上海市中考数学模拟试题压轴题分析11宝山25

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上海市中考数学模拟试题压轴题分析11宝山25

例 2011年上海市宝山区中考模拟第25题 如图1,已知⊙O的半径长为1,PQ是⊙O的直径,点M是PQ延长线上一点,以点M为圆心作圆,与⊙O交于A、B两点,联结PA并延长,交⊙M于另外一点C.‎ ‎(1) 若AB恰好是⊙O的直径,设OM=x,AC=y,试在图12中画出符合要求的大致图形,并求y关于x的函数解析式;‎ ‎(2) 联结OA、MA、MC,若OA⊥MA,且△OMA与△PMC相似,求OM的长度和⊙M的半径长;‎ ‎(3) 是否存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求OM的长度和⊙M的半径长;若不存在,试说明理由.‎ 图1 备用图 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“11宝山25”, 双击按钮“A、O、B共线”,再拖动点M运动,从图像中可以看到y是x的一次函数;双击按钮“第(2)题”,拖动点M运动,可以体验到△PMC保持直角三角形,双击按钮“∠P=∠AMO”,可以准确显示两个三角形相似;双击按钮“第(3)题”,先拖动点A,使得点C落在射线PA上,再双击按钮“⊙M过点C”,可以体验到,⊙A与⊙M关于AB对称.‎ 请打开超级画板文件名“11宝山25”,‎ 思路点拨 ‎1.这三道题目强烈地考验大家的画图能力,图形画好了,思路就显示出来了.‎ ‎2.第(1)题先画直径AB与PQ互相垂直平分,等腰直角三角形一目了然.‎ ‎3.第(2)题根据∠OAM=90°画出点M,再画⊙M,△PMC就是直角三角形,如果△OMA与△PMC相似,Rt△OAM的两个锐角的关系就很显然.‎ ‎4.第(3)题没有图不直观,画图更难办.倒行逆施:先画好正五边形ACDEB、外接圆M以及对称轴MD,延长CA与对称轴MD的交点不就是点P?看看图形的对称性吧,思路豁然开朗.‎ 满分解答 ‎(1)图画:画直径AB垂直PQ;以M为圆心,过点A画圆交射线PA于点C.‎ 如图2,过点M作MH⊥AC,垂足为H,那么AH=CH=.‎ 因为AB与PQ互相垂直平分,所以△PAO、△PMH都是等腰直角三角形.‎ 由于PO=1,OM=x,所以PA=,PH=,PM=1+x.‎ 由PM=PH,得1+x=().‎ 整理,得y关于x的函数解析式为.‎ ‎(2)如图3,因为OA⊥MA,所以∠1与∠2互余.‎ 又因为∠1=∠C,∠2=∠P,所以∠C与∠P互余,△CMP为直角三角形.‎ 因为∠3=2∠P,所以△OMA与△PMC相似,只存在∠4=∠P的情况.‎ 在Rt△OAM中,∠3=2∠4,所以∠4=30°.‎ 所以OM=2OA=2,⊙M的半径AM=.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图4,假设存在⊙M,使得AB、AC恰好是正五边形ACDEB的两条边,‎ 那么正五边形ACDEB的对称轴是直线PQ,∠ADB=36°.‎ 由于正五边形ACDEB的外角等于72°,所以△PAB的顶角∠APB=36°.‎ 因此点P与点E关于直线AB是对称的.‎ 所以⊙M与是⊙A等圆,半径为1.‎ 如图5,设⊙M与OM交于点G,那么△MAG与△AQG都是顶角为36°的等腰三角形.因此AG=AQ=QM.‎ 设AQ=m,那么m2=1-m.解得.‎ 所以OM=OQ+QM=.‎ 考点伸展 第(3)题求OM的长,关键是求QM的长.36°的等腰三角形,不由得让人联想起黄金三角形、黄金分割、黄金分割数.如图5,由△MAG∽△AQG,得.通过解方程m2=1-m,得.因此点Q就是MG的一个黄金分割点.‎ ‎ 图5‎
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