中考精品数学压轴题汇编含解题过程共67页

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冲刺中考数学压轴题汇编(含解题过程)‎ ‎(2009年重庆市)26.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.‎ ‎(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;‎ ‎(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎26.解:(1)由已知,得,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎. (1分)‎ 设过点的抛物线的解析式为.‎ 将点的坐标代入,得.‎ 将和点的坐标分别代入,得 ‎ (2分)‎ 解这个方程组,得 故抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)成立. (4分)‎ 点在该抛物线上,且它的横坐标为,‎ y x D B C A E E O M F K G G 点的纵坐标为. (5分)‎ 设的解析式为,‎ 将点的坐标分别代入,得 ‎ 解得 的解析式为. (6分)‎ ‎,. (7分)‎ 过点作于点,‎ 则.‎ ‎,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎. (8分)‎ ‎.‎ ‎(3)点在上,,,则设.‎ ‎,,.‎ ‎①若,则,‎ 解得.,此时点与点重合.‎ ‎. (9分)‎ ‎②若,则,‎ 解得 ,,此时轴.‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1,‎ 点的纵坐标为.‎ ‎. (10分)‎ ‎③若,则,‎ 解得,,此时,是等腰直角三角形.‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ 过点作轴于点,‎ 则,设,‎ ‎.‎ ‎.‎ 解得(舍去).‎ ‎. (12分)‎ 综上所述,存在三个满足条件的点,‎ 即或或.‎ ‎(2009年重庆綦江县)26.(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?‎ x y M C D P Q O A B ‎(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.‎ ‎*26.解:(1)抛物线经过点,‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为: 3分 ‎(2)为抛物线的顶点过作于,则,‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时,四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时,四边形是直角梯形 过作于,则 ‎(如果没求出可由求)‎ ‎ 6分 当时,四边形是等腰梯形 综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分 ‎(3)由(2)及已知,是等边三角形 则 过作于,则 8分 ‎= 9分 当时,的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎(2009年河北省)26.(本小题满分12分)‎ A C B P Q E D 图16‎ 如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;‎ ‎(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)‎ ‎(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成 为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;‎ ‎(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值. ‎ A C ‎)‎ B P Q D 图3‎ E ‎)‎ F ‎26.解:(1)1,; ‎ ‎(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.‎ 由△AQF∽△ABC,, ‎ 得.∴. ‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G A C B P Q E D 图4‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎(3)能.‎ ‎ ①当DE∥QB时,如图4.‎ ‎ ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.‎ ‎ 此时∠AQP=90°.‎ 由△APQ ∽△ABC,得,‎ 即. 解得. ‎ ‎②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.‎ 此时∠APQ =90°.‎ 由△AQP ∽△ABC,得 ,‎ 即. 解得. ‎ ‎(4)或.‎ ‎【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.‎ 方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.‎ ‎,.‎ 由,得,解得.‎ 方法二、由,得,进而可得 ‎,得,∴.∴. ‎ ‎②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.‎ ‎,】‎ ‎(2009年河南省)23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎ (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ‎ ①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?‎ ‎②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值.‎ ‎ ‎ 解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分 将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=‎16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=‎64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分 ‎(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t.PB=8-t.‎ ‎∴点E的坐标为(4+t,8-t).‎ ‎∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. …………………5分 ‎∴EG=-t2+8-(8-t)‎ ‎ =-t2+t.‎ ‎∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=, t2=,t3= . …………………11分 ‎(2009年山西省)26.(本题14分)如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.‎ ‎ (1)求的面积;‎ ‎(2)求矩形的边与的长;‎ ‎(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设 移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关 A D B E O C F x y y ‎(G)‎ ‎(第26题)‎ 的函数关系式,并写出相应的的取值范围.‎ ‎26.(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴ (2分)‎ 由解得∴点的坐标为 (3分)‎ ‎∴ (4分)‎ ‎ (2)解:∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 (5分)‎ 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 (6分)‎ ‎∴ (7分)‎ ‎ (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A D B E O R F x y y M ‎(图3)‎ G C A D B E O C F x y y G ‎(图1)‎ R M A D B E O C F x y y G ‎(图2)‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 (10分)‎ ‎(2009年山西省太原市)29.(本小题满分12分)‎ 图(1)‎ A B C D E F M N 问题解决 如图(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点 ‎(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.‎ 方法指导:‎ 为了求得的值,可先求、的长,不妨设:=2‎ 类比归纳 在图(1)中,若则的值等于 ;若则的值等于 ;若(为整数),则的值等于 .