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文档介绍
中考压轴题及答案图形的旋转
初三数学中考压轴题复习——图形的旋转 一.解答题(共10小题,满分100分,每小题10分) 1.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转α解(0°<α<90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,过点M作MN∥DE交AE于点N,连接NC.设BC=4,BM=x,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC. (1)求证:△MNC是直角三角形; (2)试求用x表示S△MNC的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)以点N为圆心,NC为半径作⊙N, ①当直线AD与⊙N相切时,试探求S△MNC与S△ABC之间的关系; ②当S△MNC=S△ABC时,试判断直线AD与⊙N的位置关系,并说明理由. 2.(10分)直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A′B′C, (1)如图,当A′B′边经过点B时,求旋转角α的度数; (2)在三角板旋转的过程中,边A′C与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E,连接BE. ①当0°<α<90°时,设AD=x,BE=y,求y与x之间的函数解析式及定义域; ②当时,求AD的长. 3.(10分)将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转a角(0°∠a∠90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,在AE上取点N,使∠MCN=90°.设AC=2,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC. (1)求证:MN∥DE; (2)以点N为圆心,NC为半径作⊙N, ①当直线AD与⊙N相切时,试S△MNC与S△ABC之间的关系; ②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时,试探求直线AD与⊙N的各种位置. 4.(10分)含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE. (1)如图1,当A'B'边经过点B时,α= _________ °; (2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论; (3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系. 5.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,D是AB中点,等腰直角三角板的直角顶点落在点D上,使三角板绕点D旋转. (1)如图1,当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时,线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明. (2)如图1,设AF=x,四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围. (3)在旋转过程中,当三角板一边DM经过点C时,另一边DN交CB延长线于点E,连接AE与CD延长线交于H,如图2,求DH的长. 6.(10分)已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处. (1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果). (2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F,另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. 7.(10分)把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4. (1)当EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值; (2)现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论; (3)在②下,连接HK,在上述旋转过程中,设GH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (4)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时,0°<α≤90°,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形?若存在,请直接写出相应的旋转角α;若不存在,说明理由. 8.(10分)等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转. (1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状; (2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积; (3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长. 9.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S. (1)当α=30°时,求x的值. (2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值. 10.(10分)操作:在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况. 