2013年广东省中考数学试卷

2013年广东省中考数学试卷

‎2013年广东省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.126×1012元 B．‎ ‎1.26×1012元 C．‎ ‎1.26×1011元 D．‎ ‎12.6×1011元 ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a﹣5＜b﹣5‎ B．‎ ‎2+a＜2+b C．‎ D．‎ ‎3a＞3b ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎40°‎ C．‎ ‎50°‎ D．‎ ‎60°‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1）﹣3=1‎ B．‎ ‎（﹣4）0=1‎ C．‎ ‎（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26‎ D．‎ ‎（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•广东）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=　_________　．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是　_________　．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　_________　（结果保留π）．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）‎ ‎17．（5分）（2013•广东）解方程组．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．‎ ‎（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如 图和所示的不完整统计图表．‎ ‎（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；‎ ‎（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．‎ ‎ 样本人数分布表 类别 人数 百分比 排球 ‎3‎ ‎6%‎ 乒乓球 ‎14‎ ‎28%‎ 羽毛球 ‎15‎ 篮球 ‎20%‎ 足球 ‎8‎ ‎16%‎ 合计 ‎100%‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．‎ ‎（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；‎ ‎（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．‎ ‎（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1　_________　S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；‎ ‎（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．‎ ‎　‎ 四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．‎ ‎（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠BCA=∠BAD；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）求证：BE是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．‎ ‎（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=　_________　度；‎ ‎（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；‎ ‎（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．‎ ‎　‎ ‎2013年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 相反数．3480611‎ 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：2的相反数是﹣2，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图．3480611‎ 分析：‎ 俯视图是从物体上面看，所得到的图形．‎ 解答：‎ 解：A、五棱柱的俯视图是五边形，故此选项错误；‎ B、三棱锥的俯视图是，故此选项错误；‎ C、球的俯视图是圆，故此选项错误；‎ D、正方体俯视图是正方形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.126×1012元 B．‎ ‎1.26×1012元 C．‎ ‎1.26×1011元 D．‎ ‎12.6×1011元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．3480611‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1260 000 000 000有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．‎ 解答：‎ 解：1260 000 000 000=1.26×1012．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a﹣5＜b﹣5‎ B．‎ ‎2+a＜2+b C．‎ D．‎ ‎3a＞3b 考点：‎ 不等式的性质．3480611‎ 分析：‎ 以及等式的基本性质即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：A、a＞b，则a﹣5＞b﹣5，选项错误；‎ B、a＞b，则2+a＞2+b，选项错误；‎ C、a＞b，则＞，选项错误；‎ D、正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：‎ ‎（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．‎ ‎（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 中位数．3480611‎ 分析：‎ 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．‎ 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ 解答：‎ 解：将数据从大到小排列为：1，2，3，3，3，5，5，‎ 则中位数是3．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义及计算方法是关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎40°‎ C．‎ ‎50°‎ D．‎ ‎60°‎ 考点：‎ 平行线的性质．3480611‎ 分析：‎ 由AC∥DF，AB∥EF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A=∠2=50°．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥EF，‎ ‎∴∠A=∠2=50°，‎ ‎∵AC∥DF，‎ ‎∴∠1=∠A=50°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等订立的应用，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1）﹣3=1‎ B．‎ ‎（﹣4）0=1‎ C．‎ ‎（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26‎ D．‎ ‎（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52‎ 考点：‎ 负整数指数幂；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂．3480611‎ 分析：‎ 根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0=1（a≠0），同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减分别进行计算，可得答案．‎ 解答：‎ 解：A、（﹣1）﹣3=﹣1，故此选项错误；‎ B、（﹣4）0=1，故此选项正确；‎ C、（﹣2）2×（﹣2）3=﹣25，故此选项错误；‎ D、（﹣5）4÷（﹣5）2=52，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握各运算的计算法则，不要混淆．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•广东）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．3480611‎ 专题：‎ 存在型．‎ 分析：‎ 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ 解答：‎ 解：移项得，5x﹣2x＞5+1，‎ 合并同类项得，3x＞6，‎ 系数化为1得，x＞2，‎ 在数轴上表示为：‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 轴对称图形．3480611‎ 分析：‎ 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，故本选项正确；‎ D、是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的图象；一次函数的图象．3480611‎ 分析：‎ 根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．‎ 解答：‎ 解：∵k1＜0＜k2，b=﹣1＜0‎ ‎∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=　（x+3）（x﹣3）　．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法．3480611‎ 分析：‎ 本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．‎ 解答：‎ 解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．‎ 点评：‎ 主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=　1　．‎ 考点：‎ 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．3480611‎ 分析：‎ 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则原式==1．‎ 故答案是：1．‎ 点评：‎ 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是　720°　．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．3480611‎ 分析：‎ 根据多边形内角和公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．‎ 故答案为：720°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=　　．‎ 考点：‎ 锐角三角函数的定义；勾股定理．3480611‎ 分析：‎ 首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，‎ ‎∴AC==5（勾股定理）．‎ ‎∴sinA==．‎ 故答案是：．‎ 点评：‎ 本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是　平行四边形　．‎ 考点：‎ 图形的剪拼．