中考数学分类汇编考点切线的性质和判定

中考数学分类汇编考点切线的性质和判定

‎2018中考数学试题分类汇编：考点30 切线的性质和判定 一．选择题（共11小题）‎ ‎1．（2018•哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）‎ A．3 B．3 C．6 D．9‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP=90°，‎ ‎∵∠P=30°，OB=3，‎ ‎∴AO=3，则OP=6，‎ 故BP=6﹣3=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（　　）‎ A．27° B．32° C．36° D．54°‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．‎ ‎【解答】解：∵PA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠OAP=90°，‎ ‎∵∠P=36°，‎ ‎∴∠AOP=54°，‎ ‎∴∠B=27°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（　　）‎ A．4 B．2 C．3 D．2.5‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．‎ ‎【解答】解：连接DO，‎ ‎∵PD与⊙O相切于点D，‎ ‎∴∠PDO=90°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴DO∥BC，‎ ‎∴△PDO∽△PCB，‎ ‎∴===，‎ 设PA=x，则=，‎ 解得：x=4，‎ 故PA=4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．80°‎ ‎【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，‎ 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【分析】如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0‎ ‎），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．‎ ‎【解答】解：如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，‎ 当x=0时，y=x+2=2，则D（0，2），‎ 当y=0时， x+2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），‎ ‎∴CD==4，‎ ‎∵OH•CD=OC•OD，‎ ‎∴OH==，‎ 连接OA，如图，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴PA==，‎ 当OP的值最小时，PA的值最小，‎ 而OP的最小值为OH的长，‎ ‎∴PA的最小值为=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA、OB，‎ ‎∵BM是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OBM=90°，‎ ‎∵∠MBA=140°，‎ ‎∴∠ABO=50°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠ABO=∠BAO=50°，‎ ‎∴∠AOB=80°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=40°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）‎ A．3 B． C．6 D．‎ ‎【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．‎ ‎【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，‎ 由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，‎ ‎∴∠OAB=60°，‎ 在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，‎ ‎∴光盘的直径为6，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•重庆）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）‎ A．2 B． C． D． ‎ ‎【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得 OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．‎ ‎【解答】解：连接OD ‎∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，‎ ‎∴OD⊥AC 在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，‎ ‎∴OD=OB=2，AO=4，‎ ‎∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠OBD=∠CBD ‎∴∠ODB=∠CBD ‎∴OD∥CB，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴CD=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（　　）‎ A．10 B．8 C．4 D．4‎ ‎【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AB，‎ 又∵CD∥AB，‎ ‎∴AO⊥CD，记垂足为E，‎ ‎∵CD=8，‎ ‎∴CE=DE=CD=4，‎ 连接OC，则OC=OA=5，‎ 在Rt△OCE中，OE===3，‎ ‎∴AE=AO+OE=8，‎ 则AC===4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，‎ ‎∴∠OCB=90°，‎ ‎∵OD∥AB，‎ ‎∴∠COD=90°，‎ ‎∴∠CED=∠COD=45°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆 O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．‎ ‎【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，‎ ‎∵G是BC的中点，‎ ‎∴AG=DG，‎ ‎∴GH垂直平分AD，‎ ‎∴点O在HG上，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴HG⊥BC，‎ ‎∴BC与圆O相切；‎ ‎∵OG=OG，‎ ‎∴点O不是HG的中点，‎ ‎∴圆心O不是AC与BD的交点；‎ 而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，‎ ‎∴AF与DE的交点是圆O的圆心；‎ ‎∴（1）错误，（2）（3）正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（共14小题）‎ ‎12．（2018•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=　60　°．