中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一次方程组及其应用

中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一次方程组及其应用

河北 6 年中考真题 河北中考考点梳理 河北中考题型突破 第二单元 方程（组）与 不等式（组） 第 6 课时 一次方程（组）及其应用 河北中考考点梳理 温馨提示：点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 考点 2 考点 3 二元一次方程（组）及其解法 一次方程（组）的应用 考点 1 一元一次方程及其解法 河北中考题型突破 温馨提示：点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 题组二 题组三 二元一次方程组的解法 一次方程（组）的应用 题组一 一元一次方程的解法 1. 【导学号： 79700038 】 (2015 ， T 11 ， 2 分 ) 利用加减 消元法解方程组 下列做法正 确的是 ( ) A ．要消去 y ，可以将 ① ×5 ＋ ② ×2 B ．要消去 x ，可以将 ① ×3 ＋ ② ×( － 5) C ．要消去 y ，可以将 ① ×5 ＋ ② ×3 D ．要消去 x ，可以将 ① ×( － 5) ＋ ② ×2 河北 6 年中考真题 D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 2. 【导学号： 79700039 】 (2012 ， T 20 ， 8 分 ) 如图，某 市 A ， B 两地之间有两条公路，一条是市区公路 AB ， 另一条是外环公路 AD - DC - CB . 这两条公路组成等腰 梯形 ABCD ，其中 DC ∥ AB ， AB ∶ AD ∶ DC ＝ 10∶5∶2 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 (1) 求外环公路总长和市区公路长的比； (2) 某人驾车从 A 地出发，沿市区公路去 B 地，平均速 度是 40 km / h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度 是 80 km / h ，结果比去时少用了 h ，求市区公路 的长． 解： (1) 设 AB ＝ 10 x km ( x ＞ 0) ，则 AD ＝ 5 x km ， DC ＝ 2 x km . ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， DC ∥ AB ， ∴ CB ＝ AD ＝ 5 x km .∴ AD ＋ DC ＋ CB ＝ 12 x km . ∴ 外环公路总长和市区公路长的比为 12 x :10 x = 6:5. (2) 由 (1) 可知，市区公路长为 10 x km ，外环公路的总 长为 12 x km . 由题意，得 解这个方程，得 x ＝ 1. ∴10 x ＝ 10. 答： 市区公路的长为 10 km . 返回 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 1 ．一元一次方程 考点 1 一元一次方程及其解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 一元一次方程 定义   只含有 ______ 未知数 ( 元 ) ，未知数的次 数是 _____ ，且等号两边都是整式的方程   形式 一般形式 ax ＋ b ＝ 0( a ≠0) 最简形式 ax ＝－ b ( a ≠0) 解 x ＝－ ( a ≠0) 一个 1 2. 方程变形的依据 ( 等式的性质 ) (1) 若 a ＝ b ，则 a ± c ＝ ________ ． (2) 若 a ＝ b ，则 ac ＝ ________ ． (3) 若 a ＝ b ， c ≠0 ，则 ＝ ________ ． ( 二 ) 河北中考考点梳理 b ± c bc 3. 解一元一次方程的一般步骤 ( 二 ) 河北中考考点梳理 步骤 具体做法 注意事项 去分母 若方程中未知数的系数为分数，则方程两边同乘分母 的 ____ ________ 不要漏乘不含分母的项 去括号 若方程中有括号，应先去括号 括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号 最小公倍数 续表 ( 二 ) 河北中考考点梳理 步骤 具体做法 注意事项 移项 把方程中含未知数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等号的另一边 移项要变号 合并同 类项 把方程化成 ax ＝－ b ( a ≠0) 的形式 系数相加，字母及其指数均不变 系数 化为 1 方程两边同除以未知数的 ______ ，得到方程的解 x ＝ ( 化为 x ＝ c 的形式 ) 分子、分母不要颠倒 系数 a 返回 1. 