南京市2016年中考数学卷

南京市2016年中考数学卷

南京市2016年初中毕业生学业考试 数学 一．选择题 ‎1．为了方便市民出行．提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统．根据规划，全市公共自行车总量明年将达70 000辆．用科学计数法表示70 000是 ‎ A．0.7105 B. 7‎104 ‎ C. 7105 D. 70103 ‎ 答案：B 考点：本题考查科学记数法。‎ 解析：科学记数的表示形式为形式，其中，n为整数，70000＝7×104。故选B。‎ ‎2．数轴上点A、B表示的数分别是5、-3，它们之间的距离可以表示为 ‎ A．－3＋5 B. －3－‎5 C. ｜－3＋5｜ D. ｜－3－5｜‎ 答案：D 考点：数轴，数形结合思想。‎ 解析：AB之间的距离为：｜－3－5｜或｜5－（－3）｜，所以，选D。‎ ‎3．下列计算中，结果是的是 ‎ A． B. 　 C. D. ‎ 答案：D 考点：单项式的运算。‎ 解析：A中，不是同类项不能相加减；B中，＝，故错误，C中＝，错误。D是正确的。‎ ‎4、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A．3，4，4 B. 3，4，‎5 ‎ C. 3，4，6 D. 3，4，7‎ 答案：C 考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。‎ 解析：由两边之和大于第三边，可排除D；‎ 由勾股定理：，当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角，‎ 即满足，所以，选C。‎ ‎5．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ‎ A． B. C. 2 D. 2‎ 答案：B 考点：正六边形、正三角形的性质，勾股定理。‎ 解析：如下图，由正六边形的性质知，三角形AOB为等边形三角形，‎ 所以，OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得内切圆半径：OC＝‎ ‎6、若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，则x的值为 ‎ A． B. C. 或6 D. 或 答案：C 考点：数据的方差，一元二次方程。‎ 解析：数据5,6,7,8,9的的平均数为：7，方差为：（4＋1＋0＋1＋4）＝2，‎ 数据2,3,4,5,x的平均数为：，‎ 因为两组数据的方差相等，所以，‎ ‎［++++］＝2‎ ‎［++++］＝2‎ 解得：x＝1或6。‎ 二．填空题 ‎7. 化简：＝______；＝______.‎ 答案：2，2‎ 考点：算术平方根，三次方根，根式的运算。‎ 解析：＝2，＝2‎ ‎8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.‎ 答案：‎ 考点：二次根式的意义。‎ 解析：由二次根式的意义，得：，解得：。‎ ‎9. 分解因式的结果是_______.‎ 答案：‎ 考点：因式分解，提公因式法。‎ 解析：原式＝‎ ‎10.比较大小：－3________.(填“>””<”或“=”号)‎ 答案：＜‎ 考点：二次根式的估算。‎ 解析：由于2＜＜3，所以，－3＜0，＞0，所以，填空“＜”。‎ ‎11.方程的解是_______.‎ 答案：‎ 考点：分式方程。‎ 解析：去分母，得：，化简，得：，经检验是原方程的解。‎ ‎12.设是方程的两个根，且－＝1,‎ 则______,=_______.‎ 答案：4，3‎ 考点：一元二次方程根与系数的关系。‎ 解析：由韦达定理，得：，化入：－＝1，得：‎ ‎4－m＝1，解得：m＝3，所以填4，3。‎ ‎13. 如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则_____°.‎ ‎ ‎ 答案：119‎ 考点：圆内接四边形内角和定理，圆周角定理。‎ 解析：由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半，所以，与∠AOB所对同弧的圆周角度数为∠AOB＝61°，由圆内接四边形对角互补，得：‎ ‎∠ACB＝180°－61°＝119°。‎ ‎14. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论 ‎①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______.‎ 答案：①②③‎ 考点：三角形全等的判定与性质。‎ 解析：由△ABO≌△ADO得：AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，‎ 又AC＝AC，所以，有△ABC≌△ADC，CB＝CD，所以，①②③正确。‎ ‎15. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为________.‎ 答案：‎ 考点：三角形的中位线，三角形相似的性质。‎ 解析：因为EF是△ODB的中位线，EF＝2，所以，DB＝4，‎ 又AC∥BD，所以，，所以，AC＝‎ ‎16.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.‎ 答案：13‎ 考点：菱形、正方形的性质及其面积的计算方法，勾股定理。‎ 解析：连结AC、BD交于点O，由对称性知，菱形的对角线BD过点E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，‎ 所以，＝120　　　①，‎ 又正方形的面积为50，所以，AE＝，所以，AO2＋EO2＝50，AO＝EO＝5‎ 所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，所以，BO＝12，‎ 由AO2＋BO2＝AB2，得AB＝13‎ 三.解答题 ‎17. 解不等式组 并写出它的整数解.‎ 考点：不等式组的解法。‎ 解析：解不等式①，得x≤1．‎ 解不等式②，得x＞－2．‎ 所以，不等式组的解集是－2＜x≤1．‎ 该不等式组的整数解是－1，0，1． ·····················································7 分 ‎18. 