2018中考数学分类汇编考点32尺规作图

2018中考数学分类汇编考点32尺规作图

‎2018中考数学试题分类汇编：考点32 尺规作图 一．选择题（共13小题）‎ ‎1．（2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）‎ A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm ‎【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，‎ ‎∴DA=DC，AE=EC=6cm，‎ ‎∵AB+AD+BD=13cm，‎ ‎∴AB+BD+DC=13cm，‎ ‎∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；‎ Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．‎ 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：‎ 则正确的配对是（　　）‎ A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ ‎【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．‎ ‎【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；‎ Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．‎ 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：‎ 则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）‎ ‎【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．‎ ‎【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），‎ ‎∴AH=1，HO=2，‎ ‎∴Rt△AOH中，AO=，‎ 由题可得，OF平分∠AOB，‎ ‎∴∠AOG=∠EOG，‎ 又∵AG∥OE，‎ ‎∴∠AGO=∠EOG，‎ ‎∴∠AGO=∠AOG，‎ ‎∴AG=AO=，‎ ‎∴HG=﹣1，‎ ‎∴G（﹣1，2），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．‎ ‎【解答】已知：直线AB和AB外一点C．‎ 求作：AB的垂线，使它经过点C．‎ 作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．‎ ‎（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．‎ ‎（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，‎ ‎（4）作直线CF．‎ 直线CF就是所求的垂线．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：‎ ‎（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；‎ ‎（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；‎ ‎（3）连接BD，BC．‎ 下列说法不正确的是（　　）‎ A．∠CBD=30° B．S△BDC=AB2‎ C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1‎ ‎【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；‎ ‎【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ 由作图可知：CB=CA=CD，‎ ‎∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，‎ BD=AB，‎ ‎∴S△ABD=AB2，‎ ‎∵AC=CD，‎ ‎∴S△BDC=AB2，‎ 故A、B、C正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）‎ A．6 B．2 C．3 D．‎ ‎【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，‎ 由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，‎ 则∠POB=×60°=30°，‎ ‎∴ME=OM=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•台州）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】只要证明BE=BC即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，‎ ‎∴∠BCE=∠DCE．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，‎ ‎∴BE=BC=3，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴AE=BE﹣AB=1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．‎ ‎【解答】解：A、由作图可知，AC⊥‎ BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；‎ B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；‎ C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；‎ D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，设OA交CF于K．‎ 由作图可知，CF垂直平分线段OA，‎ ‎∴OC=CA=1，OK=AK，‎ 在Rt△OFC中，CF==，‎ ‎∴AK=OK==，‎ ‎∴OA=，‎ 由△FOC∽△OBA，可得==，‎ ‎∴==，‎ ‎∴OB=，AB=，‎ ‎∴A（，），‎ ‎∴k=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：‎ ‎①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；‎ ‎②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；‎ ‎③连结OG．‎ 问：OG的长是多少？‎ 大臣给出的正确答案应是（　　）‎ A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r ‎【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．‎ ‎∵AD是⊙O直径，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ 在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，‎ ‎∴AC=r，‎ ‎∵DG=AG=CA，OD=OA，‎ ‎∴OG⊥AD，‎ ‎∴∠GOA=90°，‎ ‎∴OG===r，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•台湾）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：‎ ‎（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；‎ ‎（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　）‎ A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 ‎【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；‎ 乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．‎ ‎【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，‎ ‎∴∠APC=∠ACP，‎ ‎∵∠BPC+∠APC=180°‎ ‎∴∠BPC+∠ACP=180°，‎ ‎∴甲错误；‎ 乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，‎ ‎∴∠ABP=∠ACP=90°，‎ ‎∴∠BPC+∠A=180°，‎ ‎∴乙正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ‎（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．‎ ‎【解答】解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；‎ B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；‎ C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；‎ D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎13．（2017•南宁）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（　　）‎ A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC ‎【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，‎ ‎∴AE∥BC，故C选项正确，‎ ‎∴∠EAC=∠C，故B选项正确，‎ ‎∵AB＞AC，‎ ‎∴∠C＞∠B，‎ ‎∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎14．（2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=　5　cm．‎ ‎【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，‎ ‎∴D为AB的中点，E为AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC=5cm．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　．‎ ‎【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：连接AD．‎ ‎∵PQ垂直平分线段AB，‎ ‎∴DA=DB，设DA=DB=x，‎ 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，‎ ‎∴x2=32+（5﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴CD=BC﹣DB=5﹣=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为　2　．‎ ‎【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG=，可得AF的长．‎ ‎【解答】解：∵MN∥PQ，‎ ‎∴∠NAB=∠ABP=60°，‎ 由题意得：AF平分∠NAB，‎ ‎∴∠1=∠2=30°，‎ ‎∵∠ABP=∠1+∠3，‎ ‎∴∠3=30°，‎ ‎∴∠1=∠3=30°，‎ ‎∴AB=BF，AG=GF，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴BG=AB=1，‎ ‎∴AG=，‎ ‎∴AF=2AG=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　15　．