贺州市2013年中考数学卷

贺州市2013年中考数学卷

广西贺州市2013年中考数学试卷 ‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2013•贺州）﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣‎ B．‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 相反数 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）=3．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•贺州）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 对顶角、邻补角．‎ 分析：‎ 根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、∠1和∠2不是对顶角，故本选项错误；‎ B、∠1和∠2是对顶角，故本选项正确；‎ C、∠1和∠2不是对顶角，故本选项错误；‎ D、∠1和∠2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•贺州）估计的值在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2到3之间 B．‎ ‎3到4之间 C．‎ ‎4到5之间 D．‎ ‎5到6之间 考点：‎ 估算无理数的大小．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．‎ 解答：‎ 解：∵2=＜=3，‎ ‎∴3＜＜4，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•贺州）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；‎ B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；‎ C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•贺州）为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱动画节目的学生约有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎500名 B．‎ ‎600名 C．‎ ‎700名 D．‎ ‎800名 考点：‎ 用样本估计总体；扇形统计图．‎ 分析：‎ 根据扇形统计图求出该校喜爱动画节目的学生所占的百分比，再乘以总人数即可．‎ 解答：‎ 解：根据扇形统计图可得：‎ 该校喜爱动画节目的学生占1﹣35%﹣5%﹣10%﹣20%=30%，‎ 则该校喜爱动画节目的学生约有2000×30%=600（名）；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了用样本估计总体，关键是根据扇形统计图求出该校喜爱动画节目的学生所占的百分比，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•贺州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x•x2=x2‎ B．‎ ‎（xy）2=xy2‎ C．‎ ‎（x2）3=x6‎ D．‎ x2+x2=x4‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方；正数和负数；合并同类项；同底数幂的乘法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、x•x2=x1+2=x3≠x2，故本选项错误；‎ B、（xy）2=x2y2≠xy2，故本选项错误；‎ C、（x2）3=x2×3=x6，故本选项正确；‎ D、x2+x2=2x2=x4，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•贺州）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2cm3‎ B．‎ ‎3cm3‎ C．‎ ‎6cm3‎ D．‎ ‎8cm3‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体．‎ 分析：‎ 根据三视图我们可以得出这个几何体是个长方体，它的体积应该是1×1×3=3cm3．‎ 解答：‎ 解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，‎ 此长方体的长与宽都是1，高为3，‎ 所以该几何体的体积为1×1×3=3cm3．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了由三视图判断几何体及长方体的体积公式，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•贺州）把a3﹣2a2+a分解因式的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2（a﹣2）+a B．‎ a（a2﹣2a）‎ C．‎ a（a+1）（a﹣1）‎ D．‎ a（a﹣1）2‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．‎ 解答：‎ 解：a3﹣2a2+a ‎=a（a2﹣2a+1）‎ ‎=a（a﹣1）2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4cm B．‎ ‎6cm C．‎ ‎8cm D．‎ ‎9cm 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ 求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵F是高AD和BE的交点，‎ ‎∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，‎ ‎∵∠AFE=∠BFD，‎ ‎∴∠CAD=∠FBD，‎ ‎∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BAD=45°=∠ABD，‎ ‎∴AD=BD，‎ 在△DBF和△DAC中 ‎∴△DBF≌△DAC，‎ ‎∴BF=AC=8cm，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•贺州）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的图象；一次函数的图象．‎ 分析：‎ 分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．‎ 解答：‎ 解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=过一、三象限；‎ 当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=过二、四象限；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•贺州）直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25°或155°‎ B．‎ ‎50°或155°‎ C．‎ ‎25°或130°‎ D．‎ ‎50°或130°‎ 考点：‎ 切线的性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连结OB，根据切线的性质得OB⊥BA，可求出∠AOB=50°，然后讨论：当点D在优弧BC上时，根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，则可根据圆内接四边形的性质求出∠BD′C=180°﹣25°=155°．‎ 解答：‎ 解：当点D在优弧BC上时，如图，‎ 连结OB，‎ ‎∵直线AB与⊙O相切于B点，‎ ‎∴OB⊥BA，‎ ‎∴∠OBA=90°，‎ ‎∵∠A=40°，‎ ‎∴∠AOB=50°，‎ ‎∴∠BDC=∠AOB=25°；‎ 当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图，‎ ‎∵∠BDC+∠BD′C=180°，‎ ‎∴∠BD′C=180°﹣25°=155°，‎ ‎∴∠BDC的度数为25°或155°．