2013中考数学分类汇编二次函数解析版

2013中考数学分类汇编二次函数解析版

‎2013宿迁下列三个函数：①；②；③．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有 A． 　　 B． C． D．‎ ‎2013宿迁若函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 ▲ ．‎ ‎2013荆门若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，.‎ 则 .‎ 答案：9‎ ‎（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）[来源:z&zstep*~@.^com]‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次函数的图象；一次函数的图象．3718684‎ 分析：‎ 本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．‎ 解答：‎ 解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，‎ 对称轴x=＜0，‎ 这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，‎ 一次函数图象过二、三、四象限．故选D．‎ 点评：‎ 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ ‎（2013•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎①③‎ C．‎ ‎①③④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．3718684‎ 分析：‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：‎ 解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，﹣＞0，则b＜0，正确；‎ ‎②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；‎ ‎③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；‎ ‎④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b；∴b＜a+c＜﹣b，∴|a+c|＜|b|，∴（a+c）2＜b2，正确．‎ 所以正确的结论是①③④．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键，得出b＜a+c＜﹣b是本题的难点．‎ ‎（2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．‎ 分析：‎ 根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．‎ 解答：‎ 解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵对称轴经过x的负半轴，‎ ‎∴a，b同号，‎ 图象经过y轴的正半轴，则c＞0，‎ ‎∵函数y=，a＜0，‎ ‎∴图象经过二、四象限，‎ ‎∵y=bx+c，b＜0，c＞0，‎ ‎∴图象经过一、二、四象限，‎ 故选；B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出a，b，c的值是解题关键．‎ 二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ 　 ）‎ 答案：B 解析：由二次函数图象，知a＜0，c＞0，＞0，所以，b＞0，‎ 所以，反比例函数图象在一、三象限，排除C、D，直线y＝cx＋a中，因为a＜0，所以，选B。‎ ‎（2013•益阳）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）‎ A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）‎ 考点：二次函数的性质．‎ 分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．‎ 解：抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．‎ ‎（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=　9　．‎ 考点：抛物线与x轴的交点．3718684‎ 分析：首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；‎ 其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），‎ B（﹣+3，n）；‎ 最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．‎ 解：∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，‎ ‎∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．‎ 又∵点A（m，n），B（m+6，n），‎ ‎∴点A、B关于直线x=﹣对称，‎ ‎∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）‎ 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9‎ ‎∵b2=4c，‎ ‎∴n=×4c+c+9=9．‎ 故答案是：9．‎ 点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．‎ ‎△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．‎ ‎△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣8‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎±8‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点．3718684‎ 分析：‎ 根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解．‎ 解答：‎ 解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，‎ 所以，△=m2﹣4×2×8=0，‎ 解得m=±8，‎ ‎∵对称轴为直线x=﹣＜0，‎ ‎∴m＞0，‎ ‎∴m的值为8．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数．‎ ‎　‎ ‎（2013•淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是　（0，1）　．‎ 考点：‎ 二次函数的性质．3718684‎ 分析：‎ 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．‎ 解答：‎ 解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．‎ 故答案为：（0，1）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．‎ ‎(2013•兰州)二次函数的图象的顶点坐标是(A)‎ A．（1，3） B．（，3） ‎ C．（1，） D．（，）‎ ‎（2013•湛江）抛物线的最小值是 ．‎ ‎ (2013•兰州)二次函数的图象如图所示．下列说法中 不正确的是（D ）‎ A． 　 B． ‎ C． 　　　 D．‎ ‎(2013•兰州)如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线 为轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若 抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则 实数的取值范围是 .‎ 答案：‎ ‎（2013•毕节）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　）‎ A．y=（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2+3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2﹣3‎ 考点：二次函数图象与几何变换．‎ 分析：由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．‎ 解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，‎ ‎∴所得图象的函数解析式是：y=（x﹣1）2+3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．‎ ‎（2013•哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( ) D A．y=(x+2)2+2 B．y=(x+2)2-2 C．y=x2+2 D．y=x2-2‎ ‎（2013•上海）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）‎ A. B． C. D．．‎ 答案：C 考点：平移的性质 思路分析：将抛物线向下平移1个单位，只要考虑将其顶点（0，2）向下平移1个单位，得到新抛物线的顶点（0，1），从而得到新抛物线的表达式是y=x2+1,故选C.‎ ‎（2013•恩施州）把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换 分析：‎ 确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．‎ 解答：‎ 解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），‎ ‎∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，‎ ‎∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），‎ ‎∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．