(用含的式子表示)‎ 联系拓广 ‎ 如图(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于 .(用含的式子表示)‎ 图(2)‎ N A B C D E F M ‎29.问题解决 解:方法一:如图(1-1),连接.‎ N 图(1-1)‎ A B C D E F M ‎ 由题设,得四边形和四边形关于直线对称.‎ ‎ ∴垂直平分.∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形,∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中,.‎ ‎ ∴解得,即 3分 ‎ 在和在中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二:同方法一, 3分 ‎ 如图(1-2),过点做交于点,连接 ‎   ‎ N 图(1-2)‎ A B C D E F M G ‎∵∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理,四边形也是平行四边形.∴‎ ‎   ∵‎ ‎   ‎ ‎   在与中 ‎   ∴ 5分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 类比归纳 ‎(或);; 10分 联系拓广 ‎ 12分 评分说明:1.如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时,可参照评分说明进行估分.‎ ‎ 2.如解答题由多个问题组成,前一问题解答有误或未答,对后面问题的解答没有影响,可依据参考答案及评分说明进行估分.‎ ‎(2009年安徽省)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示.‎ 金额w(元)‎ O 批发量m(kg)‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.‎ ‎【解】‎ O ‎60‎ ‎20‎ ‎4‎ 批发单价(元)‎ ‎5‎ 批发量(kg)‎ ‎①‎ ‎②‎ 第23题图(1)‎ ‎(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.‎ ‎【解】‎ ‎(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,‎ 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,‎ 使得当日获得的利润最大.‎ ‎【解】‎ O ‎6‎ ‎2‎ ‎40‎ 日 最高销量(kg)‎ ‎80‎ 零售价(元)‎ 第23题图(2)‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎(6,80)‎ ‎(7,40)‎ 金额w(元)‎ O 批发量m(kg)‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎240‎ ‎23.(1)解:图①表示批发量不少于‎20kg且不多于‎60kg的该种水果,‎ 可按5元/kg批发;……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果,可按4元/kg批发.‎ ‎………………………………………………………………3分 ‎(2)解:由题意得:,函数图象如图所示.‎ ‎………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240<w≤300时,以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果.……………………………8分 ‎(3)解法一:‎ 设当日零售价为x元,由图可得日最高销量 当m>60时,x<6.5‎ 由题意,销售利润为 ‎………………………………12分 当x=6时,,此时m=80‎ 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,‎ 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 解法二:‎ 设日最高销售量为xkg(x>60)‎ 则由图②日零售价p满足:,于是 销售利润………………………12分 当x=80时,,此时p=6‎ 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,‎ 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 ‎(2009年江西省)25.如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点.,.‎ ‎(1)求点到的距离;‎ ‎(2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.‎ ‎①当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;‎ ‎②当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ A D E B F C 图4(备用)‎ A D E B F C 图5(备用)‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎(第25题)‎ ‎25.(1)如图1,过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点,‎ ‎∴‎ 在中,∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎(2)①当点在线段上运动时,的形状不发生改变.‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴,‎ 同理 4分 如图2,过点作于,∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 则 在中,‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形.‎ 当时,如图3,作于,则 类似①,‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形,∴‎ 此时, 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F(P)‎ C M N G G R G ‎ 当时,如图4,这时 此时,‎ 当时,如图5,‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合,为直角三角形.‎ ‎∴‎ 此时,‎ 综上所述,当或4或时,为等腰三角形. 10分 ‎(2009年广东广州)25.(本小题满分14分)‎ 如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。‎ ‎(1)求该二次函数的关系式;‎ ‎(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;‎ ‎(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎25.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=,‎ ‎ 设A(a,0),B(b,0)AB=b-a==,解得p=,但p<0,所以p=。‎ ‎ 所以解析式为:‎ ‎ (2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC ‎ 中可求得AC=,同样可求得BC=,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB ‎ 为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以.‎ ‎ (3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 ‎ 为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9)‎ ‎ ②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 ‎ ‎ A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组 得D()‎ ‎ 综上,所以存在两点:(,9)或()。‎ ‎(2009年广东省中山市)22. (本题满分9分)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.‎ ‎(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;‎ ‎(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;‎ D B A M C N ‎(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.‎ ‎(2009 年哈尔滨市)28.(本题10分)‎ ‎ 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),‎ 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.