中考数学抛物线难题解析含答案

中考数学抛物线难题解析含答案

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求b，c的值；‎ ‎（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：‎ ‎①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；‎ ‎②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。‎ ‎41‎ 直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。‎ ‎（1）求直线BC及抛物线解析式 ‎（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标 如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0， -3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式； ‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限.‎ ‎①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；‎ ‎②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.‎ 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.‎ ‎ ‎ 第25题图 第25题备用图 直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。‎ （1） 求圆心C的坐标。（Xc=1, c(1,4)）‎ （2） 已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))‎ （3） 设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M坐标。‎ ‎26.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求b，c的值；‎ ‎（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：‎ ‎①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；‎ ‎②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；‎ ‎（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；‎ ‎（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；‎ ‎②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣2=5/2，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣15/4，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．‎ 解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），‎ ‎∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），‎ ‎∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；‎ ‎（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1， ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），‎ ‎∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣3/2）2+25/4，∴当t=3/2时，EF的最大值为25/4，∴点E坐标（3/2，5/2）；‎ ‎（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．‎ 可求出点F的坐标（3/2，-15/4），点D的坐标为（1，﹣4）‎ S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；‎ ‎②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：‎ m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，‎ ‎∴P1（，），P2（，），‎ ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）‎ 则有：n2﹣2n﹣2=﹣15/4，解得：n1=1/2，n2=3/2（与点F重合，舍去），∴P3（，），综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．‎ 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎41‎ ‎23、（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。‎ ‎------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎-(2011上海奉贤区P34)直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。‎ ‎（1）求直线BC及抛物线解析式 ‎（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标 ‎ ‎ ‎-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎25. （沈阳市2011年p36）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0， -3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式； ‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限. ①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；‎ ‎②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.‎ ‎-‎ ‎ ‎ B A O C D ‎1‎ ‎1‎ x=1‎ x y E F P Q G ‎25．⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴‎ ‎∴b=－2．∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），‎ ‎∴c=－3，∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．‎ ‎⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2－2x－3=0．‎ ‎∴x1=－1,x2=3.∵A点在B点左侧，∴A（－1，0），B（3，0）‎ 设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，‎ 则，∴∴直线BC函数表达式为y=x－3．‎ ‎⑶①∵AB=4，PO=AB，∴PO=3‎ ‎∵PO⊥y轴∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性 可得点P的横坐标为，‎ ‎∴P（，）∴F（0，），∴FC=3－OF=3－=．∵PO垂直平分CE于点F，‎ ‎∴CE=2 FC= ∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．‎ 过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=－1=．‎ 在Rt△EGD中，tan∠CED=．‎ ‎②P1（1－，－2），P2（1－，）．‎ 直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。求圆心C的坐标。（Xc=1, c(1,4)）‎ ‎（1）已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))‎ ‎（2）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M坐标。‎