中考数学专题复习——四边形的折叠剪切旋转

中考数学专题复习——四边形的折叠剪切旋转

中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题 一、折叠、剪切类问题 ‎1、折叠后求度数 ‎（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）‎ A．600 B．750 C．900 D．950‎ ‎ ‎ ‎（2）如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ 　）‎ A．50° B．55°　　　C．60° D．65°‎ C D E B A 图②‎ ‎（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝____________度.‎ 图①‎ 2、 折叠后求长度 ‎（1）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．‎ A、 B、2 C、3 D、‎ A B C D E F ‎（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，N M F E D C B A 点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎（4）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米. ‎ ‎（5）如图，是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD= ‎ ‎（6）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为m n n n ‎（2）‎ ‎（1）‎ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、折叠后求面积 ‎（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎（2）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ ‎ A．2 B．4 C．8 D．10‎ ‎（3）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：①将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；②将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）‎ E A A A B B B C C C G D D D F F F 图a 图b 图c ‎ ‎ A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2‎ ‎（4）点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分△GEF的面积=______ cm2‎ ‎（5）如图，红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为_______‎ ‎（6）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN、EF分成四个部分，‎ 分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1、S2、S3、S4，若 MN∥AB∥DC、EF∥DA∥CB，请你写出一个关于S1、S2、S3、S4的等量关系 ‎________________________________.‎ ‎4、折叠、剪切后得图形 ‎（1）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）‎ A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 ‎（2）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎（3）小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )‎ ‎（4）将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（5）如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）‎ ‎（6）如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎（7）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5、折叠后得结论 ‎（1）亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”‎ ‎ ‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（2）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ） A.a2–b2 =(a+b)(a-b) B.(a–b)2 = a2–2ab+b2 ‎ C.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 D.a2 + ab = a (a+b) ‎ ‎（3）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ 　）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6、折叠和剪切的应用 D C B A ‎（1）如图，有一个边长为5的正方形纸片，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得．①的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎（2）如图，已四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能”‎ 或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎（3）如图，已知五边形ABCDE中，AB//ED，∠A＝∠B＝90°，‎ 则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线 有__________条，满足条件的直线可以这样趋确定：‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎（4）如图，有一个边长为a的正六边形纸片ABCDEF.①六边形ABCDEF的外接圆半径与内切圆半径之比为_____________；②请你设计一种用剪刀只剪两刀将其拼为一个矩形（在图中画出裁剪线），叙述裁剪过程并简要说明得到的矩形是否是正方形:‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎（5）如图，有一个长：宽=2：1的长方形纸片ABCD.①含有30°、60°的直角三角形最短边与最长边之比为___________；②请你设计一种折叠一次使这张纸片出现30°和60°（在图中画出折叠线和折叠后图线），叙述折叠过程并简要说明理由:‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎（6）如图，有一个长方体的底面边长分别是1cm和3cm，高为6cm.①现用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么细线最短需要________cm；②若从点A经过开始经过3个侧面缠绕n圈到达点B，此时细线最短需要____________________cm.③若有一个长方体的边长为a的正方形，高为b，那么细线从点A到点C的最短距离：‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________.‎ ‎（7）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）‎ ‎（8）如图，现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，点B、C、B′、C′在同一直线上，且点C与点B′重合，能否利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1：3的三角形？ （填能或否），若你认为能，请在原图上画出裁剪线和拼接线说明你的操作方法：‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________.‎ ‎（9）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.‎ E B A C B A M C D M 图3‎ 图4‎ 图1‎ 图2‎ ‎①用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.‎ ‎②若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.‎ ‎（10）在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较甲同学和乙同学的折法中，哪种菱形面积较大？‎ A D E H F B C G ‎（方案一）‎ A D E F B C ‎（方案二）‎ ‎（11）有一张矩形形状的纸ABCD如图所示，只用折叠的方法将直角三等分，步骤如下：‎ E C B B C H N M D D A A 第一步：先把矩形对折，设折痕为MN；‎ 第二步：再把点B折叠到折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH折叠.‎ 此时，AE、AH是否就是直角BAD的三等分线？并说明理由.‎ ‎（12）如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算过程).‎ 二、旋转类问题 ‎（1）如图，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．‎ A D C B E ‎ 图 A． B． C． D．‎ ‎（2）如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．‎ D A P （3） 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°能 C B 与△CBP'重合，若PB=3，则PP'=________________.‎ P'‎ ‎（4）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'=________________.‎ ‎（5）已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或延长线）于点M，N.‎ ‎（Ⅰ）如图①所示，当∠MAN绕点A旋转到BMDN时，求证：BM+DN=MN.‎ D A 思路点拨：考虑证明BM+DN=MN需将线段BM、DN转化到同一条直线上，再证明BM+DN=MN．可将△ADM顺时针旋转90°‎ 请你完成证明过程：‎ N C B M D A ‎（Ⅱ）当∠MAN绕点A旋转到如图②所示时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.‎ C B M N ‎（6）在图1至图2中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．‎ ‎（Ⅰ）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；‎ ‎（Ⅱ）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；‎ 三、动点类问题 ‎1、动点距离和最小值问题 ‎（1）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　　　 ． ‎ M D A （2） 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，M、N分别为AD、‎ BC中点，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_________________.‎ P N C B C D F P （3） 如图，正方形ABCD的边长为8，AE=3，CF=1，点P是对角线AC 上一动点，则PE+PF的最小值________.‎ E B A ‎（4）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.‎ 温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.‎ ‎（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；‎ 第（25）题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.‎ ‎2、动点运动问题 ‎（1）如图，在矩形ABCD中，AB﹦16㎝，AD﹦6㎝,动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3㎝的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2㎝的速度向D移动.⑴P、Q两点出发后多少秒时，为四边形PBCQ的面积为36㎝？⑵是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形，若存在，求出该时刻，若不存在说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）.‎ ‎(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)求四边形QAPC的面积，并提供一个与计算结果有关的结论.‎ C D Q B P A ‎（3）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=14㎝，AD=15㎝，BC=21㎝.点M从A点开始，沿AD边向D运动，速度为1㎝/s，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为2㎝/s.如果点M、N分别从A，C同时出发，设时间为t s.(1)当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？(2)当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？‎ M D A N C B （2） 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.‎ (1) 求证：OE=OF；‎ (2) 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；‎ (3) 在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请你说明你的理由.‎ A O F E N M D C B