‎ ‎（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y = ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，‎ 观察得出了下面五条信息：①ab > 0 ②a＋b＋c < 0 ‎ ‎③b＋2c > 0 ④a－2b＋4c > 0 ⑤.‎ 你认为其中正确信息的个数有（ D． ）‎ ‎ A．2个 B．3个 ‎ ‎ C．4个 D．5个 ‎ ‎（2013•长沙）二次函数的图象如图所示，则下列关系错误的是（ ）‎ A. ＞0 B. ＞‎0 ‎‎ C. ＞0 D. ++＞0‎ ‎【详解】观察图像可知，该抛物线开口向上，所以a＞0，即A对；抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以c＞0，即B对；抛物线与x轴有两个交点，所以b2‎-4ac＞0，即C对；抛物线顶点在x轴下方，即最小值为a+b+c＜0，所以D错。‎ ‎（2013•衢州）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（　　）‎ A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2‎ 考点：二次函数图象与几何变换．‎ 分析：先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．‎ 解答：解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），‎ ‎∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，‎ ‎∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，‎ ‎∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），‎ ‎∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，‎ 即y=x2+2x，‎ ‎∴b=2，c=0．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．‎ ‎（2013•衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　10　棵橘子树，橘子总个数最多．‎ 考点：‎ 二次函数的应用．‎ 分析：‎ 根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=﹣时，y最大．‎ 解答：‎ 解：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，‎ ‎∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，‎ ‎∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，‎ 则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．‎ ‎∵果园橙子的总产量为y，‎ ‎∴则y=（x+100）（600﹣5x）‎ ‎=﹣5x2+100x+60000，‎ ‎∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多．‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．‎ ‎（2013•孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．‎ ‎（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；‎ ‎（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一次函数的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；‎ ‎（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．‎ 解答：‎ 解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b． ‎ 由题意可得：‎ 解得 故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108． ‎ ‎（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192． ‎ 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．‎ ‎2013年山东青岛某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 ‎（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；‎ ‎（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；‎ 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 解析：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000‎ ‎（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250‎ 所以，当x＝35时，w有最大值2250，‎ 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大 ‎（3）方案A：由题可得＜x≤30，‎ 因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，‎ 抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，‎ 所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，‎ 方案B：由题意得，解得：，‎ 在对称轴右侧，w随x的增大而减小，‎ 所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，‎ 因为2000元＞1250元，‎ 所以选择方案A。‎ ‎（2013•巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ac＞0‎ ‎　‎ B．‎ 当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎　‎ C．‎ b﹣‎2a=0‎ ‎　‎ D．‎ x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．245761 ‎ 分析：‎ 由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；‎ 由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；‎ 由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到‎2a+b=0，选项C错误；‎ 由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确．‎ 解答：‎ 解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，‎ 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，‎ ‎∴ac＜0，选项A错误；‎ 由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；‎ 当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；‎ ‎∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即‎2a+b=0，选项C错误；‎ 由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），‎ 则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．‎ ‎（2013• 德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：‎ ‎①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析：‎ 由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，‎ ‎∴b2﹣4c＜0；‎ 故①错误；‎ 当x=1时，y=1+b+c=1，‎ 故②错误；‎ ‎∵当x=3时，y=9+3b+c=3，‎ ‎∴3b+c+6=0；‎ ‎③正确；‎ ‎∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，‎ ‎∴x2+bx+c＜x，‎ ‎∴x2+（b﹣1）x+c＜0．‎ 故④正确．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．‎ ‎（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；‎ ‎（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．‎ ‎①AE=EF是否总成立？请给出证明；‎ ‎②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．‎ 考点：二次函数综合题．‎ 专题：综合题．‎ 分析：（1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等；‎ ‎（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；‎ ‎②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG． ‎ ‎△AGE与△ECF全等．　 ‎ ‎（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．‎ 证明：如图2，在AB上截取AM=EC．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BM=BE，‎ ‎∴△MBE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AME=180°﹣45°=135°，‎ 又∵CF平分正方形的外角，‎ ‎∴∠ECF=135°，‎ ‎∴∠AME=∠ECF． ‎ 而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∴△AME≌△ECF．