‎ ‎【分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵四边形ABOC是菱形，‎ ‎∴BA=BO，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点D，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∵点D是AB的中点，‎ ‎∴直线OD是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点D，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∴∠AOD=∠AOB=30°，‎ 同理，∠AOE=30°，‎ ‎∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=　44°　．‎ ‎【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥BC，‎ ‎∴∠OBA+∠CBP=90°，‎ ‎∵OC⊥OA，‎ ‎∴∠A+∠APO=90°，‎ ‎∵OA=OB，∠OAB=22°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=22°，‎ ‎∴∠APO=∠CBP=68°，‎ ‎∵∠APO=∠CPB，‎ ‎∴∠CPB=∠ABP=68°，‎ ‎∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，‎ 故答案为：44°‎ ‎　‎ ‎14．（2018•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　或　．‎ ‎【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，‎ ‎【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．‎ 设PQ=PA′=r，‎ ‎∵PQ∥CA′，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴r=．‎ 如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，‎ ‎∵△A′BT∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴A′T=，‎ ‎∴r=A′T=．‎ 综上所述，⊙P的半径为或．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．‎ ‎【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；‎ ‎【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．‎ 在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，‎ ‎∴x2=42+（8﹣x）2，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．‎ 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．‎ ‎∴PM=PK=CD=2BM，‎ ‎∴BM=4，PM=8，‎ 在Rt△PBM中，PB==4．‎ 综上所述，BP的长为3或4．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=　26　度．‎ ‎【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ 由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，‎ ‎∵CD为⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠D=90°﹣∠COD=26°，‎ 故答案为：26．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　50　度．‎ ‎【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB的度°°‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵∠A=20°，‎ ‎∴∠BOC=40°，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，B为切点，‎ ‎∴∠OBC=90°，‎ ‎∴∠OCB=90°﹣40°=50°，‎ 故答案为：50．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•香坊区）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为　　．‎ ‎【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得OE的长．‎ ‎【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，‎ ‎∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，‎ ‎∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△ACO和△BAD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACO≌△BAD（ASA），‎ ‎∴AO=AD，‎ ‎∵AO=OD，‎ ‎∴AO=OD=AD，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∴∠ADO=∠DAO=60°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∵CD=2，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，‎ ‎∴OE=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为　　．‎ ‎【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，‎ ‎∴点D是AB中点，‎ ‎∴CD=BD=AB=5，‎ 连接DF，‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CFD=90°，‎ ‎∴BF=CF=BC=4，‎ ‎∴DF==3，‎ 连接OF，‎ ‎∵OC=OD，CF=BF，‎ ‎∴OF∥AB，‎ ‎∴∠OFC=∠B，‎ ‎∵FG是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OFG=90°，‎ ‎∴∠OFC+∠BFG=90°，‎ ‎∴∠BFG+∠B=90°，‎ ‎∴FG⊥AB，‎ ‎∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，‎ ‎∴FG===，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•包头）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=　115　度．