2020年湖北省武汉市中考数学试卷(含解析）

2020年湖北省武汉市中考数学试卷(含解析）

‎2020年湖北省武汉市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•武汉）实数﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）（2020•武汉）式子x-2‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2‎ ‎3．（3分）（2020•武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）‎ A．两个小球的标号之和等于1 ‎ B．两个小球的标号之和等于6 ‎ C．两个小球的标号之和大于1 ‎ D．两个小球的标号之和大于6‎ ‎4．（3分）（2020•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）（2020•武汉）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（3分）（2020•武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎8‎ 第23页（共23页）‎ ‎7．（3分）（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y‎=‎kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1‎ ‎8．（3分）（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）‎ A．32 B．34 C．36 D．38‎ ‎9．（3分）（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）‎ A．‎5‎‎2‎‎3‎ B．3‎3‎ C．3‎2‎ D．4‎‎2‎ ‎10．（3分）（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．‎ 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．160 B．128 C．80 D．48‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）（2020•武汉）计算‎(-3‎‎)‎‎2‎的结果是　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•武汉）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•武汉）计算‎2‎m+n‎-‎m-3nm‎2‎‎-‎n‎2‎的结果是　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：‎ ‎①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；‎ ‎②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；‎ ‎③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；‎ ‎④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．‎ 其中正确的结论是　 　（填写序号）．‎ ‎16．（3分）（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　 　．‎ 第23页（共23页）‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．（8分）（2020•武汉）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．‎ ‎18．（8分）（2020•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．‎ ‎19．（8分）（2020•武汉）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）这次共抽取了　 　名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是　 　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？‎ ‎20．（8分）（2020•武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：‎ ‎（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；‎ ‎（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．‎ ‎21．（8分）（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAE；‎ ‎（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．‎ ‎22．（10分）（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？‎ ‎（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．‎ ‎23．（10分）（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；‎ 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝‎ 第23页（共23页）‎ ‎30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD‎=‎‎3‎，求DFCF的值；‎ 拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2‎3‎，直接写出AD的长．‎ ‎24．（12分）（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；‎ ‎（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；‎ ‎（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y‎=-‎‎4‎kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．‎ 第23页（共23页）‎ ‎2020年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•武汉）实数﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：实数﹣2的相反数是2，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•武汉）式子x-2‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2‎ ‎【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，‎ 解得：x≥2，‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2020•武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）‎ A．两个小球的标号之和等于1 ‎ B．两个小球的标号之和等于6 ‎ C．两个小球的标号之和大于1 ‎ D．两个小球的标号之和大于6‎ ‎【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，‎ ‎∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；‎ 两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；‎ 两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；‎ 两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）（2020•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；‎ B、不是轴对称图形，不合题意；‎ C、是轴对称图形，符合题意；‎ D、不是轴对称图形，不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）（2020•武汉）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从左边看上下各一个小正方形．‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）（2020•武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎8‎ ‎【解答】解：根据题意画图如下：‎ 共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，‎ 则恰好选中甲、乙两位选手的概率是‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎；‎ 第23页（共23页）‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y‎=‎kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1‎ ‎【解答】解：∵k＜0，‎ ‎∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，‎ ‎①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，‎ ‎∵y1＞y2，‎ ‎∴a﹣1＞a+1，‎ 此不等式无解；‎ ‎②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，‎ ‎∵y1＞y2，‎ ‎∴a﹣1＜0，a+1＞0，‎ 解得：﹣1＜a＜1，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）‎ A．