山东省济南市中考数学试题word 答案

山东省济南市中考数学试题word 答案

山东省济南市2018年学业水平考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎1．（2018济南，1，4分）4的算术平方根是（ ）‎ ‎ A．2 B．－2 C．±2 D． ‎【答案】A ‎ ‎2．（2018济南，2，4分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎3．（2018济南，3，4分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（ ）‎ ‎ A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×102‎ ‎【答案】B ‎ ‎4．（2018济南，4，4分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎【答案】D ‎ ‎5．（2018济南，5，4分）如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（ ）‎ ‎ A．17.5° B．35° C．55° D．70°‎ A B C D F ‎【答案】B ‎ ‎6．（2018济南，6，4分）下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A．a2＋2a＝3a3 B．(－2a3)2＝4a5 ‎ C．(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2 D．(a＋b)2＝a2＋b2‎ ‎【答案】C ‎ ‎7．（2018济南，7，4分）关于x的方程3x－2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．m＜－ B．m＞－ C．m＞ D．m＜ ‎【答案】B ‎ ‎8．（2018济南，8，4分）在反比例函数y＝－图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2‎ ‎【答案】C ‎ ‎9．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）‎ ‎ A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）‎ ‎【答案】C ‎ ‎10．（2018济南，10，4分）下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）‎ A．与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低 ‎ B．2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57‎ C．从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长 ‎ D．2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多 ‎ 4.39‎ ‎ 4.77‎ ‎ 4.56‎ ‎ 4.58‎ ‎ 4.65‎ ‎ 4.66‎ ‎ 2.35‎ ‎ 2.48‎ ‎ 3.22‎ ‎ 3.26‎ ‎ 3.21‎ ‎ 3.12‎ ‎【答案】B ‎ ‎11．（2018济南，11，4分）如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）‎ ‎ A．6π－ B．6π－9 C．12π－ D． A B C D O(A)‎ A B O ‎【答案】A ‎12．（2018济南，11，4分）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线y＝mx2－4mx＋4m－2(m＞0)与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：∵y＝mx2－4mx＋4m－2＝m(x－2)2－2且m＞0,‎ ‎ ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，－2)，对称轴是直线x＝2．‎ ‎ 由此可知点(2，0)、点(2，－1)、顶点(2，－2)符合题意．‎ 方法一：‎ ‎①当该抛物线经过点（1，－1）和（3，－1）时（如答案图1），这两个点符合题意．‎ 将（1，－1）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到－1＝m－4m＋4m－2．解得m＝1．‎ 此时抛物线解析式为y＝x2－4x＋2．‎ 由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－≈0.6，x2＝2＋≈3.4．‎ ‎∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．‎ 则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－1)、(2，－2)这7个整点符合题意．‎ ‎∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大，】‎ 答案图1(m＝1时) 答案图2( m＝时) ‎ ‎②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．‎ 此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．‎ 将（0，0）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到0＝0－4m＋0－2．