专题一 规律探索问题 五年中考荟萃

专题一 规律探索问题 五年中考荟萃

第二篇 专题能力突破 专题一 规律探索问题 A组　2015年全国中考题组 一、选择题 ‎1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：‎ ‎7，10，13，16，19，22，25，28，31…‎ ‎7，11，15，19，23，27，31，35，39…‎ 第1个相同的数是7，第10个相同的数是 (　　)‎ A．115 B．127 C．139 D．151‎ 解析　第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…‎ 第m个数为：3m＋4；‎ 第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…‎ 第n个数为：4n＋3.‎ ‎∵3与4的最小公倍数为12，‎ ‎∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.‎ ‎∵第一个相同的数为7，‎ ‎∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.‎ 第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.‎ 答案　A ‎2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是 (　　)‎ A．32 B．29‎ C．28 D．26‎ 解析　观察图形发现：‎ 图1中有2个黑色正方形，‎ 图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，‎ 图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，‎ 图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，‎ ‎…，‎ 图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，‎ 当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.‎ 答案　A ‎3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为 (　　)‎ A．21 B．24‎ C．27 D．30‎ 解析　观察图形得：‎ 第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，‎ 第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，‎ 第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，‎ ‎…，‎ 第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．‎ 当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.‎ 答案　B ‎4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，则b2 015的值是 (　　)‎ A．1 B．6 C．9 D．19‎ 解析　∵b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.‎ ‎∵b0＝1，∴b2 015的值是6.‎ 答案　B ‎5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 (　　)‎ A．8 B．9 C．13 D．15‎ 解析　∵每个数都等于它前面的两个数之和，‎ ‎∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，‎ 即这组数中y表示的数为8.故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．‎ 解析　第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．‎ 答案　21‎ ‎7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．‎ 解析　设A1C1交AD10于点E，根据正方形的排放规律，可知，‎ ‎△AD1E∽△D2A1E，∴＝，解得A1E＝；‎ ‎△D2A1E∽△D3A2D2，∴＝，解得A2D3＝3，‎ ‎△A2D2D3∽△A3D3D4，∴＝，解得A3D4＝；‎ ‎△A3D3D4∽△A4D4D5，∴＝，解得A4D5＝；∴AnDn＋1＝，A9D10＝(或)．‎ 答案　(或)‎ 三、解答题 ‎8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：‎ 我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a＋b.回答下列问题：‎ ‎(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n格的“特征多项式”为________；‎ ‎(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a，b的值．‎ 解　(1)观察图形发现：‎ 第1格的“特征多项式”为 4a＋b，‎ 第2格的“特征多项式”为 8a＋4b，‎ 第3格的“特征多项式”为 12a＋9b，‎ 第4格的“特征多项式”为16a＋16b，‎ ‎…‎ 第n格的“特征多项式”为4na＋n2b；‎ 故填12a＋9b　16a＋16b　4na＋n2b.‎ ‎(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴解得：a＝－3；‎ b＝2，∴a，b的值分别为－3和2.‎ B组　2014～2011年全国中考题组 一、选择题 ‎1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)‎ 图1　　　　　　　　　　　图2‎ A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016‎ 解析　∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，‎ 显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四个数中，只有2 016能被12整除，故答案选D.‎ 答案　D ‎2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是 (　　)‎ A．M＝mn B．M＝n(m＋1)‎ C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)‎ 解析　方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.‎ 答案　D ‎3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 (　　)‎ A．22 B．24 C．26 D．28‎ 解析　已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C.‎ 答案　C ‎4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点．第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD 交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；……；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n>2)．则AP6的长为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析　在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，所以BC＝5.又D是BC的中点，所以AD＝.因为点A，D是一组对称点，所以AP1＝×.因为D1是DP1的中点，所以AD1＝××，∴AP2＝×××，同理AP3＝××(×)2，…，APn＝××(×)n－1，所以AP6＝××(×)6－1＝××(×)5＝，故应选A.‎ 答案　A ‎5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°.若点A1的坐标为(3，0)，OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，点A2 014的纵坐标为(　　)‎ A．0 B．－3×()2 014‎ C．(2)2 014 D．3×()2 013‎ 解析　OA2＝＝＝＝3×.同理可求：OA3＝3×()2；OA4＝3×()3......以此类推OAn＝3×()n－1.又因为2 014÷4＝503…2，所以点A2 014与点A2在同一半轴上，故点A2 014的纵坐标为3×()2 013，故选D.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6．★(2013·江西，11，3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n的代数式表示)．‎ 解析　第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝(1＋1)2，9＝(2＋1)2，16＝(3＋1)2，则第n个图形中所有点的个数为(n＋1)2.‎ 答案　(n＋1)2‎ ‎7．(2013·浙江湖州，15，4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x是________．‎ 第一列 ‎ 第二列 ‎ 第三列 ‎ 第四列 ‎ 第五列 ‎ 第六列 ‎ 第七列 ‎ ‎…‎ ‎　第一行 ‎ ‎1 ‎ ‎3 ‎ ‎6 ‎ ‎10 ‎ ‎15 ‎ ‎21 ‎ ‎28 ‎ ‎　第二行 ‎ ‎2 ‎ ‎5 ‎ ‎9 ‎ ‎14 ‎ ‎20 ‎ ‎27 ‎ ‎　第三行 ‎ ‎4 ‎ ‎8 ‎ ‎13 ‎ ‎19 ‎ ‎26 ‎ ‎… ‎ ‎　第四行 ‎ ‎7 ‎ ‎12 ‎ ‎18 ‎ ‎25 ‎ ‎… ‎ ‎　第五行 ‎ ‎11 ‎ ‎17 ‎ ‎24 ‎ ‎… ‎ ‎　第六行 ‎ ‎16 ‎ ‎23 ‎ ‎… ‎ ‎　第七行 ‎ ‎22 ‎ ‎…‎ x ‎…‎ ‎… ‎ 解析　第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.‎ 答案　85‎ ‎8．(2014·贵州毕节，18，5分)观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．‎ 解析　分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为(n＋1)2，所以第n个数是.‎ 答案　 ‎9．(2012·浙江湖州，16，4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若＝，则正△ABC的边长是________．‎ 解析　设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC＝x·x＝x2.∵所分成的都是正三角形，‎ ‎∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x－，‎ 较短的对角线为(x－)＝x－1，‎ ‎∴黑色菱形的面积＝＝(x－2)2，‎ ‎∴＝＝，‎ 整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝(不符合题意，舍去)，x2＝12.∴△ABC的边长是12.‎ 答案　12‎ ‎10．(2014·江苏扬州，18，3分)设a1，a2，…，a2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2 014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，则a1，a2，…，a2 014中为0的个数是________．‎ 解析　设这些数中0的个数为a，则由a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝69可知：1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为，而－1的个数为；再考虑到另一个等式(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有个，1有a个，其余都是0，可知4·＋a＝4 001，解得a＝165.‎ 答案　165‎ 三、解答题 ‎11．(2013·浙江绍兴，19，8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n 次平移矩形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn(n≥2)．‎ ‎(1)求AB1和AB2的长；‎ ‎(2)若ABn的长为56，求n.‎ 解　(1)由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；‎ ‎(2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，ABn＝6＋5n，∴ABn＝6＋5n＝56，n＝10.‎