中考数学分式与分式方程押轴题专练

中考数学分式与分式方程押轴题专练

分式与分式方程的押轴题解析汇编一 ‎ 分式与分式方程 ‎1. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程有增根，则m的值为（ ）‎ A．0和3 B‎.1 C.1和-2 D.3 ‎ ‎【解题思路】使分式方程的分母为零的根叫方程的增根，把分式方程化为整式方程解的过程中易产生增根，此分式方程的增根是1或-2，把增根分别代入去分母后的方程x+2-(x+1)(x+2)=m得，m=3或0，但当m=0,原方程的根x=2,不是增根，所以m=3.‎ ‎【答案】D ‎【点评】主要考查分式方程增根的相关知识，易错点是m=0没有舍去，而误选A。难度中等.‎ ‎2．（2011，天津，12，3分）若分式的值为0，则x的值等于 ．‎ ‎【解题思路】：分式值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0。‎ ‎【答案】：1‎ ‎【点评】：本题考察了分式值为0的条件，先列出方程（不等式），再求解。注意两个方面，不可顾此失彼。难度中等。‎ ‎3、（2011山西，9，2分）方式方程的解为（ ）‎ ‎ A、x=﹣1 B、x=‎1 C、x=2 D、x=3‎ ‎【解题思路】先将方式方程转化为整式方程，去分母可得x+3=4x，解得x=1，经检验x=1是原方程的根。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题主要考察方式方程的解法，一般解方式方程先将方式方程转化为整式方程然后再求解，另外解方式方程要检验。难度较小。‎ ‎4．（2011广西桂林，15，3分）当时，代数式的值是 ．‎ ‎【解题思路】直接代入求值 ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查了求代数式的值。难度较小．‎ ‎5.（2011年四川省南充市8题3分）8.当分式的值为0时，x的值是（ ）‎ ‎（A）0 （B）1 （C）－1 （D）－2‎ ‎【解题思路】分式值为0的条件是分子为0，分母不等于0.‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查的是分式的基本概念，分式值为0的条件。‎ ‎6.（山东临沂 第5题 3分）化简（x－）÷(1－)‎ A. B.x－‎1 C. D.‎ 解题思路：把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分解因式. ‎ 解答：（x－）÷(1－)=.故选B.‎ 点评：本题考查了分式的运算.先把括号里的分式通分并运算，特别是分子2x-1运算时要加括号，为了便于约分，分子x2-2x+1要用公式法因式分解并把除法变成乘法.本题难度较小.‎ ‎8.（山东省威，8,3分）计算1÷×（m2-1）的结果是（ ）.‎ A.-m2‎-2m-1 B.-m2+‎2m-1 C.m2‎-2m+1 D.m2-1‎ ‎【解题思路】统一成乘法运算，再分解因式，然后约分即可.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【点评】本题考查因式分解、分式的乘除法运算、整式的乘法元素按，正确运算，即可得出正确结论.难度较小.‎ ‎9．（2011四川眉山，7，3分）化简：结果是 A． B． C． D． ‎ ‎【解题思路】根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．‎ ‎【答案】原式=‎ 故选B ‎【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．难度较小．‎ ‎10．（2011四川乐山，11，3分）当x= 时，‎ ‎【解题思路】：解分式方程：，去分母得：x=3,检验：x-2=1≠0.‎ ‎【答案】3。‎ ‎【点评】本题是对分式方程解法的考查，先利用去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后要检验x的值是不是增根。本题难度较小。‎ ‎11． （2011四川内江，15，3分）如果分式的值是0，则x的值应为 . ‎ ‎【思路分析】分式的值等于0，则分子3x2-27=0，∴x=±3，又x=3时分母x-3=0，分式无意义，故x=-3‎ ‎【答案】-3．‎ ‎【点评】分式的值等于0的条件时分子等于0且分母不等于0；也可以转化为解分式方程求解．切勿忽略分母不能等于0这一隐含条件．‎ ‎12.(2011内蒙古呼和浩特,17(2),5分)化简:‎ ‎【解题思路】在分式的混合运算中,要先对括号里的数进行通分,再利用因式分解来化简.‎ ‎【答案】解:原式=……………………………………………(2分)‎ ‎= ………………………………………………(4分)‎ ‎= …………………………………………………………(5分)‎ ‎【点评】对于分式的运算来说,关键是正确运用因式分解进行通分和约分,尤其是完全平方公式的应用.难度较小.‎ ‎13.（山东临沂 第16题 3分）方程的解是 ‎ 解题思路：先把方程两边都乘以2（x-3）,得2x-1=x-3,去括号、整理得，x=-2,经检验x=-2是原方程的解，故填x=-2.‎ 解答：填x=-2.‎ 点评：本题考查了解分式方程的相关知识.解分式方程的关键是通过去分母把分式方程变成整式方程，解分式方程要验根是学生最容易忽略的地方，要引起重视.本题难度较小.‎ ‎14．（2011山东德州，12，4分）当时，=_____________．‎ ‎【解题思路】先化简分式，再代入求值，=，当时，原式= ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【点评】对分式的化简求值的考查主要突出基础性，题目一般、不难，系数比较简单，主要考查方法的掌握．