北京怀柔区2014年中考数学一模试题目

北京怀柔区2014年中考数学一模试题目

北京市怀柔区2014年中考数学一模试题 考生须知 ‎1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．- 5的相反数是 A． B． C． -5 D．5 ‎ ‎2．党中央、国务院从扩大就业等方面保障和增加居民收入，据统计2013年，全国城镇新增就业人数1310万人，将1310用科学计数法表示应为 A． B． C． D． ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，， ‎ ‎ 则的度数等于 A． B． C． D．‎ ‎4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到6的点数，掷得面朝上的点数小于3的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎5．如图，铁路道口的栏杆短臂长‎1m，长臂长‎16m．当短臂端点下降‎0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）．‎ ‎ ‎ A．‎4m B．‎6m C．‎8m D．‎‎12m ‎6.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是 A B C D ‎ ‎ ‎7．在某校“我的中国梦”‎ 演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 ‎8．在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E为对角线AC的中点，点P在边BC上，连接PE、PA.当点P在BC上运动时，设BP=x，△APE的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 B A D C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．函数y= 中自变量x的取值范围是_________________．‎ ‎10．分解因式：ab2－‎4a＝　 　　　　.‎ ‎11．请写出一个在各自象限内，y的值随着x值的增大而减小的反比例函数的表达式_________________．‎ ‎12．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有________________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_________________个．‎ ‎ ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AD∥CE，AD=AC，∠D=∠CAE.‎ 求证：DB=AE.‎ ‎14. 计算：‎ ‎15.解不等式组：‎ ‎16．已知，求代数式的值.‎ ‎17.列方程或方程组解应用题 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．求原计划每天生产多少台机器.‎ ‎18．已知：关于的一元二次方程（m>1）．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30°， AB=2.‎ 求CF的长．‎ ‎20.学生的上学方式是初中生生活自理能力的一种反映．为此，怀柔区某初三数学老师组织本班学生，运用他们所学的统计知识，对初一学生上学的四种方式：骑车、步行、乘车、接送，进行抽样调查，并将调查的结果绘制成图（1）、图（2）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)抽样调查的样本容量为________，其中步行人数占样本容量的_____%，骑车人数占样本容量的_____%．‎ ‎(2)请将图（1）补充完整．‎ ‎ (3)根据抽样调查结果，你估计该校初一年级800名学生中，大约有多少名学生是由家长接送上学的？‎ ‎21.如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.‎ ‎（1）求证：DE与⊙O 相切.‎ ‎（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．‎ ‎ ‎ ‎22．如图，定义：在Rt△ABC中，∠C =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=.‎ 根据上述角的余切定义，解答下列问题：‎ ‎（1）ctan60°= .‎ ‎（2）求ctan15°的值.‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2+bx+c的图象经过（-1，0）和（，0）两点.‎ ‎（1）求此二次函数的表达式.‎ ‎（2）直接写出当-＜x＜1时，y的取值范围.‎ ‎（3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m个单位后，与二次函数y=2x2+bx+c图象交点的横坐标分别是a和b,其中a<20．……………………………1分 ‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根. ………………………………2分 ‎（2）解：∵，m-1≠0.由求根公式解得 ，．…………………………………………3分 ‎ ‎∵，方程的两个根都为正整数，m是整数且m>1.‎ ‎∴是正整数． ‎ ‎∴或2．………………………………………………………………………4分 ‎ ‎∴或3．………………………………………………………………………5分 ‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AB=DC，‎ ‎∵AE∥BD，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形， ‎ ‎∴AB=DE=CD，……………………………………………2分 即D为CE中点，‎ ‎∵AB=2，∴CE=4，…………………………………………3分 ‎ 又∵AB∥CD，∴∠ECF=∠ABC=45°，‎ 过点E作EH⊥BF于点H，‎ ‎∵CE=4，∠ECF=45°，∴EH=CH=2，………………………………………………4分 ‎∵∠EFC=30°，∴ FH=2，∴ CF=2+2．…………………………………5分 ‎20. 