中考数学应用题汇编及解析

中考数学应用题汇编及解析

‎2006年中考数学应用题汇编及解析 一、代数应用题：‎ ‎1、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高.已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.‎ （1） 当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？‎ （2） 去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？‎ ‎[解析] (1)由题意，得（元）；‎ ‎（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷千克，根据题意，得.‎ 解得，（千克）‎ ‎（千克）‎ 答：（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时，种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同；‎ ‎（2）小王去年卖给国家的稻谷共为‎11700千克.‎ ‎2、机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.‎ （1） 甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到‎70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？‎ （2） 乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少‎1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到‎12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？‎ ‎[解析] ‎ ‎（1）由题意，得（千克）‎ ‎（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，‎ 由题意，得 整理，得 解得：（舍去）‎ 答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是‎28千克.‎ ‎(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.‎ ‎3、某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：‎ 员工 管理人员 普通工作人员 人员结构 总经理 部门经理 科研人员 销售人员 高级技工 中级技工 勤杂工 员工数(名)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎24‎ ‎1‎ 每人月工资(元)‎ ‎21000‎ ‎8400‎ ‎2025‎ ‎2200‎ ‎1800‎ ‎1600‎ ‎950‎ 部门经理 小张 这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？‎ 欢迎你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元，薪水是较高的．‎ ‎ 请你根据上述内容，解答下列问题：‎ ‎（1）该公司“高级技工”有 名；‎ ‎（2）所有员工月工资的平均数为2500元，‎ 中位数为 元，众数为 元；‎ ‎（3）小张到这家公司应聘普通工作 人员．请你回答右图中小张的 问题，并指出用（2）中的哪个 数据向小张介绍员工的月工资 实际水平更合理些；‎ ‎（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．‎ ‎[解析] （1）由表中数据知有16名； ‎ ‎  （2）由表中数据知中位数为1700；众数为1600； ‎ ‎  （3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平． ‎ 用1700元或1600元来介绍更合理些．‎ ‎（说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量（中位数或众数）也可以）‎ ‎ （4）≈1713（元）． ‎ ‎   能反映． ‎ ‎4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．‎ ‎（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；‎ ‎（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为‎20厘米 ‎，长度因坡度的大小而定，但不得小于‎20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．‎ ‎①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；‎ ‎②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？‎ ‎（3）在山坡上的‎700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．‎ 上山方向 长度 高度 ‎[解析] （1）∵是山坡线AB上任意一点，‎ ‎∴，， （…2分）‎ ‎∴， （…3分）‎ ‎∵，∴＝4，∴ （…4分）‎ ‎（2）在山坡线AB上，，‎ ‎①令，得 ；令，得 ‎∴第一级台阶的长度为（百米）（厘米） （…6分）‎ 同理，令、，可得、‎ ‎∴第二级台阶的长度为（百米）（厘米） （…7分）‎ 第三级台阶的长度为（百米）（厘米） （…8分）‎ ‎②取点，又取，则 ‎∵‎ ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 （…10分）‎ ‎（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到‎700米高度，共500级．从‎100米高度到‎700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）‎ ‎②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图 ‎∵这种台阶的长度不小于它的高度 ‎∴‎ 当其中有一级台阶的长大于它的高时，‎ ‎ （…9分）‎ 在题设图中，作于H 则，又第一级台阶的长大于它的高 ‎∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 （…10分）‎ 上山方向 ‎（3）‎ ‎、、、‎ 由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值（…11分）‎ 索道在BC上方时，悬空高度 ‎ （…13分）‎ 当时，‎ ‎∴索道的最大悬空高度为米． ‎ ‎5、‎6‎ ‎2‎ O x(时)‎ y(米)‎ ‎30‎ ‎60‎ 乙 甲 ‎50‎ 图11‎ 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：‎ ‎（1）乙队开挖到‎30米时，用了_____小时．开挖6小时时， ‎ 甲队比乙队多挖了______米；‎ ‎（2）请你求出：‎ ‎  ①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；‎ ‎②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ‎ ‎③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？‎ ‎（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到‎12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？‎ ‎[解析] （1）2；10； ‎ ‎ （2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x，‎ 由图可知，函数图象过点（6，60），‎ ‎∴6 k1=60，解得k1=10，‎ ‎∴y =10x. ‎ ‎②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y =k2x+b，‎ 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴y =5x＋20． ‎ ‎③由题意，得10x＞5x＋20，解得x＞4.