2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形

2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形

第35课时 解直角三角形 ‎(60分)‎ 图35－1‎ 一、选择题(每题6分，共24分)‎ ‎1．[2016·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端‎30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为 (C)‎ A. m B．30sinα m C．30tanα m D．30cosα m 图35－2‎ ‎2．[2016·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是 (C)‎ A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里 ‎【解析】　根据余弦函数定义“cosA＝”得AB＝PA×cosA＝2cos55°.故选C.‎ 图35－3‎ ‎3．[2016·济宁]如图35－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝‎3 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝‎10 m，则旗杆BC的高度为 (A)‎ A．‎5 m B．‎6 m C．‎8 m D．(3＋)m ‎【解析】　设CD＝x，则AD＝2x，‎ 由勾股定理可得，AC＝x，∵AC＝‎3 m，∴x＝3，‎ ‎∴x＝‎3 m，∴CD＝‎3 m，∴AD＝2×3＝‎6 m，‎ 在Rt△ABD中，BD＝‎8 m，∴BC＝8－3＝‎5 m.‎ 图35－4‎ ‎4．[2016·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为‎1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，‎ 6‎ 再向电视塔方向前进‎100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为 (C)‎ A．50 B．51‎ C．50＋1 D．101‎ ‎【解析】　由矩形CDFE，得DF＝CE＝‎100 m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝‎1 m，因为∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝‎100 m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝×100＝‎50 m，所以AB＝50＋1.故选C.‎ 二、填空题(每题6分，共18分)‎ 图35－51‎ ‎5．[2016·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 ‎000 m，则他实际上升了__1__000__m.‎ 第5题答图 ‎【解析】　图35－5过点B作BC⊥水平面于点C，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵AB＝2 ‎000 m，∠A＝30°，‎ ‎∴BC＝AB·sin30°＝2 000×＝1 000(m)．‎ 图35－6‎ ‎6．[2016·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为‎9 m，则旗杆AB的高度是__9＋3__m．(结果保留根号)‎ ‎【解析】　在Rt△ACD中，‎ ‎∵tan∠ACD＝，‎ ‎∴tan30°＝，‎ ‎∴AD＝‎3 m，‎ 在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝‎9 m，‎ ‎∴AB＝AD＋BD＝3＋9(m)．‎ 图35－7‎ ‎7．[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D 6‎ 处的俯角是30°.已知楼房高AB约是‎45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.‎ ‎【解析】　∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，‎ ‎∴∠ADB＝30°，‎ 在Rt△ABD中，tan30°＝，‎ ‎∴＝，∴AD＝45，‎ ‎∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，‎ ‎∴在Rt△ACD中，‎ CD＝AD·tan60°＝45×＝135(m)．‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎8．(10分)[2016·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕头上的点A到调节器点O处的距离为‎80 cm，AO与地面垂直．现调节靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)‎ ‎(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)‎ 图35－8‎ ‎　　　‎ 第8题答图 解：如答图，过点A′作A′B⊥AO，交AO于B点，在Rt△A′BO中 cos35°＝，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，‎ ‎∴AB＝80－66＝‎14 cm，‎ 答：降低了‎14 cm.‎ ‎9．(10分)[2016·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退‎10 m到点D，再次测得点A的仰角为30°，求树高．(结果精确到‎0.1 m．参考数据：≈‎ 6‎ ‎1.414，≈1.732)‎ 图35－9‎ 解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝‎10 m，‎ 设CB＝x，则AB＝x，DB＝x，‎ ‎∵DC＝‎10 m，‎ ‎∴x＝x＋10，‎ ‎∴(－1)x＝10，‎ 解得x＝＝5＋5≈5×1.732＋5≈13.7.‎ 答：树高为‎13.7 m.‎ ‎(24分)‎ ‎10．(12分)[2016·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为‎200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)‎ 图35－10‎ 解：在直角△ADB中，‎ ‎∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝‎200 m，‎ ‎∴BD＝AB＝‎100 m，‎ 在直角△CEB中，‎ ‎∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝‎200 m，‎ ‎∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝‎134 m，‎ ‎∴BD＋CE≈100＋134＝‎234 m.‎ 6‎ 答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为‎234 m.‎ ‎11．(12分)[2016·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为‎4 m，B，C在同一水平地面上．‎ ‎(1)求斜坡AB的水平宽度BC；‎ ‎(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝‎2.5 m，EF＝‎2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝‎3.5 m时，求点D离地面的高．(参考数据：≈2.236，结果精确到‎0.1 m)‎ 图35－11‎ ‎　　　‎ 第11题答图 解：(1)∵坡度为i＝1∶2，AC＝‎4 m，‎ ‎∴BC＝4×2＝‎8 m；‎ ‎(2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.‎ ‎∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，‎ ‎∴∠GDH＝∠SBH，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵DG＝EF＝‎2 m，∴GH＝‎1 m，‎ ‎∴DH＝ m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝‎5 m，‎ 设HS＝x m，则BS＝2x m，‎ ‎∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝ m，‎ ‎∴DS＝＋＝2≈‎4.5 m.‎ ‎∴点D离地面的高为‎4.5 m.‎ ‎(14分)‎ 图35－12‎ ‎12．(14分)[2017·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C 6‎ 处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继 续向东航行‎30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)‎ 第12题答图 解：如答图，作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，‎ ‎∴∠AFC＝∠AEC＝90°.‎ ‎∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°，‎ ‎∴四边形AFCE是正方形．‎ 设AF＝FC＝CE＝AE＝x，则FD＝x＋30，‎ ‎∵tanD＝，∠AFD＝90°，∠D＝30°，‎ ‎∴＝，解得x＝15＋15，‎ ‎∴AE＝CE＝15＋15.‎ ‎∵tan∠BCE＝，∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，‎ ‎∴＝，解得BE＝15＋5.‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝15＋15＋15＋5＝20＋30.‎ ‎∴A，B间的距离为(20＋30)海里．‎ 6‎