‎ ‎ (1)求直线AC的解析式;‎ ‎ (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);‎ ‎ (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.‎ ‎ ‎ ‎(2009山东省泰安市)26(本小题满分10分)‎ 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。‎ (1) 求证:BE=AD;‎ (2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线;‎ (3) ‎△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。‎ ‎26、(本小题满分10分)‎ 证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,‎ ‎∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎(2)∵E是AB中点,‎ ‎∴EB=EA 由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。‎ 即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分 理由如下:‎ 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎(2009年威海市)25.(12分)‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.‎ ‎(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:‎ ‎①;‎ ‎②.‎ ‎(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论.‎ O C F M D E N K y x ‎(第25题图1)‎ O C D K F E N y x M ‎(第25题图2)‎ O C F M D E N K y x 图1‎ ‎25.(本小题满分12分)‎ 解:(1)①轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形均为矩形. 1分 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎. 2分 ‎②由(1)知.‎ ‎.‎ ‎. 4分 ‎,‎ ‎. 5分 ‎.‎ ‎. 6分 轴,‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎. 7分 同理.‎ ‎. 8分 ‎(2)与仍然相等. 9分 ‎,‎ O C D K F E N y x M 图2‎ ‎,‎ 又,‎ ‎. 10分 ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎. 11分 轴,‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎.‎ 同理.‎ ‎. 12分 ‎(2009年烟台市)26.(本题满分14分)‎ ‎ 如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.‎ (1) 求抛物线对应的函数表达式;‎ (2) 经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ (3) 设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎(第26题图)‎ (4) 当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).‎ ‎26.(本题满分14分)‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎(第26题图)‎ 解:(1)根据题意,得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为. 3分 ‎(2)存在.‎ 在中,令,得.‎ 令,得,.‎ ‎,,.‎ 又,顶点. 5分 容易求得直线的表达式是.‎ 在中,令,得.‎ ‎,. 6分 在中,令,得.‎ ‎.‎ ‎,四边形为平行四边形,此时. 8分 ‎(3)是等腰直角三角形.‎ 理由:在中,令,得,令,得.‎ 直线与坐标轴的交点是,.‎ ‎,. 9分 又点,.. 10分 由图知,. 11分 ‎,且.是等腰直角三角形. 12分 ‎(4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分 ‎(2009年山东省日照)24. (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ ‎24.(本题满分10分)‎ 解:(1)证明:在Rt△FCD中, ‎ ‎∵G为DF的中点,‎ ‎∴ CG= FD.………………1分 同理,在Rt△DEF中, ‎ EG= FD. ………………2分 ‎∴ CG=EG.…………………3分 ‎(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.‎ 在△DAG与△DCG中,‎ ‎∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,‎ ‎∴ △DAG≌△DCG.‎ ‎∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,‎ ‎∴ △DMG≌△FNG.‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,‎ ‎∵ AM=EN, MG=NG,‎ ‎∴ △AMG≌△ENG.‎ ‎∴ AG=EG.‎ ‎∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG,‎ 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,‎ ‎∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,‎ ‎∴△DCG ≌△FMG.‎ ‎∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ‎ ‎∴MF∥CD∥AB.………………………5分 ‎∴ .‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,‎ ‎∵ MF=CB,EF=BE,‎ ‎∴△MFE ≌△CBE.‎ ‎∴ .…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形.‎ ‎∵ MG = CG,‎ ‎∴ EG= MC.‎ ‎∴ .………………………………8分 ‎(3)(1)中的结论仍然成立,‎ 即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分 ‎(2009年潍坊市)24.(本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.‎ ‎(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.‎ O x y N C D E F B M A ‎24.(本小题满分12分)‎ 解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,‎ ‎. 2分 点在抛物线上,将的坐标代入 ‎,得: 解之,得:‎ 抛物线的解析式为:. 4分 ‎(2)‎ 抛物线的对称轴为,‎ O x y N C D E F B M A P ‎. 6分 连结,‎ ‎,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎. 8分 ‎(3)点在抛物线上. 9分 设过点的直线为:,‎ 将点的坐标代入,得:,‎ 直线为:. 10分 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,‎ 将代入,得:.‎ 点的坐标为, 11分 当时,,‎ 所以,点在抛物线上. 12分 说明:解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.‎ ‎(2009年山东临沂市)26.(本小题满分13分)‎ 如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ ‎26.解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)存在. (4分)‎ 如图,设点的横坐标为,‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ D P M E 则点的纵坐标为,‎ 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),. (6分)‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,. (7分)‎ 类似地可求出当时,. (8分)‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或. (9分)‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.