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文档介绍
中考总复习专题一次函数反比例函数的图像性质与应用师用
中考专题总复习3---一次函数、反比例函数的图像、性质与应用 ★重点★正、反比例函数,一次函数的图象和性质。 一、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特点 2.坐标轴上点的坐标的特点 3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 1 函数中的三个概念:常量,自变量,因变量。 2.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。 3.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。 4.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 三、几种特殊函数(定义→图象→性质) 1. 正比例函数 ⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。 ⑵图象:直线(过原点) ⑶性质:①k>0,…②k<0,… 2. 一次函数 ⑴定义:y=kx+b(k≠0) ⑵图象:直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。 x o y (k>0,b>0) x o y (k<0,b>0) x o y (k>0,b<0) x o y (k<0,b<0) ⑶性质:①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况: 4.反比例函数 ⑴定义:三种形式:或xy=k(k≠0)。 ⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。 ⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 四、重要解题方法 1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、 一.填空题 1.(2010年上海)一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1,y关于x的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2时,y关于x的函数解析式为_____________. 图3 【答案】y=100x-40 2.(2010安徽蚌埠二中)已知点(1,3)在函数的图像上。正方形的边在轴上,点 是对角线的中点,函数的图像又经过、两点,则点的横坐标为__________。 【答案】 3.(10湖南益阳)如图6,反比例函数的图象位于第一、三象限,其中第一象限内的图象经过点A(1,2),请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P,你选择的P点坐标为 . 【答案】答案不唯一,、满足且即可 4.(2010江苏盐城)如图,A、B是双曲线 上的点, A、B两点的横坐标 分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则 k= ▲ . y x O B C A (第18题) 【答案】4 5.(2010 福建德化)如图,直线与双曲线()交于点.将 直线向下平移个6单位后,与双曲线()交于点,与轴交于点C,则C点的坐标为___________;若,则 . O x y A B C 【答案】(,12 6.(2010湖南衡阳)如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为3,则k=____________. 【答案】2 7.(2010湖北武汉)如图,直线y=与y轴交于点A,与双曲线y=在第一象限交于点B,C两点,且ABAC=4,则k= . 全品中考网 答案: 8.(2010湖北荆门)函数y=k(x-1)的图象向左平移一个单位后与反比例函数y=的图象的交点为A、B,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为______. 【答案】(-1,-2) 9.(2010 四川成都)已知是正整数,是反比例函数图象上的一列点,其中.记,,若(是非零常数),则A1·A2·…·An的值是________________________(用含和的代数式表示). 【答案】 10都在双曲线上,且,;分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点,四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为 . 第15题图 G 【答案】 11.(2010陕西西安)已知都在反比例函数的图象上。若,则的值为 。 【答案】-12 12.(2010 四川泸州)在反比例函数的图象上,有一系列点、、…、、,若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点、、…、、作轴与轴的垂线段,构成若干个矩形如图8所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、,则________________,+++…+_________________.(用n的代数式表示) 【答案】5, 13.(2010 内蒙古包头)如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点,与轴相交于点轴于点,的面积为1,则的长为 (保留根号). y O x A C B 【答案】 14.(2010 福建泉州南安)如图,已知点A在双曲线y=上,且OA=4,过A作 AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B. (1)则△AOC的面积= ,(2)△ABC的周长为 . 【答案】(1),(2). 15.(2010 四川自贡)两个反比例子函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,……,P2010在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,……,x2010,纵坐标分别是1,3,5,……,共2010个连续奇数,过点P1,P2,P3,……,P2010分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),……,Q2010(x2010,y2010),则y2010=_______________。 【答案】2009.5 16.