‎ ‎∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。‎ ‎∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。‎ ‎∴△DEF∽△GBE。∴。‎ ‎∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。‎ ‎∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。‎ ‎∴。‎ ‎5、探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。‎ ‎（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；‎ ‎（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。‎ 学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。‎ ‎ ∴点E在线段AB的垂直平分线上。‎ ‎ 在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，‎ ‎ ∴△ABD≌△BAC（SSS）。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。‎ ‎ ∴点O在线段AB的垂直平分线上。‎ ‎ ∴直线EM是线段AB的垂直平分线。‎ ‎（2）相等。理由如下：‎ ‎ ∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。‎ ‎∴。∴。∴。‎ ‎ ∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。‎ ‎∴。∴。∴。‎ ‎ ∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。‎ ‎（3）作图如下：‎ ‎ 作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1；‎ ‎ ② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；‎ ‎ ③ 连接BG，AH，两线相交于点O2； ‎ ‎④ 作直线EO2，交AB于点M；‎ ‎⑤ 作直线MO1。‎ 则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。‎