- 2021-05-13 发布 |
- 37.5 KB |
- 21页



申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2011年丽水市中考数学试题解析
2011年浙江省丽水市中考数学试卷-解析版 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1、(2011•丽水)下列各组数中,互为相反数的是( ) A、2和﹣2 B、﹣2和 C、﹣2和 D、和2 考点:相反数。 专题:计算题。 分析:根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数. 解答:解:A、2和﹣2只有符号不同,它们是互为相反数,选项正确; B、﹣2和除了符号不同以外,它们的绝对值也不相同,所以它们不是互为相反数,选项错误; C、﹣2和﹣符号相同,它们不是互为相反数,选项错误; D、和2符号相同,它们不是互为相反数,选项错误. 故选A. 点评:本题考查了相反数的定义:只有符号不同的两个数是互为相反数,0的相反数是0.注意,一个正数的相反数是一个负数,一个负数的相反数是一个正数.本题属于基础题型,比较简单. 2、(2011•丽水)如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体,其俯视图的面积是( ) A、6 B、5 C、4 D、3 考点:简单组合体的三视图。 专题:计算题。 分析:找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中. 解答:解:从上面看易得第一层有2个正方形,第二层有3个正方形, 共5个正方形,面积为5. 故选B. 点评:本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图. 3、(2011•丽水)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( ) A、x2+1 B、x2+2x﹣1 C、x2+x+1 D、x2+4x+4 考点:因式分解-运用公式法。 专题:因式分解。 分析:完全平方公式是:a2±2ab+b2=(a±b)2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式,只有D选项可以. 解答:解:根据完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2可得, 选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式, D、x2+4x+4=(x+2)2. 故选D 点评:本题主要考查完全平方公式的判断和应用:应用完全平方公式分解因式. 4、(2011•丽水)有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450克)为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的是( ) A、+2 B、﹣3 C、+3 D、+4 考点:正数和负数。 分析:实际就是绝对值最小的那个就是最接近的克数. 解答:解:A、+2的绝对值是2; B、﹣3的绝对值是3; C、+3的绝对值是3; D、+4的绝对值是4. A选项的绝对值最小. 故选A. 点评:本题主要考查正负数的绝对值的大小比较. 5、(2011•丽水)如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是( ) A、30° B、25° C、20° D、15° 考点:平行线的性质。 专题:几何图形问题。 分析:本题主要利用两直线平行,同位角相等及余角的定义作答. 解答:解:根据题意可知∠1+∠2+45°=90°, ∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°, 故选B. 点评:本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质,互为余角的两角的和为90°,难度适中. 6、(2011•丽水)学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况,随机调查了40名学生,将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图,则参加绘画兴趣小组的频率是( ) A、0.1 B、0.15 C、0.25 D、0.3 考点:频数(率)分布直方图。 专题:应用题;图表型。 分析:根据频率分布直方图可以知道绘画兴趣小组的频数,然后除以总人数即可求出加绘画兴趣小组的频率. 解答:解:∵根据频率分布直方图知道绘画兴趣小组的频数为12, ∴参加绘画兴趣小组的频率是12÷40=0.3. 故选D. 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. 7、(2011•丽水)计算的结果为( ) A、 B、 C、﹣1 D、2 考点:分式的加减法。 专题:计算题。 分析:分母相同的分式,分母不变,分子相加减. 解答:解:﹣ = = =﹣1 故选C. 点评:本题主要考查同分母的分式的运算规律:分母不变,分子相加减. 8、(2011•丽水)不等式组的解在数轴上表示为( ) A、 B、 C、 D、 考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。 专题:计算题;数形结合。 分析:先解每一个不等式,再根据结果判断数轴表示的正确方法. 解答:解:由不等式①,得2x>2,解得x>1, 由不等式②,得﹣2x≤﹣4,解得x≥2, ∴数轴表示的正确方法为C, 故选C. 点评:本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 9、(2011•丽水)如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( ) A、600m B、500m C、400m D、300m 考点:勾股定理的应用;全等三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:由于BC∥AD,那么有∠DAE=∠ACB,由题意可知∠ABC=∠DEA=90°,BA=ED,利用AAS可证△ABC≌△DEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根据图可知从B到E的走法有两种,分别计算比较即可. 