中考专题复习等腰三角形

中考专题复习等腰三角形

等腰三角形 一、选择题 ‎1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　 　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（第7题）‎ ‎【答案】B ‎2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎【答案】D ‎3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ‎ 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 ‎ CE于点G，连结BE. 下列结论中：‎ ‎① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形；‎ ‎③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；‎ 一定正确的结论有 A B C D E F G A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】D ‎4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、‎ 于D、E两点，并连接、．若∠A=30∘，＝，则∠BDE的度数为何？‎ A． 45 B． 52．‎5 C． 67．5 D． 75‎ ‎【答案】Ｃ ‎5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF 的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十 七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？‎ A．2：1 B． 3：‎2 C． 4：3 D． 5：4‎ ‎【答案】Ｃ ‎6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是‎5cm和‎6cm，那么此三角形的周长是 ‎ A．‎15cm B．‎16cm ‎ C．‎17cm D．‎16cm或‎17cm ‎【答案】D ‎7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（　　） ‎ A．　　 B． 　　C．　　 D． ‎ ‎【答案】C ‎8. ‎ 二、填空题 ‎1. （2011山东滨州，15，4分）边长为‎6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.‎ ‎【答案】cm ‎2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .‎ ‎【答案】4或6‎ ‎3. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,‎ EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º ，则∠EGC的度数为 ‎ ‎【答案】80º ‎5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC中，AB=AC，，则△ABC的外角∠BCD＝　 　°．‎ ‎（第14题）‎ ‎【答案】110‎ ‎6. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。‎ ‎【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。‎ ‎7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 ．‎ 第15题 D ‎【答案】‎ ‎8. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎9. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B…按此规律上去，记∠A B B=，∠，…，∠‎ 则⑴= ； ⑵ = 。‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ ‎10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。‎ ‎【答案】80°。‎ ‎11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．‎ ‎（第15题图）‎ ‎ 【答案】 ‎12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．‎ ‎【答案】15 ‎ 三、解答题 ‎1. （2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；‎ ‎（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？‎ ‎【解】（1）△HGA及△HAB；‎ ‎ （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ‎∴，即，‎ 所以，‎ ‎（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ‎∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形；‎ 当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；‎ 此时，GC=，即x=‎ 当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9‎ 综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．‎ ‎2. （2011山东德州19,8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．‎ ‎（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．‎ A B C E D O ‎【答案】A B E C D O （1）证明：在△ACD与△ABE中，‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，‎ ‎∴ △ACD≌△ABE．…………………… 3分 ‎∴ AD=AE． ……………………4分 ‎(2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt△ADO与△AEO中，‎ ‎∵OA=OA，AD=AE，‎ ‎∴ △ADO≌△AEO． ……………………………………6分 ‎∴ ∠DAO=∠EAO．‎ 即OA是∠BAC的平分线． ………………………………………7分 ‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴ OA⊥BC． ………………………………………8分 ‎3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．‎ ‎（1）求证：DE平分∠BDC；‎ ‎（2）若点M在DE上，且DC=DM，‎ 求证： ME=BD．‎ ‎ 【答案】（1）在等腰直角△ABC中，‎ ‎∵∠CAD=∠CBD=15o，‎ ‎∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，‎ ‎∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ‎ ‎∴∠DCA=∠DCB=45o．‎ 由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，‎ ‎∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，‎ ‎∴∠BDM=∠EDC，‎ ‎∴DE平分∠BDC； ‎ ‎（2）如图，连接MC，‎ ‎∵DC=DM，且∠MDC=60°，‎ ‎∴△MDC是等边三角形，即CM=CD． ‎ 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，‎ ‎∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，‎ ‎∴∠EMC=∠ADC． ‎ 又∵CE=CA，‎ ‎∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB． ‎ ‎4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5‎ ‎5. （2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.‎ 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. ‎ ‎（第23题）‎ ‎（第23题图1）‎ 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时， . ‎ 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.‎ ‎【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得 又 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，‎ 解法2：如图甲，由题意得 如图乙，设 甲种剪法所得的正方形的面积更大 ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(3)解法1：探索规律可知：‘‎ 剩余三角形的面积和为：‎ 解法2：由题意可知，‎ 第一次剪取后剩余三角形面积和为 第二次剪取后剩余三角形面积和为 第三次剪取后剩余三角形面积和为 ‎…‎ 第十次剪取后剩余三角形面积和为 ‎6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.‎ 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎（1）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：‎ ‎ （填“>”,“<”或“=”）. ‎ 第25题图2‎ 第25题图1‎ ‎（2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.