‎ ‎【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，‎ 由作图知CP是∠ACB的平分线，‎ ‎∵∠B=90°，BD=3，‎ ‎∴DB=DQ=3，‎ ‎∵AC=10，‎ ‎∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•通辽）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为　9　．‎ ‎【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；‎ ‎【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，‎ ‎∴DA=DC，‎ ‎∴∠C=∠DAC=30°，‎ ‎∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴BD=AD=DC，‎ ‎∴S△ADC=S△ABD=×62=9，‎ 故答案为9．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为　　．‎ ‎【分析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．‎ ‎【解答】解：连接AE，如图，‎ 由作法得MN垂直平分AC，‎ ‎∴EA=EC=3，‎ 在Rt△ADE中，AD==，‎ 在Rt△ADC中，AC==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是　13或49或9　（不包括5）．‎ ‎【分析】当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9．‎ ‎【解答】解：当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．‎ 当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．‎ 当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9．‎ 故答案为13或49或9．‎ ‎　‎ 三．解答题（共21小题）‎ ‎21．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．‎ ‎（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，‎ ‎①证明：AE⊥DE；‎ ‎②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；‎ ‎（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；‎ ‎②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长；‎ ‎【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．‎ ‎（2）①延长DE交AB的延长线于F．‎ ‎∵CD∥AF，‎ ‎∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，‎ ‎∴∠ADF=∠F，‎ ‎∴AD=AF，‎ ‎∵AD=AB+CD=AB+BF，‎ ‎∴CD=BF，‎ ‎∵∠DEC=∠BEF，‎ ‎∴△DEC≌△FEB，‎ ‎∴DE=EF，‎ ‎∵AD=AF，‎ ‎∴AE⊥DE．‎ ‎②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．‎ ‎∵AD=AF，DE=EF，‎ ‎∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，‎ ‎∴AK=AB=4，‎ 在Rt△ADG中，DG==4，‎ ‎∵KH∥DG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴KH=，‎ ‎∵MB=MK，‎ ‎∴MB+MN=KM+MN，‎ ‎∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，‎ ‎∴BM+MN的最小值为．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，‎ ‎（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．‎ ‎【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；‎ ‎（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．‎ ‎∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，‎ ‎∴∠C=∠A=30°，‎ ‎∵EF垂直平分线线段AB，‎ ‎∴AF=FB，‎ ‎∴∠A=∠FBA=30°，‎ ‎∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．‎ ‎（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．‎ ‎【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；‎ ‎（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．‎ ‎【解答】解：（1）如图，AE为所作；‎ ‎（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，‎ ‎∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴EF=3，‎ ‎∴OF=5﹣3=2，‎ 在Rt△OCF中，CF==，‎ 在Rt△CEF中，CE==．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．‎ ‎（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）‎ ‎【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥‎ AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；‎ ‎（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）⊙O如图所示；‎ ‎（2）作OH⊥BC于H．‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，‎ ‎∴四边形ECHO是矩形，‎ ‎∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，‎ 在Rt△OBH中，OH==2，‎ ‎∴EC=OH=2，BE==2，‎ ‎∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，‎ ‎∴△BCE∽△BED，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DE=．‎ ‎　‎ ‎25．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．‎ 已知：直线l及直线l外一点P．‎ 求作：直线PQ，使得PQ∥l．‎ 作法：如图，‎ ‎①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；‎ ‎②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；‎ ‎③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．‎ 根据小东设计的尺规作图过程，‎ ‎（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）‎ ‎（2）完成下面的证明．‎ 证明：∵AB=　AP　，CB=　CQ　，‎ ‎∴PQ∥l（　三角形中位线定理　）（填推理的依据）．‎ ‎【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；‎ ‎（2）利用三角形中位线定理证明即可；‎ ‎【解答】（1）解：直线PQ如图所示；‎ ‎（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，‎ ‎∴PQ∥l（三角形中位线定理）．‎ 故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；‎ ‎　‎ ‎26．（2018•白银）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．‎ ‎（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．‎ ‎【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；‎ ‎（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎；‎ ‎（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，‎ ‎∵CO平分∠ACB，‎ ‎∴OB=OD，即d=r，‎ ‎∴⊙O与直线AC相切，‎ ‎　‎ ‎27．（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．‎ ‎（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）‎ ‎（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；‎ ‎（2）分两种情形分别求解即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；‎ ‎（2）解：这样的直线不唯一．‎ ‎①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣x+．‎ ‎②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣x+4．‎ ‎　‎ ‎28．（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：‎ ‎①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；‎ ‎②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；‎ ‎③连接PB，PC．‎ 请你观察图形解答下列问题：‎ ‎（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　PA=PB=PC　；‎ ‎（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．‎ ‎【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：‎ ‎∵AB=AC，AM平分∠BAC，‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴PB=PC，‎ ‎∵EP是AB的垂直平分线，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴PA=PB=PC；‎ 故答案为：PA=PB=PC；‎ ‎（2）∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=70°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，‎ ‎∵AM平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=20°，‎ ‎∵PA=PB=PC，‎ ‎∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，‎ ‎∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．‎ ‎　‎ ‎29．（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△‎ CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．