32 B．34 C．36 D．38‎ ‎【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），‎ 出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），‎ 第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），‎ a＝24+45÷3.75＝36．‎ 故选：C．‎ 第23页（共23页）‎ ‎9．（3分）（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）‎ A．‎5‎‎2‎‎3‎ B．3‎3‎ C．3‎2‎ D．4‎‎2‎ ‎【解答】解：连接OD，交AC于F，‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴OD⊥AC，AF＝CF，‎ ‎∴∠DFE＝90°，‎ ‎∵OA＝OB，AF＝CF，‎ ‎∴OF‎=‎‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 在△EFD和△ECB中 ‎∠DFE=∠ACB=90°‎‎∠DEF=∠BECDE=BE‎ ‎ ‎∴△EFD≌△ECB（AAS），‎ ‎∴DF＝BC，‎ ‎∴OF‎=‎‎1‎‎2‎DF，‎ ‎∵OD＝3，‎ ‎∴OF＝1，‎ ‎∴BC＝2，‎ 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，‎ ‎∴AC‎=AB‎2‎-BC‎2‎=‎6‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎4‎2‎，‎ 故选：D．‎ 第23页（共23页）‎ ‎10．（3分）（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．‎ 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）‎ A．160 B．128 C．80 D．48‎ ‎【解答】解：观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，‎ 由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，‎ 则n的值是40×4＝160．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）（2020•武汉）计算‎(-3‎‎)‎‎2‎的结果是　3　．‎ ‎【解答】解：‎(-3‎‎)‎‎2‎‎=‎9‎=‎3．‎ 故答案为：3．‎ ‎12．（3分）（2020•武汉）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是　4.5　．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，‎ 所以这组数据的中位数为‎4+5‎‎2‎‎=‎4.5，‎ 故答案为：4.5．‎ 第23页（共23页）‎ ‎13．（3分）（2020•武汉）计算‎2‎m+n‎-‎m-3nm‎2‎‎-‎n‎2‎的结果是　‎1‎m-n　．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2(m-n)‎‎(m+n)(m-n)‎-‎m-3n‎(m+n)(m-n)‎ ‎=‎‎2m-2n-m+3n‎(m+n)(m-n)‎‎ ‎ ‎=‎m+n‎(m+n)(m-n)‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎m-n‎．‎ 故答案为：‎1‎m-n．‎ ‎14．（3分）（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　26°　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，‎ ‎∵AD＝AE＝BE，‎ ‎∴BC＝AE＝BE，‎ ‎∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，‎ ‎∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，‎ ‎∴∠ACB＝2∠CAB，‎ ‎∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，‎ ‎∴∠BAC＝26°，‎ 故答案为：26°．‎ ‎15．（3分）（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：‎ ‎①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；‎ ‎②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；‎ ‎③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；‎ 第23页（共23页）‎ ‎④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．‎ 其中正确的结论是　①③　（填写序号）．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，‎ ‎∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；‎ 该抛物线的对称轴为直线x‎=‎2+(-4)‎‎2‎=-‎1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；‎ 当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；‎ 对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；‎ 故答案为：①③．‎ ‎16．（3分）（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　‎1‎‎4‎t‎2‎‎-‎1‎‎4‎t+1‎　．‎ ‎【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，‎ 设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，‎ ‎∵AE2+AM2＝EM2，‎ ‎∴（2﹣x）2+t2＝x2，‎ 第23页（共23页）‎ 解得x‎=t‎2‎‎4‎+‎1，‎ ‎∴DE‎=t‎2‎‎4‎+‎1，‎ ‎∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，‎ ‎∴EF⊥DM，‎ ‎∠ADM+∠DEF＝90°，‎ ‎∵EG⊥AD，‎ ‎∴∠DEF+∠FEG＝90°，‎ ‎∴∠ADM＝∠FEG，‎ ‎∴tan∠ADM‎=AMAD=t‎2‎=‎FG‎1‎，‎ ‎∴FG‎=‎t‎2‎，‎ ‎∵CG＝DE‎=t‎2‎‎4‎+‎1，‎ ‎∴CF‎=t‎2‎‎4‎-t‎2‎+‎1，‎ ‎∴S四边形CDEF‎=‎‎1‎‎2‎（CF+DE）×1‎=‎1‎‎4‎t‎2‎-‎‎1‎‎4‎t+1．‎ 故答案为：‎1‎‎4‎t‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎t+1．‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．（8分）（2020•武汉）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．‎ ‎【解答】解：原式＝（a8+9a8）÷a2‎ ‎＝10a8÷a2‎ ‎＝10a6．‎ ‎18．（8分）（2020•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．‎ ‎【解答】证明：∵EM∥FN，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠FEM＝∠EFN，‎ 又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，‎ ‎∴∠FEB＝∠EFC，‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎19．（8分）（2020•武汉）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）这次共抽取了　60　名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是　6°　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），‎ 扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°‎×‎1‎‎60‎=‎6°，‎ 故答案为：60，6°；‎ ‎（2）A类别人数为60﹣（36+9+1）＝14（名），‎ 补全条形图如下：‎ ‎（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000‎×‎36‎‎60‎=‎1200（名）．