定义：含有两个未知数的一次方程，称为二元一 次方程．由两个一次方程组成的含两个未知数的 方程组就叫做二元一次方程组． 2. 解二元一次方程组的基本思想： ______ ，即将二 元一次方程组转化为一元一次方程． 考点 2 二元一次方程（组）及其解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 消元 3 ．二元一次方程组的解法 (1)______ 消元法：把一个方程的一个未知数用含 另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个 方程，进行求解． (2)______ 消元法：把两个方程的两边分别相加或 相减消去一个未知数的方法． 返回 ( 二 ) 河北中考考点梳理 代入 加减 1. 列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2) 设：设关键的未知数； (3) 列：找出等量关系，列方程 ( 组 ) ； (4) 解：解方程 ( 组 ) ； (5) 验：检验答案是否正确、是否符合题意； (6) 答：规范作答，注意单位名称． 考点 3 一次方程 ( 组 ) 的应用 ( 二 ) 河北中考考点梳理 2. 常见题型及关系式 利润问题：售价＝标价 × 折扣； 销售额＝售价 × 销量；利润＝售价－进价； 利润率＝ ×100%. 利息问题：利息＝本金 × 利率 × 期数； 本息和＝本金＋利息． 工程问题：工作量＝工作效率 × 工作时间． ( 二 ) 河北中考考点梳理 行程问题：路程＝速度 × 时间， (1) 相遇问题：总路程＝甲走的路程＋乙走的路程； (2) 追及问题： a . 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； b . 同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离 ＝追者走的路程． 返回 ( 二 ) 河北中考考点梳理 题组一 一元一次方程的解法 1. ( 2015 咸宁 ) 方程 2 x － 1 ＝ 3 的解是 ( ) A ． x ＝－ 1 　　　　　　　 B ． x ＝－ 2 C ． x ＝ 1 D ． x ＝ 2 ( 三 ) 河北中考题型突破 D 2. ( 2016 秦皇岛二模 ) 关于 x 的方程 mx － 1 ＝ 2 x 的解为正 实数，则 m 的取值范围是 ( ) A ． m ≥2 B ． m ≤2 C ． m ＞ 2 D ． m ＜ 2 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 解方程 mx － 1 ＝ 2 x ，得 x ＝ . 由题意得 为正实数，所以 ＞ 0 ，所以 m ＞ 2. 3. ( 2015 常州 ) 已知 x ＝ 2 是关于 x 的方程 a ( x ＋ 1) ＝ a ＋ x 的解，则 a 的值是 ____ ． 4. ( 2016 保定模拟 ) 解方程： 解： 去分母，得 12 － 2(2 x ＋ 1) ＝ 3(1 ＋ x ) ， 去括号，得 12 － 4 x － 2 ＝ 3 ＋ 3 x ， 移项、合并同类项，得－ 7 x ＝－ 7 ， 方程两边同除以－ 7 ，得 x ＝ 1. ( 三 ) 河北中考题型突破 在解方程时容易出现的三种错误： (1) 移项时忘记改变符号； (2) 利用等式的性质 2 对方程进行变形时出现漏乘现 象； (3) 去分母时忽略分数线的括号作用． 返回 方法点拨 ( 三 ) 河北中考题型突破 1. ( 2016 邯郸二模 ) 已知 是二元一次方程组 的解，则 2 m － n 的算术平方根 为 ( ) A ． ±2 　　　　　 　 B. C ． ± D ． 2 题组二 二元一次方程组的解法 ( 三 ) 河北中考题型突破 D ( 三 ) 河北中考题型突破 将 代入方程组，得 解得 所以 2 m － n ＝ 2×3 － 2 ＝ 4.4 的算术平方根 为 2. 2. ( 2015 聊城 ) 解方程组： 解法一： 代入消元法： 由 ① 得 y ＝ x － 5③ ， 将 ③ 代入 ② ，得 2 x ＋ x － 5 ＝ 4 ，解得 x ＝ 3 ， 将 x ＝ 3 代入 ③ ，得 y ＝－ 2 ， 所以原方程组的解为 ( 三 ) 河北中考题型突破 解法二： 加减消元法： ① ＋ ② 得 3 x ＝ 9 ，解得 x ＝ 3 ， 将 x ＝ 3 代入 ① ，得 y ＝－ 2 ， 所以原方程组的解为 ( 三 ) 河北中考题型突破 3. ( 2016 石家庄模拟 ) 解方程组： 解： 方程组可化为 由 ② 得 x ＝ 5 y － 3③ ， 将 ③ 代入 ① ，得 5(5 y － 3) － 11 y ＝－ 1 ， 解得 y ＝ 1. 