‎ 由题意可求得直线的解析式为. (10分)‎ 点的坐标为.‎ ‎. (11分)‎ ‎.‎ 当时,面积最大.‎ ‎. (13分)‎ ‎(2009年山东省济宁市)26. (12分)‎ 在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).‎ ‎(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形 ‎ 旋转的度数;‎ ‎(3)设的周长为,在旋转正方形 的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.‎ ‎26.(1)解:∵点第一次落在直线上时停止旋转,‎ ‎∴旋转了.‎ ‎∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 ‎(2)解:∵∥,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.∴.‎ 又∵,∴.‎ 又∵,,∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为 ‎.……………………………………………8分 ‎(3)答:值无变化.‎ ‎ 证明:延长交轴于点,则,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 又∵,.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴.∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎∴在旋转正方形的过程中,值无变化. ……………12分 ‎(2009年四川遂宁市)25.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式;‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎25.⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1,0),B(7,0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②‎ 由①②解得a=,k=‎ ‎∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO ‎∴ ∴‎ ‎∴点P的坐标为(4,)‎ ‎⑶由⑴知点C(4,),‎ 又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,‎ ‎∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ‎∴QN=3,BN=3,ON=10,‎ 此时点Q(10,),‎ 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)‎ ‎②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,‎ 此时点Q的坐标是(4,),‎ 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).‎ ‎(2009年四川南充市)21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.‎ ‎(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;‎ ‎(3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;‎ ‎(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标;‎ 若不存在,请说明理由.‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎21.解:(1)设正比例函数的解析式为,‎ 因为的图象过点,所以 ‎,解得.‎ 这个正比例函数的解析式为. (1分)‎ 设反比例函数的解析式为.‎ 因为的图象过点,所以 ‎,解得.‎ 这个反比例函数的解析式为. (2分)‎ ‎(2)因为点在的图象上,所以 ‎,则点. (3分)‎ 设一次函数解析式为.‎ 因为的图象是由平移得到的,‎ 所以,即.‎ 又因为的图象过点,所以 ‎,解得,‎ 一次函数的解析式为. (4分)‎ ‎(3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为.‎ 设二次函数的解析式为.‎ 因为的图象过点、、和,‎ 所以 (5分) 解得 y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E 这个二次函数的解析式为. (6分)‎ ‎(4)交轴于点,点的坐标是,‎ 如图所示,‎ ‎.‎ 假设存在点,使.‎ 四边形的顶点只能在轴上方,,‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎,. (7分)‎ 在二次函数的图象上,‎ ‎.‎ 解得或.‎ 当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去,‎ 点的坐标为. (8分)‎ ‎(2009年四川凉山州)26.如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;‎ y x B A O D ‎(第26题)‎ ‎(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.‎ ‎26.解:(1)已知抛物线经过,‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为. 2分 ‎(2),,‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时,由得,‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.‎ 平移后的抛物线解析式为:. 5分 ‎(3)点在上,可设点坐标为 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ 将配方得,其对称轴为. 6分 ‎①当时,如图①,‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为. 8分 ‎②当时,如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为.‎ 综上,点的坐标为或. 10分 ‎(2009年武汉市)25.(本题满分12分)‎ 如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;‎ y x O A B C ‎(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标.‎ ‎25.解:(1)抛物线经过,两点,‎ 解得 抛物线的解析式为.‎ y x O A B C D E ‎(2)点在抛物线上,,‎ 即,或.‎ 点在第一象限,点的坐标为.‎ 由(1)知.‎ 设点关于直线的对称点为点.‎ ‎,,且,‎ ‎,‎ 点在轴上,且.‎ ‎,.‎ 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).‎ ‎(3)方法一:作于,于.‎ y x O A B C D E P F 由(1)有:,‎ ‎.‎ ‎,且.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,,,‎ ‎.‎ 设,则,,‎ ‎.‎ 点在抛物线上,‎ ‎,‎ ‎(舍去)或,.‎ y x O A B C D P Q G H 方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于.‎ ‎.‎ ‎,‎ 又,.‎ ‎,,.‎ 由(2)知,.‎ ‎,直线的解析式为.‎ 解方程组得 点的坐标为.‎ ‎(2009年鄂州市)27.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由 ‎(2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。‎ ‎27、(1)EO>EC,理由如下:‎ 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分 ‎(2)m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎(3)∵CO=1, ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°,‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分 作QI⊥EO于I,EI=,IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1‎ ‎∴可求得,c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎(4)由(3),‎ 当时,<AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:‎ ‎①时,∴K点坐标为或 ‎②时, ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥‎ y轴于R,则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时,‎ ‎②当∠RTP=60°时,‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎(2009年湖北省黄石市)24、(本题满分9分)‎ 如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?