2020年中考数学压轴题：反比例函数问题考点专练

2020年中考数学压轴题：反比例函数问题考点专练

2020 中考数学压轴题：反比例函数问题考点专练 【典例分析】 【考点 1】反比例函数的图象与性质 【例 1】（2019·湖北中考真题）反比例函数 3y x   ，下列说法不正确的是（ ） A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y=x 对称 D．y 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对 A 选项做出判断；通过反比例函数图象和 性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由点 1, 3 的坐标满足反比例函数 3y x   ，故 A 是正确的； 由 3 0k    ，双曲线位于二、四象限，故 B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数 3y x   关于 y x 对称是正确的，故 C 也是正确的， 由反比例函数的性质， 0k  ，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此 性质，故 D 是不正确的， 故选：D． 【点睛】考查反比例函数的性质，当 0k  时，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大的性质、反比 例函数的图象是轴对称图象， y x 和 y x  是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌 握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键. 【变式 1-1】（2019·广东中考真题）若点 1( 1, )A y ， 2(2, )B y ， 3(3, )C y 在反比例函数 6y x  的 图像上，则 1 2 3, ,y y y 的大小关系是（ ） A． 3 2 1y y y  B． 2 1 3y y y  C． 1 3 2y y y  D． 1 2 3y y y  【答案】C 【解析】根据点 A、B、C 分别在反比例函数上，可解得 1y 、 2y 、 3y 的值，然后通过比较大小 即可解答. 【详解】解：将 A、B、C 的横坐标代入反比函数 6y x  上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以， 1 3 2y y y  ； 故选 C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 【变式 1-2】（2019·湖南中考真题）如图，一次函数 1 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 2 my x  （m 为常数且 0m  ）的图象都经过    1,2 , 2, 1A B  ，结合图象，则不等式 mkx b x   的解集是（ ） A． 1x   B． 1 0x   C． 1x   或0 2x  D． 1 0x   或 2x  【答案】C 【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的 x 的取值范围便是不等式 mkx b x   的解 集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数  1 0y kx b k   的图象在反比例函数 2 my x  （ m 为 常数且 0m  ）的图象上方时， x 的取值范围是： 1x   或0 2x  ， ∴不等式 mkx b x   的解集是 1x   或0 2x  . 故选：C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式 的解集．利用数形结合是解题的关键． 【考点 2】反比例函数 k 的几何意义 【例 2】（2019·江苏中考真题）如图，已知 A 为反比例函数 ky x  （ x <0）的图像上一点， 过点 A 作 AB⊥ y 轴，垂足为 B．若△OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】设 A 点坐标为(m，n)，则有 AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比 例函数图象上点的坐标特征即可求得答案. 【详解】设 A 点坐标为(m，n)，则有 AB=-m，OB=n， ∵S△ABO= 1 2 AB OB =2， ∴ 22 mn  ， ∴mn=-4， 又∵点 A 在反比例函数 ky x  ( x <0)的图象上， ∴n= k m ， ∴k=mn=-4， 故选 D. 【点睛】本题考查了反比例函数 ky x  (k≠0)图象上点的坐标特征以及 k 的几何意义，熟练掌 握相关内容是解题的关键. 【变式 2-1】（2019·辽宁中考真题）如图，点 A 在双曲线 y＝ 6 x（x＞0）上，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，点 C 在线段 AB 上且 BC：CA＝1：2，双曲线 y＝ k x（x＞0）经过点 C，则 k＝_____． 【答案】2 【解析】根据反比例函数系数 k 的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接 OC， ∵点 A 在双曲线 y＝ 6 x （x＞0）上，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， ∴S△OAB＝ 1 2 ×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3× 1 3 ＝1， ∵双曲线 y＝ k x （x＞0）经过点 C， ∴S△OBC＝ 1 2 |k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线 y＝ k x （x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数 系数 k 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数 k 的几何意义是解题的关键． 【变式 2-2】（2019·湖南中考真题）如图所示，在直角平面坐标系Oxy 中，点 、 、A B C 为反 比例函数 ( 0)ky kx   上不同的三点，连接OA OB OC、 、 ，过点 A作 AD y 轴于点 D ，过点 B C、 分别作 ,BE CF 垂直 x 轴于点 E F、 ，OC 与 BE 相交于点 M ，记 AOD 、 BOM 、四边形CMEF 的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，则（ ） A． 1 2 3S S S  B． 2 3S S C． 3 2 1S S S  D． 2 1 2 3S S S 【答案】B 【解析】根据反比例函数系数 k 的几何意义得到 2 3 1S S S  ，即可得到结论． 【详解】解：∵点 A B C、 、 为反比例函数 ( 0)ky kx   上不同的三点， AD y 轴， ,BE CF 垂 直 x 轴于点 E F、 ， ∴ 1 1 1,2 2BOE COFS k S S k    ， ∵ 0BOE OME C F OMES S S S     ， ∴ 2 3 1S S S  ，（故 B 正确、故 A.C 错误） ∵ 2 2 3 1 2 3 1 3 3 3 1( ) 0S S S S S S S S S     ＜ ∴ 2 1 2 3S S S＞ ，即 D 错误. 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解 题的关键． 【变式 2-3】（2019·湖南中考真题）如图，点 A，C 分别是正比例函数 =y x 的图象与反比例 函数 4y x  的图象的交点，过 A 点作 AD x 轴于点 D，过 C 点作CB x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为___． 【答案】8 【解析】由反比例函数的对称性可知OA OC ，OB OD ，则 ΔAOB ΔBOC ΔDOC AODS S S S   ， 再根据反比例函数 k 的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案． 【详解】A、C 是两函数图象的交点， A、C 关于原点对称， CD x 轴， AB x 轴， OA OC  ，OB OD ， ΔAOB ΔBOC ΔDOC AODS S S S    ， 又反比例函数 4y x  的图象上， ΔAOB ΔBOC ΔDOC AOD 1S S S S 4 22       ， ΔAOBS 4S 4 2 8    四边形 ， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义，根据条件得出OA OC ，OB OD 是解题的关键，注意 k 的几何意义的应用． 【变式 2-4】（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 A 在第四象限 y1＝﹣ 2 x 的图象上，点 B 在第一象限 y2＝ k x 的图象上，AB 交 x 轴于点 E，点 C 与点 D 在 y 轴上，AD ＝ 3 2 ，S 矩形 OCBE＝ 3 2 S 矩形 ODAE． （1）求点 B 的坐标． （2）若点 P 在 x 轴上，S△BPE＝3，求直线 BP 的解析式． 【答案】（1）B（ 3 2 ，2）；（2）直线 BP 的解析式是 y＝ 2 3 x+1 或 y＝﹣ 2 3 x+3． 【解析】（1）根据反比例函数系数 k 的几何意义求得 k＝3，得出 2 3y x ＝ ，由题意可知 B 的横 坐标为 3 2 ，代入即可求得 B 的坐标； （2）设 P（a，0），根据三角形面积求得 P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 BP 的 解析式． 【详解】（1）∵S 矩形 OCBE＝ 3 2 S 矩形 ODAE，点 B 在第一象限 y2＝ k x 的图象上， ∵点 A 在第四象限 y1＝﹣ 2 x 的图象上， ∴S 矩形 ODEA＝2 ∴S 矩形 OCBE＝ 3 2 ×2＝3， ∴k＝3， ∴y2＝ 3 x ， ∵OE＝AD＝ 3 2 ， ∴B 的横坐标为 3 2 ， 代入 y2＝ 3 x 得，y＝ 3 3 2 ＝2， ∴B（ 3 2 ，2）； （2）设 P（a，0）， ∵S△BPE＝ 1 2 PE•BE＝ 1 3 2 32 2 a    ， 解得 a＝﹣ 3 2 或 9 2 ， ∴点 P（﹣ 3 2 ，0）或（ 9 2 ，0）， 设直线 BP 的解析式为 y＝mx+n（m≠0）， ①若直线过（ 3 2 ，2），（﹣ 3 2 ，0）， 则 3 m n 22 3 n 02 m       ，解得 2m 3 n 1     ， ∴直线 BP 的解析式为 y＝ 2 3 x+1； ②若直线过（ 3 2 ，2），（ 9 2 ，0）， 则 3 n 22 9 n 02 m m       ，解得 2 3 3 m n      ， ∴直线 BP 的解析式为 y＝﹣ 2 3 x+3； 综上，直线 BP 的解析式是 y＝ 2 3 x+1 或 y＝﹣ 2 3 x+3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系 数法求一次函数的解析式，求得 B 点的坐标是解题的关键． 【考点 3】反比例函数的实际应用 【例 3】（2019·内蒙古中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每 分钟上升 10℃，加热到 100℃停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（min ） 成反比例关系，直至水温降至 30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自 动程序．