把 y ＝ 1 代入 ③ ，得 x ＝ 2 ， 所以原方程组的解是 ( 三 ) 河北中考题型突破 方法点拨 解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元 一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方 法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结 合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未 知数的系数为 1 或－ 1 ，宜用代入消元法；如果出现 同一个未知数的系数相等、互为相反数、成倍数关 系或系数较为复杂，宜用加减消元法． ( 三 ) 河北中考题型突破 返回 1. ( 2015 南充 ) 学校机房今年和去年共购置了 100 台计 算机，已知今年购置的计算机数量是去年的 3 倍， 则今年购置计算机的数量是 ( ) A ． 25 台　　　　　 　 B ． 50 台 C ． 75 台 D ． 100 台 题组三 一次方程（组）的应用 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 设去年购置计算机 x 台，则今年购置计算机 3 x 台，根据题意得 3 x ＋ x ＝ 100 ，解得 x ＝ 25 ，则 3 x ＝ 3×25 ＝ 75 ，所以今年购置计算机 75 台． 2. ( 2016 保定二模 ) 在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖的 游戏规则如下，掷到 A 区和 B 区的得分不同， A 区为小 圆内部分， B 区为大圆内小圆外部分 ( 掷中一次记一个 点 ) ．现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况，如图 所示，按此方法计算小芳的得分为 ( ) A ． 76 分 B ． 74 分 C ． 72 分 D ． 70 分 ( 三 ) 河北中考题型突破 B ( 三 ) 河北中考题型突破 设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x 分， y 分， 依题意得： 解得 可知： 2 x ＋ 6 y ＝ 74 ，所以按此方法计算小芳的得分为 74 分． 3.( 2016 福州 ) 列方程 ( 组 ) 解应用题：某班去看演出，甲 种票每张 24 元，乙种票每张 18 元．如果 35 名学生购 票恰好用去 750 元，甲乙两种票各买了多少张？ 解法一： 设甲种票买了 x 张，则乙种票买了 (35 － x ) 张． 由题意，得 24 x ＋ 18(35 － x ) ＝ 750. 解得 x ＝ 20. ∴35 － x ＝ 15. 答： 甲种票买了 20 张，乙种票买了 15 张 ． ( 三 ) 河北中考题型突破 解法 二 ： 设甲种票买了 x 张，则乙种票买了 y 张． 根据 题意 可 得 ： 解 方程组 得 ： ∴ 35 － x ＝ 15. 答： 甲种票买了 20 张，乙种票买了 15 张 ． ( 三 ) 河北中考题型突破 4. ( 2016 秦皇岛模拟 ) 小林在某商店购买商品 A ， B 共三 次，只有一次购买时，商品 A ， B 同时打折，其余两 次均按标价购买．三次购买商品 A ， B 的数量和费用 如下表： ( 三 ) 河北中考题型突破   购买商品 A 的数量 / 个 购买商品 B 的数量 / 个 购买总费 用 / 元 第一次购物 6 5 1 140 第二次购物 3 7 1 110 第三次购物 9 8 1 062 (1) 小林以折扣价购买商品 A ， B 是第 _____ 次购物； (2) 求出商品 A ， B 的标价； (3) 若商品 A ， B 的折扣相同，问商店是打几折出售 这两种商品的？ 解： (2) 设商品 A ， B 的标价分别为 x 元， y 元， 则可列方程组为 解得 答： 商品 A ， B 的标价分别为 90 元， 120 元． (3)1 062÷(90×9 ＋ 120×8)×100% ＝ 60%. 答： 商店是打六折出售这两种商品的． ( 三 ) 河北中考题型突破 三 方法点拨 当直接设未知数求解比较困难时，可以考虑间 接设未知数来解决问题，但要注意此时求出的方程 ( 组 ) 的解并不是问题的解，应利用方程 ( 组 ) 的解进一 步完成整个题目． ( 三 ) 河北中考题型突破