‎ ‎【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：‎ 连接OC，‎ ‎∵DC切⊙O于C，‎ ‎∴∠DCO=90°，‎ ‎∵∠D=40°，‎ ‎∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，‎ ‎∴的度数是130°，‎ ‎∴的度数是360°﹣130°=230°，‎ ‎∴∠BEC==115°，‎ 故答案为：115．‎ ‎　‎ ‎21．（2018•湘潭）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=　60°　．‎ ‎【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OBA=90°，‎ ‎∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，‎ 故答案为：60°．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=　126　度．‎ ‎【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．‎ ‎【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ODA=∠A=∠COD=36°，‎ ‎∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以 OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　﹣π　．‎ ‎【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴△AOF是等边三角形，‎ ‎∴∠COF=120°，‎ ‎∵OA=2，‎ ‎∴扇形OGF的面积为： =‎ ‎∵OA为半径的圆与CB相切于点E，‎ ‎∴∠OEC=90°，‎ ‎∴OC=2OE=4，‎ ‎∴AC=OC+OA=6，‎ ‎∴AB=AC=3，‎ ‎∴由勾股定理可知：BC=3‎ ‎∴△ABC的面积为：×3×3=‎ ‎∵△OAF的面积为：×2×=，‎ ‎∴阴影部分面积为： ﹣﹣π=﹣π 故答案为： ﹣π ‎　‎ ‎24．（2018•广东）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）‎ ‎【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：连接OE，如图，‎ ‎∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，‎ ‎∴OD=2，OE⊥BC，‎ 易得四边形OECD为正方形，‎ ‎∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，‎ ‎∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．‎ 故答案为π．‎ ‎　‎ ‎25．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点 F，则CF的长为　4　．‎ ‎【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．‎ ‎【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，‎ 则∠OEB′=∠OHB′=90°，‎ ‎∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，‎ ‎∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，‎ ‎∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，‎ ‎∴B′H=OE=2.5，‎ ‎∴CH=B′C﹣B′H=1.5，‎ ‎∴CG=B′E=OH===2，‎ ‎∵四边形EB′CG是矩形，‎ ‎∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，‎ ‎∴CF=2CG=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三．解答题（共25小题）‎ ‎26．（2018•柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：CB平分∠ACE；‎ ‎（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．‎ ‎【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．‎ ‎（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接OB，‎ ‎∵AB是⊙0的切线，‎ ‎∴OB⊥AB，‎ ‎∵CE丄AB，‎ ‎∴OB∥CE，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠1=∠2‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴CB平分∠ACE；‎ ‎（2）如图2，连接BD，‎ ‎∵CE丄AB，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴BC===5，‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DBC=90°，‎ ‎∴∠E=∠DBC，‎ ‎∴△DBC∽△CBE，‎ ‎∴，‎ ‎∴BC2=CD•CE，‎ ‎∴CD==，‎ ‎∴OC==，‎ ‎∴⊙O的半径=．‎ ‎　‎ ‎27．（2018•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，‎ ‎（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；‎ ‎（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，‎ ‎∵D为的中点，∠AOB=180°，‎ ‎∴∠AOD=90°，‎ ‎∴∠ACD=45°；‎ ‎（Ⅱ）连接OD，‎ ‎∵DP切⊙O于点D，‎ ‎∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，‎ 由DP∥AC，又∠BAC=38°，‎ ‎∴∠P=∠BAC=38°，‎ ‎∵∠AOD是△ODP的一个外角，‎ ‎∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，‎ ‎∴∠ACD=64°，‎ ‎∵OC=OA，∠BAC=38°，‎ ‎∴∠OCA=∠BAC=38°，‎ ‎∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．‎ ‎　‎ ‎28．（2018•荆门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAE；‎ ‎（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；‎ ‎（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；‎ ‎②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图，‎ ‎∵直线DE与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥DE，‎ 又∵AD⊥DE，‎ ‎∴OC∥AD．‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴AC平方∠DAE；‎ ‎（2）解：①∵AB为直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ 而DE⊥AD，‎ ‎∴BF∥DE，‎ ‎∴OC⊥BF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠COE=∠FAB，‎ 而∠FAB=∠M，‎ ‎∴∠COE=∠M，‎ 设⊙O的半径为r，‎ 在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，‎ 即⊙O的半径为4；‎ ‎②连接BF，如图，‎ 在Rt△AFB中，cos∠FAB=，‎ ‎∴AF=8×=‎ 在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，‎ ‎∴CE=3，‎ ‎∵AB⊥FM，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠5=∠4，‎ ‎∵FB∥DE，‎ ‎∴∠5=∠E=∠4，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴△AFN∽△AEC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴FN=．‎ ‎　‎ ‎29．（2018•随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．‎ ‎（1）求证：MD=MC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵CN为⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，‎ ‎∵OM⊥AB，‎ ‎∴∠OAC+∠ODA=90°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，‎ ‎∴MD=MC；‎ ‎（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，‎ ‎∴△AOD∽△ACB，‎ ‎∴，即，‎ 可得：OD=2.5，‎ 设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，‎ 解得：x=，‎ 即MC=．‎ ‎　‎ ‎30．（2018•黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．‎ ‎（1）求证：∠CBP=∠ADB．‎ ‎（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．‎ ‎【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；‎ ‎（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB，如图，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABD=90°，‎ ‎∴∠A+∠ADB=90°，‎ ‎∵BC为切线，‎ ‎∴OB⊥BC，‎ ‎∴∠OBC=90°，‎ ‎∴∠OBA+∠CBP=90°，‎ 而OA=OB，‎ ‎∴∠A=∠OBA，‎ ‎∴∠CBP=∠ADB；‎ ‎（2）解：∵OP⊥AD，‎ ‎∴∠POA=90°，‎ ‎∴∠P+∠A=90°，‎ ‎∴∠P=∠D，‎ ‎∴△AOP∽△ABD，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BP=7．‎ ‎　‎ ‎31．（2018•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．‎ ‎（1）求证：DA=DE；‎ ‎（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；‎ ‎（2）利用分割法求得阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．‎ ‎∵OB=OE，‎ ‎∴∠OBE=∠OEB．‎ ‎∵BC=EC，‎ ‎∴∠CBE=∠CEB，‎ ‎∴∠OBC=∠OEC．‎ ‎∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴∠OEC=∠OBC=90°；‎ ‎∵OE为半径，‎ ‎∴CD为⊙O的切线，‎ ‎∵AD切⊙O于点A，‎ ‎∴DA=DE；‎ ‎（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴AD=BF，DF=AB=6，‎ ‎∴DC=BC+AD=4．‎ ‎∵FC==2，‎ ‎∴BC﹣AD=2，‎ ‎∴BC=3．‎ 在直角△OBC中，tan∠BOE==，‎ ‎∴∠BOC=60°．‎ 在△OEC与△OBC中，‎ ‎，‎ ‎∴△OEC≌△OBC（SSS），‎ ‎∴∠BOE=2∠BOC=120°．‎ ‎∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．‎ ‎　‎ ‎32．（2018•长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．‎ ‎（1）求∠B的度数．‎ ‎（2）求的长．（结果保留π）‎ ‎【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；‎ ‎（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，‎ ‎∠BAC=90°，‎ ‎∵∠C=40°，‎ ‎∴∠B=50°；‎ ‎（2）连接OD，‎ ‎∵∠B=50°，‎ ‎∴∠AOD=2∠B=100°，‎ ‎∴的长为=π．‎ ‎　‎ ‎33．（2018•白银）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．‎ ‎（1）求证：∠C=90°；‎ ‎（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；‎ ‎（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===，从而可求出r的值．‎ ‎【解答】解：（1）连接OE，BE，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴‎ ‎∴∠OBE=∠DBE ‎∵OE=OB，‎ ‎∴∠OEB=∠OBE ‎∴∠OEB=∠DBE，‎ ‎∴OE∥BC ‎∵⊙O与边AC相切于点E，‎ ‎∴OE⊥AC ‎∴BC⊥AC ‎∴∠C=90°‎ ‎（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=‎ ‎∴AB=5，‎ 设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，‎ 在Rt△AOE中，sinA===‎ ‎∴r=‎ ‎∴AF=5﹣2×=‎ ‎　‎ ‎34．（2018•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．‎ ‎【分析】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB，则EC=ED，从而得到BE=CE；‎ ‎（2）作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=r，CD=r，‎ 接着根据勾股定理计算出OC=r，然后根据正弦的定义求解．