青岛版数学八年级上册专题突破讲练中考中的统计问题

青岛版数学八年级上册专题突破讲练中考中的统计问题

年 级 八年级 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 中考中的统计问题 编稿老师 王长远 一校 付秋花 二校 黄楠 审核 郭莹 一、描述数据特征的统计量 从两方面描述：①数据的集中趋势；②数据的波动大小。‎ 二、用样本估计总体的思想 ‎1. 用样本的平均数估计总体的平均数；‎ ‎2. 用样本的方差估计总体的方差。‎ 三、平均数和方差的算法 ‎1. 平均数：（算术）平均数=总和÷个数 ‎2. 方差：‎ 原数据变化引起的平均数和方差的变化规律：‎ 平均数 ‎ 方差 原数据 ‎ s2‎ 原数据＋a （原数据－a）‎ ‎＋a ， （－a）‎ ‎ s2‎ ‎ 原数据×n n ‎ n2s2‎ 例题1 如果数据x1，x2，…，xn的平均数是方差是S2，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数是 方差是 ‎ 解析：根据所给的数据的平均数和方程写出表示它们的公式，把要求方差的这组数据先求出平均数，再用方差的公式表示出来，首先合并同类项，再提公因式，同原来的方差的表示式进行比较，得到结果。‎ 答案：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是S2，‎ ‎∴2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是 答案：，4s2。‎ 点拨：本题考查平均数的变化特点和方差的变化特点，是一个统计问题，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的公式。‎ 例题2 我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”。为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高（单位：cm）收集并整理如下统计表：‎ 男生序号 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎⑧‎ ‎⑨‎ ‎⑩‎ 身高 ‎163‎ ‎171‎ ‎173‎ ‎159‎ ‎161‎ ‎174‎ ‎164‎ ‎166‎ ‎169‎ ‎164‎ 根据以上表格信息，解答如下问题：‎ ‎（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；‎ ‎（2）请你选择一个统计量作为选定标准，找出这10名中具有“普通身高”的是哪几位男生？并说明理由；‎ ‎（3）若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准，请你估算出该年级男生中“普通身高”的人数约有多少名？‎ 解析：（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行计算，即可求出答案；‎ ‎（2）根据选平均数作为标准，得出身高x满足166.4×（1－2%）≤x≤166.4×（1+2%）为“普通身高”，从而得出⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”；‎ 根据选中位数作为标准，得出身高x满足165×（1－2%）≤x≤165×（1+2%），为“普通身高”，从而得出①、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”；‎ 根据选众数作为标准，得出身高x满足164×（1－2%）≤x≤164×（1+2%）为“普通身高”，此时得出①、⑤、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”。‎ ‎（3）分三种情况讨论，（1）以平均数作为标准（2）以中位数作为标准（3）以众数数作为标准；分别用总人数乘以所占的百分比，即可得出普通身高的人数。‎ 答案：（1）平均数为：‎ ‎10名同学身高从小到大排列如下：‎ ‎159，161，163，164，164，166，169，171，173，174。‎ 众数为：164（cm）；‎ ‎（2）选平均数作为标准：‎ 身高x满足：166.4×（1－2%）≤x≤166.4×（1+2%），‎ 即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”，‎ 此时⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”，‎ ‎（3）以平均数作为标准，估计全年级男生中“普通身高”的人数约为：‎ 点拨：此题考查了中位数、众数、平均数，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力。注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数。‎ 例题3 某校为了迎接中考，老师安排了五次数学模拟考试，对李明、王亮两位同学的成绩进行统计后，绘制成图①、图②的统计图。‎ ‎（1）在图②中画出表示王亮这5次数学成绩的变化情况的折线统计图；‎ ‎（2）填写表格：‎ 平均成绩（分）‎ 中位数（分）‎ 极差（分）‎ 方差（分2）‎ 李 明 ‎90‎ ‎92‎ ‎16‎ ‎36.8‎ 王 亮 ‎90‎ ‎88‎ ‎19‎ ‎46‎ ‎（3）请你根据上述统计情况，从“平均成绩、折线走势、方差”三方面进行分析，估计谁在中考中会取得较好的成绩？‎ 解析：‎ ‎（1）根据条形图就可以得到甲，乙的成绩，注意观察次数所对应的点的纵坐标，就是成绩；‎ ‎（2）根据这两组数就可以求出每组的中位数、极差；‎ ‎（3）根据平均数的大小确定成绩的好坏，根据方差确定成绩哪个稳定。‎ 答案：解：（1）利用条形图即可得出王亮的5次成绩，进而画出折线图即可，如图所示：‎ ‎（2）李明的成绩按大小排列为：82，84，92，94，98，‎ 王亮的成绩按大小排列为：99，96，88，87，80，‎ 故李明的成绩中位数为：92，王亮的成绩中位数为：88，‎ 李明的成绩的极差为：98－82=16，王亮的成绩的极差为：99－80=19，‎ 平均成绩（分）‎ 中位数（分）‎ 极差（分）‎ 方差（分2）‎ 李  明 ‎92‎ ‎16‎ 王  亮 ‎88‎ ‎19‎ ‎（3）从平均成绩看，两人都是90分；从折线走势看，李明成绩呈上升趋势，王亮成绩呈下降趋势；从方差来看，李明比王亮稳定。综合分析结果，李明在本次中考中会取得较高的成绩。‎ 点拨：本题主要考查了平均数、中位数、极差的概念，方差是描述一组数据波动大小的量，利用条形图得出两人成绩进而进行分析是解题关键。