若在水温为 30℃时接通电源，水温 y （℃）与时间 x （ min ）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于 50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 【答案】（1） y 与 x 的函数关系式为： 10 30,0 7 700 70,7 3 x x y xx       ， y 与 x 的函数关系式每 70 3 分 钟重复出现一次；（2）她最多需要等待 34 3 分钟； 【解析】（1）分情况当0 7x ，当 7x  时，用待定系数法求解；（2）将 50y  代入 10 30y x  ， 得 2x  ，将 50y  代入 700y x  ，得 14x  ，可得结果. 【详解】（1）由题意可得， (100 30) 10 70 10 7a       ， 当0 7x 时，设 y 关于 x 的函数关系式为： y kx b  ， 30 7 100 b k b     ，得 10 30 k b    ， 即当0 7x 时， y 关于 x 的函数关系式为 10 30y x  ， 当 7x  时，设 ay x  ， 100 7 a ，得 700a  ， 即当 7x  时， y 关于 x 的函数关系式为 700y x  ， 当 30y  时， 70 3x  ， ∴ y 与 x 的函数关系式为： 10 30,0 7 700 70,7 3 x x y xx       ，y 与 x 的函数关系式每 70 3 分钟重复出现一 次； （2）将 50y  代入 10 30y x  ，得 2x  ， 将 50y  代入 700y x  ，得 14x  ， ∵14 2 12  ， 70 34123 3   ∴怡萱同学想喝高于 50℃的水，她最多需要等待 34 3 分钟； 【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键. 【变式 3-1】（2019·湖北中考真题）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡， 后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块 石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m ） 的函数解析式正确的是（ ） A． 1200F l  B． 600F l  C． 500F l  D． 0.5F l  【答案】B 【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案. 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分 别是1200N 和0.5m， ∴动力 F(单位： N)关于动力臂l (单位： m )的函数解析式为：1200 0.5 Fl  ， 则 600F l  ， 故选 B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键. 【变式 3-2】（2018·山东中考真题）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度 重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程 中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，室内每立方 米空气中含药量 3( / )y mg m 与药物在空气中的持续时间 (min)x 之间的函数关系，在打开门窗通 风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ） A．经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 310 /mg m B．室内空气中的含药量不低于 38 /mg m 的持续时间达到了11min C．当室内空气中的含药量不低于 35 /mg m 且持续时间不低于 35 分钟，才能有效杀灭某种传 染病毒.此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于 32 /mg m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量 达到 32 /mg m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内 【答案】C 【解析】利用图中信息一一判断即可. 【详解】解: A、正确．不符合题意． B、由题意 x=4 时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于 8mg/m3 的持续时间达到了 11min， 正确，不符合题意； C、y=5 时，x=2.5 或 24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意； D、正确．不符合题意， 故选 C. 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息， 属于中考常考题型. 【考点 4】反比例函数与一次函数综合 【例 4】（2019·辽宁中考真题）如图，一次函数 y＝k1x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A， B 两点，与反比例函数 y＝ 2k x 的图象分别交于 C，D 两点，点 C（2，4），点 B 是线段 AC 的 中点． （1）求一次函数 y＝k1x+b 与反比例函数 y＝ 2k x 的解析式； （2）求△COD 的面积； （3）直接写出当 x 取什么值时，k1x+b＜ 2k x ． 【答案】（1）y1＝x+2；y2＝ 8 x ；（2）S△COD＝6；（3）当 0＜x＜2 或 x＜﹣4 时，k1x+b＜ 2k x ． 【解析】（1）把点 C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式， 作CE x 轴于 E，根据题意求得 B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得 D 的坐标，然后根据 COD BOC BODS S S  即可求得△COD 的面积； （3）根据图象即可求得 2 1 kk x b x  ＜ 时，自变量 x 的取值范围． 【详解】 （1）∵点 C（2，4）在反比例函数 y＝ 2k x 的图象上， ∴ 2 2 4 8k ＝ ＝ ， ∴ 2 8y x ＝ ； 如图，作 CE⊥x 轴于 E， ∵C（2，4），点 B 是线段 AC 的中点， ∴B（0，2）， ∵B、C 在 1 1y k x b＝ 的图象上， ∴ 12 4 2 k b b     ， 解得 1 1 2k b＝， ＝ ， ∴一次函数为 1 2y x ＝ ； （2）由 2 8 y x y x    ， 解得 2 4 x y    或 4 2 x y      ， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴ 1 2 2 2 4 62COD BOC BODS S S    ＝ ＝ ＝ ； （3）由图可得，当 0＜x＜2 或 x＜﹣4 时， 2 1 kk x b x  ＜ ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的 解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得 B 点的坐标是解题的关键． 【变式 4-1】（2019·广西中考真题）已知 0ab  ，一次函数 y ax b  与反比例函数 ay x  在同 一直角坐标系中的图象可能（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据反比例函数图象确定 b 的符号，结合已知条件求得 a 的符号，由 a,b 的符号确 定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数 a xy＝ 经过第一、三象限，则 0a＞ ．所以 0b＜ ．则一次函数 y ax b＝ ﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数 a xy＝ 经过第二、四象限，则 a<0．所以 b>0．则一次函数 y ax b＝ ﹣ 的图象应该 经过第二、三、四象限． 故选项 A 正确； 故选 A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才 能灵活解题． 【变式 4-2】（2019·四川中考真题）如图，一次函数 ( 0)y mx n m   的图象与反比例函数 ( 0)ky k x   的图象交于第二、四象限内的点 ( ,4)A a 和点 (8, )B b ．过点 A作 x 轴的垂线，垂足为 点C ， AOC 的面积为 4． （1）分别求出 a 和b 的值； （2）结合图象直接写出 kmx n x   的解集； （3）在 x 轴上取点 P ，使 PA PB 取得最大值时，求出点 P 的坐标． 【答案】（1） 2a   ， 1b   ；（2） 2 0x   或 8x  ； （3） 34( ,0)3P 【解析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得 2OC  ，得到  2,4A  ，将 A 代入反比例函 数，求出反比例函数解析式，再把 B 代入解析式，即可解答 （2）根据函数图象结合解析式即可判断 （3）作点 B 关于 x 轴的对称点 'B ，直线 'AB 与 x 轴交于 P ，得到  ' 8,1B ，设直线 AP 的关系 式为 y kx b  ，把将  2,4A  ，  ' 8,1B 代入得到解析式，即可解答 【详解】（1）∵点  ,4A a ， ∴ 4AC  ， ∵ 4AOCS  ，即 1 42 OC AC  ， ∴ 2OC  ， ∵点  ,4A a 在第二象限， ∴ 2a    2,4A  ， 将  2,4A  代入 ky x  得： 8k   ， ∴反比例函数的关系式为： 8y x   ， 把  8,B b 代入得： 1b   ， ∴  8, 1B  因此 2a   ， 1b   ； （2）由图象可以看出 kmx n x   的解集为： 2 0x   或 8x  ； （3）如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 'B ，直线 'AB 与 x 轴交于 P ， 此时 PA PB 最大， ∵  8, 1B  ∴  ' 8,1B 设直线 AP 的关系式为 y kx b  ，将  2,4A  ，  ' 8,1B 代入得： 2 4 8 1 k b k b       解得： 3 10k   ， 17 5b  ， ∴直线 AP 的关系式为 3 17 10 5y x   ， 当 0y  时，即 3 17 010 5x   ，解得 34 3x  ， ∴ 34 ,03P     【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式 【考点 5】反比例函数与几何综合 【例 5】（2019·山东中考真题）已知一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 my x  的图象交 于点 A，与 x 轴交于点 (5,0)B ，若OB AB ，且 15 2OABS  . （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点 P 为 x 轴上一点， ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标. 