(2010 湖北咸宁)如图,一次函数的图象与轴,轴交于A,B两点,与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作轴,轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE. 有下列四个结论: ①△CEF与△DEF的面积相等; ②△AOB∽△FOE; ③△DCE≌△CDF; ④. 其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上) y x D C A B O F E (第16题) 【答案】①②④ 17.(2010广西南宁)如图7所示,点、、在轴上,且,分别过点、、作轴的平行线,与分比例函数的图像分别 交于点、、,分别过点、、作轴的平行线,分别与 轴交于点、、,连接、、,那么图中阴影部分的面积之和为 . 【答案】 18.(2010贵州遵义)如图,在第一象限内,点P(2,3),M(α,2)是双曲线y=(k≠0)上的两点,PA⊥χ轴于点B,MB⊥χ轴于点B,PA与OM交于点C,则∠OAC的面积为 . 【答案】 19.(2010福建南平)函数y= 和y=在第一象限内的图像如图,点P是y= 的图像上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图像于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________. 第18题 D O C A P B y x 【答案】:①③④ 20.(2010广西河池)如图3,Rt△ABC在第一象限,,AB=AC=2, 点A在直线上,其中点A的横坐标为1,且AB∥轴, AC∥轴,若双曲线与△有交点,则k的 取值范围是 . y 1 x O A B C 图3 【答案】 二.解答题: 1.(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数(x>0)的图象经过点B. (1)求k的值; (2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、MA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式. 【答案】 2.(2010广东广州,23,12分)已知反比例函数y=(m为常数)的图象经过点A(-1,6). (1)求m的值; (2)如图9,过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点C的坐标. 【答案】解:(1)∵ 图像过点A(-1,6),. ∴ (2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点D、E, 由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE, ∴△CBE∽△CAD,∴ . ∵AB=2BC,∴ ∴,∴BE=2. 即点B的纵坐标为2 当y=2时,x=-3,易知:直线AB为y=2x+8, ∴C(-4,0) 3.(2010甘肃兰州)(本题满分9分)如图,P1是反比例函数在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标为(2,0). (1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1O A1的面积 将如何变化? (2)若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形,求 此反比例函数的解析式及A2点的坐标. 【答案】 (1)解:(1)△P1OA1的面积将逐渐减小. …………………………………2分 (2)作P1C⊥OA1,垂足为C,因为△P1O A1为等边三角形, 所以OC=1,P1C=,所以P1. ……………………………………3分 代入,得k=,所以反比例函数的解析式为. ……………4分 作P2D⊥A1 A2,垂足为D、设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a, 所以P2. ……………………………………………………………6分 代入,得,化简得 解的:a=-1± ……………………………………………7分 ∵a>0 ∴ ………………………………8分 所以点A2的坐标为﹙,0﹚ ………………………………………………9分 当时,.∴点为(,). 7分 4.(2010浙江杭州) (本小题满分6分) 给出下列命题: 命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点; 命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点; 命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点; … … . (1)请观察上面命题,猜想出命题(是正整数); (2)证明你猜想的命题n是正确的. 【答案】 (1)命题n: 点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数). (2)把 代入y = nx,左边= n2,右边= n·n = n2, ∵左边 =右边, ∴点(n,n2)在直线上. 同理可证:点(n,n2)在双曲线上, ∴点(n,n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点,命题正确. 5.(2010浙江金华)(本题10分)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限. y P Q M N O x 1 2 -1 -2 -3 -3 -2 -1 1 2 3 (第23题图) (1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标; M1的坐标是 ▲ (2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ ▲ , 若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ▲ ; (3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标. 【答案】解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2) M1 P Q M N O y 1 2 3 -1 -2 -3 -3 -2 -1 1 2 3 Q1 N1 (2), (3)由(2)知,直线M1 M的解析式为 x 则(,)满足 解得 , ∴ , ∴M1,M的坐标分别为(,),(,). 6.(2010 山东济南)如图,已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4. (1)求k的值; (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积; (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标. 