中考数学综合提升训练圆中有关的辅助线

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中考数学综合提升训练圆中有关的辅助线

圆中有关的辅助线 一、选择题 ‎1. (2015·广东梅州)如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于(  )‎ A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°‎ ‎,(第1题))  ,(第2题))‎ ‎2. 在圆柱形油槽内装有一些油,截面如图所示,油面宽AB为6 dm.如果再注入一些油后,油面AB上升1 dm,油面宽为8 dm,那么圆柱形油槽的直径MN为(  )‎ A. 6 dm B. 8 dm C. 10 dm D. 12 dm ‎3. 如图,C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,的长为π,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A. π B. π C. π D. π+ ‎,(第3题))  ,(第4题))‎ ‎4. 如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2,则a的值是(  )‎ A. B. 2+ C. 2 D. 2+ ‎5. (2015·浙江温州)如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC,BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCFG.DE,FG,,的中点分别是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,则AB的长为(  )‎ A. 9 B. C. 13 D. 16‎ ‎,(第5题))  ,(第6题))‎ ‎6. 如图,在半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的弦心距等于(  )‎ A. B. C. 4 D. 3‎ 二、填空题 ‎7. (2014·四川宜宾)如图,已知AB为⊙O的直径,AB=2,AD和BE是⊙O的两条切线,A,B为切点.过圆上一点C作⊙O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连结AC,CB.若∠ABC=30°,则AM=________.‎ ‎,(第7题))   ,(第8题))‎ ‎8. 如图,直线AB与⊙O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半径为,CD=4,则弦EF的长为________.‎ ‎9. 如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为‎20 cm2,则正八边形的面积为________cm2.‎ ‎,(第9题))  ,(第10题))‎ ‎10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4.若动点D在线段AC上(不与点A,C重合)运动,过点D作DE⊥AC交AB边于点E.‎ ‎(1)当点D运动到线段AC的中点时,DE=________.‎ ‎(2)若点A关于点D的对称点为F,以FC为半径作⊙C,当DE=________时,⊙C与直线AB相切.‎ 三、解答题 ‎11. 如图,AC,BD为⊙O的两条弦,且AC⊥BD,⊙O的半径为,求AB2+CD2的值.‎ ‎(第11题)‎ ‎12. (2015·浙江丽水)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E.过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.‎ ‎(第12题)‎ ‎(1)求证:DF⊥AC.‎ ‎(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.‎ ‎13. 如图,⊙O是△ABC的内切圆,⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=45°.连结BO并延长,交AC于点G,AB=4,AG=2.求:‎ ‎(1)∠A的度数.‎ ‎(2)⊙O的半径.‎ ‎(第13题)‎ ‎14. 如图,已知⊙O的半径为2,弦AB的长为2,C与D分别是劣弧与优弧上的任意一点(点C,D均不与点A,B重合).‎ ‎(1)求∠ACB的度数.‎ ‎(2)求△ABD的最大面积.‎ ‎(第14题)‎ ‎15. (2014·江苏苏州)如图,已知⊙O上依次有A,B,C,D四点,=,连结AB,AD,BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到点E,使BE=AB,连结EC,F是EC的中点,连结BF.‎ ‎(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求的长.‎ ‎(2)求证:BF=BD.‎ ‎(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在一点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.‎ ‎(第15题)‎ ‎ ‎1.D 2.C[设AB上升1 dm后的油面为PQ,如解图,过点O作OC⊥AB于点C,交PQ于点D,连结OP,OA.