3480611‎ 分析：‎ 四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．‎ 解答：‎ 解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；‎ ‎∵DE是△ABC的中线，‎ ‎∴DE∥AC，DE=AC，‎ ‎∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，‎ ‎∴DE=DE′，‎ ‎∴EE′=2DE=AC，‎ ‎∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，‎ 故答案为：平行四边形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　　（结果保留π）．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算．3480611‎ 分析：‎ 阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．‎ 解答：‎ 解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，‎ ‎∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，‎ ‎∴阴影部分的面积应为：S==．‎ 故答案是：．‎ 点评：‎ 本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）‎ ‎17．（5分）（2013•广东）解方程组．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组．3480611‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x的值，即可得到方程组的解．‎ 解答：‎ 解：，‎ 将①代入②得：2（y+1）+y=8，‎ 去括号得：2y+2+y=8，‎ 解得：y=2，‎ 将y=2代入①得：x=2+1=3，‎ 则方程组的解为．‎ 点评：‎ 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．3480611‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 选②与③构造出分式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：选②与③构造出分式，，‎ 原式==，‎ 当a=6，b=3时，原式==．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．‎ ‎（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．‎ 考点：‎ 作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质．3480611‎ 分析：‎ ‎（1）根据题目要求画出图形即可；‎ ‎（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图所示：‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵BC=CE，‎ ‎∴AD=CE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAF=∠CEF，‎ ‎∵在△ADF和△ECF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△ECF（AAS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的性质．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如 图和所示的不完整统计图表．‎ ‎（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；‎ ‎（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．‎ ‎ 样本人数分布表 类别 人数 百分比 排球 ‎3‎ ‎6%‎ 乒乓球 ‎14‎ ‎28%‎ 羽毛球 ‎15‎ 篮球 ‎20%‎ 足球 ‎8‎ ‎16%‎ 合计 ‎100%‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；统计表．3480611‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，乘以篮球所占的百分比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图所示，求出羽毛球所占的百分比，补全人数分布图，如图所示；‎ ‎（2）用人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出人数．‎ 解答：‎ 解：（1）3÷6%=50人，‎ 则篮球的人数为50×20%=10人，‎ 则补全条形统计图如下：‎ 羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，‎ 补全人数分布表为：‎ 类别 人数 百分比 排球 ‎3‎ ‎6%‎ 乒乓球 ‎14‎ ‎28%‎ 羽毛球 ‎15‎ ‎30%‎ 篮球 ‎10‎ ‎20%‎ 足球 ‎8‎ ‎16%‎ 合计 ‎50‎ ‎100%‎ ‎（2）920×30%=276人．‎ 则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．‎ ‎（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；‎ ‎（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用．3480611‎ 专题：‎ 增长率问题．‎ 分析：‎ ‎（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；‎ ‎（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，‎ ‎10000×（1+x）2=12100，‎ 解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；‎ 答：捐款增长率为10%．‎ ‎（2）12100×（1+10%）=13310元．‎ 答：第四天该单位能收到13310元捐款．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．‎ ‎（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1　=　S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；‎ ‎（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定；矩形的性质．3480611‎ 分析：‎ ‎（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．‎ ‎（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，‎ ‎∴S1=S矩形BDEF，‎ ‎∴S2+S3=S矩形BDEF，‎ ‎∴S1=S2+S3．‎ ‎（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．‎ 证明△BCD∽△DEC；‎ 证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，‎ ‎∴∠EDC=∠CBD，‎ 又∵∠BCD=∠DEC=90°，‎ ‎∴△BCD∽△DEC．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．‎ ‎　‎ 四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．‎ ‎（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3480611‎ 分析：‎ ‎（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；‎ ‎（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；‎ ‎（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），‎ ‎∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，‎ 解得：m=±1，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；‎ ‎（2）∵m=2，‎ ‎∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），‎ 当x=0时，y=3，‎ ‎∴C点坐标为：（0，3）；‎ ‎（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，‎ 过点D作DE⊥y轴于点E，‎ ‎∵PO∥DE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PO=，‎ ‎∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠BCA=∠BAD；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）求证：BE是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3480611‎ 分析：‎ ‎（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；‎ ‎（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．‎ ‎（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵BD=BA，‎ ‎∴∠BDA=∠BAD，‎ ‎∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），‎ ‎∴∠BCA=∠BAD．‎ ‎（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，‎ ‎∴△BED∽△CBA，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：DE=．‎ ‎（3）证明：连结OB，OD，‎ 在△ABO和△DBO中，∵，‎ ‎∴△ABO≌△DBO，‎ ‎∴∠DBO=∠ABO，‎ ‎∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，‎ ‎∴∠DBO=∠BDC，‎ ‎∴OB∥ED，‎ ‎∵BE⊥ED，‎ ‎∴EB⊥BO，‎ ‎∴OB⊥BE，‎ ‎∴BE是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．‎ ‎（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=　15　度；‎ ‎（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；‎ ‎（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．‎ 考点：‎ 相似形综合题．3480611‎ 分析：‎ ‎（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；‎ ‎（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；‎ ‎（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：‎ ‎（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；‎ ‎（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；‎ ‎（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．