解得m＝．‎ 此时抛物线解析式为y＝x2－2x．‎ 当x＝1时，得y＝×1－2×1＝－＜－1．∴点(1，－1)符合题意．‎ 当x＝3时，得y＝×9－2×3＝－＜－1．∴点(3，－1) 符合题意．‎ ‎ 综上可知：当m＝时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有9个整点符合题意，‎ ‎∴m＝不符合题．‎ ‎∴m＞．‎ 综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围城的区域（含边界）内有七个整点，故答案选B．‎ 方法二：根据题目提供的选项，分别选取m＝，m＝1，m＝2，依次加以验证．‎ ‎①当m＝时（如答案图3），得y＝x2－2x．‎ 由y＝0得x2－2x＝0．解得x1＝0，x2＝4．‎ ‎ ∴x轴上的点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)符合题意．‎ ‎ 当x＝1时，得y＝×1－2×1＝－＜－1．∴点(1，－1)符合题意．‎ 当x＝3时，得y＝×9－2×3＝－＜－1．∴点(3，－1) 符合题意．‎ ‎ 综上可知：当m＝时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有9个整点符合题意，‎ ‎∴m＝不符合题．∴选项A不正确．‎ ‎ 答案图3( m＝时) 答案图4(m＝1时) 答案图5(m＝2时)‎ ‎②当m＝1时（如答案图4），得y＝x2－4x＋2．‎ 由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－≈0.6，x2＝2＋≈3.4．‎ ‎∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．‎ 当x＝1时，得y＝1－4×1＋2＝－1．∴点(1，－1)符合题意．‎ 当x＝3时，得y＝9－4×3＋2＝－1．∴点(3，－1) 符合题意．‎ ‎ 综上可知：当m＝1时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2) 、(2，－1)都符合题意，共有7个整点符合题意，‎ ‎∴m＝1符合题．‎ ‎∴选项B正确．‎ ‎③当m＝2时（如答案图5），得y＝2x2－8x＋6．‎ 由y＝0得2x2－8x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝3．‎ ‎∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．‎ 综上可知：当m＝2时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(2，－2) 、(2，－1)都符合题意，共有5个整点符合题意，‎ ‎∴m＝2不符合题．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（2018济南，13，4分）分解因式：m2－4＝____________；‎ ‎【答案】(m＋2)(m－2)‎ ‎14．（2018济南，14，4分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若于个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是，则白色棋子的个数是＝____________；‎ ‎【答案】15‎ ‎15．（2018济南，15，4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是＝____________；‎ ‎【答案】5‎ ‎16．（2018济南，16，4分）若代数式的值是2，则x＝____________； ‎ ‎【答案】6‎ ‎17．（2018济南，17，4分）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】y甲＝4t(0≤t≤4)；y乙＝；‎ ‎ 由方程组解得.‎ ‎ ∴答案为．‎ ‎18．（2018济南，18，4分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是____________．（把所有正确结论的序号填在横线上）‎ ‎【答案】①②④．‎ ‎【解析】设EH＝AB＝a，则CD＝GH＝a．‎ ‎∵∠FGH＝90°，∴∠BGF＋∠CGH＝90°.‎ 又∵∠CGH＋∠CHG＝90°,‎ ‎∴∠BGF＝∠CHG…………………………………故①正确．‎ 同理可得∠DEH＝∠CHG.‎ ‎∴∠BGF＝∠DEH.‎ 又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH,‎ ‎∴△BFG≌△DHE…………………………………故②正确．‎ 同理可得△AFE≌△CHG.∴AF＝CH.‎ 易得△BFG∽△CGH.∴＝.∴＝.∴BF＝.‎ ‎∴AF＝AB－BF＝a－.∴CH＝AF＝a－.‎ 在Rt△CGH中，∵CG2＋CH2＝GH2，‎ ‎∴32＋( a－)2＝a2.解得a＝2.∴GH＝2.∴BF＝ a－＝.‎ 在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°.‎ ‎∴tan∠BFG＝tan30°＝.…………………………………故③正确．‎ 矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4…………………………………故④正确．‎ 三、解答题（本大题共9小题，共78分）‎ ‎19．（2018济南，19，6分）‎ ‎ 计算：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0．