‎ ‎∴AE=EF． ‎ ‎②过点F作FH⊥x轴于H，‎ 由①知，FH=BE=CH，‎ 设BH=a，则FH=a﹣1，‎ ‎∴点F的坐标为F（a，a﹣1）‎ ‎∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，‎ ‎∴a﹣1=﹣a2+a+1，‎ ‎∴a2=2，（负值不合题意，舍去），‎ ‎∴．‎ ‎∴点F的坐标为．‎ 点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．‎ ‎（宁波市2013）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3,0），下列结论中，正确的一项是（ D ）‎ A.abc<0 B‎.2a+b<‎0 ‎‎ C.a-b+c<0 D.‎ ‎（2013•重庆）一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎（2013•江西）若二次函数（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1,0）,（x2,0）,且x11,-b<2a ,2a+b>0 ，①正确； -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，‎ 则（+2）/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a1，>2，m+n<，③正确； 当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,‎ ‎3a‎+c>-2b, ‎-3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 , ‎ ‎3|a|+|c|=‎-3a-c<2b=2|b|,④正确。‎ ‎（2013•济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）‎ ‎　 A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ ‎　 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 考点：二次函数图象与系数的关系．‎ 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：解：A．抛物线的开口方向向下，则a＜0．故本选项错误；‎ B．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，‎ 所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故本选项正确；‎ C．根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0．故本选项错误；‎ D．根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．　‎ ‎（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：‎ ‎①‎2a+b=0；②‎4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．1367104‎ 分析：‎ 根据对称轴为x=1可判断出‎2a+b=0正确，当x=﹣2时，‎4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．‎ 解答：‎ 解：∵对称轴为x=1，‎ ‎∴x=﹣=1，‎ ‎∴﹣b=‎2a，‎ ‎∴①‎2a+b=0，故此选项正确；‎ ‎∵点B坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴当x=﹣2时，‎4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；‎ ‎∵图象开口向下，∴a＜0，‎ ‎∵图象与y轴交于正半轴上，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴ac＜0，故ac＞0错误；‎ ‎∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴A点坐标为：（3，0），‎ ‎∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，‎ 故④错误；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）‎ ‎①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．‎ 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．‎ ‎②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． ‎ 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）‎ ‎③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．‎ ‎④抛物线与x轴交点个数．‎ ‎△=b2﹣‎4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣‎4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣‎4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（2013•襄阳）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y1≤y2‎ B．‎ y1＜y2‎ C．‎ y1≥y2‎ D．‎ y1＞y2‎ 考点：‎ 二次函数图象上点的坐标特征．3801346‎ 分析：‎ 对于二次函数y=﹣x2+bx+c，根据a＜0，抛物线开口向下，在x＜0的分支上y随x的增大而增大，故y1＜y2．‎ 解答：‎ 解：∵a＜0，x1＜x2＜1，‎ ‎∴y随x的增大而增大 ‎∴y1＜y2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．‎ ‎（2013•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：‎ ‎①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．3793881‎ 分析：‎ 由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，‎ ‎∴b2﹣4c＜0；‎ 故①错误；‎ 当x=1时，y=1+b+c=1，‎ 故②错误；‎ ‎∵当x=3时，y=9+3b+c=3，‎ ‎∴3b+c+6=0；‎ ‎③正确；‎ ‎∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，‎ ‎∴x2+bx+c＜x，‎ ‎∴x2+（b﹣1）x+c＜0．‎ 故④正确．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎（2013•长沙）‎ D 【详解】观察图像可知，该抛物线开口向上，所以a＞0，即A对；抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以c＞0，即B对；抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac＞0，即C对；抛物线顶点在x轴下方，即最小值为a+b+c＜0，所以D错。‎ ‎（2013•安徽）已知二次函数图像的顶点坐标为（1，—‎ ‎1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式。‎ ‎（2013•湖州）已知抛物线经过点A（3，0），B（-1，0），‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求抛物线的顶点坐标。‎ ‎（2013•广州）已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。‎ ‎（1）使用a、c表示b;‎ ‎（2）判断点B所在象限，并说明理由；‎ ‎（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。‎ 分析：（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；‎ ‎（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限；‎ ‎（3）当x≥1时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与x轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即是要再找出一个与a，c有关的式子，即可解方程组求出a，c，直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去m，整理即可得到c﹣a=4联立a+c=8，解得c，a，即可得出y1的取值范围．‎ 解：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），‎ 把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；‎ ‎（2）B在第四象限．‎ 理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），‎ ‎∴，‎ 所以抛物线与x轴有两个交点，‎ 又因为抛物线不经过第三象限，‎ 所以a＞0，且顶点在第四象限；‎ ‎（3）∵，且在抛物线上，‎ ‎∴b+8=0，∴b=﹣8，‎ ‎∵a+c=﹣b，∴a+c=8，‎ 把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，‎ 即 解得：，‎ 如图所示，C在A的右侧，‎ ‎∴当x≥1时，．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．‎ ‎（2013•南京市）已知二次函数y=a(x-m)‎2-a(x-m) (a、m为常数，且a¹0)。‎ ‎ (1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；‎ ‎ (2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。