中考数学专题特训第二十讲：多边形与平行四边形(含详细参考答案)

中考数学专题特训第二十讲：多边形与平行四边形(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二十讲 多边形与平行四边形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 多边形：‎ ‎1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形 ‎ ‎2、多边形的内外角和：‎ ‎ n(n≥3)的内角和事 外角和是 正几边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ‎ ‎3、多边形的对角线：‎ ‎ 多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个几边形共有 条对边线 ‎【提醒：1、三角形是边数最少的多边形 ‎2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】‎ 二、平面图形的密铺：‎ ‎ 1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的 ‎ ‎2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用 、 或 ‎ ‎⑵用两正多边形密铺，组合方式有： 和 、 和 、 和 ‎ ‎ 合 等几种 ‎【提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并使相等的边互相平合】‎ 三、平行四边 ‎1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 ‎ ‎2、平行四边形的特质：‎ ‎⑴平行四边形的两组对边分别 ‎ ‎⑵平行四边形的两组对角分别 ‎ ‎⑶平行四边形的对角线 ‎ ‎【提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】‎ ‎3、平行四边形的判定：‎ ‎ ⑴用定义判定 ‎⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形 ‎⑶一组对它 的四边形是平行四边形 ‎⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形 ‎⑸对角线 的四边形是平行四边形 ‎【提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】‎ ‎4、平行四边形的面积：计算公式 X ‎ 同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积 ‎ ‎【提醒：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处 】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：多边形内角和、外角和公式 例1 （2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．‎ 思路分析：根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．‎ 解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，‎ 又∵多边形的外角和为360°，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．‎ 故答案为：300°．‎ 点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．‎ 对应训练 ‎1．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．‎ ‎1．240‎ 考点：多边形内角与外角．专题：数形结合．‎ 分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．‎ 解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，‎ ‎∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，‎ ‎∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，‎ ‎∴∠1+∠2=540°-300°=240°，‎ 故答案为240．‎ 点评：考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．‎ ‎ 考点二：平面图形的密铺 例2 （2012•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）‎ A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 思路分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．‎ 解：A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；‎ B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；‎ C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；‎ D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；‎ 故选D．‎ 点评：本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°-360°÷边数．‎ 对应训练 ‎ 考点三：平行四边形的性质 例3 （2012•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14 ‎ AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）‎ A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8 ‎ 思路分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EBC，‎ 又BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠EBC，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB，‎ ‎∴AB=AE，‎ 同理可得：DC=DF，‎ ‎∴AE=DF，‎ ‎∴AE-EF=DE-EF，‎ 即AF=DE，‎ 当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，‎ ‎∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，‎ ‎∴AE=AB=AF+EF=2.5x，‎ ‎∴AB：BC=2.5：4=5：8．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．‎ 例4 （2012•广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．‎ 思路分析：由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，继而利用SAS证得：△AEF≌△DFC．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠EAF，‎ ‎∵AF=AB，BE=AD，‎ ‎∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，‎ 即DF=AE，‎ 在△AEF和△DFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△DFC（SAS）．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎3．（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．‎ ‎3．20‎ 考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．‎ 分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∵OE⊥BD，‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∵△CDE的周长为10，‎ 即CD+DE+EC=10，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．‎ 故答案为：20．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．‎ ‎4．（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．‎ ‎4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．‎ 分析：根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，‎ 又∵ED=BF，‎ ‎∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，‎ 在△AEO和△CFO中，，‎ ‎∴△AEO≌△CFO，‎ ‎∴OA=OC．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．‎ 考点四：平行四边形的判定 例5 （2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　　）‎ A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行的四边形是梯形 ‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎ D．对角线相等的四边形是矩形 ‎ 思路分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．‎ 解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠B=∠C，‎ ‎∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，‎ 即，‎ ‎∴△ADE≌△DAC，‎ ‎∴∠E=∠C，‎ ‎∴∠B=∠E，AB=DE，‎ 但是四边形ABDE不是平行四边形，‎ 故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，‎ 故此选项正确；‎ D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．‎ 例6 （2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形BFDE是平行四边形．‎ 思路分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C，AB=CD，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴AD-AE=BC-CF，‎ 即DE=BF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．‎ 对应训练 ‎5．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理；轴对称图形；中心对称图形．‎ 分析：根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．‎ 解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；‎ ‎②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；‎ ‎③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；‎ ‎④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；‎ 所以正确的命题个数为2个，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎6．（2012•沈阳）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．‎ ‎（1）求证：△AEM≌△CFN；‎ ‎（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．‎ 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．‎ 分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；‎ ‎（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．‎ 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠DAB=∠BCD，‎ ‎∴∠EAM=∠FCN，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠E=∠F．‎ 在△AEM与△CFN中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△AEM≌△CFN；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB ∥= CD，‎ 又由（1）得AM=CN，‎ ‎∴BMDN，‎ ‎∴四边形BMDN是平行四边形．‎ 点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度（不取近似值）。‎ ‎1．‎ 考点：多边形内角与外角．‎ 分析：根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°-一个外角的度数=一个内角的度数．‎ 解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°‎ 则内角度数是：180°-（）°=（）°，‎ 故答案为：．‎ 点评：此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等．‎ ‎2．（2012•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）‎ A．53° B．37° C．47° D．123°‎ ‎2．考点：平行四边形的性质．‎ 分析：设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．‎ 解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∵∠EAD=53°，‎ ‎∴∠EFA=90°-53°=37°，‎ ‎∴∠DFC=37‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠BCE=∠DFC=37°．