【答案】（l） 27y x  ， 3 15 4 4y x  ；（2） 1(0,0)P 、 2 (10,0)P ， 3 (13,0)P ， 4 65 ,08P      【解析】（1）根据 15 2OABS  可计算出 A 点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出 A 点的横坐标， 代入可得一次函数和反比例函数的解析式. （2）根据题意可得有三种情况，一种是 AB 为底，一种是 AB 为腰，以 A 为顶点，一种是 AB 为腰，以 B 为顶点. 【详解】（l）过点 A作 AD x 轴于点 D ∵ 15 2OABS  ∴ 1 1 1552 2 2OB AD AD      ∴ 3AD  ∵ (5,0)B ∴ 5AB OB  在 Rt ABD 中， 2 2 2 25 3 4BD AB AD     ∴ 9OD  ∴ (9,3)A ∵ my x  经过点 A ∴3 9 m ∴ 27m  ∴反比例函数表达式为 27y x  ∵ y kx b  经过点 A，点 B ∴ 9 3 5 0 k b k b      解得 3 4 15 4 k b      ∴一次函数表达式为 3 15 4 4y x  （2）本题分三种情况 ①当以 AB 为腰，且点 B 为顶角顶点时，可得点 P 的坐标为 1(0,0)P 、 2 (10,0)P ②当以 AB 为腰，且以点 A为顶角顶点时，点 B 关于 AD 的对称点即为所求的点 3 (13,0)P ③当以 AB 为底时，作线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 4P ，交 AB 于点 E ，则点 4P 即为所求 由（1）得， 150, 4C     在 RtOBC 中， 2 2 2 2 15 255 4 4BC OC OB         ∵ 4cos cosABP OBC   ∴ 4 BE OB BP BC  ∴ 4 5 52 25 4 BP  ∴ 4 25 8BP  ∴ 4 25 6558 8OP    ∴ 4 65 ,08P      【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形， 要分 AB 为腰和底，为腰又要分顶点是 A 还是 B. 【变式 5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 (3,2)A 在反比例函 数 ( 0)ky xx   的图象上，点 B 在OA的延长线上， BC x 轴，垂足为C ， BC 与反比例函数的 图象相交于点 D ，连接 AC ， AD ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 3 2ACDS  ，设点C 的坐标为 ( ,0)a ，求线段 BD 的长． 【答案】（1） 6y x  ；（2）3 【解析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y= k x ，即可求出函数解析式； （2）直线 OA 的关系式可求，由于点 C（a，0），可以表示点 B、D 的坐标，根据 S△ACD= 3 2 ，建立方程可以解出 a 的值，进而求出 BD 的长． 【详解】解： （1）∵点 (3,2)A 在反比例函数 ( 0)ky xx   的图象上， ∴ 3 2 6k    ， ∴反比例函数 6y x  ； 答：反比例函数的关系式为： 6y x  ； （2）过点 A作 AE OC ，垂足为 E ，连接 AC ， 设直线OA的关系式为 y kx ，将 (3,2)A 代入得， 2 3k  ， ∴直线OA的关系式为 2 3y x ， ∵点 ( ,0)C a ，把 x a 代入 2 3y x ，得： 2 3y a ，把 x a 代入 6y x  ，得： 6y a  ， ∴ 2( , )3B a a ），即 2 3BC a ， 6( , )D a a ，即 6CD a  ∵ 3 2ACDS  ， ∴ 1 3 2 2CD EC  ，即 1 6 3( 3)2 2aa     ，解得： 6a  ， ∴ 2 6 33BD BC CD a a      ； 答：线段 BD 的长为 3． 【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的 长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． 【变式 5-2】（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD的顶点 A与 原点O重合，顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对角线 AC 、BD 交于点 M ，点 D 、M 恰好都在反 比例函数  0ky xx   的图象上，则 AC BD 的值为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】A 【解析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案. 【详解】解：设 , kD m m     ，  ,0B t ， ∵ M 点为菱形对角线的交点， ∴ BD AC ， AM CM ， BM DM ， ∴ ,2 2 m t kM m      ， 把 ,2 2 m t kM m      代入 ky x  得 2 2 m t k km    ， ∴ 3t m ， ∵四边形 ABCD为菱形， ∴OD AB t  ， ∴   2 22 3km mm      ，解得 22 2k m ， ∴  2 , 2M m m ， 在 Rt ABM 中， 3 1tan 6 2 BM mMAB AM m     ， ∴ 2AC BD  ． 故选 A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质． 【达标训练】 1．（2019·山东中考真题）如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y＝ k x （x＞0）的图象交于点 C，若 S△AOB＝S△BOC＝1，则 k＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】作 CD⊥x 轴于 D，设 OB=a（a＞0）．由 S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出 AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点 C 的坐标，把点 C 坐标代入反比例函数即可求得 k． 【详解】如图，作 CD⊥x 轴于 D，设 OB＝a（a＞0）． ∵S△AOB＝S△BOC， ∴AB＝BC． ∵△AOB 的面积为 1， ∴ 1 2 OA•OB＝1， ∴OA＝ 2 a ， ∵CD∥OB，AB＝BC， ∴OD＝OA＝ 2 a ，CD＝2OB＝2a， ∴C（ 2 a ，2a）， ∵反比例函数 y＝ k x （x＞0）的图象经过点 C， ∴k＝ 2 a ×2a＝4． 故选 D． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似 求线段长度是解题的关键． 2．（2019·辽宁中考真题）如图，点 A 在反比例函数 y= 3 x (x＞0)的图象上，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，点 C 在 y 轴上，则△ABC 的面积为( ) A．3 B．2 C． 3  2 D．1 【答案】C 【解析】连结 OA，如图，利用三角形面积公式得到 S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例 系数 k 的几何意义得到 S△OAB= 1 2 |k|，便可求得结果． 【详解】解：连结 OA，如图， ∵AB⊥x 轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB， 而 S△OAB= 1 2 |k|= 3 2 ， ∴S△CAB= 3 2 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= k x 图象中任取一 点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 3．（2019·四川中考真题）如图，一次函数 1y ax b= + 和反比例函数 2 ky x  的图象相交于 A，B 两点，则使 1 2y y 成立的 x 取值范围是( ) A． 2 0x   或0 4x  B． 2x   或0 4x  C． 2x   或 4x  D． 2 0x   或 4x  【答案】B 【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现： 2x   或0 4x  时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使 1 2y y 成立的 x 取值范围是 2x   或0 4x  ， 故选 B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的 关键. 4．（2019·山东中考真题）函数 y ax a   与 ay x  （ 0a  ）在同一坐标系中的图象可能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】 0a  时， 0a  ， y ax a   在一、二、四象限， ay x  在一、三象限，无选项符合． 0a  时， 0a  ， y ax a   在一、三、四象限， ay x  （ 0a  ）在二、四象限，只有 D 符合； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由 a 的取值确 定函数所在的象限． 5．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，BA x 轴于点 A， 反比例函数 ky x  （ 0x  ）的图象与线段 AB 相交于点C ，且C 是线段 AB 的中点，点C 关于 直线 y x 的对称点C 的坐标为(1, )( 1)n n  ，若 OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A． 1 3 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据对称性求出 C 点坐标，进而得 OA 与 AB 的长度，再根据已知三角形的面积列 出 n 的方程求得 n，进而用待定系数法求得 k． 【详解】∵点 C 关于直线 y=x 的对称点 C'的坐标为（1，n）（n≠1）， ∴C（n，1）， ∴OA=n，AC=1， ∴AB=2AC=2， ∵△OAB 的面积为 3， ∴ 1 2 n×2＝3， 解得，n=3， ∴C（3，1）， ∴k=3×1=3． 故选：D． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函 数的性质，对称性质，关键是根据对称求得 C 点坐标及由三角形的面积列出方程． 6．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 4，2，反比例函数 y k x  （x＞0）的图象经过 A，B 两点，若菱形 ABCD 的面积为 2 5 ，则 k 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】过点 A 作 x 轴的垂线，交 CB 的延长线于点 E，根据 A，B 两点的纵坐标分别为 4，2， 可得出横坐标，即可求得 AE，BE 的长，根据菱形的面积为 2 5 ，求得 AE 的长，在 Rt△AEB 中，即可得出 k 的值． 