【答案】(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 x = 4时,y = 2 ∴ 点A的坐标为(4,2 ) …………2’ ∵点A是直线与双曲线(k>0)的交点, ∴ k = 4×2 = 8 ………….3’ (2)解法一: ∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1 ∴ 点C的坐标为(1,8)………..4’ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 S△AOC= S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM = 32-4-9-4 = 15 ………..6’ (3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 , ∴ OP=OQ,OA=OB ∴ 四边形APBQ是平行四边形 ∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6 设点P的横坐标为m(m > 0且), 得P(m,) …………..7’ 过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F, ∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 若0<m<4, ∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ∴ 解得m= 2,m= - 8(舍去) ∴ P(2,4) ……………8’ 若 m> 4, ∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ∴, 解得m= 8,m =-2 (舍去) ∴ P(8,1) ∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)………….9’ 7.(2010 河北)如图13,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N. (1)求直线DE的解析式和点M的坐标; (2)若反比例函数(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上; x M N y D A B C E O 图13 (3)若反比例函数(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围. 【答案】解:(1)设直线DE的解析式为, ∵点D ,E的坐标为(0,3)、(6,0),∴ 解得 ∴ . ∵ 点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形, ∴ 点M的纵坐标为2. 又 ∵ 点M在直线上, ∴ 2 = .∴ x = 2.∴ M(2,2). (2)∵(x>0)经过点M(2,2),∴ .∴. 又 ∵ 点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4. ∵ 点N在直线上, ∴ .∴ N(4,1). ∵ 当时,y == 1,∴点N在函数 的图象上. (3)4≤ m ≤8. 8.(2010 山东省德州) ●探究 (1) 在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F. 第22题图1 O x y D B A C ①若A (-1,0), B (3,0),则E点坐标为__________; ②若C (-2,2), D (-2,-1),则F点坐标为__________; (2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b) ,B(c,d), 求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的 代数式表示),并给出求解过程. O x y D B 第22题图2 A ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置, 当其端点坐标为A(a,b),B(c,d), AB中点为D(x,y) 时, x=_________,y=___________.(不必证明) ●运用 在图2中,一次函数与反比例函数 x y y= y=x-2 A B O 第22题图3 的图象交点为A,B. ①求出交点A,B的坐标; ②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形, 请利用上面的结论求出顶点P的坐标. 【答案】解: 探究 (1)①(1,0);②(-2,); (2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为 A′ D′ B′ O x y D B A ,, ,则∥∥. ∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得 =. ∴O=. x y y= y=x-2 A B O O P 即D点的横坐标是 同理可得D点的纵坐标是. ∴AB中点D的坐标为(,). 归纳:,. 运用 ①由题意得 解得或. ∴即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1) . ②以AB为对角线时, 由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1) . ∵平行四边形对角线互相平分, ∴OM=OP,即M为OP的中点. ∴P点坐标为(2,-2) . 同理可得分别以OA,OB为对角线时, 点P坐标分别为(4,4) ,(-4,-4) . ∴满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2) ,(4,4) ,(-4,-4) . 9.(2010湖北荆州)已知:关于x 的一元二次方程的两根满足,双曲线(x>0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D,与直角边AB交于C(如图),求. 【答案】解:有两根 ∴ 即 由得: 当时, 解得 ,不合题意,舍去 当时,, 解得: 符合题意 ∴双曲线的解析式为: 过D作DE⊥OA于E, 则 ∵DE⊥OA,BA⊥OA ∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA ∴ ∴ ∴ 10.