‎ ‎  当△ABC的面积等于1时，求a的值：‎ ‎ ‚ 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。‎ ‎ (1) 证明：y=a(x-m)‎2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。‎ ‎ 因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-‎4a(am2+am)=a2>0。‎ ‎ 所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。‎ ‎ 所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。‎ ‎ (2) 解：j y=a(x-m)‎2-a(x-m)=(x- )2- ，‎ ‎ 所以，点C的坐标为(,- )。‎ ‎ 当y=0时，a(x-m)‎2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。‎ ‎ 当△ABC的面积等于1时，´1´| - |=1。‎ ‎ 所以´1´( -)=1，或´1´=1。‎ ‎ 所以a= -8，或a=8。‎ ‎ k 当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。‎ ‎ 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，‎ ‎ ´1´| - |= ´1´| am2+am |。‎ ‎ 所以´1´( -)= ´1´(am2+am)，或´1´ = ´1´(am2+am)。‎ ‎ 所以m= - ，或m= ，或m= 。 ‎ ‎（2013•娄底）已知：一元二次方程. （1）求证：不论为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设，当二次函数的图象与轴的两个交点、间的距离为4时，求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为，过轴上一点作轴的垂线，当为何值时，直线与的外接圆有公共点？ ‎ O x y ‎1‎ ‎-1‎ ‎18题图 ‎（2013•浙江）如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作轴、轴的平行线与直线OA交于点C，E。[来源:21世纪教育网]‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若点C为OA的中点，求BC的长；‎ ‎（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（，），求出，之间的关系式。‎ ‎26（2013•临沂）‎ 如图，抛物线经过三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；‎ ‎(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ x y A O C B ‎（第26题图）‎ ‎ ‎ ‎26. 解：（1）设抛物线的解析式为 ，‎ x A O C B ‎（第26题图）‎ P N M H ‎ 根据题意，得，‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为： ………(3分)‎ ‎（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.‎ 设直线BC的解析式为，‎ 由题意，得解得 ‎ ‎∴直线BC的解析式为 …………(6分)‎ ‎∵抛物线的对称轴是，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴点P的坐标是. …………(7分)‎ ‎（3）存在 …………………………(8分)‎ ‎(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为，∴点N的坐标为 ………………………(11分)‎ ‎（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，∵四边形是平行四边形，∴,‎ ‎∴Rt△CAO ≌Rt△,∴.‎ ‎∵点C的坐标为,即N点的纵坐标为，‎ ‎∴即 解得 ‎∴点的坐标为和.‎ 综上所述，满足题目条件的点N共有三个，‎ 分别为，， ………………………(13分)‎ ‎　（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．‎ ‎（1）y1=y2，请说明a必为奇数；‎ ‎（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；‎ ‎（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；‎ ‎（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；‎ ‎（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=，从而可以求出n=﹣1．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=﹣x2+ax（a＞0）的图象上，‎ ‎∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ ‎∵y1=y2，‎ ‎∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ 整理得：a=2n+1‎ ‎∴a必为奇数；‎ ‎（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3‎ ‎∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）‎ 化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，‎ 解得：n≤4，‎ ‎∵n为正整数，‎ ‎∴n=1、2、3、4．‎ ‎（3）假设存在，则AB=AC，如右图所示．‎ 过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．‎ ‎∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，‎ ‎∴AD=CE=1．‎ 在Rt△ABD与Rt△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．‎ ‎∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．‎ 由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，‎ ‎∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，‎ ‎∴n+1=，‎ ‎∴n=﹣1．‎ ‎∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．‎ ‎（2013•佛山）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．‎ 分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；‎ ‎（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；‎ ‎（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），‎ ‎∴，解得，‎ 所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；‎ ‎（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，‎ 阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，‎ 平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，‎ ‎∴阴影部分的面积=2．‎ 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．‎ ‎（2013•宁波）已知抛物线与x轴交于点A（1,0），B（3,0）且过点C（0，-3）‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标 ‎（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式。‎ ‎（2013•齐齐哈尔）‎ 如图，已知二次函数 的图象经过点A（－4，0）、B（－1，3）、C（－3，3）.‎ （1） 求此二次函数的解析式.‎ （2） 设此二次函数的对称为直线L，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线L的对称点为M，点M关于轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值.‎ 第23题图 ‎（2013•河南）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。‎ ‎（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标 ‎【解答】（1）∵直线经过点,∴‎ ‎ ∵抛物线经过点，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎（2）∵点的横坐标为且在抛物线上 ‎ ∴‎ ‎ ∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形 ① 当时，‎ ‎∴，解得：‎ 即当或时，四边形是平行四边形 ① 当时，‎ ‎，解得：（舍去）‎ 即当时，四边形是平行四边形 ‎（3）如图，当点在上方且时，‎ 作,则 ‎ △PMF∽△CNF，∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵ ∴‎ ‎ 解得：，（舍去） ∴。‎ 同理可以求得：另外一点为 ‎（2013·东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．‎ A O ‎（第24题图）‎ x y B ‎(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0

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