解答:解:如右图所示, ∵BC∥AD, ∴∠DAE=∠ACB, 又∵BC⊥AB,DE⊥AC, ∴∠ABC=∠DEA=90°, 又∵AB=DE=400, ∴△ABC≌△DEA, ∴EA=BC=300, 在Rt△ABC中,AC=,=500, ∴CE=AC﹣AE=200, 从B到E有两种走法:①BA+AE=700;②BC+CE=500, ∴最近的路程是500m. 故选B. 点评:本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是证明△ABC≌△DEA,并能比较从B到E有两种走法. 10、(2011•丽水)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( ) A、点(0,3) B、点(2,3) C、点(5,1) D、点(6,1) 考点:切线的性质;坐标与图形性质;勾股定理;垂径定理。 专题:网格型。 分析:根据垂径定理的性质得出圆心所在位置,再根据切线的性质得出,∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可. 解答:解:∵过格点A,B,C作一圆弧, ∴三点组成的圆的圆心为:O(2,0), ∵只有∠OBD+∠EBF=90°时,BF与圆相切, ∴当△BOD≌△FBE时, ∴EF=BD=2, F点的坐标为:(5,1), ∴点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是:(5,1). 故选:C. 点评:此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质,得出△BOD≌△FBE时,EF=BD=2,即得出F点的坐标是解决问题的关键. 二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分) 11、(2011•丽水)“x与y的差”用代数式可以表示为 x﹣y . 考点:列代数式。 专题:和差倍关系问题。 分析:用减号连接x与y即可. 解答:解:由题意得x为被减数,y为减数, ∴可得代数式x﹣y. 故答案为:x﹣y. 点评:考查列代数式;根据关键词得到运算关系是解决本题的关键. 12、(2011•丽水)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是 在4<x<12之间的数都可 (写出一个即可). 考点:三角形三边关系。 专题:开放型。 分析:根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于三边”,求得第三边的取值范围,即可得出结果. 解答:解:根据三角形的三边关系,得 第三边应大于8﹣4=4,而小于8+4=12, 又∵三角形的两边长分别为4和8, ∴4<x<12, 故答案为在4<x<12之间的数都可. 点评:考查了三角形的三边关系,根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式,确定取值范围即可. 13、(2011•丽水)在中国旅游日(5月19日),我市旅游部门对2011年第一季度游客在丽水的旅游时间作抽样调查,统计如下: 旅游时间 当天往返 2~3天 4~7天 8~14天 半月以上 合计 人数(人) 76 120 80 19 5 300 若将统计情况制成扇形统计图,则表示旅游时间为“2~3天”的扇形圆心角的度数为 144° . 考点:扇形统计图。 分析:根据有关数据先算出旅游时间为“2~3天”的在总体中所占的百分数,再算出各部分圆心角的度数,公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°. 解答:解:根据题意得,旅游时间为“2~3天”的占总数的=40%, 圆心角为360°×40%=144°. 故答案为:144°. 点评:本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°. 14、(2011•丽水)从﹣2,﹣1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标,该点在第四象限的概率是. 考点:列表法与树状图法;点的坐标。 专题:数形结合。 分析:列举出所有情况,看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可. 解答:解:共有6种情况,在第四象限的情况数有2种, 所以概率为. 故答案为:. 点评:考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到在第四象限的情况数是解决本题的关键. 15、(2011•丽水)如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是. 考点:平行四边形的性质;平行线的性质;三角形的面积;三角形内角和定理;含30度角的直角三角形;勾股定理。 专题:计算题。 分析:根据平行四边形的性质得到AB=CD=3,AD=BC=4,根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°,根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°,根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长,根据三角形的面积公式即可求出答案. 解答:解:∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD=3,AD=BC=4, ∵EF⊥AB, ∴EH⊥DC,∠BFE=90°, ∵∠ABC=60°, ∴∠HCB=∠B=60°, ∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°, ∵E为BC的中点, ∴BE=CE=2, ∴CH=BF=1, 由勾股定理得:EF=EH=, ∴△DEF的面积是S△DHF﹣S△DHE=DH•FH﹣DH•EH=×(1+3)×2﹣×(1+3)×=2 , 故答案为:2. 