中考一元二次方程复习

中考一元二次方程复习

‎2017中考一元二次方程专题复习 ‎【知识回顾】‎ ‎1.一元二次方程的概念：形如：‎ ‎2.一元二次方程的解法：‎ ‎（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：‎ ‎（4）公式法：求根公式：‎ ‎3.一元二次方程的根的判别式：‎ ‎（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）当 时，方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）当 时，方程没有实数根。‎ ‎4．根与系数的关系(韦达定理)的应用：‎ 韦达定理:如一元二次方程的两根为，则 ‎，‎ ‎（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）‎ 注意：（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）注意：‎ ① ②‎ ③ ④‎ ‎⑤ ⑥‎ ‎⑦‎ ‎5.用方程解决实际问题：略 ‎【典型例题】‎ 例1、（用两种方法）（16枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）‎ A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5‎ 练：1（16雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）‎ A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2‎ ‎2、（16大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）‎ A．M＞N 　　　　B．M=N 　　　　C．M＜N　　　　D．不确定 例2 、解方程（熟练、准确、快速）用三种方法解方程：‎ 例3、（2016·湖北鄂州）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0‎ ‎（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根。‎ ‎（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值。若不能，请说明理由。‎ 练习：1、（16玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　） A． B． C．4 D．﹣4‎ ‎2、（2016·四川达州）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　．‎ ‎3.（16孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．‎ 例4（16·广西贺州）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．‎ ‎（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；‎ ‎（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．‎ ‎（参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4）‎ 练习1（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．‎ ‎（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？‎ ‎（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．‎ 例5、（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．‎ 练习1：如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为m，由题意列得方程 ‎ 练:2（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．‎ ‎（1）要使这两个正方形的面积之和等于58，李明应该怎么剪这根铁丝？‎ ‎（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48．你认为他的说法正确吗？请说明理由．‎ 例6、（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．‎ ‎（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？‎ 例7、（16湖北宜昌）某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．‎ ‎（1）求A品牌产销线2018年的销售量；‎ ‎（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．‎ 例8（15孝感市）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件型服装计酬16元，加工1件型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件型服装和2件型服装需4小时，加工3件型服装和1件型服装需7小时．（工人月工资＝底薪＋计件工资） ‎ （1） 一名熟练工加工1件型服装和1件型服装各需要多少小时？（4分） ‎ ‎（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工，两种型号的服装，且加工型服装数量不少于型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工型服装件，工资总额为元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？（5分） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例9（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．‎ 计算：．‎ 解：令，则原式===‎ 问题：（1）计算 ‎；‎ ‎（2）解方程．‎ 练习：（2015届山东省聊城市中考模拟）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如 4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1 ﹡x2= ．‎ ‎【分类练习】‎ 一元二次方程的定义:‎ ‎1. （2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_____________.‎ ‎2. 若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣+5=0的一个根，则a的值为　_______.‎ ‎3.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．‎ ‎4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）‎ A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4‎ ‎5.（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）‎ A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5‎ 二、解一元二次方程 ‎ ‎1、（2015·湖北省随州市）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（x﹣6）2=﹣4+36‎ B．‎ ‎（x﹣6）2=4+36‎ C．‎ ‎（x﹣3）2=﹣4+9‎ D．‎ ‎（x﹣3）2=4+9‎ ‎2、（2012年吉林省）若方程，则=______. ‎ ‎3、（2015•通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）‎ ‎　 A． 8 B． 20 C． 8或20 D． 10‎ ‎4.（2015•山东泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为___________ ‎ ‎5. （2011·济宁）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是－a（a≠0），则a－b值为______.‎ A.－1 B.0 C.1 D.2 ‎ ‎6、用合适的方法解方程：‎ x(x-2)+x-2=0 ‎ 三、根与系数之间的关系 ‎1.（2016•雅安） 已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）‎ A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2‎ ‎2．（2015•怀化）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　　）‎ ‎　 A． 19 B． 25 C． 31 D． 30‎ ‎3、（2016•烟台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．2 D．3‎ ‎4、（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣10‎ B．‎ ‎10‎ C．‎ ‎﹣6‎ D．‎ ‎2‎ ‎5、（2012黑龙江）设，是方程的两个不相等的实数根，的值________‎ ‎6、(2012山东日照)已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为__________‎ ‎7.（2015•曲靖）一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=__________（只需填一个）．‎ ‎8．