‎ ‎15． （2011四川广安，18，3分）分式方程的解=_____________‎ ‎【解题思路】本题主要考察解分式方程，去分母得：，解得x=‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考察解分式方程。‎ ‎16 .（2011山东菏泽，16(1)，6分）解方程：‎ ‎【解题思路】先去分母，在方程的两边同时乘以6x，可得到一个关于x的整式方程，再解这个整式方程即可。‎ ‎【答案】原方程两边同乘以6,得 ,整理得， 解得或。经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为或 ‎【点评】解分式方程的一般步骤是：先化为整式方程，然后解这个整式方程，最后验根。难度中等。‎ ‎17．（2011山东聊城 15，3分）化简： ．‎ ‎【解题思路】‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题本题属于基中等题，主要考查了分式的化简，主要是分解因式、约分的理解。‎ ‎18.(2011内蒙古呼和浩特,15,3分)若,则的值为________________.‎ ‎【解题思路】由等式得,因为,所以得.这时可将的分子、分母同除以,这时得到,将问题转化为求.将两边同平方,即可得到答案.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】求代数式的值是近年来中考的一个热点,解题中应注重整体的思想,通常将所求代数式用已知的代数式来表示.难度中等.‎ ‎19．（2011山东泰安，22 ，3分）化简：（－ ）÷的结果为 .‎ ‎【解题思路】本题分式的运算中，涉及分式的加减运算、乘除运算，还有括号包含在内，必须按照分式混合运算的步骤进行，否则容易出现差错. （－ ）÷ =÷== x－6.‎ ‎【答案】x－6 ‎ ‎【点评】先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内的先计算括号内的，同级运算自左向右依次运算，这是分式进行混合运算的一般步骤. 难度较小.‎ ‎20.（山东省威，19, 7分）解方程-=0‎ ‎【解题思路】将分式方程转化为整式方程,求出其解,检验后得到分式方程的解.‎ ‎【答案】解:方程两边都乘以(x+1)(x-1),得3(x+1)-(x+3)=0，‎ ‎ 3x+3-x-3=0‎ ‎ 2x=0‎ ‎ X=0‎ ‎ 检验：将x=0代入原方程，得左边=0=右边.‎ ‎ 所以，x=0是原方程的根.‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解法，注意一定要验根.难度较小.‎ ‎（2011年四川省南充市15题6分）15.先化简，再求值：(－2),其中x=2.‎ ‎【解题思路】先化简再求值，应注意运算顺序。先通分进行加减运算，然后再进行乘法运算会更简洁。‎ ‎【答案】解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 当x=2时，原式=－1‎ ‎【点评】分式的化简涉及到分式的加减乘除及其混合运算，分式中出现多项式一般先考虑分解因式，能约分再约分，异分母分式化成同分母分式，最后结果化成最简形式。‎ ‎21．(本题满分8分) （2011山东枣庄，19,8分）先化简，再求值：÷，其中x＝－5．‎ ‎【解题思路】分式的加减运算在通分时注意1要写成，所以1＋可以写成 ‎=，将除式的分式的分子、分母分解因式后再转化为乘法，最后约分化简，再代入求值．‎ ‎【答案】＝ ＝ ＝, 当时，原式＝＝．‎ ‎【点评】考查学生对分式的运算的掌握程度，包括分式的减法与乘法，注意运算顺序是正确解答该题的关键，易错的地方是：在计算时容易和分式方程混淆，不能乘以最简公分母去分母而是分母通分，分子分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分．难度中等．‎ ‎22 （（2011山东日照，18，6分））化简，求值： ） ，其中m=．‎ ‎【解题思路】‎ ‎【答案】解：原式= ‎ ‎ =……………………………2分 ‎ = =‎ ‎ = =．………………………………………………5分 ‎ ∴当m=时，原式=．………………………………6分 ‎【点评】分式的混合运算，要牢记运算法则和运算顺序，并能灵活应用，分式的运算结果应是最简分式或整式．这里要强调一下，在进行分式通分后，根据分式加减法法则进行分式的加减运算，是分母不变，把分子相加减，有些同学生容易受解分式方程去分母这一步的影响，同时把分母去掉了，要引起重视，不能相混淆．‎ ‎23．（2011四川绵阳19⑵，8分）解方程：＝1．‎ ‎【解题思路】解分式方程，在分式方程的两边乘以分母的最简公分母，去掉分母，得到整式方程．然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出整式方程的解．最后把整式方程的解代入最简公分母，当最简公分母不等于0时，这个解就是分式方程的解，当最简公分母等于0时，这个解不是分式方程的解，是增根．‎ ‎【答案】、2x(2x+5)－2(2x－5)＝(2x+5)(2x－5)，‎ ‎6x＝－35，‎ x＝－．‎ 检验：把x＝－代入(2x+5)(2x－5)，(2x+5)(2x－5)≠0，∴x＝－是原方程的解．‎ ‎【点评】把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，得出整式方程的解，然后进行检验．‎ ‎24 （2011四川广安，22，8分）先化简，然后从不等组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．‎ ‎【解题思路】先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值。