【详解】过点 A 作 x 轴的垂线，交 CB 的延长线于点 E， ∵A，B 两点在反比例函数 y k x  （x＞0）的图象，且纵坐标分别为 4，2， ∴A（ 4 k ，4），B（ 2 k ，2）， ∴AE＝2，BE 1 2  k 1 4  k 1 4  k， ∵菱形 ABCD 的面积为 2 5 ， ∴BC×AE＝2 5 ，即 BC 5 ， ∴AB＝BC 5 ， 在 Rt△AEB 中，BE 2 2AB AE   1 ∴ 1 4 k＝1， ∴k＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是 解题的关键． 7．（2019·湖北中考真题）如图，平面直角坐标系中，      8,0 , 8,4 , 0,4A B C  ，反比例函 数 ky x  的图象分别与线段 ,AB BC 交于点 ,D E ，连接 DE ．若点 B 关于 DE 的对称点恰好在OA 上，则 k  （ ） A． 20 B． 16 C． 12 D． 8 【答案】C 【解析】根据 A(-8,0), B(-8,4), C(0,4)，可得矩形的长和宽，易知点 D 的横坐标， E的纵坐标， 由反比例函数的关系式，可用含有 k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用 求出 AF 的长，然后把问题转化到三角形 ADF 中，由勾股定理建立方程求出k 的值． 【详解】过点 E 作 EG OA ，垂足为G ，设点 B 关于 DE 的对称点为 F ，连接 DF EF BF、 、 ， 如图所示： 则 BDE FDE   ， , ,BD FD BE FE   90DFE DBE     易证 ~ADF GFE  AF DF EG FE   ， ( 8,0), ( 8,4), (0,4)A B C  ， 4, 8AB OC EG OA BC      ， D E 、 在反比例函数 ky x  的图象上， k k,4 , 8,-4 8            E D k k- ,4 8     OG EC AD 4 , 88 4 k kBD BE     k4BD 1 DF AF8 kBE 2 FE EG8 4        1 EG 22AF   ， 在 Rt ADF 中，由勾股定理： 2 2 2AD AF DF  即： 2 2 2k k2 48 8              解得： 12k   故选 C． 【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和 性质等知识，发现 BD 与 BE 的比是1: 2是解题的关键． 8．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点 A、C 的坐标分别是    0,3 3,0、 ， 090ACB  ， 2AC BC ，则函数  0, 0ky k xx    的图象经过点 B ，则k 的值 为（ ） A． 9 2 B．9 C． 27 8 D． 27 4 【答案】D 【解析】根据 A、C 的坐标分别是   0,3 3,0、 可知 3OA OC  ，进而可求出 AC ，由 2AC BC ， 又可求 BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点 B 的坐标，再求出k 的值． 【详解】 解：过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ， ∵ A C、 的坐标分别是   0,3 3,0、 ， ∴ 3OA OC  ， 在 Rt AOC 中， 2 2 3 2AC OA OC   ， 又∵ 2AC BC ， ∴ 3 2 2BC  ， 又∵ 090ACB  ， ∴ 045OAC OCA BCD CBD        ， ∴ 3 2 2 3 2 2 2CD BD    ， ∴ 3 93 2 2OD    ∴ 9 3,2 2B    代入 ky x  得： 27 4k  ， 故选：D． 【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键. 9．（2019·湖南中考真题）如图，⊙O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 1y x  和 1y x   ， 则阴影部分的面积是( ) A．4π B．3π C．2π D．π 【答案】C 【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【详解】双曲线 1y x  和 1y x   的图象关于 x 轴对称， 根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影 中，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为180 ，半径为 2， 所以： 2180 2 2360S   阴影 ． 故选 C． 【点睛】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于 x 轴对称，圆也是一个对称图形， 可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为 180°，半径为 2 的扇形的面积，用扇形面积公式 计算可以求出阴影部分的面积． 10．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上， 点 (10,0)A ， 4sin 5COA  ．若反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    经过点 C，则 k 的值等于（ ） A．10 B．24 C．48 D．50 【答案】C 【解析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点 ( )6,8C ，将点 C 坐标代入解析式可求 k 的值． 【详解】解：如图，过点 C 作CE OA 于点 E， ∵菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，点 (10,0)A ， ∴ 10OC OA  ， ∵ 4sin 5 CECOA OC    ． ∴ 8CE  ， ∴ 2 2CO CE 6OE    ∴点 C 坐标(6,8) ∵若反比例函数 k ( 0, 0)xy k x   经过点 C， ∴ 6 8 48k    故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三 角函数，关键是求出点 C 坐标． 11．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与 原点O重合，顶点 ,A B 恰好分别落在函数    1 40 , 0y x y xx x      的图象上，则 sin ABO 的 值为（ ） A． 1 3 B． 3 3 C． 5 4 D． 5 5 【答案】D 【解析】点 ,A B 落在函数  1 0y xx    ，  4 0y xx   的图象上，根据反比例函数的几何意义， 可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形 AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】过点 ,A B 分别作 AD x 轴， BE x⊥ 轴，垂足为 ,D E ， 点 A在反比例函数  1 0y xx    上，点 B 在  4 0y xx   上， 1 4AOD BOES S ＝ ， ＝ ， 又 90AOB  ＝ AOD OBE ＝ ， AOD OBE ∽ ， 2 1 4 AOD OBE SAO OB S       ， 1 2 AO OB   设OA m＝ ，则 2OB m AB＝ ， ＝  22 2 5m m m  在 RtAOB sin ABO中， ＝ 5 55 OA m AB m   故选 D 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股 定理可得直角边与斜边的比，求出 sin∠ABO 的值． 12．（2019·山东中考真题）如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E，双曲线 y= k x （k ＞0）经过 A、E 两点，若平行四边形 AOBC 的面积为 24，则 k 的值是（ ） A．8 B．7.5 C．6 D．9 【答案】A 【解析】设出点 A 的横坐标为 x，根据点 A 在双曲线 y= k x（k＞0）上，表示出点 A 的纵坐标， 从而表示出点 A 的坐标，再根据点 B 在 x 轴上设出点 B 的坐标为（a，0），然后过 A 作 AD ⊥OB 于 D，EF⊥OB 于 F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点 E 为 AB 的中 点，又 EF∥AD，得到 EF 为△ABD 的中位线，可得 EF 为 AD 的一半，而 AD 为 A 的纵坐标， 可得出 EF 的长，由 OB-OD 可得 BD 的长，根据 F 为 BD 的中点，得到 FB 的长，由 OB-FB 可 得出 OF 的长，由 E 在第一象限，由 EF 和 OF 的长表示出 E 的坐标，代入反比例解析式中， 得到 a=3x，再由 BO 与 AD 的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行 四边形 AOBC 的面积为 24，列出等式，将 a=3x 代入可得出 k 的值． 【详解】设 A（x， k x ），B（a，0），过 A 作 AD⊥OB 于 D，EF⊥OB 于 F，如图， 由平行四边形的性质可知 AE=EB， 再 EF 为△ABD 的中位线， 由三角形的中位线定理得： 1 1, ( ) ,2 2 2 2 k a xEF AD DF a x OFx      则 E ,2 2 a x k x      ∵E 在双曲线上， ∴ 2 2 a x k kx    ∴a=3x， ∵平行四边形的面积是 24， ∴ 3 3 24k ka x kz x      解得：k=8． 故选：A 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理， 平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合 性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系． 13．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB 的中 点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到 A B C   ．若反比例函数 ky x  的图象恰好经过 A B 的中点 D，则 k 的值是（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】作 'A H y 轴于 .H 证明 AOB ≌  'BHA AAS ，推出OA BH ， 'OB A H ，求出点 'A 坐标，再利用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题． 【详解】解：作 A H y  轴于 H ． ∵ 90AOB A HB ABA        ， ∴ 90ABO A BH     ， 90ABO BAO     ， ∴ BAO A BH    ， ∵ BA BA  ， ∴  AOB BHA AAS≌ ， ∴OA BH ，OB A H  ， ∵点 A的坐标是 2,0 ，点 B 的坐标是 0,6 ， ∴ 2OA  ， 6OB  ， ∴ 2BH OA  ， 6A H OB   ， ∴ 4OH  ， ∴  6,4A ， ∵ BD A D  ， ∴  3,5D ， ∵反比例函数 ky x  的图象经过点 D ， ∴ 15k  ． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化 - 旋转等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 14．（2019·辽宁中考真题）如图，将一个含 30°角的三角尺 ABC 放在直角坐标系中，使直 角顶点 C 与原点 O 重合，顶点 A，B 分别在反比例函数 y＝﹣ 4 x 和 y＝ k x 的图象上，则 k 的值 为___． 【答案】12． 【解析】过 A 作 AE⊥y 轴于 E 过 B 作 BF⊥y 轴于 F，通过△AOE∽△BOF，得到 3 3 AE OE OA OF BF OB    ，设 4( , )A m m  ，于是得到 AE=-m， 4OE m   ，从而得到 4 3( , 3 )B mm ，，于是 求得结果． 【详解】解：过 A作 AE y 轴于 E 过 B 作 BF y 轴于 F ， 90AOB  Q ， 30ABC  ， 3tan30 3 OA OB     ， 90OAE AOE AOE BOF         ， OAE BOF   ， AOE BOF ∽ ，  3 3 AE OE OA OF BF OB    ， 设 4( , )A m m  ， AE m   ， 4OE m   ， 3 3OF AE m    ， 4 33BF OE m    ， 4 3( , 3 )B mm  ， 4 3 3 12k mm    ． 故答案为：12． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于 作辅助线和利用三角函数进行解答. 15．（2019·青海中考真题）如图， P 是反比例函数 ky x  图象上的一点，过点 P 向 x 轴作垂 线交于点 A，连接OP ．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为_____． 【答案】 2y x ＝ ． 【解析】根据反比例函数系数 k 的几何意义可知， PAO 的面积 1 2 k＝ ，再根据图象所在象限 求出 k 的值即可． 【详解】解：依据比例系数 k 的几何意义可得， PAO 面积等于 1 2 k ， 即 1 12 k  ， 2k ＝ ， 由于函数图象位于第一、三象限，则 2k＝ ， 反比例函数的解析式为 2y x ＝ ； 故答案为 2y x ＝ ． 【点睛】本题考查反比例系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线， 与坐标轴围成的矩形面积就等于 k ． 16．（2019·湖北中考真题）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数 ky x   0k  相交于 点 A、点 B ，过点 A作 yAC  轴，垂足为C ，连接 BC ．若 ABC 面积为8 ，则 k  _____． 【答案】8 【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知 A、B 两点关于原点对称，则 O 为线段 AB 的中点，故△BOC 的面积等于△AOC 的面积，都等于 4，然后由反比例函数 ky x  的比例系数 k 的几何意义，可知△AOC 的面积等于 1 2 k ，从而求出 k 的值． 【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、 B 两点， A B 、 两点关于原点对称， OA OB  ， BOC 的面积 AOC  的面积 8 2 4   ， 又 A 是反比例函数 ky x  图象上的点，且 AC y 轴于点C ， AOC 的面积 1 2 k ， 1 42 k  ， 0k  ， 8k  ． 故答案为8 ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的比例系数 k 的几何意义， 解题关键在于得出 O 为线段 AB 的中点． 17．（2019·湖北中考真题）如图，双曲线 9 ( 0)y xx   经过矩形 OABC 的顶点 B ，双曲线 ( 0)ky xx   交 AB ，BC 于点 E ，F ，且与矩形的对角线OB 交于点 D ，连接 EF .若 : 2:3OD OB  ， 则 BEF 的面积为__________. 【答案】 25 18 . 【解析】设 (2 ,2 )D m n ，根据题意 (3 ,0)A m ， (0,3 )C n ， (3 ,3 )B m n ，即可得出9 3 3m n  ， 2 2 4k m n mn   ，解得 1mn  ，由 43 , 3E m n     ， 4 ,33F m n     ，求得 BE 、 BF ，然后根据三角 形面积公式得到 1 2BEFS BE BF   进行求解即可. 【详解】设 (2 ,2 )D m n ， ∵ : 2:3OD OB  ， ∴ (3 ,0)A m ， (0,3 )C n ， ∴ (3 ,3 )B m n ， ∵双曲线 9 ( 0)y xx   经过矩形OABC 的顶点 B ， ∴9 3 3m n  ， ∴ 1mn  ， ∵双曲线 ( 0)ky xx   经过点 D ， ∴ 4k mn ∴双曲线 4 ( 0)mny xx   ， ∴ 43 , 3E m n     ， 4 ,33F m n     ， ∴ 4 53 3 3BE n n n   ， 4 53 3 3BF m m m   ， ∴ 1 25 25 2 18 18BEFS BE BF mn     ， 故答案为： 25 18 . 【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积 等，表示出各个点的坐标是解题的关键． 18．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数  0ky xx   的图象经过矩形OABC 对角线的交 点 M ，分别交 AB ， BC 于点 D 、 E ．若四边形ODBE 的面积为 12，则k 的值为______． 【答案】4 【解析】本题可从反比例函数图象上的点 E 、M 、D 入手，分别找出 OCE 、 OAD 、 OABCX 的面积与 k 的关系，列出等式求出 k 值． 【详解】∵ E 、 M 、 D 位于反比例函数图象上， ∴ 1 2OCES k  ， 1 2OADS k  ， 过点 M 作 MG y 轴于点G ，作 MN x 轴于点 N ， ∴四边形 ONMG 是矩形， ∴ ONMGS k矩形 ， ∵ M 为矩形 ABCO对角线的交点， ∴ 4 4ABCO ONMGS S k 矩形 矩形 ， ∵函数图象在第一象限， ∴ 0k  ， ∴ ABCOS 矩形 OCES + OADS +S 四边形 ODBE= 12 42 2 k k k   ， 解得： 4k  ． 故答案为：4 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴 作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 19．（2019·贵州中考真题）如图，直线l x 轴于点 P ，且与反比例函数 1 1 ky x  （ 0x  ）及 2 2 ky x  （ 0x  ）的图象分别交于 A、 B 两点，连接OA、OB ，已知 OAB 的面积为 4，则 1 2k k ﹣ ________． 【答案】8． 【解析】根据反比例函数 k 的几何意义可知： AOP 的面积为 1 1 2 k ， BOP 的面积为 2 1 2 k ，然 后两个三角形面积作差即可求出结果． 【详解】解：根据反比例函数 k 的几何意义可知： AOP 的面积为 1 1 2 k ， BOP 的面积为 2 1 2 k ， ∴ AOB 的面积为 1 2 1 1 2 2k k ，∴ 1 2 1 1 42 2k k  ，∴ 1 2 8k k  . 故答案为 8． 【点睛】本题考查反比例函数 k 的几何意义，解题的关键是正确理解 k 的几何意义，本题属于 基础题型． 20．（2019·湖北中考真题）如图，矩形OABC 的顶点 ,A C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，D 为 AB 的中点，反比例函数 ( 0)ky kx   的图象经过点 D ，且与 BC 交于点 E ，连接OD ，OE ，DE ， 若 ODE 的面积为 3，则k 的值为______． 【答案】 4 【解析】设 B 点的坐标为 ( , )a b ，则 E 的坐标为 ( , )kE a a ， 1( , )2D a b ，由点 D 在反比例函数的图 象上，可得 1 2 ab k ，继而根据 ODE AOD OCE BDEOCBAS S S S S      矩形 进行求解即可得. 【详解】∵四边形OCBA是矩形， ∴ AB OC ，OA BC ， 设 B 点的坐标为 ( , )a b ，则 E 的坐标为 ( , )kE a a ， ∵ D 为 AB 的中点， ∴ 1( , )2D a b ， ∵ ,D E 在反比例函数的图象上， ∴ 1 2 ab k ， ∵ 1 1 1 1 ( ) 32 2 2 2ODE AOD OCE BDEOCBA kS S S S S ab k k a b a             矩形 ， ∴ 1 1 1 1 32 2 4 4ab k k ab k     ， 解得： 4k  ， 故答案为 4 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟 练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 21．（2019·四川中考真题）如图，A、B 两点在反比例函数 1ky x  的图象上，C、D 两点在反 比例函数 2ky x  的图象上， AC x 轴于点 E， BD x 轴于点 F， 2, 4, 3AC BD EF   ， 则 2 1k k  _____． 【答案】4 【解析】设出 1 2 1 2, , , , , , ,k k k kA a C a B b D ba a b b                        由坐标转化线段长，从而可求出结果等于 4． 【详解】解：设 1 2 1 2, , , , , , ,k k k kA a C a B b D ba a b b                        ，则 2 1k k 2,a aCA    2 1k k 2a   ， 得 2 1 2 k ka  同理： 1 2k k 4bBD   ，得 1 2 4 k kb  又 3a b ﹣ ＝ 2 1 1 2 32 4 k k k k    解得： 2 1 4k k﹣ ＝ 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 22．（2019·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 12y x  分别交 x 轴， y 轴于点 A和点 B ，分别交反比例函数  1 0, 0ky k xx    ，  2 2 0ky xx   的图象于点C 和点 D ，过点C 作CE x 轴于点 E ，连结 ,OC OD . 若 COE 的面积与 DOB 的面积相等，则 k 的 值是_____. 【答案】2. 【解析】过点 D 作 DF y 轴于 F .根据 k 的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点 D 的坐标，代入  2 2 0ky xx   即可求得 k 的值． 【详解】如图，过点 D 作 DF y 轴于 F . 把 y=0 代入 1 12y x  得：x=2，故 OA=2 由反比例函数比例系数的几何意义， 可得 1 2COE kS  ， DOFS k  . ∵ 1 2DOB COES S k   ， ∴ 1 2DBF DOF DOB DOBS S S k S       ， ∴OB FB . 易证 DBF ABO ≌ ，从而 2DF AO  ，即 D 的横坐标为 2 ，而 D 在直线 AC 上， ∴ ( )2, 2D   ∴ ( ) ( 22 )1 2 2k      . 