‎ ‎（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；‎ ‎（2）求四边形ACDB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；‎ ‎（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，‎ 由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，‎ ‎∴∠ACB=∠DCB，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC，‎ ‎∴AC=AB，‎ 又∵AC=CD，AB=DB，‎ ‎∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，‎ ‎∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，‎ ‎∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；‎ ‎（2）解：设菱形ACDB的边长为x，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CE，‎ ‎∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，‎ ‎△EAB∽△FCE 则：，‎ 即，‎ 解得：x=4，‎ 过A点作AH⊥CD于H点，‎ ‎∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形ACDB的面积为：．‎ ‎　‎ ‎30．（2018•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．‎ ‎【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC为所求作 ‎　‎ ‎31．（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．‎ ‎【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：‎ ‎（2）如图2所示，BH即为所求．‎ ‎　‎ ‎32．（2018•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．‎ 求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．‎ ‎【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，‎ ‎∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），‎ ‎∵点P在线段BD的垂直平分线上，‎ ‎∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），‎ 如图所示：‎ ‎　‎ ‎33．（2018•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；‎ ‎（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．‎ ‎【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；‎ ‎（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；‎ ‎（2）如图所示，线段BE即为所求．‎ ‎　‎ ‎34．（2018•河南）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：‎ ‎①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；‎ ‎②矩形的面积等于k的值．‎ ‎【分析】（1）将P点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），‎ ‎∴k=2×2=4，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=；‎ ‎（2）如图所示：‎ 矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．‎ ‎　‎ ‎35．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．‎ ‎【分析】利用数形结合的思想解决问题即可；‎ ‎【解答】解：符合条件的图形如图所示：‎ ‎　‎ ‎36．（2018•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．‎ ‎（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；‎ ‎（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：‎ 将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．‎ ‎【分析】（1）直线CD与C′D′的交点即为所求的点O．‎ ‎（2）设切点为C，连接OM，OC．旅游勾股定理即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图点O即为所求；‎ ‎（2）设切点为C，连接OM，OC．‎ ‎∵MN是切线，‎ ‎∴OC⊥MN，‎ ‎∴CM=CN=5，‎ ‎∴OM2﹣OC2=CM2=25，‎ ‎∴S圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π．‎ ‎　‎ ‎37．（2018•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：‎ ‎（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．‎ ‎（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．‎ ‎（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．‎ ‎（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．‎ ‎【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；‎ ‎（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．‎ ‎（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；‎ ‎（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图（1）所示：‎ ‎（2）如图（2）所示：‎ ‎（3）如图（3）所示；‎ ‎（4）如图（4）所示．‎ ‎　‎ ‎38．（2018•青岛）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．‎ 问题探究：‎ 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．‎ 探究一 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．‎ 如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；‎ 如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；‎ 如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；‎ 如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．‎ 问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒　22　条．‎ 问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为　m（n+1）　条，‎ 纵放的木棒为　n（m+1）　条．‎ 探究二 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．‎ 如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；‎ 如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；‎ 如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．‎ 问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为　[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）　条，竖放木棒条数为　（m+1）（n+1）s　条．‎ 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　4　．‎ 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　1320　条．‎ ‎【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；‎ ‎【解答】解：问题（一）：当m=4，n=2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，共需22条；‎ 问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条；‎ 问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条．‎ 实际应用：这个长方体框架的横长是 s，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4=170，解得m=4，‎ 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，横放与纵放木棒条数之和为165×6=990条，竖放木棒条数为66×5=330条需要木棒1320条．‎ 故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320；‎ ‎　‎ ‎39．（2018•香坊区）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在方格纸中画出以AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在方格纸中画出以CD为对角线的矩形CMDN（顶点字母按逆时针顺序），且面积为10，点M、N均在小正方形的顶点上；‎ ‎（3）连接ME，并直接写出EM的长．‎ ‎【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质画出即可；‎ ‎（2）利用矩形的性质画出即可；‎ ‎（3）根据勾股定理解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示；‎ ‎（2）如图所示；‎ ‎（3）如图所示，EM=‎ ‎　‎ ‎40．（2018•天门）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．‎ ‎（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；‎ ‎（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．‎ ‎【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；‎ ‎（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，射线OP即为所求．‎ ‎（2）如图所示，点C即为所求；‎ ‎　‎ ‎41．（2018•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．‎ ‎【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；‎ ‎（2）利用数形结合的思想解决问题即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；‎ ‎（2）如图△ABE即为所求，CE=4．‎ ‎　‎