(2010北京)已知反比例函数y= 的图像经过点A(—,1) (1)试确定此反比例函数的解析式. (2)点O是坐标原点,将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在反比例函数的图像上,并说明理由. (3)已知点P(m,m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m <0),过p点作x轴的的垂线,交x轴于点M,若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2-2n+q的值. 【答案】解:(1)由题意德 1= 解得 k= - ∴ 反比例函数的解析式为y= (2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C, 全品中考网 在Rt△AOC中,OC=,AC=1 可得OA==2,∠AOC=30° 由题意,∠AOC=30°,OB=OA=2, ∴∠BOC=60° 过点B做x轴的垂线交x轴于点D, 在Rt△BOD中,可得, BD=, OD=1 ∴ 点B坐标(-1,) 将x=-1代入y= 中,得y=. ∴点B(-1,)在反比例函数y= 的图像上. (3)由y= 得xy=- ∵ 点P(m,m+6)在反比例函数的y= 的图像上,m<0 ∴ m(m+6 )=- ∴ ∵PQ⊥x轴 ∴Q点的坐标(m,n) ∵ △OQM的面积为 ∴OM.QM= ∵ m<0 ∴ m.n=-1 ∴ ∴ ∴. 11.(2010河南)如图,直线y=x+6与反比例函数y=等(x>0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点. (1)求、的值; (2)直接写出x +6一 >0时的取值范围; (3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于E,CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由. 【答案】(1)由题意知 k2 = 1×6 = 6 ∴反比例函数的解析式为 y = . 又B(a,3)在y = 的图象上,∴a = 2 ∴B(2,3). ∵ 直线y = k1x + b 过A(1,6),B(2,3)两点, ∴ ∴ (2)x 的取值范围为1< x < 2. (3)当S梯形OBCD = 12时,PC= PE 设点P的坐标为(m,n),∵BC∥OD,CE⊥OD,BO = CD,B(2,3). ∴C(m,3),CE = 3,BC = m – 2,OD = m +2. ∴当S梯形OBCD = ,即12 = ∴m = 4 .又mn = 6 ,∴n = .即PE = CE. ∴PC = PE. 12.(2010江苏徐州)如图,已知A(n,-2),B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的关系式; (2)求△AOC的面积; (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案). 【答案】 13.(2010 四川绵阳)如图,已知正比例函数y = ax(a≠0)的图象与反比例函致(k≠0)的图象的一个交点为A(-1,2-k2),另—个交点为B,且A、B关于原点O对称,D为OB的中点,过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E. (1)写出反比例函数和正比例函数的解析式; (2)试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍. E D B A x y O C 【答案】(1)由图知k>0,a>0.∵ 点A(-1,2-k2)在图象上, ∴ 2-k2 =-k,即 k2-k-2 = 0,解得 k = 2(k =-1舍去),得反比例函数为. 此时A(-1,-2),代人y = ax,解得a = 2,∴ 正比例函数为y = 2x. (2)过点B作BF⊥x轴于F.∵ A(-1,-2)与B关于原点对称, ∴ B(1,2),即OF = 1,BF = 2,得 OB =. 由图,易知 Rt△OBF∽Rt△OCD,∴ OB : OC = OF : OD,而OD = OB∕2 =∕2, ∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5.由 Rt△COE∽Rt△ODE得 , 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍. 14.(2010广西梧州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),∠OBA=90°,BC∥OA,OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动,现点E、F同时出发,当F点到达B点时,E、F两点同时停止运动。 (1)求梯形OABC的高BG的长。 (2)连接EF并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形。 (3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图像上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由。 H D A B C O y F G E x 【答案】(1)在Rt△ABO中,OB=8,OA=10 根据勾股定理得AB=6 ∵S△ABO= OB·AB= OA·BG,∴BG==48 (2)Rt△ABG中,AB=6,BG= 48,根据勾股定理得AG=36, 若四边形ABED是等腰梯形,则OD=10-36-36-t=28-t,OF=2t,BF=8-2t, ∵BC∥OA,∴△EBF∽△DOF,∴, 即:,得到: t=。 (3)动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上。t=。 理由:因为AG=36,∴EC=10-36-t=64-t,所以点E的坐标为(64-t,48) 作FH⊥AO于点H,得△OHF∽△OBA,∴FH=×2t=t,OH=×2t=t,如果E、F同时在某个反比例函数的图像上,则E、F两点的横纵坐标乘积相等,即:48(64-t)=t﹒t,得2t2 +5t-32=0,解得t=,或t=(舍去), 15.