‎ ‎【答案】解：原式=‎ ‎ =‎ 解不等组得：－5≤x＜6‎ 选取的数字不为5，－5，0即可（答案不唯一）‎ ‎【点评】本题考察分式的化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义的值。中等 ‎25（山东 济宁）16、（5分）计算：‎ ‎【解题思路】此题计算时要按照运算顺序来运算，先算括号内的得=，再进行分式除法运算，化除为乘，进行约分，化简结果为最简分式。‎ ‎【答案】‎ 解：原式=…………………2分 ‎ = …………………4分 ‎= …………………5分 ‎【点评】此题考查了分式的运算，计算时要注意运算顺序。难度中等。‎ ‎26 （2011山东烟台，19,6分）（满分6分）先化简再计算：‎ ‎，其中x是一元二次方程的正数根.‎ ‎ 【解题思路】先化简原分式，原式===.再 解方程得得，‎ ‎ ，.所以原式==（或）.‎ ‎【答案】解：原式===. 解方程得得，，.所以原式==（或）‎ ‎【点评】本题考查分式的化简和一元二次方程的解法，解题的关键有二：先将利用分式的混合运算法则化简分式，另一个是解一元二次方程要正的根，不要疏忽。难度较小。 ‎ ‎27．（2011广东省，16，7）某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？‎ ‎【解题思路】学生要能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高自己分析问题和解决问题的能力；同时通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。‎ ‎【答案】解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得 化简，得 ‎ 解得 (不合，舍去)，‎ ‎ 经检验：符合题意 答：该品牌饮料一箱有10瓶 ‎【点评】“买一送三”促销活动的问题是贴近生活的热点问题，是老百姓最关心的问题之一，体现了数学的新课程中学以致用的理念．难度中等．‎ ‎28．(本题满分10分) （2011山东德州，21，10分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．‎ ‎（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？‎ ‎（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．‎ ‎【解题思路】设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．然后再根据甲、乙两队合作完成工程需要30天，列出方程即可，设计施工方案时，可以是甲工程队单独完成，也可以是甲乙两队合作完成．‎ ‎【答案】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．根据题意得：．方程两边同乘以x（x+25），得 30（x+25）+30x= x（x+25），即x2-35x-750=0．解之，得x1=50，x2=－15．经检验，x1=50，x2=－15都是原方程的解．但x2=－15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．‎ 答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天． ‎ ‎（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．‎ 方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：2500×50=125000（元）．‎ 方案二：甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．‎ 其它方案略．‎ ‎【点评】列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是相同的，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，同时，解出分式方程后注意检验求出的值是不是方程的解，是否符合实际意义．最后按照题目要求设计方案．有一定的难度．‎ ‎29．（2011山东泰安，25 ，8分）某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务，已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍. 求甲、乙两车间每天加工零件各多少件？‎ ‎【解题思路】直接设元后，构造方程的相等关系：乙车间加盟后甲、乙两车间完成加工任务的时间比原计划少了12天.‎ ‎【答案】设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个.‎ 根据题意，得： － =12‎ 解之，得x=60‎ 经检验，x=60是方程的解，符合题意.‎ 此时1.5x=90.‎ 答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个，90个 ‎【点评】本题是一道典型的列分式方程解应用题的试题，它步骤和列一元一次方程解应用题的步骤基本相同. 关键步骤也是找相等关系，特别要注意的是分式方程的根不仅要检验，而且还要考虑是否符合实际. 难度较小.‎ ‎30．（2011山东聊城 22，8分）（本题共8分）徒骇河风景区建设是今年我市重点工程之一。某工程公司承担了一段河底清淤工程，需清淤4万方，清淤1万方后，该公司为提高工程进度，又新增一批工程机械参与施工，工效提高到原来的2倍，共用25天完成任务。问该工程公司新增工程机械后每天清淤多少方？