点评:本题主要考查对平行四边形的性质,平行线的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形,三角形的面积,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键. 16、(2011•丽水)如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOB=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为.在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O´B´. (1)当点O´与点A重合时,点P的坐标是 (4,0) ; (2)设P(t,0),当O´B´与双曲线有交点时,t的取值范围是 4≤t≤或≤t≤﹣4 . 考点:反比例函数综合题;解二元一次方程组;根的判别式;解一元一次不等式;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;三角形内角和定理;含30度角的直角三角形;勾股定理。 专题:计算题。 分析:(1)当点O´与点A重合时,即点O与点A重合,进一步解直角三角形AOB,利用轴对称的现在解答即可; (2)求出∠MP′O=30°,得到OM=t,OO′=t,过O′作O′N⊥X轴于N,∠OO′N=30°,求出O′的坐标,同法可求B′的坐标,设直线O′B′的解析式是y=kx+b,代入得得到方程组,求出方程组的解即可得到解析式y=()x﹣t2+t,求出反比例函数的解析式y=,代入上式整理得出方程(2t﹣8)x2 +(﹣t2+6t)x﹣4=0,求出方程的判别式b2﹣4ac≥0,求出不等式的解集即可. 解答:解:(1)当点O´与点A重合时 ∵∠AOB=60°,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O´B´. AP′=OP′, ∴△AOP′是等边三角形, ∵B(2,0), ∴BO=BP′=2, ∴点P的坐标是(4,0), 故答案为:(4,0). (2)解:∵∠AOB=60°,∠P′MO=90°, ∴∠MP′O=30°, ∴OM=t,OO′=t, 过O′作O′N⊥X轴于N, ∠OO′N=30°, ∴ON=t,NO′=t, ∴O′(t,t), 同法可求B′的坐标是(,t﹣2), 设直线O′B′的解析式是y=kx+b,代入得;, 解得:, ∴y=()x﹣t2+t, ∵∠ABO=90°,∠AOB=60°,OB=2, ∴OA=4,AB=2, ∴A(2,2),代入反比例函数的解析式得:k=4, ∴y=,代入上式整理得:(2t﹣8)x2+(﹣t2+6t)x﹣4=0, b2﹣4ac=﹣4(2t﹣8)•(﹣4)≥0, 解得:t≤2t≥﹣2, ∵当点O´与点A重合时,点P的坐标是(4,0) ∴4≤t≤2或﹣2≤t≤4, 故答案为:4≤t≤2或﹣2≤t≤4. 点评:本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式,勾股定理,解二元一次方程组,解不等式,含30度角的直角三角形的性质,三角形的内角和定理,根的判别式等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度. 三、解答题(本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程) 17、(2011•丽水)计算:. 考点:特殊角的三角函数值;零指数幂;二次根式的混合运算。 专题:计算题。 分析:本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答:解:, =, =. 点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. 18、(2011•丽水)已知2x﹣1=3,求代数式(x﹣3)2+2x(3+x)﹣7的值. 考点:整式的混合运算—化简求值。 专题:计算题。 分析:本题需先把2x﹣1=3进行整理,得出x的值,再把代数式进行化简合并同类项,再把x的值代入即可求出结果. 解答:解:由2x﹣1=3得x=2, 又(x﹣3)2+2x(3+x)﹣7 =x2﹣6x+9+6x+2x2﹣7=3x2+2, ∴当x=2时, 原式=14. 点评:本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题,在解题时要算出各项,再合并同类项是本题的关键. 19、(2011•丽水)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC. (结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 专题:数形结合。 分析:易得α越大,梯子顶端达到最大高度,利用70°正弦值可得最大高度AC. 解答:解:当α=70°时,梯子顶端达到最大高度,(1分) ∵sinα=,(2分) ∴AC=sin70°×6=0.94×6=5.64,(2分) ≈5.6(米). 答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.(1分) 点评:本题考查了解直角三角形的应用;判断出梯子达到最大高度时α的值是解决本题的突破点. 20、(2011•丽水)王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活98%.现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如折线统计图所示. (1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和; (2)试通过计算说明,哪个山上的杨梅产量较稳定? 考点:方差;折线统计图;算术平均数。 专题:分类讨论。 分析:(1)根据平均数的求法求出平均数,再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答. (2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定,只要求出两组数据的方差,再比较即可解答. 解答:解:(1)(千克),(1分)(千克),(1分) 总产量为40×100×98%×2=7840(千克);(2分) (2)(千克2),(1分) (千克2),(1分) ∴S2甲>S2乙.