中考数学压轴题汇编六

中考数学压轴题汇编六

‎2009年中考数学压轴题汇编（六）‎ ‎（2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；‎ y x B A O D ‎（第26题）‎ ‎（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．‎ ‎26．解：（1）已知抛物线经过，‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为． 2分 ‎（2），，‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时，由得，‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．‎ 平移后的抛物线解析式为：． 5分 ‎（3）点在上，可设点坐标为 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ 将配方得，其对称轴为． 6分 ‎①当时，如图①，‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为． 8分 ‎②当时，如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为．‎ 综上，点的坐标为或． 10分 ‎（2009年武汉市）25．（本题满分12分）‎ y x O A B C 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且 ‎，求点的坐标．‎ ‎25．解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ y x O A B C D E P F ‎（3）方法一：作于，于．‎ 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ ‎（2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 ‎(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。‎ ‎27、（1）EO＞EC，理由如下：‎ 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 ‎（2）m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎（3）∵CO=1， ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分 作QI⊥EO于I，EI=，IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1‎ ‎∴可求得，c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎（4）由（3），‎ 当时，＜AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：‎ ‎①时，∴K点坐标为或 ‎②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时，‎ ‎②当∠RTP=60°时，‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎（2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分）‎ 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）‎ ‎（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。‎ ‎24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ‎ ‎②成立，理由如下：‎ ‎∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ‎∴△BAD≌△CAF ‎∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD …………（1分）‎ ‎（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：‎ 如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………（1分）‎ ‎∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）‎ ‎（3）如图：作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°‎ ‎∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC ………（1分）‎ ‎∴=‎ 设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x 则= …………（1分）‎ ‎∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1‎ 当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）‎