可得AC=3,PD=4,CD=1.设OM=R.∵OC=OD+CD,∴=+1,解得R=5(负值舍去).∴MN=10 dm.]‎ ‎(第2题解)‎ ‎3.A[∵点C,D三等分半圆,∴的度数为60°,∴=π,∴R=1.连结OC,OD,CD,则△OCD为正三角形,且CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD.∴S阴影=S扇形OCD=πR2=π.] 4.B[易知点P到AB的距离为d==1.过点P作PQ⊥x轴于点Q,交直线y=x于点C.则CQ=OQ=2,PC=d=,∴a=PQ=+2.] 5.C[连结OP,OQ,分别交AC,BC于点K,J.∵P是的中点,∴OP⊥AC,∴OP∥BC,K是AC的中点,∴MK∥BC,∴M,P,K,O四点共线.同理可得N,Q,J,O四点共线,J是BC的中点.∴OK=BC,OJ=AC,∴OK+OJ=(BC+AC)=9,PK+QJ=(MK+NJ)-(MP+NQ)=18-14=4,∴AB=OP+OQ=OK+PK+OJ+QJ=9+4=13.] 6.D[过点A作AH⊥BC于点H,作直径CF,连结BF.∵∠BAC+∠EAD=180°,∠BAC+∠BAF=180°,∴∠DAE=∠BAF.又∵AD=AB,AE=AF,∴△ADE≌△ABF(SAS),∴BF=DE=6.∵AH⊥BC,∴CH=BH.又∵CA=AF,∴AH为△CBF的中位线,∴AH=BF=3.] 7.[连结OM,OC.∵OB=OC,∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°.∵∠AOC为△BOC的外角,∴∠AOC=2∠ABC=60°.∵MA,MC分别为⊙O的切线,∴MA=MC,∠MAO=∠MCO=90°.在Rt△AOM和Rt△COM中,∵ ∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°.在Rt△AOM中,∵OA=AB=1,∠AOM=30°,∴AM=OA·tan 30°=.] 8.2[连结AO并延长交CD于点H,连结OC.∵直线AB与⊙O相切于点A,∴OA⊥AB.∵弦CD∥AB,∴AH⊥CD,∴CH=CD=×4=2.∵OA=OC=,∴OH===,∴AH=OA+OH=+=4,∴AC===2.∵∠CDE=∠ADF,∴=,∴+=+,即=‎ ,∴EF=AC=2.] 9.40[连结HE,AD,设HE与BG相交于点M,AD与BG相交于点N.在正八边形ABCDEFGH中,易得HE⊥BG,AD⊥BG.∵正八边形的每个内角为=135°,∴∠HGM=45°,∴MH=MG.设MH=MG=x,则HG=AH=AB=GF=x,∴BG·GF=(2x+x)x=2(+1)x2=20,∴四边形ABGH的面积=(AH+BG)·HM=(+1)x2=10,∴正八边形的面积为10×2+20=40(cm2).] 10.(1)[∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴BC=AB=2,AC=6.∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC.∵D为AC的中点,∴E为AB的中点,∴DE=BC=.] (2)或[过点C作CH⊥AB于点H.又∵∠A=30°,AC=6,∴CH=3.分为两种情况:①如解图①.∵CF=CH=3,∴AF=6-3=3.∵点A和点F关于点D对称,∴AD=DF=AF=.∵DE⊥AC,∠A=30°,∴DE=AD·tan 30°=.‎ ‎,(第10题解①))  ,(第10题解②))‎ ‎②如解图②.同理于①,可得DE=.] 11.1. 12.(1)提示:连结OD,证OD∥AC. (2)4π-8. 13.(1) 90°.(2). 14.(1)连结OA,OB,过点O作OE⊥AB于点E.∵OA=OB,∴AE=BE.在Rt△AOE中,∵OA=2,AE=AB=,∴OE==1,∴∠OAE=30°,∴∠AOE=60°,∴∠AOB=2∠AOE=120°.∵∠ADB=∠AOB,∴∠ADB=60°.∵四边形ACBD为圆内接四边形,∴∠ACB+∠ADB=180°,∴∠ACB=180°-∠ADB=120°. (2)过点D作DF⊥AB,垂足为F,则S△ABD=×2DF.显然,当DF经过圆心O时,DF取得最大值,从而S△ABD取得最大值,此时DF=DO+OF=2+1=3,S△ABD=×2×3=3,∴△ABD的最大面积是3. 15.(1)连结OB,OD.∵∠DAB=120°,∴∠BOD=2×(180°-120°)=120°.∵⊙O的半径为3,∴的长为=2π. (2)连结AC.∵AB=BE,∴B为AE的中点.又∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,∴BF=AC.∵=,∴+=+,即=,∴BD=AC.∴BF=BD. (3)过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,‎ 则有PB⊥AE.理由如下:连结PG,PF.∵BF为△EAC的中位线,∴BF∥AC,∴∠FBE=∠CAE.∵=,∴∠CAB=∠DBA.∴∠FBE=∠DBA.∵PB⊥AE,∴∠PBA=∠PBE=90°.∴∠PBG=∠PBF.∵G为BD的中点,∴BG=BD.由(2)可知BF=BD.∴BG=BF.又∵∠PBG=∠PBF,BP=BP,∴△PBG≌△PBF(SAS),∴PG=PF.‎
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