探究:(1)如图①,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为 _________ ,周长 _________ . (2)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明. (3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由. 答案与评分标准 一.解答题(共10小题,满分100分,每小题10分) 1.(10分)(2008•邵阳)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转α解(0°<α<90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,过点M作MN∥DE交AE于点N,连接NC.设BC=4,BM=x,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC. (1)求证:△MNC是直角三角形; (2)试求用x表示S△MNC的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)以点N为圆心,NC为半径作⊙N, ①当直线AD与⊙N相切时,试探求S△MNC与S△ABC之间的关系; ②当S△MNC=S△ABC时,试判断直线AD与⊙N的位置关系,并说明理由. 考点:二次函数综合题;勾股定理的逆定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题;压轴题;分类讨论。 分析:(1)利用平行线的性质和等量代换,易得△ABM∽△ACN,再由等量代换得到∠MCN=90°即可; (2)由于△MNC是直角三角形,则有S△MNC=MN•CN,而MC=4﹣x,故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN,就可求得S△MNC的函数关系式. (3)①当直线AD与⊙N相切时,利用AN=NC,确定出CN的值后,用2中的S△MNC的函数关系式,确定S△MNC与S△ABC之间的关系;②当S△MNC=S△ABC时,求得x的值,讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系. 解答:解:(1)MN∥DE,∴, 又∵AD=AB,AE=AC,∴, 又∵∠BAM=∠CAN,∴△ABM∽△ACN, ∴∠B=∠NCA,∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°, ∴∠MCN=90°.即△MNC是直角三角形. (2)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,BC=4, ∴AC=2,AB=2, ∴△ABM∽△ACN,∴, ∴, ∴S△MNC=MN•CN=(4﹣x)•x=(4x﹣x2)(0<x<4). (3)①直线AD与⊙N相切时,则AN=NC, ∵△ABM∽△ACN, ∴,∴AM=MB. ∵∠B=30°∴∠α=30°,∠AMC=60°. 又∵∠ACB=90°﹣30°=60° ∴△AMC是等边三角形,有AM=MC=BM=BC=2,即x=2. S△MNC=(4x﹣x2)=,∵S△ABC=AB•AC=2, ∴S△MNC=S△ABC. ②当S△MNC=S△ABC时 ∴S△MNC=(4x﹣x2)=解得x=1或x=3. (i)当x=1时, 在Rt△MNC中,MC=4﹣x=3,∴MN== ∵,即AN>NC, ∴直线AD与⊙相离. (ii)当x=3时, 同理可求出,NC=,MC=1,MN=2,AN=1 ∴NC>AN ∴直线AD与⊙相交. 点评:本题利用了平行线的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式,直角三角形的性质求解,运用了分类讨论的思想. 2.(10分)直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A′B′C, (1)如图,当A′B′边经过点B时,求旋转角α的度数; (2)在三角板旋转的过程中,边A′C与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E,连接BE. ①当0°<α<90°时,设AD=x,BE=y,求y与x之间的函数解析式及定义域; ②当时,求AD的长. 考点:相似三角形的判定与性质;旋转的性质;平行线分线段成比例。 专题:压轴题;数形结合;分类讨论。 分析:(1)由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°; (2)①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图).根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE;根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得(0<x<2); ②先求得△ABC的面积,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情况讨论:当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x;当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2. 解答:解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°, ∴∠ABC=60°.(1分) 由旋转可知:B′C=BC,∠B′=∠ABC=60°,∠α=∠B′CB ∴△B′BC为等边三角形.(2分) ∴∠α=∠B′CB=60°.(1分) (2)①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图). ∵DE∥A'B', ∴.(1分) 由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE. ∴,(1分) ∴. ∴△CAD∽△CBE;(1分) ∴. ∵∠A=30° ∴=.