‎ 解答：‎ 解：（1）如题图2所示，‎ ‎∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，‎ ‎∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，‎ ‎∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；‎ ‎（2）如题图3所示，当EF经过点C时，‎ FC====；‎ ‎（3）在三角板DEF运动过程中，‎ ‎（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：‎ 设DE交BC于点G．‎ 过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．‎ 又∵NF==MN，BN=NF+BF，‎ ‎∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．‎ y=S△BDG﹣S△BFM ‎=BD•DG﹣BF•MN ‎=（x+4）2﹣x•x ‎=x2+4x+8；‎ ‎（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：‎ 过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．‎ 又∵NF==MN，BN=NF+BF，‎ ‎∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．‎ y=S△ABC﹣S△BFM ‎=AB•AC﹣BF•MN ‎=×62﹣x•x ‎=x2+18；‎ ‎（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：‎ 由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，‎ 设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．‎ y=S△AFM=AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．‎ 综上所述，y与x的函数解析式为：‎ y=．‎ 点评：‎ 本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．‎ 广东省2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 有理数大小比较 分析：‎ 根据正数大于0，0大于负数，可得答案．X|k |B | 1 . c |O |m 解答：‎ 解：﹣3＜0＜1＜2，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•广东）计算3a﹣2a的结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ a C．‎ ‎﹣a D．‎ ‎﹣5a 考点：‎ 合并同类项．‎ 分析：‎ 根据合并同类项的法则，可得答案．‎ 解答：‎ 解：原式=（3﹣2）a=a，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•广东）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x（x2﹣9）‎ B．‎ x（x﹣3）2‎ C．‎ x（x+3）2‎ D．‎ x（x+3）（x﹣3）‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：x3﹣9x，‎ ‎=x（x2﹣9），‎ ‎=x（x+3）（x﹣3）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•广东）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ 考点：‎ 多边形内角与外角 分析：‎ 根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．‎ 解答：‎ 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，‎ ‎（n﹣2）•180°=900°，‎ 解得n=7．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•广东）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式 分析：‎ 直接根据概率公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，‎ ‎∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•广东）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ AC=BD B．‎ AC⊥BD C．‎ AB=CD D．‎ AB=BC 考点：‎ 平行四边形的性质 分析：‎ 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．‎ 解答：‎ 解：A、AC≠BD，故此选项错误；‎ B、AC不垂直BD，故此选项错误；‎ C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；‎ D、AB≠BC，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 根的判别式 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，‎ 解得m＜．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎17‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎13‎ D．‎ ‎13或17‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：‎ 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．‎ 解答：‎ 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；‎ ‎②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．‎ 故这个等腰三角形的周长是17．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数有最小值 B．‎ 对称轴是直线x=‎ ‎　‎ C．‎ 当x＜，y随x的增大而减小 D．‎ 当﹣1＜x＜2时，y＞0‎ 考点：‎ 二次函数的性质．‎ 分析：‎ 根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；‎ 根据图形直接判断B；‎ 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；‎ 根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．‎ 解答：‎ 解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；‎ B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；‎ C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；‎ D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2014•广东）计算2x3÷x=　2x2　．‎ 考点：‎ 整式的除法 分析：‎ 直接利用整式的除法运算法则求出即可．‎ 解答：‎ 解：2x3÷x=2x2．‎ 故答案为：2x2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•广东）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　6.18×108　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．‎ 故答案为：6.18×108．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　3　．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理．‎ 分析：‎ 由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．‎ 解答：‎ 解：∵D、E是AB、AC中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴ED=BC=3．‎ 故答案为3．‎ 点评：‎ 本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理 分析：‎ 作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．‎ 解答：‎ 解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴AC=BC=AB=×8=4，‎ 在Rt△AOC中，OA=5，‎ ‎∴OC===3，‎ 即圆心O到AB的距离为3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•广东）不等式组的解集是　1＜x＜4　．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得：x＜4；由②得：x＞1，‎ 则不等式组的解集为1＜x＜4．‎ 故答案为：1＜x＜4．‎ 点评：‎ 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于　﹣1　．‎ 考点：‎ 旋转的性质 分析：‎ 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，‎ ‎∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，‎ ‎∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，‎ ‎∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，新 课 标 第 一 网 ‎∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）（2014•广东）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 分析：‎ 本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=3+4+1﹣2‎ ‎=6．‎ 点评：‎ 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2014•广东）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．‎ 考点：‎ 分式的化简求值 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=•（x2﹣1）‎ ‎=2x+2+x﹣1‎ ‎=3x+1，‎ 当x=时，原式=．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2014•广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．‎ ‎（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．‎ 考点：‎ 作图—基本作图；平行线的判定．‎ 分析：‎ ‎（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；‎ ‎（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎（2）DE∥AC ‎∵DE平分∠BDC，‎ ‎∴∠BDE=∠BDC，‎ ‎∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，‎ ‎∴∠A=∠BDC，‎ ‎∴∠A=∠BDE，‎ ‎∴DE∥AC．