‎ 解：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0．‎ ‎ ＝＋5－＋1‎ ‎＝6‎ ‎20．（2018济南，20，6分）‎ 解不等式组： ‎ 解：由① ，得 ‎3x－2x＜3－1.‎ ‎∴x＜2.‎ 由② ，得 ‎4x＞3x－1.‎ ‎∴x＞－1.‎ ‎∴不等式组的解集为－1＜x＜2.‎ ‎21．（2018济南，21，6分）‎ 如图，在□ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且 AE＝CF，连接EF交BD于点O．‎ 求证：OB＝OD．‎ 证明：∵□ABCD中，‎ ‎∴AD＝BC,AD∥BC.‎ ‎∴∠ADB＝∠CBD.‎ 又∵AE＝CF，‎ ‎∴AE＋AD＝CF＋BC.‎ ‎∴ED＝FB.‎ 又∵∠EOD＝∠FOB,‎ ‎∴△EOD≌△FOB.‎ ‎∴OB＝OD．‎ ‎22．（2018济南，22，8分）‎ 本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织150名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款2000元，票价信息如下：‎ 地点 票价 历史博物馆 ‎10元/人 民俗展览馆 ‎20元/人 ‎（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？‎ ‎（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？‎ 解：（1）设参观历史博物馆的有x人，则参观民俗展览馆的有（150－x）人，依题意，得 ‎10x＋20(150－x)2000.‎ ‎10x＋3000－20x＝2000.‎ ‎－10x＝－1000.‎ ‎∴x＝100.‎ ‎∴150－x＝50.‎ 答：参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．‎ ‎（2）2000－150×10＝500（元）.‎ 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．‎ ‎23．（2018济南，23，8分）‎ 如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相较于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．‎ ‎(1)求∠ABD的度数；‎ ‎(2)若AB＝6，求PD的长度．‎ ‎【解析】‎ 解：(1)方法一：连接AD（如答案图1所示）．‎ ‎ ∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．‎ ‎ ∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．‎ ‎∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°．‎ ‎ ‎ 第23题答案图1 第23题答案图2 ‎ 方法二：连接DA、OD（如答案图2所示），则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．‎ ‎∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝(180°－120°)＝30°．‎ 即∠ABD＝30°．‎ ‎(2)∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．‎ ‎ 在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，‎ ‎∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．‎ 在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．‎ ‎∴PD＝BP－BD＝4－3＝．‎ ‎24．（2018济南，24，10分）‎ 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1 、图2两幅均不完整的统计图表．‎ 请您根据图表中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）统计表中的a＝________，b＝_______；‎ ‎（2）“D”对应扇形的圆心角为_______度；‎ ‎（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；‎ ‎（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．‎ 解：（1）a＝36÷0.45＝80.‎ ‎ b＝16÷80＝0.20.‎ ‎ （2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：‎ ‎8÷80×360°＝36°.‎ ‎（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：‎ ‎ 2000×0.25＝500（人）．‎ ‎（4）列表格如下：‎ A B C A A,A B,A C,A B A,B B,B C,B C A,C B,C C,C ‎ 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．‎ ‎25．（2018济南，25，10分）‎ ‎ 如图，直线y＝ax＋2与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，b)．