故答案为：2 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象 与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是 根据两个三角形的面积相等列出 k 的方程． 23．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将 AOD 沿 y 轴翻折，使点 A落在 x 轴 上的点 E 处，点 B 恰好为OE 的中点， DE 与 BC 交于点 F .若 ky x  ( 0)k  图象经过点C ，且 1S BEF  ，则 k 的值为____. 【答案】24. 【解析】作 FG BE ，作 FH CD ，设 ( 2 ,0)A a ， (0,4 )D b ，由翻折的性质得： ADO EDO   ， 根据全等三角形性质得OA OE ，结合题意可得 (2 ,0)E a ， ( ,0)B a ，由平行四边形性质得， AE CD ， 3AB CD a  ， (3 ,4 )C a b ，，根据相似三角形判定和性质得 1 3 3 BE FG a CD FH a    ，从 而得 FG b ，由三角形面积公式得 1 12 ab  ，即 2ab  ，将点 坐标代入反比例函数解析式即 可求得 k 值. 【详解】作 FG BE ，作 FH CD ，如图，设 ( 2 ,0)A a ， (0,4 )D b ， 依题可得： ADO EDO   ， ∴OA OE ， ∴ (2 ,0)E a ， ∵ B 为OE 中点， ∴ ( ,0)B a ， ∴ BE a ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AE CD ， 3AB CD a  ， (3 ,4 )C a b ， ∴ BEF CDF  ， ∴ 1 3 3 BE FG a CD FH a    ， 又∵ (0,4 )D b ， ∴ 4OD b ， ∴ FG b ， 又∵ 1 12BEFS BE FG     ， ∴即 1 12 ab  ， ∴ 2ab  ， ∵ (3 ,4 )C a b 在反比例函数 ky x  上， ∴ 3 4 12k a b ab   12 2 24   . 故答案为：24. 【点睛】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角 形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图 象与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y＝ k x （k≠0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限， 纵坐标为 4，点 B 在第三象限，BM⊥x 轴，垂足为点 M，BM＝OM＝2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接 OB，MC，求四边形 MBOC 的面积． 【答案】（1）y＝ 4 x ，y＝2x+2；（2）四边形 MBOC 的面积是 4． 【解析】（1）根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点 A 的坐标，从而可以求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点 C，从而可以求得四边形 MBOC 是平行四边形， 根据面积公式即可求得． 【详解】解：（1）∵BM＝OM＝2， ∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣2）， ∵反比例函数 y＝ k x （k≠0）的图象经过点 B， 则﹣2＝ 2 k  ，得 k＝4， ∴反比例函数的解析式为 y＝ 4 x ， ∵点 A 的纵坐标是 4， ∴4＝ 4 x ，得 x＝1， ∴点 A 的坐标为（1，4）， ∵一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图象过点 A（1，4）、点 B（﹣2，﹣2）， ∴ 4 2 2 m n m n       ，解得 2 2 m n    ， 即一次函数的解析式为 y＝2x+2； （2）∵y＝2x+2 与 y 轴交于点 C， ∴点 C 的坐标为（0，2）， ∵点 B（﹣2，﹣2），点 M（﹣2，0）， ∴OC＝MB＝2， ∵BM⊥x 轴， ∴MB∥OC， ∴四边形 MBOC 是平行四边形， ∴四边形 MBOC 的面积是：OM•OC＝4． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求 问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答． 25．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ( 0)ky k x   的图 象过等边三角形 BOC 的顶点 B ， 2OC  ，点 A在反比例函数图象上，连接 ,AC AO . （1）求反比例函数 ( 0)ky k x   的表达式； （2）若四边形 ACBO 的面积是3 3，求点 A的坐标. 【答案】（1） 3y x  （2） 1 ,2 32      【解析】（1）先求出 B 的坐标，根据系数 k 的几何意义即可求得 k= 3 ，从而求得反比例函数 的表达式； （2）根据题意可 ACBO BOC AOCS S S   ，求出 2 3AN  ，再设 ( ,2 3)A t ，求出 t，即可解答 【详解】（1） 2 1, 3OC OM BM    ， ( 1, 3)B   ( 1) ( 3) 3k      反比例函数的表达式为 3y x  （2） 3 3ACBOS ∵ ACBO BOC AOCS S S  ∴ 23 34BOCS OC  ∵ 3 3 3 2 3AOC AOCS S     12, 2 32OC OC AN   • 2 3AN  设 ( ,2 3)A t 2 3 3t  1 2t  1 ,2 32A     【点睛】此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出 B 的坐标 26．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b  的图像与反 比例函数 my x  的图像在第二象限交于点 B ，与 x 轴交于点C ，点 A在 y 轴上，满足条件： CA CB ，且CA CB ，点C 的坐标为( 3, 0) ， 5cos 5ACO  。 （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 0x  时， mkx b x   的解集。 【答案】（1） 27y x   ；（2） 9 0x   【解析】（1）过点 B 作 BH⊥x 轴于点 H，证明 BHC ≌ COA 得到 BH 与 CH 的长度，便可求 得 B 点的坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量 x 的取值范围便是结 果． 【详解】解：（1）如图作 BH x 轴于点 H 则 90BHC BCA COA       ∴ BCH CAO   ∵点C 的坐标为( 3, 0) ∴ 3OC  ∵ 5cos 5ACO  ∴ 3 5AC  ， 6AO  在 BHC 和 COA 中 有 90 BC AC BHC COA BCH CAO          ∴ BHC ≌ COA ∴ 3BH CO  ， 6CH AO  ∴ 9OH  ，即 ( 9 , 3)B  ∴ 9 3 27m      ∴反比例函数解析式为 27y x   （2）因为在第二象限中， B 点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方, 所以当 0x  时， mkx b x   的解集为 9 0x   . 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用 数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点． 27．（2019·湖南中考真题）如图，一次函数 3y x   的图象与反比例函数 ( 0)ky kx   在第一 象限的图象交于 (1, )A a 和 B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 APC 的面积为 5，求点 P 的坐标． 【答案】（1） 2y x  （2）P 的坐标为( 2,0) 或(8,0) 【解析】（1）利用点 A 在 3y x   上求 a，进而代入反比例函数  0ky kx   求 k 即可； （2）设  ,0P x ，求得 C 点的坐标，则 3PC x  ，然后根据三角形面积公式列出方程，解方 程即可． 【详解】（1）把点  1,A a 代入 3y x   ，得 2a  ， ∴  1,2A 把  1,2A 代入反比例函数 ky x  ， ∴ 1 2 2k    ； ∴反比例函数的表达式为 2y x  ； （2）∵一次函数 3y x   的图象与 x 轴交于点 C， ∴  3,0C ， 设  ,0P x ， ∴ 3PC x  ， ∴ 1 3 2 52APCS x     ， ∴ 2x   或 8x  ， ∴P 的坐标为 2,0 或 8,0 ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析 式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 28．（2019·贵州中考真题）如图，一次函数 y＝kx+b(k，b 为常数，k≠0)的图象与反比例 函数 12y x   的图象交于 A、B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3. (1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积； (3)写出不等式 kx+b＞﹣12 x 的解集. 【答案】(1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB 的面积为 7 2 ；(3) x＜﹣4 或 0＜x＜3. 【解析】（1）先根据 A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3，求出 A,B，再把 A,B 的值代入解析 式即可解答 （2）先求出 C 的坐标，利用三角形的面积公式即可解答 （3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的 x 的 取值范围； 【详解】(1)∵一次函数 y＝kx+b(k，b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数 12y x   的图象交 于 A、B 两点， 且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3， ∴ 123 x   ， 解得：x＝﹣4， y＝﹣12 3 ＝﹣4， 故 B(﹣4，3)，A(3，﹣4)， 把 A，B 点代入 y＝kx+b 得： 4 3{3 4 k b k b       ， 解得： 1{ 1 k b     ， 故直线解析式为：y＝﹣x﹣1； (2)y＝﹣x﹣1，当 y＝0 时，x＝﹣1， 故 C 点坐标为：(﹣1，0)， 则△AOB 的面积为： 1 2 ×1×3+ 1 2 ×1×4＝ 7 2 ； (3)不等式 kx+b＞﹣12 x 的解集为：x＜﹣4 或 0＜x＜3. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式 29．（2019·江苏中考真题）如图，点  2,A n 和点 D 是反比例函数  0, 0my m xx    图象上 的两点，一次函数  3 0y kx k   的图象经过点 A，与 y 轴交于点 B ，与 x 轴交于点C ，过点 D 作 DE x 轴，垂足为 E ，连接 ,OA OD ．