整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

几何图形旋转常见问题 ‎  　　一、填空题 ‎　　1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于　　　　　．‎ ‎　　　　‎ ‎2．如图2，将一块斜边长为‎12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是 　　　　cm． ‎ ‎3.正△ABC的边长为‎3cm，边长为‎1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为　　　　cm．‎ ‎4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是　　　　　．‎ ‎　　二、解答题 ‎　　5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.‎ ‎　　(1) 求证：BP=DP；‎ ‎　　(2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；‎ ‎(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .‎ ‎　　6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4.根据以上过程，解答下列问题：‎ ‎　　(1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标；‎ ‎　　(2)请你在图6－2中画出第二个叶片F2；‎ ‎　　(3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？‎ ‎　　7.如图7，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1,0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）.‎ ‎　　（1）求点P6的坐标；‎ ‎　　（2）求△P5OP6的面积；‎ ‎（3）我们规定：把点Pn(xn,yn)（n=0,1,2,3,…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．‎ ‎　　8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．‎ ‎　　9.如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图9－2），　　量得他们的斜边长为‎10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图9－3至图9－6中统一用F表示）‎ ‎　图9－1 　　　　　　　　　图9－2　　　　　　　　　　 图9－3‎ ‎　　小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.‎ ‎　　（1）将图9－3中的△ABF沿BD向右平移到图9－4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；‎ ‎　　（2）将图9－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；‎ ‎　　（3）将图9－3中的△ABF沿直线AF翻折到图9－6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH.‎ ‎　 ‎ 图9－4　　　　　　 　图9－5　　　　　 图9－6‎ 参考答案 ‎　　一、1.　2. 6－2　3.2π　4.1‎ ‎　　二、‎ ‎　　5. 解：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP. ‎ ‎　　解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP. ‎ ‎　　（2）不是总成立 . ‎ ‎　　当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立. ‎ ‎　　（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等.‎ ‎　　在图1-1中，可证四边形PECF为正方形，‎ ‎　　在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . ‎ ‎　　从而有 BE=DF .　　‎ ‎　　6. 解：（1）B（6,1）　‎ ‎　　（2）图略　‎ ‎　　（3）线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由（1）知B点坐标为（6,1），∴OB2＝OD2＋BD2＝62＋12＝37.∴线段OB扫过的图形面积是.‎ ‎　　7. 解：（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 倍，故其坐标为P6(0,26)，即P6(0,64)．‎ ‎　　（2）由已知可得，‎ ‎　　△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn，‎ ‎　　设P1(x1,y1)，则y1=2sin45°=,∴.‎ ‎　　又∵,‎ ‎　　∴.‎ ‎　　（3）由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n.‎ ‎　　①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(2n,0)；‎ ‎　　②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，‎ ‎　　此时，点Pn的绝对坐标为，即.‎ ‎　　③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(0,2n)．‎ ‎　　8. 解：HG＝HB．‎ ‎　　证法1：连结AH（如图10）.‎ ‎　　∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，‎ ‎　　∴∠B＝∠G＝90°．‎ ‎　　由题意，知AG＝AB，又AH＝AH，‎ ‎　　∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.‎ ‎　　∴HG=HB．‎ ‎　　证法2：连结GB（如图11）．‎ ‎　　∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，‎ ‎　　∴∠ABC＝∠AGF＝90°．‎ ‎　　由题意知AB＝AG．‎ ‎　　∴∠AGB＝∠ABG．‎ ‎　　∴∠HGB＝∠HBG．‎ ‎　　∴HG＝HB．‎ ‎　　9. 解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长.‎ ‎　　∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm.‎ ‎　　∴平移的距离为5cm．（2分）‎ ‎　　（2）∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°，‎ ‎　　∴∠FGD＝90°．‎ ‎　　在Rt△EFD中，ED=10 cm，∴ .‎ ‎　　∵FG＝cm．‎ ‎　　（3）在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°.‎ ‎　　∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，‎ ‎　　∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．‎ ‎　　又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS）．‎ ‎　　∴AH＝DH.‎