解：(1)50，30，40. ……………………………………………………3分 ‎(2)如图所示. ……………………………………………………4分 ‎(3)80010%=80………………………………………………5分 ‎21（1）证明：连接BD、OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，‎ ‎∵E为BC边的中点，∴DE=EC，∴∠1=∠C，∵OA=OD，∴∠2=∠A，‎ ‎∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°，‎ ‎∴∠ODE =90°，∴OD⊥DE于点D，………………………………………1分 ‎∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，∴D是半径的外端，‎ ‎∴DE与⊙O 相切. ………………………………………………2分 ‎(2) ∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，∴ ，∵DE=2，∴BC=4，‎ 在Rt△ABC中，tanC=，‎ ‎∴AB=BC·=2，…………………………………3分 在Rt△ABC中，‎ AC===6，………………4分 又∵△ABD∽△ACB，∴，‎ 即，‎ ‎∴AD=.………………………………………………5分 ‎22． 解：（1）.……………………………………………2分 ‎（2）如图，作△DEG，使DE=GE，∠D=15°.‎ 过点G作GH⊥DE的延长线于点H. ……………………………………………3分 ‎∵ED=EG，∠D=15°. ∴∠2=30°，‎ 在Rt△GEH中，∵∠H =90°, ∠2=30°.‎ ‎∴设GH=x，则EH= ，GE=DE=2x,‎ ‎∴DH= DE+EH=2x+.‎ ‎∴ctan15°=……………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23.解：（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（，0）两点，得 解这个方程组，得 ‎∴此二次函数的表达式为y=2x2-x-3………………………………………2分 ‎（2）如图，当x=-时，y=3，当x=1时y=-2，‎ 又二次函数的顶点坐标是（）.‎ ‎∴当-＜x＜1时y的取值范围是-＜y＜3…………………………4分 ‎3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m个单位后的 一次函数表达式为y=(1-m)x+2-m.‎ ‎∵y=(1-m)x+2-m与二次函数y=2x2+bx+c图象交点的横坐标为a和b, ‎ ‎∴2x2-x-3=(1-m)x+2-m，整理得2x2+(m-2)x+m-5=0. ………………………5分 ‎∵a<20,‎ ‎ ∴m≠1. ……………………………6分 ‎∵a和b满足a<22x2-x-3，把x=2代入(1-m)x+2-m >2x2-x-3，解得m＜，‎ ‎∴m的取值范围为m＜的全体实数. ……………………7分 ‎24． 解：（1）AD+BD=BC………………………………………1分 ‎（2）20……………………………………………………2分 ‎(3)画出图形……………………………………………………3分 继续证明：在BC上截取BF=BA，连接DF, ‎ ‎∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∴△ABD≌△FBD，‎ ‎∴AD=DF，①………………………………4分 ‎∵∠A=100°，∴∠DFB=∠A=100°，∴∠DFC=80°，‎ ‎∵BE=BD，∠DBC=20°, ‎ ‎∴∠BED =∠BDE =80°，∠DFE =∠FED, ‎ ‎∴DF=DE，②………………………………5分 ‎∵∠FED=80°，∠C=40°，∴∠EDC=40°，‎ ‎∴∠EDC =∠C，∴DE =EC，③………………………………………………6分 ‎∴AD =EC，∴AD+BD=BC. ……………………………………………………7分 ‎（其它方法对应给分）.‎ ‎25. 解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2, ‎ ‎∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，‎ ‎∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形，‎ ‎∴正方形的面积是4，‎ 又∵BD⊥AB，BD=6，‎ ‎∴梯形OPDB的面积=,‎ ‎∴点P的关联图形的面积是12. ……………………………………………2分 ‎（2）判断△OCD是直角三角形. ………………………3分 证明：延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，‎ ‎∴CF=DF=4，∠DCF=45°，‎ 又∵四边形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°，‎ ‎∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD. ‎ ‎∴△OCD是直角三角形………………………………5分 ‎（3）连接OC交半圆O于点P，则点P记为所确定的点的位置. ………………………………6分 理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=为定值，‎ 要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.‎ 连接OC，设交半圆O于点P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2,∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P‘到CD的距离为P‘H,则P‘H+P‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC, ‎ ‎∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大. ………………………………7分 ‎∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面积=，‎ 又∵梯形ACDB的面积=，‎ ‎∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4）=8+4.………………………………………………8分