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y ‎＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．‎ ‎ (1)求a和b的值；‎ ‎(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；‎ ‎(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．‎ 第25题图 第25题备用图 ‎ ‎【解析】‎ 解：(1)将点A(1，0)代入y＝ax＋2，得0＝a＋2．∴a＝－2．‎ ‎∴直线的解析式为y＝－2x＋2．‎ ‎ 将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．∴点B(0，2)．‎ ‎(2)由平移可得：点C(2，t)、D(1，2＋t)．‎ ‎ 将点C(2，t)、D(1，2＋t)分别代入y＝，得 ．解得．‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为y＝，点C(2，2)、点D(1，4)．‎ ‎ 分别连接BC、AD（如答案图1）．‎ ‎∵B(0，2)、C(2，2)，∴BC∥x轴，BC＝2．‎ ‎∵A(1，0)、D(1，4)，∴AD⊥x轴，AD＝4．‎ ‎∴BC⊥AD．‎ ‎∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．‎ ‎ ‎ 第25题答案图1 ‎ ‎(3)①当∠NCM＝90°、CM＝CN时（如答案图2所示），过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．‎ ‎ 设点N(m，0)（其中m＞0），则ON＝m，CE＝2－m．‎ ‎ ∵∠MCN＝90°，∴∠MCF＋∠NCE＝90°．‎ ‎∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC＋∠NCE＝90°．‎ ‎ ∴∠MCF＝∠ENC．‎ 又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM．‎ ‎∴CF＝EN＝2，FM＝CE＝2－m．‎ ‎∴FG＝CG＋CF＝2＋2＝4．∴xM＝4．‎ 将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M(4，1)．‎ ‎ ‎ 第25题答案图2 第25题答案图3‎ ‎ ②当∠NMC＝90°、MC＝MN时（如答案图3所示），过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF＝xC＝2．过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．‎ ‎ ∵∠CMN＝90°，∴∠CME＋∠NMG＝90°．‎ ‎∵ME⊥直线l于点E，∴∠ECM＋∠CME＝90°．‎ ‎ ∴∠NMG＝∠ECM．‎ 又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，∴△CEM≌△MGN．‎ ‎ ∴CE＝MG，EM＝NG．‎ ‎ 设CE＝MG＝a，则yM＝a，xM＝CF＋CE＝2＋a．∴点M(2＋a，a)．‎ ‎ 将点M(2＋a，a) 代入y＝，得a＝．解得a1＝－1，a2＝－－1．‎ ‎ ∴xM＝2＋a＝＋1．‎ ‎∴点M(＋1，－1)．‎ ‎ 综合①②可知：点M的坐标为(4，1)或(＋1，－1)．‎ ‎26．（2018济南，26，12分）‎ 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．‎ ‎（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；‎ ‎（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．‎ 第26题图1 第26题图2 ‎ ‎【解析】‎ 解：(1) ∠ADE＝30°．‎ ‎(2) （1）中的结论是否还成立 证明：连接AE（如答案图1所示）．‎ ‎ ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．‎ ‎ 又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．‎ ‎ 又∵CE＝BD，‎ ‎ ∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE,∠1＝∠2.‎ ‎ ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝120°.即∠DAE＝120°.‎ ‎ 又∵AD＝AE,∴∠ADE＝∠AED＝30°．‎ ‎ ‎ 答案图1 答案图2‎ ‎ (3) ∵AB＝AC，AB＝6，∴AC＝6．‎ ‎∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，‎ ‎∴△ADF∽△ACD.∴＝.∴AD2＝AF·AC．∴AD2＝6AF．∴AF＝．‎ ‎∴当AD最短时，AF最短、CF最长．‎ 易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长（如答案图2所示），此时AD＝AB＝3．‎ ‎∴AF最短＝＝＝．‎ ‎∴CF最长＝AC－ AF最短＝6－＝.‎ ‎27．（2018济南，27，12分）‎ 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．