‎ 点评：‎ 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．（7分）（2014•广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴∠A=∠ACB，‎ ‎∴BC=AB=10（米）．‎ 在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．‎ 答：这棵树CD的高度为8.7米．‎ 点评：‎ 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2014•广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．‎ ‎（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．‎ ‎（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？‎ 考点：‎ 分式方程的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；‎ ‎（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：‎ ‎=9%，‎ 解得：x=1200，‎ 经检验：x=1200是原方程的解．‎ 答：这款空调每台的进价为1200元；‎ ‎（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2014•广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”‎ ‎，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． ‎ ‎（1）这次被调查的同学共有　1000　名；X|k |B | 1 . c |O |m ‎（2）把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 分析：‎ ‎（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；‎ ‎（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；‎ ‎（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；‎ 故答案为：1000；‎ ‎（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，‎ 补图如下；‎ ‎（3）18000×=3600（人）．‎ 答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（9分）（2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．‎ ‎（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？‎ ‎（2）求一次函数解析式及m的值；‎ ‎（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题 分析：‎ ‎（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；‎ ‎（2）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（3）根据三角形面积相等，可得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，‎ 当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；‎ ‎（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，‎ y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则新-课- 标-第 一-网 ‎，‎ 解得 一次函数的解析式为y=x+，‎ 反比例函数y=图象过点（﹣1，2），‎ m=﹣1×2=﹣2；‎ ‎（3）连接PC、PD，如图，‎ 设P（x，x+）‎ 由△PCA和△PDB面积相等得 ‎（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），‎ x=﹣，y=x+=，‎ ‎∴P点坐标是（﹣，）．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2014•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．‎ ‎（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）‎ ‎（2）求证：OD=OE；‎ ‎（3）求证：PF是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定；弧长的计算．‎ 分析：‎ ‎（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；‎ ‎（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；‎ ‎（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵AC=12，‎ ‎∴CO=6，‎ ‎∴==2π；‎ ‎（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，‎ ‎∠PEA=90°，∠ADO=90°‎ 在△ADO和△PEO中，‎ ‎，‎ ‎∴△POE≌△AOD（AAS），‎ ‎∴OD=EO；‎ ‎（3）证明：如图，连接AP，PC，‎ ‎∵OA=OP，‎ ‎∴∠OAP=∠OPA，‎ 由（1）得OD=EO，‎ ‎∴∠ODE=∠OED，‎ 又∵∠AOP=∠EOD，‎ ‎∴∠OPA=∠ODE，‎ ‎∴AP∥DF，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴∠PQE=90°‎ ‎∴PC⊥EF，‎ 又∵DP∥BF，‎ ‎∴∠ODE=∠EFC，‎ ‎∵∠OED=∠CEF，‎ ‎∴∠CEF=∠EFC，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴PC为EF的中垂线，‎ ‎∴∠EPQ=∠QPF，‎ ‎∵△CEP∽△CAP ‎∴∠EPQ=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠OPA，‎ ‎∵∠OPA+∠OPC=90°，‎ ‎∴∠QPF+∠OPC=90°，‎ ‎∴OP⊥PF，‎ ‎∴PF是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；‎ ‎（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；‎ ‎（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；‎ ‎（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．‎ 又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．‎ ‎∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．‎ ‎∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，‎ ‎∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．‎ ‎（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴，即，解得：EF=10﹣t．‎ S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10‎ ‎∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．‎ ‎（3）解：存在．理由如下：‎ ‎①若点E为直角顶点，如答图3①所示，‎ 此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．‎ ‎∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；‎ ‎②若点F为直角顶点，如答图3②所示，‎ 此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．‎ ‎∵PF∥AD，∴，即，解得t=；‎ ‎③若点P为直角顶点，如答图3③所示．‎ 过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．‎ ‎∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，‎ ‎∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．w W w .x K b 1.c o M 在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．‎ ‎∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，‎ ‎∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．‎ 在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．‎ 在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，‎ 即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）‎ 化简得：t2﹣35t=0，‎ 解得：t=或t=0（舍去）‎ ‎∴t=．‎ 综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．‎ 点评：‎ 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．‎ ‎2015年广东省初中毕业生学业考试 参考答案 一、选择题 ‎1. 【答案】A.‎ ‎2. 【答案】B.‎ ‎3. 【答案】B.‎ ‎4. 【答案】C.‎ ‎5. 【答案】A.‎ ‎6. 【答案】D.‎ ‎7. 【答案】B.‎ ‎8. 【答案】C.‎ ‎9. 【答案】D. 【略析】显然弧长为6，半径为3，则.‎ ‎10. 【答案】D.‎ 二、填空题 ‎11. 【答案】360. 12.【答案】6. 13.【答案】. 14.【答案】4：9. 15.【答案】.‎ ‎16. 【答案】4. ‎ ‎【略析】由中线性质，可得AG=2GD，则，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的.‎ 三、解答题（一）‎ ‎17.【答案】解：‎ ‎∴或 ‎∴，‎ ‎18. 【答案】解：原式=‎ ‎= 当时，原式=.‎ ‎19. 【答案】(1) 如图所示，MN为所作；‎ ‎(2) 在Rt△ABD中，tan∠BAD=，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD=3，‎ ‎∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2.‎ 四、解答题（二）‎ ‎20. 【答案】(1) 如图，补全树状图；‎ ‎(2) 从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，‎ ‎∴P(积为奇数)=‎ ‎21. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，AD=AB，‎ 由折叠的性质可知 AD=AF，∠AFE=∠D=90°，‎ ‎∴∠AFG=90°，AB=AF，‎ ‎∴∠AFG=∠B，‎ 又AG=AG，‎ ‎∴△ABG≌△AFG；‎ ‎(2) ∵△ABG≌△AFG，‎ ‎∴BG=FG，‎ 设BG=FG=，则GC=,‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎∴CF=EF=DE=3，‎ ‎∴EG=，‎ ‎∴，‎ 解得， ∴BG=2.‎ ‎22. 