‎ 所以，4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队. ‎ ‎（说明：通过观察图象并用方程来解决问题，正确的也给分）‎ ‎（3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）． ‎ 设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z米，依题意，得 ‎ ‎ ‎ 解得 =110．‎ 答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为‎110米． ‎ ‎6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．‎ 设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．‎ ‎（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；‎ ‎（2）求出y与x的二次函数关系式（不要求写出x的取值范围）；‎ ‎（3）请把（2）中的二次函数配方成的形式，并据此说明，该经销店要 获得最大月利润，售价应定为每吨多少元； ‎ ‎（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．‎ ‎[解析] （1）=60（吨）． ‎ ‎（2）， ‎ 化简得： ． ‎ ‎ （3）． ‎ 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． ‎ ‎（4）我认为，小静说的不对． ‎ 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，‎ 而对于月销售额来说，‎ ‎ 当x为160元时，月销售额W最大．‎ ‎ ∴当x为210元时，月销售额W不是最大．‎ ‎ ∴小静说的不对． ‎ 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；‎ ‎ 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，‎ ‎ ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．‎ ‎ ∴小静说的不对． ‎ ‎（说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）‎ 二、几何应用题：‎ ‎8、图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．‎ O B A ‎·‎ 图10—2‎ 图10—1‎ A B ‎2米 ‎4‎米 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．‎ ‎[解析]‎ 连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图1． …………（1分）‎ ‎·‎ 图1‎ E F O B A ‎ 由垂径定理，可知： E是AB中点，F是中点，‎ ‎∴EF是弓形高 ．‎ ‎∴AE=2，EF=2．   …………（2分）‎ 设半径为R米，则OE=(R－2)米． ‎ 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=．‎ 解得 R =4． ……………………………………………………………………（5分）‎ ‎∵sin∠AOE=， ∴ ∠AOE=60°， ………………………………（6分）‎ ‎∴∠AOB=120°． ∴ 的长为=． ………………………（7分）‎ ‎∴帆布的面积为×60=160（平方米）． …………………………………（8分）‎ ‎（说明：本题也可以由相交弦定理求圆的半径的长．对于此种解法，请参照此评分标准相应给分）‎ ‎9、图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．‎ 如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．‎ 另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．‎ 正方形EFGH和正方形MNPQ从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．‎ ‎（1）请你在图14－2和图14－3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；‎ ‎（2）①如图14－4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ②如图14－5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ③如图14－6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；‎ ‎ ④如图14－7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．‎ ‎（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）‎ 图14-1‎ E C B A(P)‎ D F G H M Q N O D C C B A D O C B A D O H E ‎ ‎ O N M G F P Q A B 图14-5‎ E C B A D F G H M Q N O P 图14-4‎ 图14-3‎ 图14-2‎ 图14-6‎ E C B A D F G H M Q N O P ‎[解析]‎ ‎（1）相应的图形如图2-1，2-2．  ‎ 当x=2时，y=3；    ‎ 图2-3‎ E C B A D F G H M Q N O P K S T 图2-2‎ E C B A D F G ‎  H M Q N O P 图2-1‎ E C B A D F G H M Q N O P 当x=18时，y=18．    ‎ 图2-4‎ E C B A D F G H M Q N O P T 图2-5‎ E C B A D F G H M Q N O P T 图2-6‎ E C B A D F G H K Q N O P R S M ‎（2）①当1≤x≤3.5时，如图2-3，‎ 延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6＋x，SK=TQ=7－x，从而MS=MK－SK=2x－1，MT=MQ－TQ=6－（7－x）= x－1．‎ ‎∴y=MT·MS=（x－1）（2x－1）=2x2－3x＋1． ‎ ‎②当3.5≤x≤7时，如图2-4，设FG与MQ交于T，则 TQ=7－x，∴MT=MQ－TQ=6－（7－x）=x－1．‎ ‎∴y=MN·MT=6（x－1）=6x－6． ‎ ‎③当7≤x≤10.5时，如图2-5，设FG与MQ交于T，则 TQ=x－7，∴MT=MQ－TQ=6－（x－7）=13－x．‎ ‎∴y= MN·MT =6（13－x）=78－6x． ‎ ‎④当10.5≤x≤13时，如图2-6，设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14－x，SK=RP=x－7，‎ ‎∴SM=SK－MK=2x－21，从而SN=MN－SM=27－2x，NR=NP－RP=13－x．‎ ‎∴y=NR·SN=（13－x）（27－2x）=2x2－53x＋351． ‎ ‎（说明：以上四种情形，所求得的y与x的函数关系式正确的，若不化简不扣分）‎ ‎（3）对于正方形MNPQ，‎ 图14-7‎ E C B A D F G H M Q N O P ‎①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；‎ 当x=7时，y取得最大值36． ‎ ‎②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；‎ 当x=21时，y取得最大值36． ‎ ‎③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y 取得最小值0；‎ 当x=35时，y取得最大值36． ‎ ‎④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；‎ 当x=49时，y取得最大值36． ‎