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•贺州）2615个位上的数字是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 尾数特征 分析：‎ 根据21的个位数字是2，22的个位数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，…依此类推，找出规律即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：21的个位数字是2，‎ ‎22的个位数字是4，‎ ‎23的个位数字是8，‎ ‎24的个位数字是6，‎ ‎25的个位数字是2，‎ ‎…‎ 因为615=4×153+3，‎ 所以2615的个位数字与23的个位数字相同，即是8．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了尾数的特征，解答此题的关键是从21开始，找出其中的规律，每4个数一个循环，利用规律解答．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）（2013•贺州）函数的自变量x的取值范围是　x≤2　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．‎ 分析：‎ 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．‎ 解答：‎ 解：依题意，得2﹣x≥0，‎ 解得x≤2．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•贺州）地球距月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法应表示为　3.84×105　千米．（结果保留三个有效数字）‎ 考点：‎ 科学记数法与有效数字．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于383900有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．‎ 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．‎ 解答：‎ 解：383900=3.839×105≈3.84×105．‎ 故答案为：3.84×105．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•贺州）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用　抽样调查　．（填全面调查或者抽样调查）‎ 考点：‎ 全面调查与抽样调查．‎ 专题：‎ 推理填空题．‎ 分析：‎ 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．‎ 解答：‎ 解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查，故答案为抽样调查．‎ 点评：‎ 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•贺州）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是　6π　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算 分析：‎ 图中阴影部分的面积=扇形ABD的面积+三角形DBE的面积﹣三角形ABC的面积．又由旋转的性质知△ABC≌△DBE，所以三角形DBE的面积=三角形ABC的面积．‎ 解答：‎ 解：∵根据旋转的性质知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，‎ ‎∴S△ABC﹣S△DBE，‎ ‎∴S阴影=S扇形ABD+S△DBE﹣S△ABC=S扇形ABD==6π．‎ 故答案是：6π．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积的计算．解题的难点是找出图中阴影部分的面积=扇形ABD的面积+三角形DBE的面积﹣三角形ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是　①②⑤　．（填正确结论的序号）‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系 分析：‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：‎ 解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；‎ ‎②抛物线开口向上，得：a＞0；‎ 抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；‎ 抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；‎ 所以abc＞0；‎ 故②正确；‎ ‎③∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，‎ ‎∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；‎ ‎④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；‎ 由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；‎ ‎⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；‎ 当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；‎ 所以这结论正确的有①②⑤．‎ 故答案为：①②⑤．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•贺州）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　7　．‎ 考点：‎ 三角形的面积．‎ 分析：‎ 连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，连接AB1，BC1，CA1，‎ ‎∴A、B分别是线段A1B，B1C，的中点，‎ ‎∴S△ABB1=S△ABC=1，‎ S△A1AB1=S△ABB1=1，‎ ‎∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，‎ 同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，‎ ‎∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）（2013•贺州）计算：|﹣1|++（3.14﹣π）0﹣4cos60°．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 分析：‎ 根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=1+（﹣3）+1﹣4×‎ ‎=1﹣3+1﹣2‎ ‎=﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简，正确记忆特殊角的三角函数值 ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•贺州）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组 分析：‎ 求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵由①得：x≤8，‎ 由②得：x＞2，‎ ‎∴不等式组的解集为2＜x≤8．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2013•贺州）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这3个口袋中各随机取出一个小球．‎ ‎（1）用树形图表示所有可能出现的结果；‎ ‎（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；三角形三边关系 分析：‎ ‎（1）依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答；‎ ‎（2）根据树状图结合三角形的三边关系列举出能够成三角形的情况，用能够成三角形的情况数：总的情况数即可得到概率．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎，‎ 所以共有12种可能出现的结果；‎ ‎（2）这些线段能够成三角形（记为事件A）的结果有4种：（5，4，6）；（5，4，7）；（5，9，6）（5，9，7），‎ 所以P（A）==．