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图，‎ ‎∵EB、ED为⊙O的切线，‎ ‎∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB，‎ ‎∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠A=∠ADO，‎ ‎∴∠CDE=∠ACB，‎ ‎∴EC=ED，‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠DOB=∠DEB=90°，‎ ‎∴四边形OBED为矩形，‎ 而OB=OD，‎ ‎∴四边形OBED为正方形，‎ ‎∴DE=CE=r，‎ 易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，‎ ‎∴OH=DH=r，CD=r，‎ 在Rt△OCB中，OC==r，‎ 在Rt△OCH中，sin∠OCH===，‎ 即sin∠ACO的值为．‎ ‎　‎ ‎35．（2018•德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥CD；‎ ‎（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．‎ ‎【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；‎ ‎（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵直线CD与⊙O相切，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∵点C是的中点，‎ ‎∴∠DAC=∠EAC，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠EAC，‎ ‎∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴AD⊥CD；‎ ‎（2）解：∵∠CAD=30°，‎ ‎∴∠CAE=∠CAD=30°，‎ 由圆周角定理得，∠COE=60°，‎ ‎∴OE=2OC=6，EC=OC=3， ==π，‎ ‎∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．‎ ‎　‎ ‎36．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．‎ ‎（1）求证：OP⊥CD；‎ ‎（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．‎ ‎【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；‎ ‎（2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，OD，‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∵PD，PC是⊙O的切线，‎ ‎∵∠ODP=∠OCP=90°，‎ 在Rt△ODP和Rt△OCP中，，‎ ‎∴Rt△ODP≌Rt△OCP，‎ ‎∴∠DOP=∠COP，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴OP⊥CD；‎ ‎（2）如图，连接OD，OC，‎ ‎∴OA=OD=OC=OB=2，‎ ‎∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，‎ ‎∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，‎ ‎∴∠COD=60°，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴△COD是等边三角形，‎ 由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，‎ 在Rt△ODP中，OP==．‎ ‎　‎ ‎37．（2018•铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）求tan∠E的值．‎ ‎【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；‎ ‎（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线 ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DF为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF⊥AC；‎ ‎（2）解：如图，连接BG，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BGC=90°，‎ ‎∵∠EFC=90°=∠BGC，‎ ‎∴EF∥BG，‎ ‎∴∠CBG=∠E，‎ Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，‎ ‎∴CD=4，‎ S△ABC=，‎ ‎6×4=5BG，‎ BG=，‎ 由勾股定理得：CG==，‎ ‎∴tan∠CBG=tan∠E===．‎ ‎　‎ ‎38．（2018•昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．‎ ‎（1）求证：AD⊥ED；‎ ‎（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．‎ ‎【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；‎ ‎（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图，‎ ‎∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∵ED切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥DE，‎ ‎∴AD⊥ED；‎ ‎（2）解：OC交BF于H，如图，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ 易得四边形CDFH为矩形，‎ ‎∴FH=CD=4，∠CHF=90°，‎ ‎∴OH⊥BF，‎ ‎∴BH=FH=4，‎ ‎∴BF=8，‎ 在Rt△ABF中，AB===2，‎ ‎∴⊙O的半径为．‎ ‎　‎ ‎39．（2018•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．‎ ‎（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；‎ ‎（2）连接MD，求证：MD=NB．‎ ‎【分析】（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON∥DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；‎ ‎（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°‎ ‎，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．