计算 考点：分式的运算，平方差公式，完成平方公式。‎ 解析：‎ ‎＝‎ ‎19. 某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的乘积，得到下列统计图，‎ （1） 求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；‎ （2） 下列关于本次数学测试说法正确的是（ ）‎ A．九年级学生成绩的众数与平均数相等 B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等 C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数 D. 随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数。‎ 考点：统计图，众数、平均数的计算。‎ 解析：（1）该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数为80×60%＋82.5×40%＝81（分）．‎ ‎（2）D．‎ ‎20. 我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表.‎ 考点：轴对称图形及其性质。‎ 解析：（1）AB＝A′B′；AB∥A′B′．‎ ‎（2）AB＝A′B′；对应线段AB 和A′B′所在的直线相交，交点在对称轴l 上．‎ ‎（3）l 垂直平分AA′．‎ ‎（4）OA＝OA′；∠AOA′＝∠BOB′．‎ ‎21.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”。‎ 如图，、、是△ABC的三个外角.‎ 求证°.‎ 证法1：∵________.‎ ‎ ∴+++++==540°.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵ ________.‎ ‎ ∴‎ 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.‎ 考点：三角形的内角和定理，两直线平行的性质。‎ 解析：∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．‎ ‎∠1＋∠2＋∠3＝180°．‎ 证法2：过点A 作射线AP，使AP∥BD．‎ ‎∵ AP∥BD，‎ ‎∴ ∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．‎ ‎∵ ∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，‎ ‎∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．‎ ‎22.某景区7月1日-7月7日一周天气预报如下，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率；‎ ‎ (1) 随机选择一天，恰好天气预报是晴；‎ ‎(2) 随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴. ‎ 考点：概率的求解。‎ 解析：（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7 种，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、‎ ‎7 月3‎‎ 日雨、‎7 月4‎ 日阴、‎7 月5‎ 日晴、‎7 月6‎ 日晴、‎7 月7‎ 日阴，并且它们出现 的可能性相等．恰好天气预报是晴（记为事件A）的结果有4 种，即7 月1 日晴、‎ ‎7 月2‎‎ 日晴、‎7 月5‎ 日晴、‎7 月6‎ 日晴，所以P（A）＝‎ ‎（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6 种，即（7 月1 日晴，7 月 ‎2 日晴）、（‎7 月2‎ 日晴，‎7 月3‎ 日雨）、（‎7 月3‎ 日雨，‎7 月4‎ 日阴）、（‎7 月4‎ 日阴，‎ ‎7 月5‎‎ 日晴）、（‎7 月5‎ 日晴，‎7 月6‎ 日晴）、（‎7 月6‎ 日晴，‎7 月7‎ 日阴），并且它们 出现的可能性相等．恰好天气预报都是晴（记为事件B）的结果有2 种，即（7‎ 月1 日晴，7 月2 日晴）、（7 月5 日晴，7 月6 日晴），所以P（B）＝‎ ‎23.下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.‎ ‎(1) 当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为_____L/km、____L/km.‎ ‎(2) 求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式 ‎(3) 速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？‎ 考点：函数图象，一次函数，二元一次方程组。‎ 解析：（1）0.13，0.14． ‎ ‎（2）设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝kx＋b．‎ 因为y＝kx＋b 的图像过点（30，0.15）与（60，0.12），所以 解方程组，得k＝－0.001，b＝0.18．‎ 所以线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝－0.001x＋0.18．······5 分 ‎（3）根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝0.12＋0.002(x－90)‎ ‎＝0.002x－0.06．‎ 由图像可知，B 是折线ABC 的最低点．‎ 解方程组 因此，速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L / km．········ 8 分 ‎24.如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使.‎ ‎ (1) 求证：‎ ‎(2) 用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图痕迹，不写作法）。