【答案】(1) 设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得：‎ ‎，解得x=42,y=56，‎ 答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；‎ ‎(2) 设最少需要购进A型号的计算a台，得 解得 答：最少需要购进A型号的计算器30台.‎ 五、解答题（三）‎ ‎23. 【答案】(1) ∵A(1，3)，‎ ‎∴OB=1，AB=3，‎ 又AB=3BD，‎ ‎∴BD=1，‎ ‎∴B(1，1)， ∴；‎ ‎(2) 由(1)知反比例函数的解析式为，‎ 解方程组，得或（舍去）， ∴点C的坐标为 ‎(，)；‎ ‎(3) 如图，作点D关于y轴对称点E，则E(,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.‎ 设直线CE的解析式为，则 ‎，解得，，‎ ‎∴直线CE的解析式为，‎ 当x=0时，y=， ∴点M的坐标为(0，).‎ ‎24. 【答案】(1) ∵AB为⊙O直径，，‎ ‎∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，‎ ‎∵D为OP的中点，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∴cos∠BOD=，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ ‎∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠ODB，‎ ‎∴AC∥PG，‎ ‎∴∠BAC=∠BOD=60°；‎ ‎(2) 由（1）知，CD=BD，‎ ‎∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，‎ ‎∴△PDB≌△CDK，‎ ‎∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，‎ ‎∵∠AOG=∠BOP，‎ ‎∴AG=BP，‎ ‎∴AG=CK ‎∵OP=OB，‎ ‎∴∠OPB=∠OBP，‎ 又∠G=∠OBP，‎ ‎∴AG∥CK，‎ ‎∴四边形AGCK是平行四边形；‎ ‎(3) ∵CE=PE，CD=BD，‎ ‎∴DE∥PB，即DH∥PB ‎∵∠G=∠OPB，‎ ‎∴PB∥AG，‎ ‎∴DH∥AG，‎ ‎∴∠OAG=∠OHD，‎ ‎∵OA=OG，‎ ‎∴∠OAG=∠G，‎ ‎∴∠ODH=∠OHD，‎ ‎∴OD=OH，‎ 又∠ODB=∠HOP，OB=OP，‎ ‎∴△OBD≌△HOP，‎ ‎∴∠OHP=∠ODB=90°，‎ ‎∴PH⊥AB. ‎ ‎25.【答案】(1) ；；‎ ‎(2) 如图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.‎ ‎∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，‎ ‎∴∠NCF=75°，∠FNC=15°，‎ ‎∴sin15°=，又NC=x，‎ ‎∴，‎ ‎∴NE=DF=.‎ ‎∴点N到AD的距离为cm；‎ ‎(3) ∵sin75°=，∴，‎ ‎∵PD=CP=，‎ ‎∴PF=，‎ ‎∴·‎ 即，‎ 当=时，y有最大值为.‎ 即 ‎2016年广东省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．（3分）如图所示，a与b的大小关系是（　　）‎ A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a ‎3．（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形 ‎4．（3分）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108‎ ‎5．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）‎ A． B．2 C．+1 D．2+1‎ ‎6．（3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）‎ A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元 ‎7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）‎ A．5 B．10 C．12 D．15‎ ‎10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）9的算术平方根是　　．‎ ‎12．（4分）分解因式：m2﹣4=　　．‎ ‎13．（4分）不等式组的解集是　　．‎ ‎14．（4分）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　　cm（计算结果保留π）．‎ ‎15．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．‎ ‎16．（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PA、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）‎ ‎17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．‎ ‎19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎　‎ 四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）‎ ‎20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．‎ ‎（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？‎ ‎（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？‎ ‎21．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．‎ ‎22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：‎ ‎（1）这次活动一共调查了　　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　　度；‎ ‎（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　　人．‎ ‎　‎ 五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）‎ ‎23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）若S△AOC=，求DE的长；‎ ‎（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．‎ ‎25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2016•黔东南州）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．菁优网版权所有 ‎【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．‎ ‎【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2016•广东）如图所示，a与b的大小关系是（　　）‎ A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a ‎【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有 ‎【分析】根据数轴判断出a，b与零的关系，即可．‎ ‎【解答】根据数轴得到a＜0，b＞0，‎ ‎∴b＞a，‎ 故选A ‎【点评】此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是解本题的难点．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2016•广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形 ‎【考点】中心对称图形．菁优网版权所有 ‎【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•广东）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将27700000用科学记数法表示为2.77×107，‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）‎ A． B．2 C．+1 D．2+1‎ ‎【考点】正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=‎ ‎，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，‎ ‎∴BC=CD==1，∠BCD=90°，‎ ‎∵E、F分别是BC、CD的中点，‎ ‎∴CE=BC=，CF=CD=，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴△CEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=CE=，‎ ‎∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2016•广东）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）‎ A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元 ‎【考点】中位数．菁优网版权所有 ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．‎ ‎【解答】解：从小到大排列此数据为：3000元，4000元，5000元，7000元，10000元，‎ ‎5000元处在第3位为中位数，‎ 故他们工资的中位数是5000元．‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2016•广东）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】点的坐标．菁优网版权所有 ‎【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．‎ ‎【解答】解：点P（﹣2，﹣3）所在的象限是第三象限．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得OA==5，‎ 所以cosα=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）‎ A．5 B．10 C．12 D．15‎ ‎【考点】等式的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上﹣3，可得x﹣2y=5．‎ ‎【解答】解：由x﹣2y+3=8得：x﹣2y=8﹣3=5，‎ 故选A ‎【点评】本题考查了等式的性质，非常简单，属于基础题；熟练掌握等式的性质是本题的关键，也运用了整体的思想．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2016•广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有 ‎【专题】动点型；函数思想．‎ ‎【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．‎ ‎【解答】解：设正方形的边长为a，‎ 当P在AB边上运动时，y=ax；‎ 当P在BC边上运动时，y=a（2a﹣x）=﹣ax+a2；‎ 当P在CD边上运动时，y=a（x﹣2a）=ax﹣a2；‎ 当P在AD边上运动时，y=a（4a﹣x）=﹣ax﹣2a2，‎ 大致图象为：‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2016•广东）9的算术平方根是　3　．‎ ‎【考点】算术平方根．