(1分) ∴(0<x<2)(2分) ②当0°<α<90°时,点D在AB边上. AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x, ∵DE∥A′B′, ∴, 由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE. ∴, ∴, ∴△CAD∽△CBE, ∴∠EBC=∠A=30°,又∠CBA=60°, ∴∠DBE=90°. 此时,. 当S=时,. 整理,得x2﹣2x+1=0. 解得x1=x2=1,即AD=1.(2分) 当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图). 仍设AD=x,则BD=x﹣2,∠DBE=90°,. 当S=时,. 整理,得x2﹣2x﹣1=0. 解得,(负值,舍去). 即.(2分) 综上所述:AD=1或. 点评:本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识.解决本题的关键是结合图形,分类讨论. 3.(10分)将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转a角(0°∠a∠90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,在AE上取点N,使∠MCN=90°.设AC=2,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC. (1)求证:MN∥DE; (2)以点N为圆心,NC为半径作⊙N, ①当直线AD与⊙N相切时,试S△MNC与S△ABC之间的关系; ②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时,试探求直线AD与⊙N的各种位置. 考点:切线的性质;圆周角定理;直线与圆的位置关系;旋转的性质。 分析:(1)由题意推出∠B=∠NCA,通过求证△ABM∽△ACN,根据对应边成比例,通过等量代换推出AM:AD=AN:AE,即可得MN∥DE,(2)①当直线AD与⊙N相切时,利用AN=NC,通过求证△ABM∽△ACN,确定出CN,MC的值后,即可推出S△MNC与S△ABC之间的关系;②首先确定若S△MNC=S△ABC时,探求直线AD与⊙N的各种位置,设BE=x,根据题意求出x的值,然后讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系. 解答:(1)证明:∵∠MCN=90°,∠BAC=90°, ∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°, ∴∠B=∠NCA, ∵∠BAM=∠CAN, ∴△ABM∽△ACN, ∴AM:AB=AN:AC, ∵AB=AD,AE=AC, ∴AM:AD=AN:AE, ∴MN∥DE, (2)解:①直线AD与⊙N相切时,则AN=NC, ∵△ABM∽△ACN, ∴BM:CN=AB:AC,AM:AN=MB:NC, ∴AM=MB, ∵∠BAC=90°, ∵∠B=30°, ∴∠α=30°,∠AMC=60°, ∵AC=2, ∴BC=4,AB=2, ∵BM:CN=AB:AC, 又∵∠ACB=90°﹣30°=60°, ∴△AMC是等边三角形, ∴AM=MC=AC=2, ∴MB=2, ∵BM:CN=AB:AC, ∴CN=, ∴S△MNC==,S△ABC=AB•AC=2, ∴S△MNC=S△ABC, ②若S△MNC=S△ABC时,探求直线AD与⊙N的各种位置, 设BM=x, ∴S△MNC=MC•NC=•2, ∵BM:CN=AB:AC, ∴CN=, ∴(4﹣x)×= ∴解得x=1或x=3. (i)当x=1时, 在Rt△MNC中,MC=4﹣x=3, ∴MN2=NC2+MC2, ∴MN=, ∵MN∥DE, ∴AN:AE=MN:DE, ∴AN=, ∵CN= ∵>,即AN>NC, ∴直线AD与⊙相离. (ii)当x=3时, ∴NC=3, 在Rt△MNC中,MC=4﹣3=1, ∴MN=2, ∵MN∥DE, ∴AN:AE=MN:DE, ∴AN=1, ∵3>1, ∴NC>AN, ∴直线AD与⊙相交. 点评:本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式,直角三角形的性质、圆与直线的位置关系、切线的性质等知识点的综合运用能力,关键在于运用了分类讨论的思想进行分析、通过求证相关三角形相似,推出对应边成比例,熟练运用等量代换、认真求出相关线段的长度. 4.(10分)含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE. (1)如图1,当A'B'边经过点B时,α= 60 °; (2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论; (3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系. 考点:直线与圆的位置关系;旋转的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:(1)有旋转可得出∠α; (2)①如图1,点D在AB边上时,m=2;②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°.从而得出m的值; (3)先求得△ABC的面积,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情况讨论:①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x,得出直线A′C与⊙E相切.②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2,得出直线A′C与⊙E相交. 解答:解:(1)当A′B′过点B时,α=60°; (2)猜想:①如图1,点D在AB边上时,m=2; ②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4. 