全国有关中考数学压轴题精选2含答

全国有关中考数学压轴题精选2含答

‎2018年全国有关中考数学压轴题精选2含答 ‎11（08江苏连云港24题）（本小题满分14分）‎ 如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．‎ ‎（1）求直线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：‎ ‎①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；‎ A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题图）‎ D II ‎②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，‎ 知两点的坐标分别为．‎ 设直线所对应的函数关系式为． 2分 有解得 A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题答图）‎ K II 所以，直线所对应的函数关系式为． 4分 ‎（2）①点到轴距离与线段的长总相等．‎ 因为点的坐标为，‎ 所以，直线所对应的函数关系式为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以可设点的坐标为．‎ 过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．‎ 因为点在直线上，所以有． 6分 因为纸板为平行移动，故有，即．‎ 又，所以．‎ 法一：故，‎ 从而有．‎ 得，．‎ 所以．‎ 又有． 8分 所以，得，而，‎ 从而总有． 10分 法二：故，可得．‎ 故．‎ 所以．‎ 故点坐标为．‎ 设直线所对应的函数关系式为，‎ 则有解得 所以，直线所对的函数关系式为． 8分 将点的坐标代入，可得．解得．‎ 而，从而总有． 10分 ‎②由①知，点的坐标为，点的坐标为．‎ ‎． 12分 当时，有最大值，最大值为．‎ 取最大值时点的坐标为． 14分 ‎12（08江苏连云港25题）（本小题满分12分）‎ 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．‎ A A B B C C ‎（第25题图1）‎ ‎（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；‎ G H E F ‎（第25题图2）‎ ‎（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．‎ ‎（08江苏连云港25题解析）解：（1）如图所示： 4分 ‎（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）‎ ‎（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分 ‎（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）． 10分 理由如下：‎ G H E F ‎（第25题答图2）‎ M 由，‎ ‎，，‎ 故是锐角三角形，‎ 所以其最小覆盖圆为的外接圆，‎ 设此外接圆为，直线与交于点，‎ 则．‎ 故点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．‎ 所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．‎ ‎ 12分 ‎13（08江苏南通28题）（14分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A D x B C E N M ‎·‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ ‎（08江苏南通28题解析）解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ 从而．……………………………………………………………………3分 ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，‎ ‎∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ……………4分 ‎ S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =， ………………7分 ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴． …………………………8分 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎ 解得．‎ ‎∴直线CM的解析式是．………………………………………………11分 ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是 ‎．‎ 同理，……………………………13分 ‎∴．……………………14分 ‎14（08江苏宿迁27题）（本题满分12分）‎ 如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．‎ ‎(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；‎ ‎(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；‎ 第27题 ‎(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．‎ ‎（08江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形为正方形 ∴‎ ‎∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切；‎ 第27题图1‎ ‎(2)直线与⊙相切分两种情况:‎ ‎ 　　①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 第27题图2‎ ‎∴　∴，故直线的函数关系式为；‎ ‎　　②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 ‎∴　∴，故直线的函数关系式为.‎ ‎(3)设,则,由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎15（08江苏泰州29题）已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）。‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）‎ ‎（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）‎ ‎（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足2<<3，试求实数k的取值范围。（5分）‎ ‎（08江苏泰州29题解析）（本题满分14分）（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)……………1分 ‎（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）‎ 将（0，—）代入，解得a=.‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x- …………………………………3分 ‎（无论解析式是什么形式只要正确都得分）‎ 画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 ‎（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分 由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 ‎（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，‎ 对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），‎ y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，‎ 即＞×22+2-，解得K＞5。…………………………………11分 同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，‎ 即×32+3—＞，解得K＜18。…………………………………13‎ 所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分 ‎16（08江苏无锡27题）（本小题满分10分）‎ 如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：‎ ‎（1）点的坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．‎ ‎（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过作轴于，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 点的坐标为． （2分）‎ B A D O P C x y 图1‎ ‎（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，‎ y x B C P O A E 图2‎ ‎，，‎ ‎． （4分）‎ ‎②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，‎ 过作于，则， （5分）‎ ‎，． （7分）‎ ‎③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，‎ 则，，‎ ‎． （8分）‎ y x A F C B P O G H 图3‎ 过作轴于，则，‎ ‎，‎ 化简，得，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所求的值是，和． （10分）‎ ‎17（08江苏无锡28题）（本小题满分8分）‎ 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：‎ ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？‎ ‎（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？‎ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）‎ ‎（08江苏无锡28题解析）解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．‎ ‎ （3分）（图案设计不唯一）‎ ‎（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）‎ 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）‎ 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．‎ 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）‎ 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．‎ ‎18（08山东德州东营菏泽24题）(本题满分12分) ‎ 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎（08山东德州东营菏泽24题解析）(本题满分12分) ‎ 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ……………2分 ‎∴ =．（0＜＜4） ………………3分 A B C M N D 图 2‎ O Q ‎（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ． …………………5分 过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，． ‎ ‎∴ x＝． ‎ ‎∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………7分 A B C M N P 图 3‎ O ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ‎① 当0＜≤2时，． ‎ ‎∴ 当＝2时， …………………………………………8分 ‎② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ A B C M N P 图 4‎ O E F ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． ……………………………………………………… 9分 ‎＝．……………………10分 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………………11分 综上所述，当时，值最大，最大值是2． ……………………………12分 ‎19（08山东临沂25题）（本小题满分11分）‎ 已知∠MAN，AC平分∠MAN。‎ ‎⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;‎ ‎⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;‎ ‎⑶在图3中：‎ ‎①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;‎ 第25题图 ‎②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。‎ ‎（08山东临沂25题解析）解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，‎ ‎∴∠CAB＝∠CAD＝60°，‎ E F G ‎∵∠ABC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分 ‎∴AB＝AD＝AC，……………………2分 ‎∴AB＋AD＝AC。……………………3分 ‎⑵成立。……………………………r…4分 证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。‎ ‎∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.‎ ‎∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,‎ ‎∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ‎∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分 ‎∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,‎ ‎∴AB＋AD＝AC……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.‎ ‎∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分 ‎∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,‎ ‎∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分 ‎∴BG＝AD,‎ ‎∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，…………………………………………7分 ‎⑶①;………………………………………………………………………8分 ‎②.………………………………………………………………………9分 证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，‎ 在Rt△AFC中，,即,‎ ‎∴,………………………………………………………………10分 ‎∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，…………11分 ‎20（08山东临沂26题）（本小题满分13分）‎ 如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。‎ 第26题图 ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;‎ ‎⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。‎ ‎（08山东临沂26题解析）图1‎ A P Q B C D M ⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为………………………………1分 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为………………………………………2分 ‎⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分 ‎①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，‎ 得，即y＝4－x。…………………………5分 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分 解得，，应舍去。∴。……………………7分 ‎∴，即点P坐标为。……………………8分 ‎②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。‎ ‎∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分 ‎⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,‎ 得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分 ‎∴,‎ ‎∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，‎ ‎∵CF＝DF＝1,‎ ‎∴∠CDF＝45°,‎ 由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），‎ ‎∴DM∥BC,‎ E F ‎∴四边形BCDM为直角梯形, ………………………………………………………12分 由∠BCD＝90°及题意可知，‎ 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;‎ 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。‎ 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。…………………………………13分