‎ ‎【解答】证明：（1）连接ON，如图，‎ ‎∵CD为斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=AD=DB，‎ ‎∴∠1=∠B，‎ ‎∵OC=ON，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠2=∠B，‎ ‎∴ON∥DB，‎ ‎∵NE为切线，‎ ‎∴ON⊥NE，‎ ‎∴NE⊥AB；‎ ‎（2）连接DN，如图，‎ ‎∵AD为直径，‎ ‎∴∠CMD=∠CND=90°，‎ 而∠MCB=90°，‎ ‎∴四边形CMDN为矩形，‎ ‎∴DM=CN，‎ ‎∵DN⊥BC，∠1=∠B，‎ ‎∴CN=BN，‎ ‎∴MD=NB．‎ ‎　‎ ‎40．（2018•曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠‎ ADC．‎ ‎（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．‎ ‎【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；‎ ‎（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）PM与⊙O相切．‎ 理由如下：‎ 连接DO并延长交PM于E，如图，‎ ‎∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，‎ ‎∴OC=DC，BO=BD，‎ ‎∴OC=DC=BO=BD，‎ ‎∴四边形OBDC为菱形，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴△OCD和△OBD都是等边三角形，‎ ‎∴∠COD=∠BOD=60°，‎ ‎∴∠COP=∠EOP=60°，‎ ‎∵∠MPB=∠ADC，‎ 而∠ADC=∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=∠MPB，‎ ‎∴PM∥BC，‎ ‎∴OE⊥PM，‎ ‎∴OE=OP，‎ ‎∵PC为⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PC，‎ ‎∴OC=OP，‎ ‎∴OE=OC，‎ 而OE⊥PC，‎ ‎∴PM是⊙O的切线；‎ ‎（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，‎ ‎∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．‎ ‎　‎ ‎41．（2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．‎ 求证：CD为⊙O的切线．‎ ‎【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC ‎⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．‎ ‎【解答】证明：∵BC平分∠ABD，‎ ‎∴∠OBC=∠DBC，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，‎ ‎∴∠OCB=∠DBC，‎ ‎∴OC∥BD，‎ ‎∵BD⊥CD，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD为⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎42．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．‎ ‎（1）求线段BD的长；‎ ‎（2）求证：直线PE是⊙O的切线．‎ ‎【分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；‎ ‎（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：连接DB，如图，‎ ‎∵∠BCD+∠DEB=180°，‎ ‎∴∠DEB=180°﹣120°=60°，‎ ‎∵BE为直径，‎ ‎∴∠BDE=90°，‎ 在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，‎ BD=DE=×=3；‎ ‎（2）证明：连接EA，如图，‎ ‎∵BE为直径，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∵A为的中点，‎ ‎∴∠ABE=45°，‎ ‎∵BA=AP，‎ 而EA⊥BA，‎ ‎∴△BEP为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠PEB=90°，‎ ‎∴PE⊥BE，‎ ‎∴直线PE是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎43．（2018•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．‎ ‎（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；‎ ‎（2）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．‎ ‎（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=4，‎ ‎∴OB=2‎ ‎∵∠COB=60°，‎ ‎∴S扇形OBC==‎ ‎（2）∵AC平分∠FAB，‎ ‎∴∠FAC=∠CAO，‎ ‎∵AO=CO，‎ ‎∴∠ACO=∠CAO ‎∴∠FAC=∠ACO ‎∴AD∥OC，‎ ‎∵CD⊥AF，‎ ‎∴CD⊥OC ‎∵C在圆上，‎ ‎∴CD是⊙O的切线 ‎　‎ ‎44．（2018•新疆）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．‎ ‎【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．‎ ‎（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题 ‎【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∴PA=PB 在△PAO和△PBO中 ‎∴△PAO和≌△PBO ‎∴∠OBP=∠OAP=90°‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6‎ 在Rt△ACO中，OC=3，AC=4‎ ‎∴AO=5‎ 在Rt△ACO与Rt△PAO中，‎ ‎∠APO=∠APO，‎ ‎∠PAO=∠ACO=90°‎ ‎∴△ACO∼△PAO ‎=‎ ‎∴PO=，PA=‎ ‎∴PB=PA=‎ 在△EPO与△EBD中，‎ BD∥PO ‎∴△EPO∽△EBD ‎∴=，‎ 解得EB=，‎ PE=，‎ ‎∴sinE==‎ ‎　‎ ‎45．（2018•安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．‎ ‎（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；‎ ‎（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．‎ ‎【分析】（1）先判断出∠CAO=∠BAO，进而判断出OD=OE，即可得出结论；‎ ‎（2）先求出OB，再用勾股定理求出OA，最后用三角形的面积即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图，作OE⊥AB于E，连接OD，OA，‎ ‎∵AB=AC，点O是BC的中点，‎ ‎∴∠CAO=∠BAO，‎ ‎∵AC与半圆O相切于D，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴OD=OE，‎ ‎∵AB径半圆O的半径的外端点，‎ ‎∴AB是半圆O所在圆的切线；‎ ‎（2）∵AB=AC，O是BC的中点，‎ ‎∴AO⊥BC，‎ 在Rt△AOB中，OB=AB•cos∠ABC=12×=8，‎ 根据勾股定理得，OA==4，‎ 由三角形的面积得，S△AOB=AB•OE=OB•OA，‎ ‎∴OE==，‎ 即：半圆O所在圆的半径为．