‎ 考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，三角形的内角和，尺规作图。‎ 解析：（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，‎ ‎∴ AD∥BC．‎ ‎∴ ∠CED＝∠BCF．‎ ‎∵ ∠CED＋∠DCE＋∠D＝180°，∠BCF＋∠FBC＋∠F＝180°，‎ ‎∴ ∠D＝180°－∠CED－∠DCE，∠F＝180°－∠BCF－∠FBC．‎ 又∠DCE＝∠FBC，‎ ‎∴ ∠D＝∠F． ······························································· 4 分 ‎（2）图中P 就是所求作的点． ··································································· 7 分 ‎25.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为，且，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.‎ ‎(1) 求点P的坐标 ‎(2) 水面上升1m，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到0.1m）？‎ 考点：三角函数，二次函数。‎ 解析：（1）如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B．设点P 的坐标为（x，y）．‎ 在Rt△POB 中 ‎（2）设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2＋bx．‎ 由函数y＝ax2＋bx 的图像经过（4，0）、2‎ 解方程组，得 这条抛物线表示的二次函数为 当水面上升1 m 时，水面的纵坐标为1，即 解方程，得 因此，水面上升1 m，水面宽约2.8 m． ······························9 分 ‎26.如图，O是△ABC内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。连接DF、EG。‎ ‎(1) 求证：AB=AC ‎(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.‎ 考点：勾股定理，三角形的相似，矩形的性质，应用数学知识解决问题的能力。‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵ ⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，‎ ‎∴ AD＝AE．‎ ‎∴ ∠ADE＝∠AED．‎ ‎∵ DE∥BC，‎ ‎∴ ∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．‎ ‎∴ ∠B＝∠C．‎ ‎∴ AB＝AC． ······································································ 4 分 ‎（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．‎ 设⊙O 的半径为r．‎ ‎∵ 四边形DFGE 是矩形，‎ ‎∴ ∠DFG＝90°．‎ ‎∴ DG 是⊙O 的直径．‎ ‎∵ ⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，‎ ‎∴ OD⊥AB，OE⊥AC．‎ 又OD＝OE，‎ ‎∴ AN 平分∠BAC．‎ 又AB＝AC，‎ ‎∴ AN⊥BC，BN＝BC＝6．‎ 在Rt△ABN 中，AN＝＝8．‎ ‎∵ OD⊥AB，AN⊥BC，‎ ‎∴ ∠ADO＝∠ANB＝90°．‎ 又∠OAD＝∠BAN，‎ ‎∴ △AOD∽△ABN．‎ ‎．‎ ‎∵ OD⊥AB，‎ ‎∴ ∠GDB＝∠ANB＝90°．‎ 又∠B＝∠B，‎ ‎∴ △GBD∽△ABN．‎ ‎∴ 四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为·································· 8 分 ‎27.如图，把函数y=x的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图像；也可以把函数y=x的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图像.类似地，我们可以认识其他函数.‎ ‎(1)把函数的图像上各点的纵坐标变为原来的_____倍，横坐标不变，得到函数的图像；也可以把函数的图像上各点的横坐标变为原来的_____倍，纵坐标不变，得到函数的图像.‎ ‎(2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变。‎ ‎（i）函数的图像上所有的点经过④→②→①，得到函数_______的图像；‎ ‎(ii)为了得到函数的图像，可以把函数的图像上所有的点 ‎ A.①→⑤→③ B.①→⑥→③ C.①→②→⑥ D.①→③→⑥‎ ‎（3）函数的图像可以经过怎样的变化得到函数的图像？（写出一种即可）‎ 考点：考查学生阅读能力，应用知识解决问题的能力。‎ 解析：‎ 解：（1）6，6． ······················································································ 4 分 ‎（2）（ⅰ）y＝4(x－1) 2－2．‎ ‎（ⅱ）D． ················································································· 8 分 ‎（3）本题答案不惟一，下列解法供参考．例如，‎ 先把函数y＝的图像上所有的点向左平移2 个单位长度，得到函数的图 像；再把函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，‎ 得到函数的图像；最后把函数的图像上所有的点向下平移1‎ 个单位长度，得到函数的图像．······································ 11 分