‎ 平均数是表示数据集中程度的量之一，它随着数据的变化而变化；而方差是表示数据波动大小的量之一，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n，则方差是原来的n的平方倍。‎ 例题 观察与探究：‎ ‎（1）观察下列各组数据并填空：‎ A. 1，2，3，4，5 ， ；‎ B. 11，12，13，14，15 ， ；‎ C. 10，20，30，40，50 ， ；‎ ‎（2）分别比较A与B，C的计算结果，你能发现什么规律？‎ 解析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了10，所以平均数加10，方差不变；每个数都乘以10，所以平均数乘以10，方差乘以102。‎ 答案：（1），； ‎ ‎（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为方差分别为；‎ ‎①当第二组数每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有 ；‎ ‎②当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有 。‎ ‎ 点拨：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变。当每个数都乘以n，则方差是原来的n的平方倍。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有（ ）‎ A. 100人 B. 500人 C. 6000人 D. 5000人 ‎2. 某种品牌的水果糖的售价为15元/千克，该品牌的酥糖的售价为18元/千克．现将两种糖均匀混合，为了估算这种糖的售价，称了十份糖，每份糖‎1千克，其中水果糖的质量如下（单位：千克）0.58；0.52；0.59；0.49；0.60；0.55；0.56；0.49；0.52；0.54。‎ 你认为这种糖比较合理的定价为（　　）元/千克。 ‎ A. 16.6‎ B. 16.4‎ C. 16.5‎ D. 16.3‎ ‎*3. 为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水模范户，8月份节约用水的情况如表：‎ 每户节水量（单位：吨）‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ 节水户数 ‎52‎ ‎30‎ ‎18‎ 那么，8月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01t）（　　）‎ A．1.05t B．1.20t C．1.15t D．1t ‎*4. 安安班上有九位同学，他们的体重资料如下：‎ ‎57，54，47，42，49，48，45，47，50．（单位：公斤）‎ 关于此数据的中位数与众数的叙述，下列何者正确？（　　）‎ A. 中位数为49‎ B. 中位数为47‎ C. 众数为57‎ D. 众数为47‎ ‎**5. 小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 小兵的平均成绩好，但没有小明稳定 B. 小明的平均成绩好，但没有小兵稳定 C. 两人的平均成绩一样好，小明的方差大 D. 两人的平均成绩一样好，小兵的方差大 ‎**6. 已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（　　）‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 4‎ 二、填空题 ‎7. 某居民小区为了了解本小区100户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况，随机调査了10户居民家庭月使用塑料袋的数量，结果如下（単位：只）‎ ‎65 70 85 74 86 78 74 92 82 94‎ 根据统计情况，估计该小区这100户家庭平均使用塑料袋为_______只。‎ ‎*8. 有一组数据：2，3，5，5，x，它们的平均数是10，则这组数据的众数是________。‎ ‎*9. 为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩作了统计：平均成绩为9.3环：方差分别为S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44，则应该选________参加全运会。‎ ‎**10. 某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如表，则这20户家庭这个月的平均用水量是____吨。‎ 用水量（吨）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 户数 ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎5‎ 三、解答题 ‎11. 某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： ‎ 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 ‎85‎ ‎92‎ 乙 ‎91‎ ‎85‎ 丙 ‎80‎ ‎90‎ ‎（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人____将被录取。‎ ‎（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权。计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取。‎ ‎*12. 七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题。‎ 进球数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 一班（人数）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ 二班（人数）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎（1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；‎ ‎（2）如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？‎ ‎**13. 经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销。