(2010广西柳州)如图13,过点P(-4,3)作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线(k≥2)于E、F两点. (1)点E的坐标是________,点F的坐标是________;(均用含k的式子表示) (2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论; (3)记,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由. x A B O E F P y 图13 x A B O E F P P′ M N 【答案】解:(1)E(-4,-),F(,3) …………………………………………………3分 (说明:只写对一个点的坐标给2分,写对两个点的坐标给3分) (2)(证法一)结论:EF∥AB ……………………………………………………4分 证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-),F(,3), 即得:PE=3+,PF=+4 …………………………………………5分 ∵ , ∠APB=∠EPF ∴ △PAB∽△PEF ……………………………………………………………6分 ∴ ∠PAB=∠PEF …………………………………………………………… 7分 ∴ EF∥AB ……………………………………………………………………4分 (证法二)结论:EF∥AB ……………………………………………………4分 证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-),F(,3), 即得:PE=3+,PF=+4 …………………………………………………5分 在Rt△PAB中,tan∠PAB= 在Rt△PEF中,tan∠PEF= ∴ tan∠PAB= tan∠PEF ∴ ∠PAB=∠PEF ……………………………………………………………6分 ∴ EF∥AB ……………………………………………………………………7分 (3)(方法一) S有最小值 ……………………………………………………………………8分 ∵ ∴ ……………………………9分 由(2)知, ∴ S= ……………………………………10分 = ……………………………………………………11分 又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大, ∴ 当k=2时, ∴S的最小值是.…………………………………………………………12分 (方法二) S有最小值. ………………………………………………………………………8分 分别过点E、F作PF、PE的平行线,交点为P′. 由(2)知,P′ ∵ 四边形PEP′为矩形, ∴ S△P′EF= S△PEF ∴ S=S△PEF - S△OEF = S△P′EF - S△OEF = S△OME +S矩形OMP′N+ S△ONF …………………………………………………9分 = …………………………………………………………………10分 =+k = ……………………………………………………………11分 又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大, ∴ 当k=2时,S最小= ∴ S的最小值是. …………………………………………………………12分 16(2010年福建省泉州))我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 可以利用这一结论解决问题. 如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、,已知点、. (1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形的形状一定是 ; (2)①当点为时,四边形是矩形,试求、α、和有值; ②观察猜想:对①中的值,能使四边形为矩形的点共有几个?(不必说理) (3)试探究:四边形能不能是菱形?若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由. 【答案】解:(1)平行四边形 …………(3分) (2)①∵点在的图象上,∴ ∴………………………………(4分) 过作,则 在中, α=30° ……………………………………………………………(5分) ∴ 又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点, ∴点B、D关于原点O成中心对称 ………………………………………(6分) ∴OB=OD= ∵四边形为矩形,且 ∴………………………………………………………(7分) ∴; ……………………………………………………………(8分) ②能使四边形为矩形的点B共有2个; ………………………………(9分) (3)四边形不能是菱形. ……………………………………………(10分) 法一:∵点、的坐标分别为、 ∴四边形的对角线在轴上. 又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线与不可能垂直. ∴四边形不能是菱形 法二:若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分, 因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0) 所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上. ……………………………………(11分) 所以BD应在y轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾, 所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………(12分) 17(2010内蒙呼和浩特)在平面直角坐标系中,函数y=(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,b),其中a>1.过点A作x中的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD相交于点M,连结AD、DC、CB与AB. (1)求m的值; (2)求证:DC∥AB; (3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式. 【答案】解:(1)∵点A(1,4)在函数y=的图像上, ∴4=,得m=4.……………………………2分 (2)∵点B(a,b)在函数y=的图像上,∴ab=4. 又∵AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D交AC于M,∴AC⊥BD于M ∴M(1,b),D(0,b),C(1,0) ∴tan∠BAC====,tan∠DCM==……………4分 ∴tan∠BAC =tan∠DCM, 所以锐角∠BAC=∠DCM,DC∥AB………………………………………………6分 说明:利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,易证△ABM∽△CDM,易得∠BAC=∠DCM.评分标准为证出相似得到4分,证出平行得到6分. (3)设直线AB的解析式为y=kx+b ∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形. ① 四边形ABCD是平行四边形时,AC与BD互相平分, 又∵AC⊥BD,∴B(2,2) ∴,解得 ∴直线AB的解析式为:y=-2x+6.………………8分 ②当四边形ABCD是等腰梯形时, BD与AC相等且垂直,∵AC=BD=4, ∴B(4,1) ∴同理可求直线AB的解析式为y=-x+5.…………………10分查看更多