‎ ‎(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；‎ ‎(2)如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；‎ ‎(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．‎ 第27题图1 第27题图2 第27题图3‎ ‎【解析】‎ 解：（1）将点A(2，0)和点B(4，0)分别代入y＝ax2＋bx＋4，得 ．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x＋4.‎ ‎ 将x＝0代入上式，得y＝4.∴点C（0，4），OC＝4．‎ 在Rt△AOC中，AC＝＝＝2.‎ ‎ 设直线AC的解析式为y＝kx＋4,‎ 将点A(2，0)代入上式，得0＝2k＋4．解得k＝－2．‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝－2x＋4．‎ ‎ 同理可得直线BC的解析式为y＝－x＋4．‎ ‎ 求tan∠ACB方法一：‎ ‎ 过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如答案图1所示），则∠G＝90°．‎ ‎∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG，∴△GAB∽△OAC.‎ ‎∴＝＝＝2.∴BG＝2AG.‎ 在Rt△ABG中，∵BG2＋AG2＝AB2,∴(2AG)2＋AG2＝22.AG＝.‎ ‎∴BG＝,CG＝AC＋AG＝2＋＝.‎ 在Rt△BCG中，tan∠ACB＝＝＝.‎ 第27题答案图1 第27题答案图2‎ 求tan∠ACB方法二：‎ 过点A作AE⊥AC，交BC于点E（如答案图2所示），则kAE·kAC＝－1.‎ ‎∴－2kAE＝－1.∴kAE＝.‎ ‎∴可设直线AE的解析式为y＝x＋m．‎ ‎ 将点A(2，0)代入上式，得0＝×2＋m．解得m＝－1．‎ ‎∴直线AE的解析式为y＝x－1．‎ ‎ 由方程组解得．∴点E（，）．‎ ‎∴AE＝＝.‎ 在Rt△AEC中，tan∠ACB＝＝＝.‎ 求tan∠ACB方法三：‎ 过点A作AF⊥BC，交BC点E（如答案图3所示），则kAF·kBC＝－1.‎ ‎∴－kAF＝－1.∴kAF＝1.‎ ‎∴可设直线AF的解析式为y＝x＋n．‎ ‎ 将点A(2，0)代入上式，得0＝2＋n．解得n＝－2．‎ ‎∴直线AF的解析式为y＝x－2．‎ 由方程组解得．∴点F（3，1）．‎ ‎∴AF＝＝，CF＝＝3.‎ 在Rt△AEC中，tan∠ACB＝＝＝．‎ 第27题答案图3 ‎ ‎（2）方法一：利用“一线三等角”模型 将线段AC绕点A沿顺时针方向旋转90°，得到线段AC′，则 AC′＝AC，∠C′AC＝90°，∠CC′A＝∠ACC′＝45°．‎ ‎∴∠CAO＋∠C′AB＝90°．‎ 又∵∠OCA＋∠CAO＝90°，‎ ‎∴∠OCA＝∠C′AB．‎ ‎ 过点C′作C′E⊥x轴于点E．则∠C′EA＝∠COA＝90°．‎ ‎ ∵∠C′EA＝∠COA＝90°，∠OCA＝∠C′AB，AC′＝AC，‎ ‎∴△C′EA≌△AOC．‎ ‎∴C′E＝OA＝2，AE＝OC＝4．‎ ‎∴OE＝OA＋AE＝2＋4＝6．‎ ‎∴点C′(6，2)．‎ 设直线C′C的解析式为y＝hx＋4．‎ ‎ 将点C′(6，2)代入上式，得2＝6h＋4．解得h＝－．‎ ‎∴直线C′C的解析式为y＝－x＋4．‎ ‎∵∠ACP＝45°，∠ACC′＝45°，∴点P在直线C′C上．‎ 设点P的坐标为(x，y)，则x是方程x2－3x＋4＝－x＋4的一个解．‎ 将方程整理，得3x2－14x＝0．‎ 解得x1＝，x2＝0（不合题意，舍去）．‎ 将x1＝代入y＝－x＋4，得y＝．‎ ‎∴点P的坐标为(，)．‎ 第27题答案图4 第27题答案图5‎ ‎（2）方法二：利用正方形中的“全角夹半角”模型．‎ ‎ 过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形．‎ ‎ 应用“全角夹半角”可得AK＝OA＋HK．‎ 设K(4，h)，则BK＝h，HK＝HB－KB＝4－h，AK＝OA＋HK＝2＋(4－h)＝6－h．‎ 在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2＋BK2＝AK2．∴22＋ h 2＝(6－h)2．解得h＝．‎ ‎∴点K(4，)．‎ 设直线CK的解析式为y＝hx＋4．‎ ‎ 将点K(4，)代入上式，得＝4h＋4．解得h＝－．‎ ‎∴直线CK的解析式为y＝－x＋4．‎ 设点P的坐标为(x，y)，则x是方程x2－3x＋4＝－x＋4的一个解．‎ 将方程整理，得3x2－14x＝0．‎ 解得x1＝，x2＝0（不合题意，舍去）．‎ 将x1＝代入y＝－x＋4，得y＝．‎ ‎∴点P的坐标为(，)．‎ ‎（3）四边形ADMQ是平行四边形．理由如下：‎ ‎ ∵CD∥x轴，∴yC＝yD＝4．‎ ‎ 将y＝4代入y＝x2－3x＋4，得 4＝x2－3x＋4.解得x1＝0，x2＝6．‎ ‎ ∴点D（6，4）．‎ ‎ 根据题意，得P（m，m2－3m＋4），M（m，4），H（m，0）．‎ ‎ ∴PH＝m2－3m＋4），OH＝m，AH＝m－2，MH＝4．‎ ‎ ①当4＜m＜6时（如答案图5所示），DM＝6－m ‎ ∵△OAN∽△HAP，∴＝．∴＝．‎ ‎∴ON＝＝＝m－4．‎ ‎ ∵△ONQ∽△HMP，∴＝．∴＝．‎ ‎∴＝．∴OQ＝m－4．‎ ‎ ∴AQ＝OA－OQ＝2－(m－4)＝6－m．‎ ‎ ∴AQ＝ DM＝6－m．‎ ‎ 又∵AQ∥DM，∴四边形ADMQ是平行四边形．‎ H H ‎ 第27题答案图6 第27题答案图7‎ ‎②当m＞6时（如答案图6所示），同理可得：四边形ADMQ是平行四边形．‎ 综合①、②可知：四边形ADMQ是平行四边形．‎