‎ ‎（请你完成以下解答过程）‎ ‎（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）. ‎ ‎【答案】（1）= .‎ ‎（2）=.‎ 方法一：如图，等边三角形中，‎ 是等边三角形，‎ 又 ‎.‎ 方法二：在等边三角形中，‎ 而由是正三角形可得 ‎ ‎ ‎(3)1或3.‎ ‎7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定。特别的，当点D重合时，规定。另外。对、作类似的规定。‎ ‎（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30º，求、；‎ ‎（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且，面积也为2；‎ ‎（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×）‎ ‎① 若△ABC中，，则△ABC为锐角三角形；（ ）‎ ‎② 若△ABC中，，则△ABC为直角三角形；（ ）‎ ‎③ 若△ABC中，，则△ABC为钝角三角形；（ ）‎ ‎【答案】解:（1）如图，作CD⊥AB，垂足为D，作中线CE、AF。‎ ‎ ‎ ‎ ∴=1‎ ‎ ∵ Rt△ABC中，∠CAB=30º， ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60º，‎ ‎ ∴△CEB是正三角形，‎ ‎∵ CD⊥AB ∴ AE=2DE ‎ ∴=； ∴=1，=；‎ ‎ （2）如图所示：‎ ‎ （3）①×；②√；③√。‎ ‎8. （2011浙江义乌，23，10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.‎ ‎ （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；‎ ‎（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面 积为S，求S关于x的函数关系 图1‎ 图2‎ 图3‎ P B1‎ FM A DO EC C B A1‎ P B1‎ FM A DO EC C B A1‎ P B1‎ A DO C B A1‎ ‎【答案】（1） 相似 ‎ 由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P ‎ 则 ∠PAA1 =∠PBB1 = ‎ ‎ ∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF ‎ 又∵∠BEF=∠AEP ‎ ‎∴△BEF ∽△AEP ‎（2）存在，理由如下：‎ 易得：△BEF ∽△AEP 若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 ‎∴∠BAE=∠ABE ‎ ∵∠BAC=60° ∴∠BAE=‎ ‎∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ‎ ‎∴ 即α=2β+60° ‎ ‎（3）连结BD，交A1B1于点G，‎ 过点A1作A1H⊥AC于点H. ‎ P B1‎ A DO C B A1‎ H G ‎∵∠B‎1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC ‎ 由题意得：AP= A1 P ∠A=60°‎ ‎ ∴△PAA1是等边三角形 ‎∴A1H=在Rt△ABD中，BD=‎ ‎ ∴BG=‎ ‎∴ （0≤x＜2）‎ ‎9. （2011广东株洲，20，6分）如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．‎ ‎（1）求∠ECD的度数；‎ ‎（2）若CE=5，求BC长．‎ ‎【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°. ‎ 解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°， ‎ 又∵DE =DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°. ‎ ‎（2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，‎ ‎∵∠ECD=36°，‎ ‎∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，‎ ‎∠BEC=72°=∠B，‎ ‎∴ BC=EC=5.‎ 解法二：∵AB=AC，∠A=36°，‎ ‎∴∠B=∠ACB=72°， ‎ ‎∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ‎ ‎∴∠BEC=∠B，‎ ‎∴BC=EC=5. ‎ ‎10．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE. ‎ ‎ (1) 求证：△ACD≌△BCE； ‎ ‎ (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形，‎ ‎ ∴AC＝BC , CD＝CE ‎ ‎ 且∠ACB＝∠DCE＝60°‎ ‎ ∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°‎ ‎ ∴∠ACD＝∠BCE ‎ ‎ ∴△ACD≌△BCE ‎ ‎（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H, 则PQ＝2HQ ‎ ‎ 在Rt△BHC中 ，由已知和（1）得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴ CH＝4 ‎ 在Rt△CHQ中，HQ＝ ‎ ‎ ∴PQ＝2HQ＝6 ‎ ‎11. （2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，‎ ‎（1）求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。‎ ‎【答案】（1）证明：∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB ‎∵BD、CE是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90°‎ 又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB（AAS）‎ ‎∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC ‎ ‎∴△ABC是等腰三角形。‎ ‎ （2）点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO. ‎ ‎∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB,‎ ‎∵OB=OC ∴ OD=OE 又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO ‎ ‎∴△ADO≌△AEO（HL） ‎ ‎∴∠DAO=∠EAO ‎ ‎∴点O是在∠BAC的角平分线上。‎ ‎12. （2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；‎ ‎（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？‎ ‎【解】（1）△HGA及△HAB；‎ ‎ （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ‎∴，即，‎ 所以，‎ ‎（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ‎∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形；‎ 当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；‎ 此时，GC=，即x=‎ 当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9‎ 综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．‎ ‎13. （2011湖北黄冈，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°‎ ‎，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5‎ ‎14. （2011湖北襄阳，21，6分）‎ 如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①.‎ ‎（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；‎ ‎（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.‎ 图6‎ ‎【答案】（1）①②③；①③②；②③①. 3分 ‎（2）（略） 6分 ‎15. （2011山东泰安，29 ，10分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。‎ ‎（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；‎ ‎（2）直线AH垂直于CE于，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并说明。‎ ‎【答案】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900‎ ‎ ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450‎ ‎∠CAD=∠CBD=450‎ ‎∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE ‎∴∠CBG+∠BCG=900‎ 又∠ACE+∠BCF=900‎ ‎∴∠ACE=∠CBG ‎∴△AEC≌△CGB ‎∴AE=CG ‎（2）BE=CM 证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED ‎∴∠CMA+∠MCH=900‎ ‎∠BEC+∠MCH=900‎ ‎∴∠CMA=∠BEC 又，AC=BC，∠ACM=∠CBE=450‎ ‎∴△BCE≌△CAM ‎∴BE=CM