证明:①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图1). ∵DE∥A′B′, ∴. 由旋转性质可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE. ∴. ∴△CAD∽△CBE. ∴∠A=∠CBE=30°. ∵点D在AB边上,∠CBD=60°, ∴∠CBD=2∠CBE,即m=2. ②当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图2). 与①同理可得∠A=∠CBE=30°. ∵点D在AB的延长线上,∠CBD=180°﹣∠CBA=120°, ∴∠CBD=4∠CBE, 即m=4; (3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1, ∴AB=2,,. 由△CAD∽△CBE得. ∵AD=x, ∴,. ①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x,∠DBE=90°. 此时,. 当S=时,. 整理,得x2﹣2x+1=0. 解得x1=x2=1,即AD=1. 此时D为AB中点,∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如图3) ∴EC=EB. ∵∠A′CB′=90°,点E在CB′边上, ∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB. ∴直线A′C与⊙E相切. ②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2,∠DBE=90°.(如图2).. 当S=时,. 整理,得x2﹣2x﹣1=0. 解得,(负值,舍去). 即. 此时∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°, ∴∠CBE<∠BCE. ∴EC<EB,即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB. ∴直线A′C与⊙E相交. 点评:本题考查了直线和圆的位置关系,相似三角形的判定和性质以及旋转的性质,是一道综合题,难度较大. 5.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,D是AB中点,等腰直角三角板的直角顶点落在点D上,使三角板绕点D旋转. (1)如图1,当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时,线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明. (2)如图1,设AF=x,四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围. (3)在旋转过程中,当三角板一边DM经过点C时,另一边DN交CB延长线于点E,连接AE与CD延长线交于H,如图2,求DH的长. 考点:等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形。 专题:计算题。 分析:(1)延长ED至DG,使DG=DE,连接AG,FG,证明△BED≌△AGD,可以得出∠GAD=∠B,AG=BE,由∠BAC+∠B=90°,得出∠GAF=90°,得出△GAF是直角三角形,∵MD⊥DN,GD=DE,得出FG=EF,由勾股定理就可以得出AG2+AF2=FG2,从而得出结论. (2)作FR⊥AB,ES⊥AB分别于R、S,再Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR,从而可以表示出△FAD的面积,由勾股定理,得CF2+CE2=EF2,再由(1)的结论建立等量关系表示出BE,从而求出ES,就可以表示出△EDB的面积,进而可以表示出y的值. (3)作AP⊥MD,交MD的延长线于点P,由条件可以求出AP=,DE=2,EC=4,可以求出△ACE的面积,然后用S△AHC+S△CHE=S△AEC建立等量关系可以求出CH的值,再减去CD的值就求出了DH. 解答:解:(1)线段EF与AF、BE的关系为:EF2=AF2+BE2.理由如下: 延长ED至DG,使DG=DE,连接AG,FG,如图1, ∵FD⊥GN, ∴FG=EF. ∵D是AB中点, ∴AD=BD, ∵∠ADG=∠EDB, ∴△BED≌△AGD, ∴AG=BE,∠GAD=∠B. ∵△ABC是直角三角形, ∴∠BAC+∠B=90°, ∴∠BAC+∠DAG=90°, ∴AG2+AF2=FG2. ∴EF2=AF2+BE2. (2)作FR⊥AB,ES⊥AB,(如图3) ∴∠FRA=∠ESB=90°. ∵∠A=30°, ∴∠B=60°, ∴∠SEB=30°, ∴SB=BE,SE=SB. ∵在Rt△FCE中,由勾股定理,得,CF2+CE2=EF2, ∵EF2=AF2+BE2, ∴CF2+CE2=AF2+BE2, ∵∠A=30°,BC=2, ∴AB=4,AC=2, ∴CF=2﹣x,CE=2﹣BE. ∴(2﹣x)2+(2﹣BE)2=x2+BE2∴BE=4﹣x, ∴SB=2﹣x, ∴SE=2﹣x, ∴y=×2×2﹣2×x•﹣×2×(2﹣x), y=2﹣x﹣2+x, y=x 当E点与C点重合时,ED=CD=2,DF=,则CF=, ∴x=; 当E点与B点重合时,AF=, ∴x的取值范围为:≤x≤ (3)作AP⊥MD,(如图2) ∴AP=, ∵CD=2, ∴DE=2,EC=4, ∴S△AHC+S△CHE=S△AEC. ∴×CH+×CH×2=×4×2, ∴CH=, ∴DH=﹣2= 点评:本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的运用,含30°的直角三角形的性质. 6.(10分)已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处. (1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果). (2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F,另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. 