为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：‎ A：‎ B：‎ ‎（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：‎ ‎（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？‎ ‎**14. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示。‎ ‎（1）请你根据图中的数据填写下表：‎ 姓名 平均数（环）‎ 众数（环）‎ 方差 甲 乙 ‎2.8‎ ‎（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些。‎ ‎1. C 解析：首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比，再用30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案。100÷500=20%，30000×20%=6000，故选C。‎ ‎2. B 解析：首先求出十份糖中水果糖的平均质量，然后即可求出十份糖其中酥糖的平均质量，再利用各自的价格即可计算出这种糖比较合理的定价。十份糖中水果糖的平均质量为 那么十份糖中酥糖的平均质量为1－0.544=‎0.456千克，‎ ‎∴这种糖比较合理的定价为0.456×18+0.544×15=16.368≈16.4元/千克。‎ ‎3. B 解析：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数。100户平均节约用水的吨数=（52×1+30×1.2+18×1.5）÷100=1.15t。故选C。‎ ‎4. D 解析：先将所有的数据值依序排列后才能取中位数。将9笔资料值由小到大依序排列如下：42，45，47，47，48，49，50，54，57，∴中位数取第5笔资料值，即中位数=48，∵‎ ‎47公斤的次数最多（2次）∴众数=47，故选D。‎ ‎5. C 解析：先从图片中读出小明和小兵的测试数据，分别求出方差后比较大小。也可从图看出来小明的成绩都在8到10之间相对小兵的波动更小。‎ ‎∴S12＜S22。∴两人的平均成绩一样好，小兵的方差大，故选C。‎ ‎6. D 解析：根据方差的意义分析，数据都加3，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍。‎ 设样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为m，则其方差为 则样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为‎2m，其方差为S22=4S12=4。故选D。‎ ‎7. 80 解：‎ ‎8. 5 解：由题意得，（2+3+5+5+x）÷5=10，‎ 解得：x=35，‎ 这组数据中5出现的次数最多，则这组数据的众数为5。‎ ‎9. 丙 解：∵S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44，‎ ‎∴S2丙最小，‎ ‎∴则应该选丙参加全运会。‎ ‎10. 5.8‎‎ 解：根据题意得：‎ 这20户家庭这个月的平均用水量是（4×3+5×8+6×4+8×5）÷20=5.8（吨）。 ‎ ‎11. 解：（1）甲的平均数是：（85+92）÷2=88.5（分），‎ 乙的平均数是：（91+85））÷2=88（分），‎ 丙的平均数是：（80+90）÷2=85（分），‎ ‎∵甲的平均成绩最高，‎ ‎∴候选人甲将被录取．‎ 故答案为：甲。‎ ‎（2）根据题意得：‎ 甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分），‎ 乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分），‎ 丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分），‎ 因为乙的平均分数最高，‎ 所以乙将被录取。‎ ‎12. 解：（1）一班进球平均数：（10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3）÷10=7（个），‎ 二班进球平均数：（10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2）÷10=7（个），‎ 一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7（个）；‎ 二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7（个）；‎ 一班中位数：第五第六名同学进7个球，故中位数为7（个）；‎ 二班中位数：第五第六名同学进7个球，故中位数为7（个）。‎ ‎（2）一班的方差 S12=[（10－7）2+（9－7）2+（8－7）2+4×（7－7）2+0×（6－7）2+3×（5－7）2]÷10=2.6，‎ 一班的方差 S22= [0×（10－7）2+（9－7）2+2×（8－7）2+5×（7－7）2+（6－7）2+2×（5－7）2] ÷10=1.5，‎ 二班选手水平发挥更稳定，争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；‎ 一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班。‎ ‎13. 解：（1）‎ ‎（2）从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；‎ 从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近‎5kg，所以A技术较好；‎ 从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；‎ ‎∴从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近‎5kg，因而更适合推广A种技术。‎ ‎14. 解：（1）甲的平均数=（6+7+8+7+7）÷5=7‎ 方差=[（6－7）2+（7－7）2+（8－7）2+（7－7）2+（7－7）2] ÷5=0.4，‎ 甲的众数是7；‎ 乙的平均数=（3+6+6+7+8）÷5=6‎ 乙的众数是6；如图，‎ 姓名 平均数（环）‎ 众数（环）‎ 方差 甲 ‎7‎ ‎7‎ ‎0.4‎ 乙 ‎6‎ ‎6‎ ‎2.8‎ ‎（2）从甲、乙两人射靶成绩的平均数来看：甲的成绩优于乙的，并且甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些。‎