‎ 点评：‎ 此题考查了用画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•贺州）如图，小明在楼上点A处测量大树的高，在A处测得大树顶部B的仰角为25°，测得大树底部C的俯角为45°．已知点A距地面的高度AD为12m，求大树的高度BC．（最后结果精确到0.1）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：‎ 过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；则BC=BE+CE．‎ 解答：‎ 解：过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE=AD=12m．‎ 在Rt△ACE中，∵∠EAC=45°，‎ ‎∴AE=CE=12m，‎ 在Rt△AEB中，∠BAE=25°，‎ ‎∴BE=AE•tan25°≈12×0.47=5.64m．‎ ‎∴BC=BE+CE≈5.64+12≈17.6．‎ 答：大树的高度约为17.6m．‎ 点评：‎ 此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．‎ ‎（1）求证：CD=AN；‎ ‎（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析：‎ ‎（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；‎ ‎（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=，则S四边形ADCN=4S△AMN=2．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵CN∥AB，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ 在△AMD和△CMN中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMD≌△CMN（ASA），‎ ‎∴AD=CN．‎ 又AD∥CN，‎ ‎∴四边形ADCN是平行四边形，‎ ‎∴CD=AN；‎ ‎（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，‎ ‎∴AN=2MN=2，‎ ‎∴AM==，‎ ‎∴S△AMN=AM•MN=××1=．‎ ‎∵四边形ADCN是平行四边形，‎ ‎∴S四边形ADCN=4S△AMN=2．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•贺州）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．‎ ‎（1）篮球和足球的单价各是多少元？‎ ‎（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？‎ 考点：‎ 分式方程的应用；二元一次方程的应用 分析：‎ ‎（1）首先设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；‎ ‎（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1000，再求出整数解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：‎ ‎=，‎ 解得：x=60，‎ 经检验：x=60是原分式方程的解，‎ 则x+40=100，‎ 答：篮球和足球的单价各是100元，60元；‎ ‎（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，‎ 由题意得：100m+60n=1000，‎ 整理得：m=10﹣n，‎ ‎∵m、n都是整数，‎ ‎∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；‎ ‎∴有三种方案：‎ ‎①购买篮球7个，购买足球5个；‎ ‎②购买篮球4个，购买足球10个；‎ ‎③购买篮球1个，购买足球15个．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．‎ ‎（1）求证：点P是线段AC的中点；‎ ‎（2）求sin∠PMC的值．‎ 考点：‎ 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OM，根据切线的性质得OM⊥BC，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC；‎ ‎（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到sin∠C==，于是得到sin∠PMC的值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OM，如图，‎ ‎∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，‎ ‎∴PM=PA，OM⊥BC，BA⊥AC，‎ ‎∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，‎ 而∠2=∠B，‎ ‎∴∠1=∠C，‎ ‎∴PC=PM，‎ ‎∴PA=PC，‎ ‎∴点P是线段AC的中点；‎ ‎（2）解：由（1）∠PMC=∠C，‎ 在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，‎ ‎∴BC==5，‎ ‎∴sin∠C==，‎ 即sin∠PMC=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了切线长定理、勾股定理以及解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2013•贺州）直线y=x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）首先求出点A，点C的坐标；然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）AC为定值，当DE最大时，△ACD的面积最大，因此只需要求出△ACD面积的最大值即可．如解答图所示，作辅助线，利用S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG求出S△ACD的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值，并进而求出点D的坐标和DE的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）在直线解析式y=x﹣2中，令x=0，得y=﹣2；令y=0，得x=4，‎ ‎∴A（4，0），C（0，﹣2）．‎ 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵点A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在抛物线上，‎ ‎∴，‎ 解得a=，b=，c=﹣2．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．‎ ‎（2）设点D坐标为（x，y），则y=x2+x﹣2．‎ 在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=．‎ 如答图1所示，连接CD、AD．‎ 过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，‎ 则FD=x，DG=4﹣x，OF=AG=y，FC=y+2．‎ S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG=（AG+FC）•FG﹣FC•FD﹣DG•AG=（y+y+2）×4﹣（y+2）•x﹣（4﹣x）•y ‎=2y﹣x﹣4‎ 将y=x2+x﹣2代入得：S△ACD=2y﹣x﹣4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，‎ ‎∴当x=2时，△ACD的面积最大，最大值为4．‎ 当x=2时，y=1，∴D（2，1）．‎ ‎∵S△ACD=AC•DE，AC=，‎ ‎∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，‎ 则DE的最大值为：==．‎ ‎∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2，1），最大距离为．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最值、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问有多种解法，同学们可以从不同角度尝试与探究．‎