‎ ‎【解题思路】此题中存在两个等量关系“工效提高到原来的2倍”，“ 共用25天完成任务”，根据问题所求，第一个等量关系可用来设未知数，第二个等量关系可用来列方程.‎ ‎【答案】解：设该工程公司原来每天清万方，由题意得 ‎，解得 。‎ 经检验是原分式方程的解。‎ 则。‎ 即该工程公司新增工程机械后每天清淤0.2万方。‎ ‎【点评】本题属于难度比较大的问题，所考察的知识点比较单一，主要是考查利用分式方程解决实际问题，这种问题是中考中的常见问题，通常是以社会生活中的热点问题为背景．‎ ‎31．（2011内蒙古乌兰察布，19，8分）先化简再求值其中a=+1‎ ‎【解题思路】原式=‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，原式 ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查分式的运算及其中所涉及的因式分解、约分等知识点，还有代入求值时的分母有理化，难度较小.‎ ‎32(2011河北省，22，8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工.‎ ‎（1）问乙单独整理多少分钟完工？‎ ‎（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？‎ ‎【分析与解】（1）本题为工程问题应用题，工作总量为单位1，根据题意不难列出数量关系式：甲完成的工作＋乙完成的工作＝1；（2）通过不等关键词“不超过”，可列不等式，进而可求解.‎ ‎（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：‎ ＋＝1‎ 解得：x＝80.‎ 经检验x＝80是原方程的解.‎ 答：乙单独整理80分钟完工.‎ ‎（2）设甲整理y分钟完工，根据题意得：‎ ＋≥1，解得：y≥25‎ 答：甲至少整理25分钟完工.‎ ‎（注：以下解答也给分.设甲、乙分别整理y，z分钟，得＋＝1.∴z＝80－2y ‎∵z≤30，∴80－2y≤30，∴y≥25.）‎ ‎【点评】本题属于中等题，为方程与不等式应用题，这类试题是河北省近十年间首次进入中考，希望同仁们要关注这类考题，解题的关键是建立正确的数学模型.‎ ‎33、（本大题共2小题，第1小题8分，第2小题6分，共14分）‎ ‎（2011山西，19（1），8分）先化简，再求值 ‎【解题思路】先将化简，然后再将代入进行计算。‎ ‎【答案】解：原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，原式===﹣2‎ ‎【点评】本题主要考察分式的化简，以及代入求值。做此题时要灵活运用整式的运算公式及因式分解来进行约分，代入求值时要注意符号。难度较小。‎ ‎34．（2011黑龙江绥化，21，5分）先化简，再求值：，其中a=sin60°.‎ ‎【解题思路】先把所给分式化简，然后求出a的值代入化简后的式子计算。‎ ‎【答案】原式=，把a=sin60°=代入得，原式= .‎ ‎【点评】主要考查分式运算与特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键。难度较小。‎ ‎（2）（2011浙江衢州，17（1）,4分）化简：‎ ‎【解题思路】本题应先化简，再代入数值计算。‎ ‎【答案】原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎【点评】本题考查的分式的化简及运算，分式加减分为同分母的与异分母相加减，异分母的应先同分，找出公分母，化为同分母的，在进行相加减.难度较小.‎ ‎35．（2011浙江台州18，8分）解方程：‎ ‎【解题思路】观察可得最简公分母是2x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎【答案】解：去分母得 4X=X-3 4x-x=-3‎ ‎ 3x=—3 x=-1‎ ‎ 经检验：x=-1是原方程的解．所以原方程的解是x=-1‎ ‎【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．难度不大 ‎36．（2011浙江舟山、嘉兴，21，8分）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．‎ 嘉兴 舟山 东海 ‎（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；‎ ‎（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：‎ 大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥 大桥长度 ‎48千米 ‎36千米 过桥费 ‎100元 ‎80元 我省交通部门 规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费．‎ ‎【解题思路】设舟山到嘉兴的高速公路路程，利用总路程和来回所用时间表示出来回的速度，利用其速度的关系列出方程求得两地之间的路程即可。分别求得x、b和y的值后代人到求得a的值即可。‎ ‎【答案】解：（1）设舟山与嘉兴两地的高速公路路程为x千米， ‎ 由题意得 解得：x=360‎ 所以舟山与嘉兴两地间的高速公路路程是‎360千米。‎ ‎（2）将x=360-48-36=276，b=100+80=180,y=295.4代人 得：295.4=‎276a+180+5，‎ 解得a=0.4.‎ 所以轿车的高速公路里程费是0.4元/千米。‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用及简单的函数知识，在列方程解决实际问题时，首先要找到包含题目含义的等量关系，并根据此关系列出方程。难度中等。‎