已知 OAB 与 ODE 的面积满足 : 3: 4OAB ODES S   ． （1） OABS ＝ _____， m ＝ _____； （2）已知点  6,0P 在线段OE 上，当 PDE CBO   时，求点 D 的坐标． 【答案】（1）3，8；（2）  8,1D . 【解析】（1）由一次函数解析式求得点 B 的坐标，易得 OB 的长度，结合点 A 的坐标和三角 形面积公式求得 S△OAB=3，所以 S△ODE=4，由反比例函数系数 k 的几何意义求得 m 的值； （2）利用待定系数法确定直线 AC 函数关系式，易得点 C 的坐标；利用∠PDE=∠CBO，∠ COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得 PE、DE 的 长度，易得点 D 的坐标． 【详解】（1）由一次函数 3y kx  知，  0,3B ． 又点 A 的坐标是 2,n ， 1 3 2 32OABS     ． : 3: 4OAB ODES S   ． 4ODES  ． ∵点 D 是反比例函数  0, 0my m xx    图象上的点， 1 42 ODEm S   ，则 8m  ． （2）由（1）知，反比例函数解析式是 8y x  ． 2 8n  ，即 4n  ． 故  2,4A ，将其代入 3y kx  得到： 2 3 4x   ． 解得 1 2k  ． ∴直线 AC 的解析式是： 1 32y x  ． 令 0y  ，则 1 3 02 x   ， 6x   ，  6,0C  ． 6OC  ． 由（1）知， 3OB  ． 设  ,D a b ，则 DE b ， 6PE a  ． PDE CBO   ， 90COB PED    ， CBO PDE  ， OB OC DE PE   ，即 3 6 6b a   ①， 又 8ab  ②． 联立①②，得 2 4 a b      （舍去）或 8 1 a b    ． 故  8,1D ． 【点睛】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐 标特征，反比例函数系数 k 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识 点，综合性较强，但是难度不是很大． 30．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点 (0,7)B ，与 反比例函数 8y x  在第二象限内的图象相交于点 ( 1,  )A a ． （1）求直线 AB 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 9 个单位后与反比例函数的图象交于点 C 和点 E，与 y 轴交于点 D， 求 ACD 的面积； （3）设直线 CD 的解析式为 y mx n  ，根据图象直接写出不等式 8mx n x   的解集． 【答案】（1）） 7y x   ；（2） ACD 的面积为 18；（3） 4 0x   或 2x  ． 【解析】（1）将点 A（-1，a）代入反比例函数 8y x  求出 a 的值，确定出 A 的坐标，再根据 待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线 CD 的解析式为 y=-x-2，从而求得 D 的坐标，联立方程求 得交点 C、E 的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB 的面积，然后由同底等高的两三角形 面积相等可得△ACD 与△CDB 面积相等； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1））∵点 ( 1,  )A a 在反比例函数 8y x  的图象上， ∴ 8 81a   ， ∴ ( 1,8)A  ， ∵点 (0,7)B ， ∴设直线 AB 的解析式为   7y k x  ， ∵直线 AB 过点 ( 1,8)A  ， ∴8 7k   ，解得 1k   ， ∴直线 AB 的解析式为 7y x   ； （2）∵将直线 AB 向下平移 9 个单位后得到直线 CD 的解析式为 2y x   ， ∴ (0, 2)D  ， ∴ 7 2 9BD    ， 联立 2 8 y x y x     ，解得 4 2 x y     或 2 4 x y     ， ∴ ( 4,2)C  ， (2, 4)E  ， 连接 AC，则 CBD 的面积 1 9 4 182     ， 由平行线间的距离处处相等可得 ACD 与 CDB 面积相等， ∴ ACD 的面积为 18． （3）∵ ( 4,2)C  ， (2, 4)E  ， ∴不等式 8mx n x   的解集是： 4 0x   或 2x  ． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的 面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 31．（2019·四川中考真题）一次函数 y kx b  的图象经过点 (1,4)A ， ( 4, 6)B   ． (1)求该一次函数的解析式； (2)若该一次函数的图象与反比例函数 my x  的图象相交于 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x x 两点，且 1 23 2x x  ，求 m 的值． 【答案】(1)一次函数解析式为： 2 2y x  ；(2) 12m  ． 【解析】(1)利用待定系数法进行求解即可； (2)联立一次函数解析式与反比例函数解析式，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，由一元二 次方程根与系数的关系可得 1 2 1x x   ，x1x2=- 2 m ，再由 1 23 2x x  求得 x1、x2 的值即可求得 答案. 【详解】(1)由题意得： 4 4 6 k b k b       ， 解得： 2 2 k b    ， 一次函数解析式为： 2 2y x  ； (2)联立 2 2y x my x    ，消去 y 得： 22 2 0x x m   ， 则 1 2 1x x   ，x1x2=- 2 m ， 又∵ 1 23 2x x  ， ∴ 1 2 2 3 x x     ， ∴2×(-3)=- 2 m ， ∴m=12. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及了待定系数法，一元二次方程根与 系数的关系等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 32．（2019·山东中考真题）如图， ABCD 中，顶点 A的坐标是 0,2 ， AD x 轴， BC 交 y 轴于点 E ，顶点C 的纵坐标是-4， ABCD 的面积是 24．反比例函数 ky x  的图象经过点 B 和 D ， 求： （1）反比例函数的表达式；（2） AB 所在直线的函数表达式． 【答案】（1） 8y x  ；（2） 3 2y x  【解析】(1)根据题意得出 6AE  ，结合平行四边形的面积得出 4AD BC  ，继而知点 D 坐标， 从而得出反比例函数解析式； (2)先根据反比例函数解析式求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求解可得． 【详解】(1)∵顶点 A的坐标是 0,2 ，顶点C 的纵坐标是-4， ∴ 6AE  ， 又 ABCD 的面积是 24， ∴ 4AD BC  ， 则  4,2D ， ∴ 4 2 8k    ， ∴反比例函数解析式为 8y x  ； (2)由题意知 B 的纵坐标为-4， ∴其横坐标为-2， 则  2, 4B   ， 设 AB 所在直线解析式为 y kx b  ， 将  0,2A 、  2, 4B   代入，得： 2 2 4 b k b      ， 解得： 3 2 k b    ， 所以 AB 所在直线解析式为 3 2y x  ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公 式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的方法． 33．（2019·甘肃中考真题）如图，已知反比例函数 ( 0)ky k x   的图象与一次函数 y x b   的 图象在第一象限交于 1,3 ,( ) ( )3,1A B 两点 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点 ( )(,0 0)P a a  ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，在第一象限内交一次函数 y x b   的 图象于点 M ，交反比例函数 ky x  上的图象于点 N ．若 PM PN ，结合函数图象直接写出 a 的 取值范围． 【答案】(1) 3 , 4y y xx     ；(2) 1 3a  【解析】(1)利用待定系数法即可求得； (2)根据图象可解． 【详解】解：(1)∵反比例函数 ( 0)ky k x   的图象与一次函数 y x b   的图象在第一象限交于 1,3 ,( ) ( )3,1A B 两点， ∴3 ,3 11 k b    ， ∴ 3, 4k b  ， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 3 , 4y y xx     ； (2)由图象可得：当1 3a  时， PM PN ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象 性质解决问题是本题的关键． 34．（2019·河北中考真题）长为300m的春游队伍，以 /v m s（ ）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾， 甲的往返速度均为2 /v m s（ ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行 进的时间为t s（ ），排头与O的距离为 S m头（ ）． （1）当 2v  时，解答： ①求 S头 与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S头 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为 S m甲（ ），求 S甲 与t 的函数关系式（不写t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为T s（ ），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写 出队伍在此过程中行进的路程． 【答案】（1）① 2 300头＝S t  ；② 4 1200S t  甲 ；（2）T 与v 的函数关系式为： 400T v  ，此 时队伍在此过程中行进的路程为 400m ． 【解析】（1）①排头与 O 的距离为 S 头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长 300，而排头行 进的时间也是 t（s），速度是 2m/s，可以求出 S 头与 t 的函数关系式； ②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求 S 即可；在甲从排头返回 到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m）是在 S 的基础上减少甲返回的路程，而甲返 回的时间=总时间 t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求 S 甲与 t 的函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为 T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时 的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行 进的路程=队伍速度×返回时间． 