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．‎ ‎（1）求实数k的取值范围．‎ ‎（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．‎ 四、 根的判别式 ‎1. （2016泰安）一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7的根的情况是（　　）‎ A．无实数根 B．有一正根一负根 C．有两个正根 D．有两个负根 ‎2. (2016福州)下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　）‎ A．a＞0 　　　　B．a=0 　　　　　C．c＞0 　　　D．c=0‎ ‎3.（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）‎ ‎　 A．﹣1 B． 1 C． ﹣4 D． 4‎ ‎4.（2015•四川凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．m≤3 B． m＜3 C． m＜3且m≠2 D． m≤3且m≠2‎ ‎5、（2015江苏连云港）已知关于x的方程x2－2x＋3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )‎ A．k＜ B．k＞－ C．k＜且k≠0 D．k＞－且k≠0‎ ‎7.（2015•青海西宁）若矩形的长和宽是方程程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　__________‎ ‎8．（2015•甘肃庆阳）已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）解原方程．‎ ‎9. （2015•江苏泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0‎ ‎（1）不解方程，判别方程根的情况；‎ ‎（2）若方程有一个根为3，求m的值．‎ 五、一元二次方程的应用 ‎1．（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）‎ ‎　 A． x（x﹣10）=900 B． x（x+10）=900 C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=900‎ ‎2、（2012甘肃兰州）兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（ ）‎ A. x(x-10)=200 B. 2x+2(x-10)=200 C. 2x+2(x+10)=200 D. x(x+10)=200‎ ‎3.（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）‎ A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45‎ ‎4.（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）‎ ‎　A． x2+9x﹣8=0 B． x2﹣9x﹣8=0 C． x2﹣9x+8=0 D． 2x2﹣9x+8=0‎ ‎4、如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.‎ ‎（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？‎ ‎（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.‎ ‎5．（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．‎ ‎（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；‎ ‎（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？‎ ‎6.（2014•重庆A）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．‎ ‎（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？‎ ‎（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．‎ 参考答案：‎ 例3解：⑴①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,‎ x=1/2有一个解； （2分）‎ ‎②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，‎ ‎△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8=4(k-1) ² ＋4＞0‎ 方程有两不等根 综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （4分）‎ ‎⑵∵x ₁＋x ₂＝－2k/ k-1 ,x ₁ x ₂=2 /k-1, （1分）‎ ‎∴s= (x ₁ ²＋ x ₂ ²)/x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂ )‎ ‎=[ ( x ₁＋x ₂) ²－2 x ₁ x ₂ ]/ x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂)‎ ‎=(4k²-8k＋4)/2（k-1）=2 （2分）‎ k²－3k＋2=0‎ ‎ k ₁=1 k ₂＝2 （3分）‎ ‎∵方程为一元二次方程，k-1≠0 ‎ ‎∴k ₁=1 应 舍去 ‎ ‎∴当k=2时，S的值为2 ‎ ‎∴S的值能为2，此时k的值为2. ‎ 例4解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2900（1+x）万元，2016年为2900（1+x）2万元．‎ 则2900（1+x）2=3509，‎ 解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．‎ 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．‎ ‎（2）2018年该地区投入的教育经费是3509×（1+10%）2=4245.89（万元）．‎ ‎4245.89＜4250，‎ 答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．‎ 练习解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：‎ 解得：‎ 答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．‎ ‎（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．‎ 根据题意可得：720（1+a）2=2205‎ 解此方程：（1+a）2=，‎ 即：，（不符合题意，舍去）‎ 答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．‎ 例5解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，‎ ‎∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，‎ 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；‎ ‎（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，‎ 整理，得：x2﹣18x+32=0，‎ 解得：x1=2，x2=16（舍），‎ ‎∴x=3，‎ 答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．‎ 例6解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；‎ 答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；‎ ‎（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；‎ 根据题意得：，‎ 解得：，或（不合题意，舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴2x=10%；‎ 答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．‎ 例7解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时． ‎ 由题意得：， ‎ 解得：…（3分） ‎ 答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时． ‎ ‎（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件． ‎ ‎∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800， ‎ ‎∴W=﹣8a+3200， ‎ 又∵a≥， ‎ 解得：a≥50， ‎ ‎∵﹣8＜0， ‎ ‎∴W随着a的增大则减小， ‎ ‎∴当a=50时，W有最大值2800． ‎ ‎∵2800＜3000， ‎ ‎∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．‎ ‎6解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，‎ 根据题意得：30000﹣x≥3x，‎ 解得：x≤7500．‎ 答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；‎ ‎（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1﹣a%）=20000‎ 整理得：a2+10a﹣3000=0，‎ 解得：a=50或a=﹣60（舍去），‎ 所以a的值是50．‎