阿波罗尼斯圆模型——中考最值专题二

阿波罗尼斯圆模型——中考最值专题二

‎“阿波罗尼斯圆模型”——中考最值专题（二）‎ ‎【教学重难点】‎ ‎1．阿氏圆（阿波罗尼斯圆）由来，模型识别 ‎2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理 ‎3．三步处理：①画圆；②r上取半，连动点；③计算，连中点&定点即为所求 ‎【模块一 模型识别】‎ 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～190年），与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后来研究者没有插足的余地．‎ 阿波罗尼斯最早发现：若平面上两定点A、B满足（k为定值且不等于1），则点P的轨迹是一个圆，后称阿氏圆．‎ 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“母子型相似+两点间线段最短”，解决带系数两线段之和的最值问题．观察下面的图形，当B在在圆上运动时，BA、BC的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变．解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法．如图，在△ABC的边AC上找一点D，使得，则此时△ABD∽△ACB．‎ 模型识别：‎ 问题本质：‎ 动感体验：（几何画板）‎ ‎【模块二 最值计算】‎ ‎【例1】‎ ‎1．已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求的最小值．‎ ‎2．已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点．‎ ‎（1）的最小值为__________；‎ ‎（2）的最小值为 ． ‎ ‎3．已知⊙O半径为2，AC、BD为切线，AC=2，BD=4，P为弧AB上一动点，试求的最小值．‎ ‎※4．如图，△ABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=，D是平面内一点，且CD=4，则AD+BD的最小值为 ．‎ ‎【模块三 二次函数综合·压轴】‎ ‎【例2】‎ ‎1．（2018·育才二诊）已知：如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点．‎ ‎（1）求抛物线解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式；‎ ‎（3）如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'B、E'C，当取得最小值时，求直线E'B与抛物线的交点坐标．‎ ‎2．（2018·改编）如图，抛物线与直线AB交于A（－4，－4），B（0，4）两点，直线AC：交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；‎ ‎（3）①点H为y轴上一点，连接EH、FH，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形? 求出此时点E、H的坐标；‎ ‎②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求：的最小值．‎ ‎ ‎