‎ ‎(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)‎ ‎(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。‎ ‎24、解:(1)①CF⊥BD,CF=BD ‎ ‎②成立,理由如下:‎ ‎∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ‎∴△BAD≌△CAF ‎∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1分)‎ ‎(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:‎ 如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………(1分)‎ ‎∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分)‎ ‎(3)如图:作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°‎ ‎∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC …(1分)‎ ‎∴=‎ 设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x 则= …………(1分)‎ ‎∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1‎ 当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分)‎ ‎(2009年湖北省孝感市)25.(本题满分12分)‎ 如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.‎ ‎(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示);(3分)‎ ‎(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).‎ ‎①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;(4分)‎ ‎②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.(5分)‎ ‎25.解:(1); … ………………………………3分 ‎(2)①EF∥AB. ……………………………………4分 证明:如图,由题意可得A(–4,0),B(0,3),, .‎ ‎∴PA=3,PE=,PB=4,PF=.‎ ‎∴,‎ ‎∴. ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF.‎ ‎∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF.‎ ‎∴EF∥AB. …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值,理由如下:‎ 过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.‎ 由上知M(0,),N(,0),Q(,). ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF,‎ ‎∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN ‎=‎ ‎=‎ ‎=. ………………………… 10分 当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12. …………… 11分 ‎∴0<S2<24,s2没有最小值. …………………………… 12分 说明:1.证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法.方法一:分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF;方法二:利用=来证明AB∥EF;方法三:连接AF、BE,利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF.‎ ‎2.求S2的值时,还可进行如下变形:‎ S2= S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S四边形PEOF-S△PEF)=2 S△PEF-S四边形PEOF,再利用第(1)题中的结论.‎ ‎(2009年湖北省荆门市)25.(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.‎ ‎(1)若m为常数,求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ 第25题图 ‎25.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-‎4a.…………2分 ‎∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,‎ ‎∴C(m,-2)代入得a=.∴解析式为:y=(x-m)2-2.…………………………5分 ‎(亦可求C点,设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形.‎ ‎∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分 ‎∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍).‎ 当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍);‎ 当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍)‎ 综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分 ‎(2009年襄樊市)26.(本小题满分13分)‎ 如图13,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.‎ ‎ (1)求证:梯形是等腰梯形;‎ ‎ (2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;‎ ‎ (3)在(2)中:①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;‎ ‎②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 图13‎ A D C B P M Q ‎60°‎ ‎26.(1)证明:∵是等边三角形 ‎∴ 1分 ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ 2分 ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形. 3分 ‎(2)解:在等边中,‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 ‎∴ ∴ 5分 ‎∵ ∴ 6分 ‎∴ ∴ 7分 ‎(3)解:①当时,则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 8分 当时,则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 9分 ‎∴当或时,以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.‎ 此时平行四边形有4个. 10分 ‎②为直角三角形 11分 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时, 12分 ‎∴是的中点,而 ‎∴∴ 13分 ‎(2009年湖南省株洲市)23.(本题满分12分)如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.‎ ‎(1)求点的坐标(用表示);‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结 并延长交于点,试证明:为定值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.(1)由可知,,又△ABC为等腰直角三角形,∴,,所以点A的坐标是(). ………………… 3分 ‎(2)∵ ∴,则点的坐标是().