(1分) 答:乙山上的杨梅产量较稳定.(1分) 点评:本题考查了平均数与方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 21、(2011•丽水)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D,连接OA,此时有OA∥PE. (1)求证:AP=AO; (2)若tan∠OPB=,求弦AB的长; (3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 P、A、O、C ,能构成等腰梯形的四个点为 A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B . 考点:垂径定理;勾股定理;菱形的判定;等腰梯形的判定;锐角三角函数的定义。 专题:证明题。 分析:(1)由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO;然后根据平行线的性质,两直线OA∥PE,内错角∠DPO=∠POA;最后由等量代换知∠BPO=∠POA,从而根据等角对等边证明AP=AO; (2)设OH=x,则PH=2x.作辅助线OH(“过点O作OH⊥AB于点H”),根据垂径定理知AH=HB=AB;又有已知条件“tan∠OPB=”求得PH=2OH;然后利用(1)的结果及勾股定理列出关于x的一元二次方程,解方程即可; (3)根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空. 解答:(1)∵PG平分∠EPF, ∴∠DPO=∠BPO, ∵OA∥PE, ∴∠DPO=∠POA, ∴∠BPO=∠POA, ∴PA=OA;(2分) (2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=AB,(1分) ∵tan∠OPB=,∴PH=2OH,(1分) 设OH=x,则PH=2x, 由(1)可知PA=OA=10,∴AH=PH﹣PA=2x﹣10, ∵AH2+OH2=OA2,∴(2x﹣10)2+x2=102,(1分) 解得x1=0(不合题意,舍去),x2=8, ∴AH=6,∴AB=2AH=12;(1分) (3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.(2分) (写对1个、2个、3个得(1分),写对4个得2分) 点评:本题综合考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质、等腰梯形的判定定理及锐角三角函数的定义.解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算. 22、(2011•丽水)某班师生组织植树活动,上午8时从学校出发,到植树地点植树后原路返校,如图为师生离校路程s与时间t之间的图象.请回答下列问题: (1)求师生何时回到学校? (2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发,与师生同路匀速前进,早半小时到达植树地点,请在图中,画出该三轮车运送树苗时,离校路程s与时间t之间的图象,并结合图象直接写出三轮车追上师生时,离学校的路程; (3)如果师生骑自行车上午8时出发,到植树地点后,植树需2小时,要求14时前返回到学校,往返平均速度分别为每时10km、8km.现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分别是13km、15km、17km、19km,试通过计算说明哪几个植树点符合要求. 考点:一次函数的应用。 分析:(1)先根据师生返校时的路程与时间之间的关系列出函数解析式,然后看图将两组对应s与t的值代入可得到一个二元一次方程组,解此方程组可得函数解析式.当返回学校时就是s为0时,t的值; (2)根据题意直接画出该三轮车运送树苗时,离校路程s与时间t之间的图象,看图可得三轮车追上师生时,离学校的路程; (3)先设符合学校要求的植树点与学校的路程为x(km),然后根据往返的平均速度、路程和时间得到一个不等式,解此不等式可得到x的取值范围,再确定植树点是否符合要求. 解答:解:(1)设师生返校时的函数解析式为s=kt+b, 如图所示,把(12,8)、(13,3)代入上式中得, 解此方程组得, ∴s=﹣5t+68, 当s=0时,t=13.6, t=13时36分 ∴师生在13时36分回到学校; (2)该三轮车运送树苗时,离校路程s与时间t之间的图象如图所示: 由图象得,当三轮车追上师生时,离学校4km; (3)设符合学校要求的植树点与学校的路程为x(km), 由题意得:<14,解得, x<, 答:A、B、C植树点符合学校的要求. 点评:本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用一次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质;即由函数y随x的变化,结合自变量的取值范围确定最值. 23、(2011•丽水)在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. (1)当n=1时,如果a=﹣1,试求b的值; (2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式; (3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O. ①试求当n=3时a的值; ②直接写出a关于n的关系式. 考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:计算题;规律型。 分析:(1)根据已知得到抛物线对称轴为直线x=,代入即可求出b; (2)设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1,由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(,2),把B、M的坐标代入得到方程组,求出a、b的值即可得到抛物线解析式; (3)①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△CBD,得出,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理OD2+CD2=OC2,求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可; ②根据(1)、(2)①总结得到答案. 