考点:相似三角形的判定与性质;根据实际问题列一次函数关系式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质。 分析:(1)由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半. (2)过点D作DM⊥AB,则(3﹣x)(0≤x≤3且x≠). (3)分两种情况:①如图①,连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为M,N.则y=x+(1<x≤2); ②如图②,过点D作AC的垂线,垂足为N,则y=﹣x(2<x≤3). 解答:解:(1). (2)过点D作DM⊥AB,垂足为点M,(3﹣x)(0≤x≤3且x≠). (3)①如图①,连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为M,N. ∵AB=AC=3,∠BAC=90°, ∴BC=3. ∵BD=2CD, ∴BD=2,CD=. 易得DN=1,DM=2, 易证∠EDM=∠FDN, ∵∠DME=∠DNF=90°, ∴△DME∽△DNF. ∴. ∴ME=2(x﹣1). ∴AE=2(x﹣1)+1=2x﹣1. ∴. ②如图③,过点D作AC的垂线,垂足为N, ∵AB=AC=3,∠BAC=90°, ∴BC=3. ∵BD=2CD, ∴BD=2,CD=. 易得DN=1, ∴. ∴ 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式. 7.(10分)把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4. (1)当EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值; (2)现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论; (3)在②下,连接HK,在上述旋转过程中,设GH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (4)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时,0°<α≤90°,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形?若存在,请直接写出相应的旋转角α;若不存在,说明理由. 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;旋转的性质。 分析:(1)根据30°的直角三角形的三边关系,利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度,利用三角形的中位线可以求出GK,和GH的值,可以求出其比值. (2)作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N,利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变. (3)△GKH是直角三角形,两直角边的比知道,可以把GK也用x的式子表示出来,最后直接利用三角形的面积公式就可以求出函数的解析式. (4)当逆时针旋转30°或90°时,如图就可以证明△EGH≌△FBH,得到∠GEK=∠GFB,从而得到∠FGB=∠GFB,得到边相等,得出结论,旋转90°时 也是得出∠BGF=∠F,而得到结论. 解答:解:(1)∵∠ACB=∠EGF=90°,∠B=∠F=30° ∴AC=AB,EG=EF ∵AB=EF=4 ∴AC=EG=2,在Rt△ACB和Rt△EGF中,由勾股定理得 BC=GF=2 ∵GE⊥AC,GF⊥BC ∴GE∥BC,GF∥AC ∵G是AB的中点 ∴K,H分别是AC、CB的中点 ∴GK,GH是△ABC的中位线 ∴GK=BC= GH=AC=1 ∴GH:GK=1; (2)不变, 作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N, ∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知: ∠2=∠1 ∴△GMK∽△GNH ∴ ∵GN:GM=1: ∴GH:GK=1: ∴旋转角α满足条件:0°<α<30°时,GH:GK的值比值不变. (3)连接KH,∵∠EGH=90° ∴S△EGH= ∵GH=x,且GH:GK=1: ∴x:GK=1: ∴GK=x ∴y= (), (4)存在,如下图,当α=30°或α=90°时,△BFG是等腰三角形. 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转的性质以及勾股定理的运用. 8.(10分)等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转. (1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状; (2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积; (3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长. 考点:等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。 分析:(1)要证三角形EPF是等边三角形,已知了∠EPF=60°,主要再证得PE=PF即可,可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论,再证明全等过程中,可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现; (2)由(1)不难得出∠CFG=90°,那么在三角形CFG中,有∠C的度数,可以根据CF的长求出GC的长,从而求出GB的长,下面的关键就是求GB边上的高,过E作EH⊥BC,那么EH就是所求的高,在直角三角形BEP中,有BP的长,有∠ABC的度数,可以求出BE、EP的长,再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长,这样有了底和高就能求出△GBE的面积; (3)可通过证明四边形EPFA是平行四边形来得出PE=AF,从而求出PE的长,证明平行四边形的关键是证∠AEP=∠AFP.