菁优网版权所有 ‎【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵（±3）2=9，‎ ‎∴9的算术平方根是|±3|=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4=　（m+2）（m﹣2）　．‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【解答】解：m2﹣4=（m+2）（m﹣2）．‎ 故答案为：（m+2）（m﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016•广东）不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x≤1，‎ 解②得x＞﹣3，‎ 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．‎ 故答案为﹣3＜x≤1．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　10π　cm（计算结果保留π）．‎ ‎【考点】圆锥的计算；弧长的计算．菁优网版权所有 ‎【分析】根据的长就是圆锥的底面周长即可求解．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，‎ ‎∴圆锥的底面半径为=5cm，‎ ‎∴圆锥的底面周长为10πcm，‎ ‎∴扇形AOC中的长是10πcm，‎ 故答案为：10π．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2016•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．‎ ‎【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．‎ ‎【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，‎ ‎∴∠EB′C=90°，‎ ‎∵BC=3BE，‎ ‎∴EC=2BE=2B′E，‎ ‎∴∠ACB=30°，‎ 在Rt△ABC中，AC=2AB，‎ ‎∴AB=AC=×2=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2016•广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PA、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　a　．‎ ‎【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB=∠AOB=30°，∠APC=∠AOC=60°，根据AE=AP•sin30°，AF=AP•sin60°，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB、OC．‎ ‎∵AD是直径，AB=BC=CD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，‎ ‎∴∠APB=∠AOB=30°，∠APC=∠AOC=60°，‎ 在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，‎ ‎∴AE=AP•sin30°=a，‎ 在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，‎ ‎∴AF=AP•sin60°=a，‎ ‎∴AE+AF=a．‎ 故答案为a．‎ ‎【点评】本题考查圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）‎ ‎17．（6分）（2016•广东）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1‎ ‎=3﹣1+2‎ ‎=2+2‎ ‎=4．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．‎ ‎（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．‎ ‎（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．‎ ‎（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2016•广东）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．‎ ‎【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；分式．‎ ‎【分析】原式第一项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=•+=+==，‎ 当a=﹣1时，原式===+1．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎【考点】三角形中位线定理；作图—基本作图．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．‎ ‎（2）根据三角形中位线定理即可解决．‎ ‎【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．‎ ‎（2）∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=8．‎ ‎【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）‎ ‎20．（7分）（2016•广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．‎ ‎（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？‎ ‎（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？‎ ‎【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可；‎ ‎（2）由（1）的结论列出方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，‎ 可得：，‎ 解得：x=100，‎ 经检验x=100是原方程的解，‎ 答：原计划每天修建道路100米；‎ ‎（2）设际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，‎ 可得：，‎ 解得：y=20，‎ 经检验y=20是原方程的解，‎ 答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2016•广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．‎ ‎【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ 在Rt△ACD中，AC=a，‎ ‎∴AD=a，‎ 由勾股定理得：CD==，‎ 同理得：FC=×=，CH=×=，‎ 在Rt△HCI中，∠I=30°，‎ ‎∴HI=2HC=，‎ 由勾股定理得：CI==，‎ 答：CI的长为．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形含30°角的性质，在直角三角形中，30°‎ 角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质经常运用，必须熟练掌握；同时在运用勾股定理和直角三角形含30°角的性质时，一定要书写好所在的直角三角形，尤其是此题多次运用了这一性质．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2016•广东）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：‎ ‎（1）这次活动一共调查了　250　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　108　度；‎ ‎（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　480　人．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；‎ ‎（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；‎ ‎（3）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360°即可；‎ ‎（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．‎ ‎【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；‎ ‎（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），‎ 补全条形图如图：‎ ‎（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：×360°=108°；‎ ‎（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%=480（人）；‎ 故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．‎ ‎【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ 五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）‎ ‎23．（9分）（2016•广东）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；‎ ‎（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论；‎ ‎（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m），‎ ‎∴m=2，‎ 把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，‎ 解得：k=1；‎ ‎（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，‎ ‎∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，‎ ‎∴直线y=x垂直平分PQ，‎ ‎∴OP=OQ，‎ ‎∴∠POA=∠QOB，‎ 在△OPA与△OQB中，‎ ‎，‎ ‎∴△POA≌△QOB，‎ ‎∴QB=PA=1，OB=OA=2，‎ ‎∴Q（2，1）；‎ 故答案为：2，1；‎ ‎（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+，‎ ‎∴对称轴方程x=﹣=．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）若S△AOC=，求DE的长；‎ ‎（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．‎ ‎【考点】相似形综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；‎ ‎（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∵AF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAF=90°，‎ ‎∴∠AFC=30°，‎ ‎∵DE是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DBC=90°，‎ ‎∴∠D=∠AFC=30，‎ ‎∵∠DAE=ACF=120°，‎ ‎∴△ACF∽△DAE；‎ ‎（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，‎ ‎∴∠CAF=30°，‎ ‎∴∠CAF=∠AFC，‎ ‎∴AC=CF ‎∴OC=CF，‎ ‎∵S△AOC=，‎ ‎∴S△ACF=，‎ ‎∵∠ABC=∠AFC=30°，‎ ‎∴AB=AF，‎ ‎∵AB=BD，‎ ‎∴AF=BD，‎ ‎∴∠BAE=∠BEA=30°，‎ ‎∴AB=BE=AF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△ACF∽△DAE，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∴S△DAE=，‎ 过A作AH⊥DE于H，‎ ‎∴AH=DH=DE，‎ ‎∴S△ADE=DE•AH=וDE2=，‎ ‎∴DE=；‎ ‎（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，‎ 在△AOF与△BOE中，，‎ ‎∴△AOF≌△BEO，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，‎ ‎∴∠AFO=∠GFO，‎ 过O作OG⊥EF于G，‎ ‎∴∠OAF=∠OGF=90°，‎ 在△AOF与△OGF中，，‎ ‎∴△AOF≌△GOF，‎ ‎∴OG=OA，‎ ‎∴EF是⊙O的切线．