‎ 第23页（共23页）‎ ‎20．（8分）（2020•武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：‎ ‎（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；‎ ‎（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；‎ ‎（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；‎ ‎（2）如图所示：∠BCE即为所求；‎ ‎（3）连接（5，0），（0，5），可得与AC的交点F，点F即为所求，如图所示：‎ ‎21．（8分）（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAE；‎ ‎（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵DE为切线，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵DE⊥AE，‎ ‎∴OD∥AE，‎ ‎∴∠1＝∠ODA，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠2＝∠ODA，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∴AD平分∠BAE；‎ ‎（2）解：连接BD，如图，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠2＝∠3，‎ ‎∵sin∠1‎=‎DEAD，sin∠3‎=‎DCBC，‎ 而DE＝DC，‎ ‎∴AD＝BC，‎ 设CD＝x，BC＝AD＝y，‎ ‎∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，‎ ‎∴△CDB∽△CBA，‎ ‎∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），‎ 整理得x2+xy+y2＝0，解得x‎=‎‎-1+‎‎5‎‎2‎y或x‎=‎‎-1-‎‎5‎‎2‎y（舍去），‎ ‎∴sin∠3‎=DCBC=‎‎5‎‎-1‎‎2‎，‎ 即sin∠BAC的值为‎5‎‎-1‎‎2‎．‎ 第23页（共23页）‎ ‎22．（10分）（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？‎ ‎（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：‎100a+10b=400‎‎400a+20b=1000‎，‎ 解得：a=1‎b=30‎．‎ ‎∴a＝1，b＝30；‎ ‎（2）由（1）得：y＝x2+30x，‎ 设A，B两城生产这批产品的总成本为w，‎ 则w＝x2+30x+70（100﹣x）‎ ‎＝x2﹣40x+7000，‎ ‎＝（x﹣20）2+6600，‎ 由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．‎ 答：A城生产20件，B城生产80件；‎ ‎（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，‎ 则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，‎ 第23页（共23页）‎ 由题意得：‎20-n≥0‎‎10-20+n≥0‎，‎ 解得10≤n≤20，‎ ‎∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），‎ 整理得：P＝（m﹣2）n+130，‎ 根据一次函数的性质分以下两种情况：‎ ‎①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，‎ 则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；‎ ‎②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，‎ 则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．‎ 答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．‎ ‎23．（10分）（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；‎ 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD‎=‎‎3‎，求DFCF的值；‎ 拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2‎3‎，直接写出AD的长．‎ ‎【解答】问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE，‎ ‎∴ABAD‎=‎ACAE，∠BAC＝∠DAE，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAE，ABAC‎=‎ADAE，‎ ‎∴△ABD∽△ACE；‎ 尝试应用 解：如图1，连接EC，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ 由（1）知△ABD∽△ACE，‎ ‎∴AEEC‎=ADBD=‎‎3‎，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，‎ 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，‎ ‎∴ADAE‎=‎‎3‎，‎ ‎∴ADEC‎=ADAE×AECE=‎3‎×‎3‎=‎3．‎ ‎∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，‎ ‎∴△ADF∽△ECF，‎ ‎∴DFCF‎=ADCE=‎3．‎ 拓展创新 解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，‎ ‎∵∠BAD＝30°，‎ ‎∴∠DAM＝60°，‎ ‎∴∠AMD＝30°，‎ ‎∴∠AMD＝∠DBC，‎ 又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，‎ ‎∴△BDC∽△MDA，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴BDMD‎=‎DCDA，‎ 又∠BDC＝∠ADM，‎ ‎∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，‎ 即∠BDM＝∠CDA，‎ ‎∴△BDM∽△CDA，‎ ‎∴BMCA‎=DMAD=‎‎3‎，‎ ‎∵AC＝2‎3‎，‎ ‎∴BM＝2‎3‎‎×‎3‎=‎6，‎ ‎∴AM‎=BM‎2‎-AB‎2‎=‎6‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ ‎∴AD‎=‎1‎‎2‎AM=‎‎5‎．‎ ‎24．（12分）（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；‎ ‎（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；‎ ‎（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y‎=-‎‎4‎kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，‎ ‎∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；‎ ‎（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，‎ 设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ ‎∵∠BAO＝∠ACO＝90°，‎ ‎∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠AOC，‎ ‎∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，‎ ‎∴△ABD≌△OAC（AAS），‎ ‎∴BD＝AC，‎ ‎∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ 解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，‎ ‎∴A（4，﹣2）或（5，3）；‎ ‎（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，‎ ‎∴xE+xF＝k，‎ ‎∴M（k‎2‎‎，‎k‎2‎‎2‎），‎ 把y‎=-‎‎4‎kx代入y＝x2﹣6中得，x2‎+‎‎4‎kx﹣6＝0，‎ ‎∴xG‎+xH=-‎‎4‎k，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴N（‎-‎‎2‎k，‎8‎k‎2‎），‎ 设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则 k‎2‎m+n=‎k‎2‎‎2‎‎-‎2‎km+n=‎‎8‎k‎2‎‎，解得，m=‎k‎2‎‎-4‎kn=2‎，‎ ‎∴直线MN的解析式为：y=k‎2‎‎-4‎kx+2‎，‎ 当x＝0时，y＝2，‎ ‎∴直线MN：y=k‎2‎‎-4‎kx+2‎经过定点（0，2），‎ 即直线MN经过一个定点．‎ 第23页（共23页）‎