可先通过证三角形BEP和CFP是等边三角形从而得出∠BEP=∠PFC=60°来实现. 解答:解:(1)∵PE⊥AB,∠B=60°, 因此直角三角形PEB中,BE=BP=BC=PC, ∴∠BPE=30°, ∵∠EPF=60°, ∴FP⊥BC, ∵∠B=∠C=60°,BE=PC,∠PEB=∠FPC=90°, ∴△BEP≌△CPF, ∴EP=PF, ∵∠EPF=60°, ∴△EPF是等边三角形. (2)过E作EH⊥BC于H, 由(1)可知:FP⊥BC,FC=BP=BC=4,BE=CP=BC=2, 在三角形FCP中,∠PFC=90﹣∠C=30°, ∵∠PFE=60°, ∴∠GFC=90°, 直角三角形FGC中,∠C=60°,CF=4, ∴GC=2CF=8, ∴GB=GC﹣BC=2, 直角三角形BEP中∠EBP=60°,BP=4, ∴PE=2,BE=2, ∴EH=BE•PE÷BP=, ∴S△GBE=BG•EH=; (3)∵CF=2,AC=6, ∴CF=AC=PC, ∴△CPF是等边三角形, ∴∠FPC=60°, ∴∠BPE=180°﹣60°﹣60°=60°, 又∵∠B=60°, ∴△EBP是等边三角形, ∴∠BEP=∠PFC=60°, ∴∠PEA=∠PFA, ∵∠A=∠EPF=60°, ∴四边形EPFA是平行四边形, ∴PE=AF=6﹣2=4. 点评:本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质,注意对全等三角形和等边三角形的应用. 9.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S. (1)当α=30°时,求x的值. (2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值. 考点:锐角三角函数的定义;根据实际问题列二次函数关系式;勾股定理;直线与圆的位置关系;旋转的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题;压轴题;数形结合。 分析:(1)根据等腰三角形的判定,∠A=∠α=30°,得出x=1; (2)由直角三角形的性质,AB=2,AC=,由旋转性质求得△ADC∽△BCE,根据比例关系式,求出S与x的函数关系式; (3)当S=时,求得x的值,判断⊙E和DE的长度大小,确定⊙E与A′C的位置关系,再求tanα值. 解答:解:(1)∵∠A=a=30°, 又∵∠ACB=90°, ∴∠ABC=∠BCD=60°. ∴AD=BD=BC=1. ∴x=1. (2)∵∠DBE=90°,∠ABC=60°, ∴∠A=∠CBE=30°. ∴AC=BC=,AB=2BC=2. 由旋转性质可知:AC=A′C,BC=B′C, ∠ACD=∠BCE, ∴△ADC∽△BEC, ∴=, ∴BE=x. ∵BD=2﹣x, ∴s=×x(2﹣x)=﹣x2+x.(0<x<2) (3)∵s=s△ABC ∴﹣+=, ∴4x2﹣8x+3=0, ∴,. ①当x=时,BD=2﹣=,BE=×=. ∴DE==. ∵DE∥A′B′, ∴∠EDC=∠A′=∠A=30°. ∴EC=DE=>BE, ∴此时⊙E与A′C相离. 过D作DF⊥AC于F,则,. ∴. ∴. (12分) ②当时,,. ∴, ∴, ∴此时⊙E与A'C相交. 同理可求出. 点评:本题考查的知识点:等腰三角形的判定,直角三角形的性质,相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定,是一道综合性较强的题目,难度大. 10.(10分)操作:在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况. 探究:(1)如图①,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为 4 ,周长 8 . (2)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明. (3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由. 考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。 专题:几何综合题。 分析:(1)根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线,继而可得出PD、PE的长度,也可得出四边形DCEP的周长和面积. (2)先根据图形可猜测PD=PE,从而连接CP,通过证明△PCD≌△PEB,可得出结论. (3)题目只要求是等腰三角形,所以需要分三种情况进行讨论,这样每一种情况下的CE的长也就不难得出. 解答:解:(1)根据△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°, ∵PD⊥AC,PE⊥BC, ∴PD∥BC,PE∥AC, 又∵点P是AB中点, ∴PD、PE是△ABC的中位线, ∴PD=CE=2,PE=CD=2, ∴四边形DCEP是正方形,面积为2×2=4,周长为2+2+2+4=8; (2)证明如下,AC=BC,∠C=90°,P为AB中点,连接CP, ∴CP平分∠C,CP⊥AB, ∵∠PCB=∠B=45°, ∴CP=PB, ∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°, ∴∠DPC=∠EPB, 在△PCD和△PEB中,, ∴△PCD≌△PBE(ASA), ∴PD=PE. (3)△PBE是等腰三角形, ①当PE=PB时,此时点C与点E重合,CE=0; ②1)当PB=BE时,E在线段BC上,,2)E在CB的延长线上,; ③当PE=BE时,CE=1. 点评:本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定,第三问的解答应分情况进行论证,不能漏解,有一定难度.查看更多