中考动点问题

中考动点问题

动点问题专题训练 x A O Q P B y ‎2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；‎ ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ ‎2.解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 ‎（2）‎ 点由到的时间是（秒）‎ 点的速度是（单位/秒） 1分 当在线段上运动（或0）时，‎ ‎ 1分 当在线段上运动（或）时，,‎ 如图，作于点，由，得， 1分 ‎ 1分 ‎（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）‎ ‎（3） 1分 ‎ 3分 A C B P Q E D 图16‎ ‎5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后 立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ‎ ‎5.解：（1）1，； ‎ ‎（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．‎ 由△AQF∽△ABC，， ‎ 得．∴． ‎ A C B P Q E D 图4‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（3）能．‎ ‎ ①当DE∥QB时，如图4．‎ ‎ ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．‎ ‎ 此时∠AQP=90°．‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G 由△APQ ∽△ABC，得，‎ 即． 解得． ‎ ‎②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．‎ 此时∠APQ =90°．‎ 由△AQP ∽△ABC，得 ，‎ 即． 解得． ‎ ‎（4）或．‎ ‎①点P由C向A运动，DE经过点C．‎ 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．‎ ‎，．‎ 由，得，解得．‎ ‎②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．‎ ‎，】‎ O E C B D A l O C B A ‎（备用图）‎ ‎6如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．‎ ‎（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；‎ ‎②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；‎ ‎（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．‎ ‎6.解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分 ‎ （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.‎ ‎ ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.‎ ‎ ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分 ‎ 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,‎ ‎∴∠A=300.‎ ‎∴AB=4,AC=2.‎ ‎∴AO== . ……………………8分 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.‎ ‎∴BD=2.‎ ‎∴BD=BC.‎ 又∵四边形EDBC是平行四边形，‎ ‎∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分 A D C B M N ‎7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为秒．‎ ‎（1）求的长．‎ ‎（2）当时，求的值．‎ ‎（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．‎ ‎7.解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形 ‎∴ 1分 在中，‎ ‎ 2分 在中，由勾股定理得，‎ ‎∴ 3分 ‎（图①）‎ A D C B K H ‎（图②）‎ A D C B G M N ‎（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 由题意知，当、运动到秒时，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴ 5分 即 解得， 6分 ‎（3）分三种情况讨论：‎ ‎①当时，如图③，即 ‎∴ 7分 A D C B M N ‎（图③）‎ ‎（图④）‎ A D C B M N H E ‎②当时，如图④，过作于 解法一：‎ 由等腰三角形三线合一性质得 在中，‎ 又在中，‎ ‎∴‎ 解得 8分 解法二：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴ 8分 ‎③当时，如图⑤，过作于点.‎ 解法一：（方法同②中解法一）‎ ‎（图⑤）‎ A D C B H N M F 解得 解法二：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ 综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分 ‎10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ ‎10.解：（1）正确． （1分）‎ A D F C G E B M 证明：在上取一点，使，连接． （2分）‎ ‎．，．‎ 是外角平分线，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎（ASA）． （5分）‎ ‎． （6分）‎ ‎（2）正确． （7分）‎ 证明：在的延长线上取一点．‎ A D F C G E B N 使，连接． （8分）‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形是正方形，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（ASA）． （10分）‎ ‎． （11分）‎ ‎11已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．‎ x y B O A ‎（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；‎ ‎11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，‎ 则.‎ 设点的坐标为.‎ 则.‎ 于是.‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 即，解得.‎ 点的坐标为. 4分 x y B O A ‎（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,‎ 则.‎ 由题设，‎ 则，‎ 在中，由勾股定理，得.‎ ‎，‎ 即 6分 由点在边上，有，‎ ‎ 解析式为所求.‎ ‎ 当时，随的增大而减小，‎ 的取值范围为. 7分 ‎（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标． ‎ x y B O A ‎（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.‎ 则.‎ 又，有.‎ ‎.‎ 有，得. 9分 ‎ 在中，‎ 设，则.‎ 由（Ⅱ）的结论，得，‎ 解得.‎ 点的坐标为. 10分 ‎ ‎12图（1）‎ A B C D E F M N 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当CE/CD=1/2时，求AM/BN的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 图（2）‎ N A B C D E F M ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ ‎12解：方法一：如图（1-1），连接．‎ N 图（1-1）‎ A B C D E F M ‎ 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎ ∴垂直平分．∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形，∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中，．‎ ‎ ∴解得，即 3分 ‎ 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二：同方法一， 3分 ‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 N 图（1-2）‎ A B C D E F M G ‎　　　‎ ‎∵∴四边形是平行四边形．‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎　　　∵‎ ‎　　　‎ ‎　　　在与中 ‎　　　∴ ５分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 ‎12..如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。‎ ‎（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？‎ ‎（3）分别求出出当t为何值时，① PD＝PQ，② DQ＝PQ ？‎ 类比归纳 ‎（或）；； 10分 联系拓广 ‎ 12分 解1：依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t。过点Q作QF⊥BP,又 ‎∵AQ‖BF, ∴∠ABP=90° ∴四边形AQFB是矩形 ‎∴AQ=BF=t ∵BP=2t ∴FP=t, ∴在Rt△QFP中,QP=√(12²+t²)‎ 又∵QD=QP=PD ∴√(12²+t²)=16-t ∴12²+t²=16²-2*16*t+t²‎ ‎∴解得:t=7/2 ‎ 解2：如图所示，‎ ‎:这P作PE垂直AD于E,垂足为E点,则ABPE为矩形.PE=AB=12;AE=BP ‎(1).s=1/2×AB×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;‎ ‎(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO为平形四边形.‎ ‎(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED时,PE为QD的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;‎ ‎.②在Rt△PEQ中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t; PQ²=QE²+PE²=t²+12²;‎ QD²=(AD-AQ)²=(16-t)²; 所以当t²+12²=(16-t)²,即:t=3.5时,DQ=PQ;‎ 解：因为∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20√3‎ 所以可求出AB＝40‎ 如图，圆心从A向B的方向运动时，共有三个位置能使此圆与直线AC或直线BC相切 当圆心在O1点时，设切点为P 显然PO1＝6，∠APO1＝90°，∠AO1P＝30°‎ 所以AO1＝4√3‎ 因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动 所以当t1＝4√3/2＝2√3（秒）时，圆O与直线AC相切 当圆心在O2点时，设切点为Q 显然QO2＝6，∠BQO2＝90°，∠QBO2＝30°‎ 所以BO2＝12，AO2＝40－12＝28‎ 因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动 所以当t2＝28/2＝14（秒）时，圆O与直线BC相切 当圆心在O3点时，设切点为R 显然RO3＝6，∠BRO3＝90°，∠RBO3＝30°‎ 所以BO3＝12，AO3＝40＋12＝52‎ 因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动 所以当t3＝52/2＝26（秒）时，圆O与直线BC相切 综上所述，当圆O运动2√3秒、14秒、26秒时与△ABC的一边所在的直线相切.‎