【详解】（1）①排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），则排头也离开原排头 t（s），∴S 头=2t+300； ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时 S 头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S 甲=S 头﹣S 甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200； 因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S 的值为 600m，在甲从 排头返回到排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲=﹣4t+1200． （2）T=t 追及+t 返回 300 300 400 2 2v v v v v     ，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为： v 400 v   400； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T 400 v  ，此时队伍在此过程中行进的路程为 400m． 【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理 解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误． 35．（2019·四川中考真题）如图，直线 y x 与双曲线 ( 0)ky xx   相交于点 A，且 2OA  ， 将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点 B，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点． （1）求直线 BC 的解析式及 k 的值； （2）连结OB 、 AB ，求 OAB 的面积． 【答案】（1）直线 BC 的解析式为 1y x  ，k=1；（2）2. 【解析】（1）根据平移的性质即可求得直线 BC 的解析式，由直线 y x 和 2OA  即可求得 A 的坐标，然后代入双曲线 ( 0)ky xx   求得 k 的值； （2）作 AE x 轴于 E， BF x 轴于 F，联立方程求得 B 点的坐标，然后根据 AOB BOF AOEAEFB AEFBS S S S S     梯形 梯形 ，求得即可． 【详解】解：（1）根据平移的性质，将直线 y x 向左平移一个单位后得到 1y x  ， ∴直线 BC 的解析式为 1y x  ， ∵直线 y x 与双曲线 ( 0)ky xx   相交于点 A， ∴A 点的横坐标和纵坐标相等， ∵ 2OA  ， ∴ (1,1)A ， 1 1 1k    ； （2）作 AE x 轴于 E， BF x 轴于 F， 解 1 1 y x y x      得 1 5 2 1 5 2 x y      或 1 5 2 1 5 2 x y      ∴ 1 5 1 5( , )2 2B    ， ∵ AOB BOF AOEAEFB AEFBS S S S S     梯形 梯形 ， ∴ 1 1 5 1 5(1 )(1 ) 22 2 2AOB AEFBS S       梯形 ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学 会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 36．（2019·四川中考真题）如图，一次函数 3y x  的图象与反比例函数 ( 0)ky k x   的图象 交于点 A 与点 ( , 4)B a  ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若动点 P 是第一象限内双曲线上的点（不与点 A 重合），连接OP ，且过点 P 作 y 轴的 平行线交直线 AB 于点 C，连接OC ，若 POC 的面积为 3，求出点 P 的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 4y x  ；（2）点 P 的坐标为 4(5, )5 或(1,4) 或(2,2)． 【解析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点 P 的坐标为 4( , )( 0)m mm  ，利用三角形面积公式进行求解. 【详解】解：（1）将 ( , 4)B a  代入一次函数 3y x  中得： 1a   ∴ ( 1, 4)B   将 ( 1, 4)B   代入反比例函数 ( 0)ky k x   中得： 4k  ∴反比例函数的表达式为 4y x  ； （2）如图： 设点 P 的坐标为 4( , )( 0)m mm  ，则 ( , 3)C m m  ∴ 4| ( 3) |PC mm    ，点 O 到直线 PC 的距离为 m ∴ POC 的面积 1 4| ( 3) | 32 m mm      解得： 5m  或 2 或 1 或 2 ∵点 P 不与点 A 重合，且 (4,1)A ∴ 4m  又∵ 0m  ∴ 5m  或 1 或 2 ∴点 P 的坐标为 4(5, )5 或(1,4) 或(2,2)． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数. 37．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象上，边 CD 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上．已知 2CD  ． （1）点 A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由． （2）若该反比例函数图象与 DE 交于点 Q，求点 Q 的横坐标． （3）平移正六边形 ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描 述平移过程． 【答案】（1）点 A 在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q 的横坐标是 3 17 2  ；（3）见解 析. 【解析】（1）连接 PC，过点 P 作 PH x 轴于点 H，由此可求得点 P 的坐标为（2， 3 ）；即 可求得反比例函数的解析式为 2 3 ( 0)y xx   ，连接 AC，过点 B 作 BG AC 于点 C，求得点 A 的坐标，由此即可判定点 A 是否在该反比例函数的图象上；（2）过点 Q 作QM x 轴于点 M，设 DM b ，则 3QM b ，由此可得点 Q 的坐标为( 3, 3 )b b ，根据反比例函数图象上 点的性质可得 3 ( 3) 2 3b b   ，解方程球队的 b 值，即可求得点 Q 的横坐标；（3）连接 AP， AP BC EF  ， AP BC EF∥ ∥ ，结合（1）中的条件，将正六边形 ABCDEF 先向右平移 1 个 单位，再向上平移 3 个单位（平移后的点 B、C 在反比例函数的图象上）或将正六边形 ABCDEF 向左平移 2 个单位（平移后的点 E、F 在反比例函数的图象上）. 【详解】解：（1）连接 PC，过点 P 作 PH x 轴于点 H， 在正六边形 ABCDEF 中，点 B 在 y 轴上 OBC 和 PCH 都是含有30 角的直角三角形， 2BC PC CD   1OC CH   ， 3PH  点 P 的坐标为(2, 3) 2 3k  反比例函数的表达式为 2 3 ( 0)y xx   连接 AC，过点 B 作 BG AC 于点 C 120ABC   ， 2AB BC  1BG  ， 3AG CG  点 A 的坐标为(1,2 3) 当 1x  时， 2 3y  所以点 A 在该反比例函数的图像上 （2）过点 Q 作QM x 轴于点 M 六边形 ABCDEF 是正六边形， 60EDM   设 DM b ，则 3QM b 点 Q 的坐标为( 3, 3 )b b 3 ( 3) 2 3b b   解得 1 3 17 2b   ， 2 3 17 2b   3 173 2b    点 Q 的横坐标是 3 17 2  （3）连接 AP， AP BC EF  ， AP BC EF∥ ∥ 平移过程：将正六边形 ABCDEF 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，或将正六边 形 ABCDEF 向左平移 2 个单位 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比 例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系． 38．（2019·江苏中考真题）如图， A为反比例函数 ky x  (x>0)图象上的一点，在 x 轴正半轴 上有一点 B ， 4OB  .连接OA， AB ，且 2 10OA AB  . (1)求k 的值； (2)过点 B 作 BC OB ，交反比例函数 ky x  (x>0)的图象于点C ，连接OC 交 AB 于点 D ，求 AD DB 的值. 【答案】(1)k=12；(2) 3 2 . 【解析】(1)过点 A作 AH OB 交 x 轴于点 H ，交OC 于点 M ，易知 OH 长度，在直角三角形 OHA 中得到 AH 长度，从而得到 A 点坐标，进而算出 k 值；（2）先求出 D 点坐标，得到 BC 长度，从而得到 AM 长度，由平行线得到 ADM BDC△ ∽△ ，所以 3 2 AD AM BD BC   【详解】解： (1)过点 A作 AH OB 交 x 轴于点 H ，交OC 于点 M . 2 10, 4OA AB OB   2OH  6AH   2,6A 12k  (2) 124x y x  将 代入  4,3D得 3BC  1 3 2 2MH BC  9 2AM  AH x BC x  轴， 轴 AH BC ∥ ADM BDC△ ∽△ 3 2 AD AM BD BC    【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出 k 39．（2019·广西中考真题）如图，菱形 ABCD的边 AB 在 x 轴上，点 A的坐标为 1,0 ，点  4 4D , 在反比例函数 ky x  （ 0x  ）的图象上，直线 2 3y x b  经过点C ，与 y 轴交于点 E ，连接 AC ， AE . （1）求 k ，b 的值；（2）求 ACE 的面积. 【答案】（1） 16k  ， 2b   ；（2） 6 AECS . 【解析】（1）由菱形的性质可知  6,0B ，  9,4C ，点  4 4D , 代入反比例函数 ky x  ，求出 k ； 将点  9,4C 代入 2 3y x b  ，求出b ； （2）求出直线 2 23y x  与 x 轴和 y 轴的交点，即可求 AEC 的面积； 【详解】解：（1）由已知可得 5AD  ， ∵菱形 ABCD， ∴  6,0B ，  9,4C ， ∵点  4 4D , 在反比例函数  0ky xx   的图象上， ∴ 16k  ， 将点  9,4C 代入 2 3y x b  ， ∴ 2b   ； （2）  0, 2E  ， 直线 2 23y x  与 x 轴交点为 3,0 ， ∴  1 2 2 4 62AECS      ； 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长 和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.