中考二次函数专题含答案

中考二次函数专题含答案

‎1.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．‎ ‎2. 在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.‎ ‎（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；（2）连结，点是位于线段 上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.‎ ‎3. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的 对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．‎ 第25题图 ‎4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为 ‎（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2‎ ‎）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．‎ ‎5. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．‎ ‎6. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若 Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎7. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D． （1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标． ‎ ‎ ‎ ‎1.【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，‎ ‎∴A（0，﹣3），∵B（﹣4，﹣5），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，‎ ‎（2）存在，设P（m，m2+m﹣3），（m＜0），∴D（m， m﹣3），∴PD=|m2+4m|∵PD∥AO，‎ ‎∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，∴|m2+4m|=3，‎ ‎①当m2+4m=3时，∴m1=﹣2﹣，m2=﹣2+（舍），∴m2+m﹣3=﹣1﹣，∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），‎ ‎②当m2+4m=﹣3时，∴m1=﹣1，m2=﹣3，Ⅰ、m1=﹣1，∴m2+m﹣3=﹣，∴P（﹣1，﹣），‎ Ⅱ、m2=﹣3，∴m2+m﹣3=﹣，∴P（﹣3，﹣），‎ ‎∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣），（﹣1，﹣），（﹣3，﹣）．‎ ‎（3）如图，∵△PAM为等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，‎ ‎∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，‎ 设直线AP解析式为y=kx﹣3，∵直线AB解析式为y=x﹣3，∴k==3，‎ ‎∴直线AP解析式为y=3x﹣3，联立，∴x1=0（舍）x2=﹣‎ 当x=﹣时，y=﹣， ∴P（﹣，﹣）．‎ ‎2. 解析：（1）∵、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，‎ ‎∴.∴.…………………(1分)‎ 设经过、、三点的抛物线解析式为，‎ 则有，解得：. ‎ ‎∴抛物线解析式为.‎ ‎（2）如图4.1所示，设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分，‎ ‎∴或，过作于点，则∥.‎ ‎ ∴∽,∴.∴当时，，‎ ‎∴，∴.‎ 设直线解析式为，则可求得其解析式为，‎ ‎∴，∴（舍去）， ∴.‎ 当时，同理可得.‎ ‎（3）设平移的距离为，与重叠部分的面积为.‎ 可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为.‎ 的解析式为，与轴交点坐标为. ………(9分)‎ ‎ ①如图4.2所示，当时，与重叠部分为四边形.‎ 设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.‎ 由，得 ，∴.……………(10分)‎ ‎∴‎ ‎ . ∴的最大值为.‎ ‎②如图所示，当时，与重叠部分为直角三角形. ‎ 设与轴交于点， 与交于点.则，‎ ‎，.‎ ‎∴.‎ ‎∴当时，的最大值为.‎ 综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.‎ ‎3. （1）依题意，得　解之，得∴抛物线解析式为．‎ ‎∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），∴B（－3，0）．‎ 把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得 ‎ PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.‎ ‎①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10. 解之,得t＝－2.‎ ‎②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．‎ ‎③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即 4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．‎ ‎4. 解答：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），‎ 解得抛物线的函数表达式为 ‎，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A 的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）设直线l的函数表达式为．点D（6，－8）在直线l上，‎ ‎6k=－8，解得．直线l的函数表达式为点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，－4）‎ ‎（2）抛物线上存在点F，使≌．点F的坐标为（）或（）．‎ ‎（3）解法一：分两种情况： ‎ ‎①当时，是等腰三角形．‎ 点E的坐标为（3，－4），，过点E作直线ME//PB，‎ 交y轴于点M，交x轴于点H，则，‎ 点M的坐标为（0，－5）．‎ 设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）‎ 又MH//PB，，即，‎ ‎②当时，是等腰三角形．‎ 当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），‎ ‎，OE=CE，，又因为，，‎ ‎，CE//PB设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为（6，0）‎ CN//PB，，，解得 综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．‎ 解法二：当x=0时， ，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为 ‎（3，－4），，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：‎ ① 当时，是等腰三角形．‎ ‎，，CE//PB 又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，‎ ‎，HM//y轴，‎ ‎∽， ‎ ‎②当时，是等腰三角形．‎ 轴，∽，，‎ ‎，，‎ 轴，∽，‎ 当m的值为或时，是等腰三角形．‎ ‎5. 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．‎ ‎∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．‎ ‎∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），‎ ‎∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．‎ ‎（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，‎ ‎∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），‎ 又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．‎ ‎（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，‎ ‎∴CH=2，‎ 在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，‎ ‎∴tan∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，‎ ‎∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．‎ ‎6. 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．‎ ‎∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），∵C（0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a，‎ ‎∴a=﹣，∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，‎ ‎∵CD垂直于y轴，C（0，4）∴﹣x2+x+4=4，∴x=6，∵D（6，4），‎ ‎（2）如图1，∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，‎ ‎∴F（3，），∴FH=，∵GH∥A1O1，∴，‎ ‎∴，∴GH=1，‎ ‎∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，‎ ‎∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．‎ ‎（3）①当0＜t≤3时，如图2，∵C2O2∥DE，∴，‎ ‎∴，∴O2G=t，∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，‎ ‎②当3＜t≤6时，如图3，∵C2H∥OC，∴，‎ ‎∴，∴C2H=（6﹣t），∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH ‎=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）‎ ‎=t2﹣3t+12‎ ‎∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．‎ ‎7. 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，‎ 连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）知，OC=4，‎ ‎∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，‎ ‎∴=，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4）‎ ‎∵点E′在抛物线上，∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，‎ ‎∴h=0（舍）h=∴E′（1，），‎ ‎②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同①的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）‎ ‎（3）①CM为菱形的边，如图2，‎ 在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，‎ 交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，‎ ‎∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，‎ ‎∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，﹣ m2+m+4），‎ 在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），‎ ‎∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，∴m=﹣m2+2m，∴m=0（舍）或m=4﹣2，‎ 菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．‎ ‎②CM为菱形的对角线，如图3，‎ 在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，‎ 交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，‎ ‎∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，‎ ‎∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，‎ ‎∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，‎ 设点P（n，﹣ n2+n+4），∴CQ=n，OQ=n+2，∴n+4=﹣n2+n+4，∴n=0（舍），‎ ‎∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4﹣4．‎ ‎8. 解：（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得， ‎ 故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x，∵BC∥x轴，设C（x0，2）．∴x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2， ‎ ‎∵x0＜0 ∴C（﹣，2）； ‎ ‎ ‎ ‎（2）设△BCM边BC上的高为h，∵BC=， ∴S△BCM=h=， ∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，∴M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0， 解得：x1=0，x2=，∴M1（0，0），M2（，0），令y=x2﹣x=4， ‎ 解得：x3=，x4=，∴M3（，0），M4（，4）， ‎ 综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）； ‎ ‎ ‎ ‎（3）∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2）， ∴OB=2，OA=，OC=， ‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=， ①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON， ‎ ‎∴ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E， ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE， ‎ 在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=， ∴OE=4，NE=3， ∴N（4，3）同理可得N（3，4）； ‎ ‎②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN， ∴BN=2OC=5， ‎ 过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F， ∴NF⊥BF， ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，∴tan∠NBF=tan∠COD=， ∴BF=4，NF=3， ‎ ‎∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1）， ‎ 综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