‎ 又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得: ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 ‎(3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即,得 ‎∵ ∴∽ ∴ 即,得 又∵‎ ‎∴‎ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分.‎ ‎(2009年衡阳市)26、(本小题满分9分)‎ 如图12,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.‎ ‎ (1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;‎ ‎ (2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?‎ ‎(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象.‎ B x y M C D O A 图12(1)‎ B x y O A 图12(2)‎ B x y O A 图12(3)‎ ‎ 解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(00,-x+4>0);‎ ‎ 则:MC=∣-x+4∣=-x+4,MD=∣x∣=x;‎ ‎ ∴C四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8‎ ‎∴当点M在AB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8;‎ ‎(2)根据题意得:S四边形OCMD=MC·MD=(-x+4)· x=-x2+4x=-(x-2)2+4‎ ‎∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0PA,∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.‎ 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP,垂足为点M,Q1M交AC于点F,则AM=.‎ 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 ‎, ∴,‎ ‎∴. ………………1分 ‎∴CQ1==.则,‎ ‎∴ .……………………………1分 第二种情况:当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,‎ 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.‎ ‎①若AP=AQ2,如图3,CB+BQ2=10-4=6.‎ 则,∴.……1分 ‎ ‎②若PA=PQ3,如图4,过点P作PN⊥AB,垂足为N,‎ 由△ANP∽△AEB,得. ‎ ‎∵AE= , ∴AN=.‎ ‎∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-‎ 则.∴. ‎ ‎………………………1分 综上所述,当t= 4秒,以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折,翻折后得到菱形的k值为或或 ‎.‎ ‎(2009年浙江省嘉兴市)C A B N M ‎(第24题)‎ 24.如图,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N 两点重合成一点C,构成△ABC,设.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;‎ ‎(3)探究:△ABC的最大面积?‎ ‎24.(1)在△ABC中,∵,,.‎ ‎∴,解得.  4分 ‎(2)①若AC为斜边,则,即,无解.‎ ‎②若AB为斜边,则,解得,满足.‎ ‎③若BC为斜边,则,解得,满足.‎ C A B N M ‎(第24题-1)‎ D ‎∴或.  9分 ‎(3)在△ABC中,作于D,‎ 设,△ABC的面积为S,则.‎ ‎①若点D在线段AB上,‎ 则.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴().  11分 当时(满足),取最大值,从而S取最大值. 13分 C B A D M N ‎(第24题-2)‎ ‎②若点D在线段MA上,‎ 则.‎ 同理可得,‎ ‎(),‎ 易知此时.‎ 综合①②得,△ABC的最大面积为. 14分 ‎(2009年浙江省湖州市)‎ ‎24.(本小题12分)‎ 已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空:试用含的代数式分别表示点与的坐标,则; ‎ ‎(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;‎ ‎(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.‎ 第(2)题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎(第24题)‎ 四、自选题:(本题5分)‎ A C B 第(25)题 请注意:本题为自选题,供考生选做,自选题得分将计入本学科总分,但考试总分最多为120分.‎ ‎25.若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.‎ ‎(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;‎ ‎(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.‎ 求证:′过的费马点,且′=.‎ 第(2)题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N P1‎ P2‎ 备用图 ‎24.(本小题12分)‎ ‎(1).……………4分 ‎(2)由题意得点与点′关于轴对称,,‎ 将′的坐标代入得,‎ ‎(不合题意,舍去),.……………2分 ‎,点到轴的距离为3.‎ ‎, ,直线的解析式为,‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎.……………2分 ‎(3)当点在轴的左侧时,若是平行四边形,则平行且等于,‎ 把向上平移个单位得到,坐标为,代入抛物线的解析式,‎ 得:‎ ‎(不舍题意,舍去),,‎ ‎.……………2分 当点在轴的右侧时,若是平行四边形,则与互相平分,‎ ‎.‎ ‎ 与关于原点对称,,‎ 将点坐标代入抛物线解析式得:,‎ ‎(不合题意,舍去),,.……………2分 存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.‎ 四、自选题(本题5分)‎ ‎25.(1)2. ……………2分 ‎(2)证明:在上取点,使,‎ 连结,再在上截取,连结.‎ ‎,‎ 为正三角形,……………1分 A C B P E 第(25)题 ‎=,‎ 为正三角形,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎′,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,‎ 为的费马点,‎ 过的费马点,且=+.……………2分 ‎(2009年甘肃省兰州市)29.(本题满分9分)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4), ‎ 点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动, ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动, ‎ 设运动的时间为t秒.‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标;‎ ‎(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.‎ ‎29. (本题满分9分)‎ 解:(1)(1,0) 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度. 2分 ‎(2) 过点作BF⊥y轴于点,⊥轴于点,则=8,.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 在Rt△AFB中, 3分 ‎ 过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH. ‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴所求C点的坐标为(14,12). 4分 ‎(3) 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥轴于点N,‎ 则△APM∽△ABF.‎ ‎ ∴. . ‎ ‎ ∴. ∴.‎ 设△OPQ的面积为(平方单位)‎ ‎∴(0≤≤10) 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.‎ ‎ ∵<0 ∴当时, △OPQ的面积最大. 6分 ‎ 此时P的坐标为(,) . 7分 ‎(4) 当 或时, OP与PQ相等. 9分 ‎ 对一个加1分,不需写求解过程.‎
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