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ ‎【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；‎ ‎（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQOPQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；‎ ‎（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．‎ ‎【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；‎ ‎（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，‎ ‎∵OQ⊥BD，‎ ‎∴∠PQO=45°，‎ ‎∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，‎ ‎∴OB=OQ，‎ 在△AOB和△OPQ中，‎ ‎∴△AOB≌△POQ（SAS），‎ ‎∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，‎ ‎∴∠AOP=∠BOQ=90°，‎ ‎∴OA⊥OP；‎ ‎（3）如图，过O作OE⊥BC于E．‎ ‎①如图1，当P点在B点右侧时，‎ 则BQ=x+2，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=2时，y有最大值为2；‎ ‎②如图2，当P点在B点左侧时，‎ 则BQ=2﹣x，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=1时，y有最大值为；‎ 综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键，又利用了二次函数的性质．‎ ‎　‎ ‎2017年广东省中考数学试卷　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．5的相反数是（　　）‎ A． B．5 C．﹣ D．﹣5‎ ‎2．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.4×109 B．0.4×1010 C．4×109 D．4×1010‎ ‎3．已知∠A=70°，则∠A的补角为（　　）‎ A．110° B．70° C．30° D．20°‎ ‎4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（　　）‎ A．95 B．90 C．85 D．80‎ ‎6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆 ‎7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）‎ ‎8．下列运算正确的是（　　）‎ A．a+2a=3a2 B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4‎ ‎9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（　　）‎ A．130° B．100° C．65° D．50°‎ ‎10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．分解因式：a2+a=　 　．‎ ‎12．一个n边形的内角和是720°，则n=　 　．‎ ‎13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b　 　0．（填“＞”，“＜”或“=”）‎ ‎14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是　 　．‎ ‎15．已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为　 　．‎ ‎16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．‎ ‎18．先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x=．‎ ‎19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．‎ ‎21．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．‎ ‎（1）求证：AD⊥BF；‎ ‎（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．‎ ‎22．某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：‎ 体重频数分布表 组边 体重（千克）‎ 人数 A ‎45≤x＜50‎ ‎12‎ B ‎50≤x＜55‎ m C ‎55≤x＜60‎ ‎80‎ D ‎60≤x＜65‎ ‎40‎ E ‎65≤x＜70‎ ‎16‎ ‎（1）填空：①m=　 　（直接写出结果）；‎ ‎②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　 　度；‎ ‎（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．‎ ‎（1）求证：CB是∠ECP的平分线；‎ ‎（2）求证：CF=CE；‎ ‎（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．‎ ‎（1）填空：点B的坐标为　 　；‎ ‎（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）①求证： =；‎ ‎②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．5的相反数是（　　）‎ A． B．5 C．﹣ D．﹣5‎ ‎【考点】14：相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的概念解答即可．‎ ‎【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.4×109 B．0.4×1010 C．4×109 D．4×1010‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：4000000000=4×109．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知∠A=70°，则∠A的补角为（　　）‎ A．110° B．70° C．30° D．20°‎ ‎【考点】IL：余角和补角．‎ ‎【分析】由∠A的度数求出其补角即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A=70°，‎ ‎∴∠A的补角为110°，‎ 故选A ‎　‎ ‎4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】A3：一元二次方程的解．‎ ‎【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．‎ ‎【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，‎ ‎∴22﹣3×2+k=0，‎ 解得，k=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（　　）‎ A．95 B．90 C．85 D．80‎ ‎【考点】W5：众数．‎ ‎【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．‎ ‎【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆 ‎【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．‎ ‎【解答】解：∵点A与B关于原点对称，‎ ‎∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．下列运算正确的是（　　）‎ A．a+2a=3a2 B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4‎ ‎【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．‎ ‎【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：A、a+2a=3a，此选项错误；‎ B、a3•a2=a5，此选项正确；‎ C、（a4）2=a8，此选项错误；‎ D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（　　）‎ A．130° B．100° C．65° D．50°‎ ‎【考点】M6：圆内接四边形的性质．‎ ‎【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠CBE=50°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，‎ ‎∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，‎ ‎∵DA=DC，‎ ‎∴∠DAC==65°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】LE：正方形的性质．‎ ‎【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△‎ CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，‎ 在△AFD和△AFB中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFD≌△AFB，‎ ‎∴S△ABF=S△ADF，故①正确，‎ ‎∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，‎ 故②③错误④正确，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．分解因式：a2+a=　a（a+1）　．‎ ‎【考点】53：因式分解﹣提公因式法．‎ ‎【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：a2+a=a（a+1）．‎ 故答案为：a（a+1）．‎ ‎　‎ ‎12．一个n边形的内角和是720°，则n=　6　．‎ ‎【考点】L3：多边形内角与外角．‎ ‎【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．‎ ‎【解答】解：设所求正n边形边数为n，‎ 则（n﹣2）•180°=720°，‎ 解得n=6．‎ ‎　‎ ‎13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b　＜　0．（填“＞”，“＜”或“=”）‎ ‎【考点】2A：实数大小比较；29：实数与数轴．‎ ‎【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．‎ ‎【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，‎ ‎∴a＜0＜b，‎ ‎∵a离开原点的距离比b离开原点的距离大，‎ ‎∴|a|＞|b|，‎ ‎∴a+b＜0．‎ 故答案为：＜．‎ ‎　‎ ‎14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是　　．