解答:(1)解:由题意可知,抛物线对称轴为直线x=, ∴,得b=1, 答:b的值是1. (2)解:设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1, 由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(,2),, 解得 ∴所求抛物线解析式为, 答:此时抛物线的解析式是. (3)解:①当n=3时,OC=1,BC=3, 设所求抛物线解析式为y=ax2+bx, 过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△CBD, ∴, 设OD=t,则CD=3t, ∵OD2+CD2=OC2, ∴(3t)2+t2=12,∴, ∴C(,),又B(,0), ∴把B、C坐标代入抛物线解析式,得 解得:a=, 答:a的值是﹣. ②答:a关于n的关系式是. 点评:本题主要考查相似三角形的性质和判定,正方形的性质,用待定系数法求二次函数的解析式,解二元一次方程组,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,题型较好综合性强. 24、(2011•丽水)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度; (2)当DE=8时,求线段EF的长; (3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;勾股定理;弧长的计算;平行线分线段成比例。 专题:代数几何综合题。 分析:(1)连接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC=AO=5,根据弧长公式求解; (2)连接OD,由垂直平分线的性质得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依题意证明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF; (3)存在.当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时,分为①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②当交点E在点C的右侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③当交点E在点O的左侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三种情况,分别求E点坐标. 解答:(1)连接BC, ∵A(10,0),∴OA=10,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧AB的长=;(4分) (2)连接OD, ∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中, OE==, ∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4, 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, ∴,即,∴EF=3;(4分) (3)设OE=x, ①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角 形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB, 当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC 中点,即OE=, ∴E1(,0); 当∠ECF=∠OAB时,有CE=5﹣x,AE=10﹣x, ∴CF∥AB,有CF=, ∵△ECF∽△EAD, ∴,即,解得:, ∴E2(,0); ②当交点E在点C的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA, ∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO, 连接BE, ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线, ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE,∴, ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED,∴, 而AD=2BE,∴, 即,解得,<0(舍去), ∴E3(,0); ③当交点E在点O的左侧时, ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF. ∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO 连接BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴, 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°, ∴△CEF∽△AED,∴, 而AD=2BE,∴, ∴,解得,<0(舍去), ∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0), 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似, 此时点E坐标为:E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).(4分) 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理的运用,圆周角定理,弧长公式的运用.关键是理解题意,根据基本条件,图形的性质,分类求解.查看更多