‎ ‎　‎ ‎46．（2018•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）‎ ‎【分析】（1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；‎ ‎（2）作OG⊥AE，知AG=CG=AC=2，证四边形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再证△ADE∽△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OD，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠EAF，‎ ‎∴∠DAE=∠DAO，‎ ‎∴∠DAE=∠ADO，‎ ‎∴OD∥AE，‎ ‎∵AE⊥EF，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，‎ 则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，‎ ‎∴四边形ODEG是矩形，‎ ‎∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，‎ ‎∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，‎ ‎∴△ADE∽△ABD，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AD2=48，‎ 在Rt△ABD中，BD==4，‎ 在Rt△ABD中，∵AB=2BD，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ 则的长度为=．‎ ‎　‎ ‎47．（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；‎ ‎（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）连接OD，AD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=CD，‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DG⊥AC，‎ ‎∴OD⊥FG，‎ ‎∴直线FG与⊙O相切；‎ ‎（2）连接BE．∵BD=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵CF=2，‎ ‎∴DF==4，‎ ‎∴BE=2DF=8，‎ ‎∵cos∠C=cos∠ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴AE==6，‎ ‎∵BE⊥AC，DF⊥AC，‎ ‎∴BE∥GF，‎ ‎∴△AEB∽△AFG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BG=．‎ ‎　‎ ‎48．（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；‎ ‎（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，‎ ‎∵AD⊥BO于点D，‎ ‎∴∠D=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，‎ ‎∵∠AOD=∠BAD，‎ ‎∴∠ABD=∠OAD，‎ 又∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠BOC=∠D=90°，‎ ‎∵∠BOC=∠AOD，‎ ‎∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，‎ 在△BOC和△BOE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BOC≌△BOE（AAS），‎ ‎∴OE=OC，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，‎ ‎∴∠EOA=∠ABC，‎ ‎∵tan∠ABC=、BC=6，‎ ‎∴AC=BC•tan∠ABC=8，‎ 则AB=10，‎ 由（1）知BE=BC=6，‎ ‎∴AE=4，‎ ‎∵tan∠EOA=tan∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OE=3，OB==3，‎ ‎∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABD∽△OBC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AD=2．‎ ‎　‎ ‎49．（2018•金华）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；‎ ‎（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠3=∠B，‎ ‎∵∠B=∠1，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，‎ ‎∴OD⊥AD，‎ 则AD为圆O的切线；‎ ‎（2）设圆O的半径为r，‎ 在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，‎ 根据勾股定理得：AB==4，‎ ‎∴OA=4﹣r，‎ 在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，‎ ‎∴CD=ACtan∠1=2，‎ 根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，‎ 在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4﹣r）2=r2+20，‎ 解得：r=．‎ ‎　‎ ‎50．（2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）求tan∠CAB的值．‎ ‎【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线 ‎（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB=．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OC、BC ‎∵⊙O的半径为3，PB=2‎ ‎∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5‎ ‎∵PC=4‎ ‎∴OC2+PC2=OP2‎ ‎∴△OCP是直角三角形，‎ ‎∴OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵AB是直径 ‎∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠ACO+∠OCB=90°‎ ‎∵OC⊥PC ‎∴∠BCP+∠OCB=90°‎ ‎∴∠BCP=∠ACO ‎∵OA=OC ‎∴∠A=∠ACO ‎∴∠A=∠BCP 在△PBC和△PCA中：‎ ‎∠BCP=∠A，∠P=∠P ‎∴△PBC∽△PCA，‎ ‎∴‎ ‎∴tan∠CAB=‎ ‎　‎