‎ ‎【考点】X4：概率公式．‎ ‎【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵5个小球中，标号为偶数的有2、4这2个，‎ ‎∴摸出的小球标号为偶数的概率是，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】33：代数式求值．‎ ‎【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵4a+3b=1，‎ ‎∴8a+6b=2，‎ ‎8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　　．‎ ‎【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH=，计算即可．‎ ‎【解答】解：如图3中，连接AH．‎ 由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，‎ ‎∴AH===，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=7﹣1+3‎ ‎=9．‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x=．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值．‎ ‎【分析】先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x的值代入求解可得．‎ ‎【解答】解：原式=[+]•（x+2）（x﹣2）‎ ‎=•（x+2）（x﹣2）‎ ‎=2x，‎ 当x=时，‎ 原式=2．‎ ‎　‎ ‎19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？‎ ‎【考点】9A：二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．‎ ‎【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】（1）根据题意作出图形即可；‎ ‎（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示；‎ ‎（2）∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴∠EAB=∠B=50°，‎ ‎∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．‎ ‎　‎ ‎21．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．‎ ‎（1）求证：AD⊥BF；‎ ‎（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．‎ ‎【考点】L8：菱形的性质．‎ ‎【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；‎ ‎（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．‎ ‎∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．‎ 在△BAD与△FAD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△FAD，‎ ‎∴DB=DF，‎ ‎∴D在线段BF的垂直平分线上，‎ ‎∵AB=AF，‎ ‎∴A在线段BF的垂直平分线上，‎ ‎∴AD是线段BF的垂直平分线，‎ ‎∴AD⊥BF；‎ ‎（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，‎ ‎∴DG=BH=BF．‎ ‎∵BF=BC，BC=CD，‎ ‎∴DG=CD．‎ 在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，‎ ‎∴∠C=30°，‎ ‎∵BC∥AD，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．‎ ‎　‎ ‎22．某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：‎ 体重频数分布表 组边 体重（千克）‎ 人数 A ‎45≤x＜50‎ ‎12‎ B ‎50≤x＜55‎ m C ‎55≤x＜60‎ ‎80‎ D ‎60≤x＜65‎ ‎40‎ E ‎65≤x＜70‎ ‎16‎ ‎（1）填空：①m=　52　（直接写出结果）；‎ ‎②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　144　度；‎ ‎（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60‎ 千克的学生大约有多少人？‎ ‎【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．‎ ‎【分析】（1）①根据D组的人数及百分比进行计算即可得到m的值；②根据C组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；‎ ‎（2）根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量．‎ ‎【解答】解：（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），‎ ‎∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；‎ ‎②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°；‎ 故答案为：52，144；‎ ‎（2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）．‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；‎ ‎（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；‎ ‎（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，‎ ‎，‎ 解得，a=4，b=﹣3，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；‎ ‎（2）∵点C在y轴上，‎ 所以C点横坐标x=0，‎ ‎∵点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点P横坐标xP==，‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，‎ ‎∴yP=﹣3=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点C的纵坐标为2×﹣0=，‎ ‎∴点C的坐标为（0，），‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴sin∠OCB===．‎ ‎　‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．‎ ‎（1）求证：CB是∠ECP的平分线；‎ ‎（2）求证：CF=CE；‎ ‎（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；‎ ‎（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；‎ ‎（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC，‎ ‎∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，‎ ‎∴∠OCP=∠CEB=90°，‎ ‎∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠BCE=∠BCP，‎ ‎∴BC平分∠PCE．‎ ‎（2）证明：连接AC．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，‎ ‎∵∠BCP=∠BCE，‎ ‎∴∠ACF=∠ACE，‎ ‎∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，‎ ‎∴△ACF≌△ACE，‎ ‎∴CF=CE．‎ ‎（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，‎ ‎∵△BMC∽△PMB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BM2=CM•PM=3a2，‎ ‎∴BM=a，‎ ‎∴tan∠BCM==，‎ ‎∴∠BCM=30°，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，‎ ‎∴的长==π．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．‎ ‎（1）填空：点B的坐标为　（2，2）　；‎ ‎（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）①求证： =；‎ ‎②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．‎ ‎【考点】SO：相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；‎ ‎（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；‎ ‎（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；‎ ‎②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，‎ ‎∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，‎ ‎∴B（2，2）．‎ 故答案为（2，2）．‎ ‎（2）存在．理由如下：‎ 连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．‎ ‎∵∠BDE=∠BCE=90°，‎ ‎∴KD=KB=KE=KC，‎ ‎∴B、D、E、C四点共圆，‎ ‎∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，‎ ‎∵tan∠ACO==，‎ ‎∴∠ACO=30°，∠ACB=60°‎ ‎①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，‎ ‎∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，‎ ‎∴∠DBC=∠BCD=60°，‎ ‎∴△DBC是等边三角形，‎ ‎∴DC=BC=2，‎ 在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，‎ ‎∴AC=2AO=4，‎ ‎∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．‎ ‎∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．‎ ‎②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=75°，‎ ‎∴AB=AD=2，‎ 综上所述，满足条件的AD的值为2或2．‎ ‎（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，‎ ‎∴∠DBC=∠DCE=30°，‎ ‎∴tan∠DBE=，‎ ‎∴=．‎ ‎②如图2中，作DH⊥AB于H．‎ 在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，‎ ‎∴DH=AD=x，AH==x，‎ ‎∴BH=2﹣x，‎ 在Rt△BDH中，BD==，‎ ‎∴DE=BD=•，‎ ‎∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），‎ 即y=x2﹣2x+4，‎ ‎∴y=（x﹣3）2+，‎ ‎∵＞0，‎ ‎∴x=3时，y有最小值．‎ ‎　‎