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出∠E=90°和的对顶角相等是解决问题的关键．‎ ‎3．（2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　　）‎ A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可．‎ 解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；‎ D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．‎ ‎4．（2012•烟台）▱ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．‎ ‎4．（3，1）‎ 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．专题：计算题．‎ 分析：画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．‎ 解：如图，∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），‎ ‎∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，‎ ‎∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，‎ ‎∴C的坐标是（3，1），‎ 故答案为：（3，1）．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．‎ ‎5．（2012•济南）（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：‎ DE=BF．‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．‎ ‎5．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．‎ 分析：（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；‎ ‎（2）首先根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．‎ 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴DE=BF； （2）解：∵AB=AC，∠A=40°，‎ ‎∴∠ABC=∠C==70°，‎ 又BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=35°，‎ ‎∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．‎ ‎6．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O ‎，分别交AD，BC于点E，F．‎ 求证：AE=CF．‎ ‎（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．‎ 求证：EI=FG．‎ ‎6．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．‎ ‎（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．‎ 证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴AE=CF； ‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C，∠B=∠D，‎ 由（1）得AE=CF，‎ 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，‎ ‎∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，‎ 又∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵∠5=∠3，∠4=∠6，‎ ‎∴∠5=∠6，‎ 在△A1IE与△CGF中，‎ ‎，‎ ‎∴△A1IE≌△CGF（AAS），‎ ‎∴EI=FG．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．‎ ‎7．（2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．‎ ‎（1）求证：四边形AECF为平行四边形；‎ ‎（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．‎ ‎7．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题．‎ 分析：（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；‎ ‎（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．‎ 解答：（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），‎ ‎∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；‎ 又∵AM丄BC（已知），‎ ‎∴AM⊥AD；‎ ‎∵CN丄AD（已知），‎ ‎∴AM∥CN，‎ ‎∴AE∥CF；‎ 又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（ASA），‎ ‎∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；‎ ‎（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，‎ ‎ 则AC与EF互相垂直平分，‎ ‎∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），‎ ‎∴AC与BD互相垂直平分，‎ ‎∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），‎ ‎∴AB=BC（菱形的邻边相等）；‎ ‎∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），‎ ‎∴△ABM≌△CAM，‎ ‎∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；‎ 在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，‎ 又∵AE=CF，AB=BC，‎ ‎∴AB：AE=．‎ 点评：本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点．证明（2）题时，证得▱ABCD是菱形是解题的难点．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 ‎1．考点：多边形内角与外角．‎ 分析：首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n-2）=360，解此方程即可求得答案．‎ 解：设此多边形是n边形，‎ ‎∵多边形的外角和为360°，‎ ‎∴180（n-2）=360，‎ 解得：n=4．‎ ‎∴这个多边形是四边形．‎ 故选A．‎ 点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n-2）．‎ ‎2．（2012•玉林）正六边形的每个内角都是（　　）‎ A．60° B．80° C．100° D．120°‎ ‎2．考点：多边形内角与外角．专题：常规题型．‎ 分析：先利用多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；‎ 或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．‎ 解：（6-2）•180°=720°，‎ 所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，‎ 或：360°÷6=60°，‎ ‎180°-60°=120°．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．‎ ‎3．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）‎ A．120° B．180° C．240° D．300°‎ ‎3．考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．‎ 分析：三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360‎ 度即可求得∠1+∠2的度数．‎ 解：根据三角形的内角和定理得：‎ 四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-60°=120°，‎ 则根据四边形的内角和定理得：‎ ‎∠1+∠2=360°-120°=240°．‎ 故选C．‎ 点评：主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．‎ ‎4．（2012•南宁）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）‎ A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm ‎4．考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．‎ 解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，‎ ‎∴OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，‎ ‎∴1cm＜OA＜4cm．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．‎ ‎5．（2012•杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）‎ A．18° B．36° C．72° D．144°‎ ‎5．考点：平行四边形的性质；平行线的性质．专题：计算题．‎ 分析：关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠C=∠A，BC∥AD，‎ ‎∴∠A+∠B=180°，‎ ‎∵∠B=4∠A，‎ ‎∴∠A=36°，‎ ‎∴∠C=∠A=36°，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．‎ ‎6．（2012•巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）‎ A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等 ‎ C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等 ‎ ‎6．考点：平行四边形的判定．‎ 分析：根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．‎ 解：根据平行四边形的判定，A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．‎ ‎7．（2012•广元）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7．考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．‎ 分析：令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．‎ 解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；‎ ‎②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；‎ ‎③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，‎ 则第四个顶点不可能落在第三象限．‎ 故选C 点评：本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．‎ ‎8．（2012•‎ 益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　　）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 ‎8．考点：平行四边形的判定；作图—复杂作图．‎ 分析：利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．‎ 解：∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，‎ ‎∴AD=BC AB=CD ‎∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．‎ ‎9．（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎9．考点：平行四边形的判定与性质．‎ 分析：首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：S△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．解答：解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形APEB是平行四边形，‎ ‎∴PE∥AB，PE=AB，‎ ‎∵四边形BDEF是平行四边形，‎ ‎∴EF∥BD，EF=BD，‎ 即EF∥AB，‎ ‎∴P，E，F共线，‎ 设BD=a，‎ ‎∵BD=AB，‎ ‎∴PE=AB=4a，‎ 则PF=PE-EF=3a，‎ ‎∵PH∥BC，‎ ‎∴S△HBC=S△PBC，‎ ‎∵PF∥AB，‎ ‎∴四边形BFPH是平行四边形，‎ ‎∴BH=PF=3a，‎ ‎∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，‎ ‎∴S△PBC：S△ABC=3：4．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．‎ ‎1．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：‎ ‎①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。810360 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ 先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．‎ 解答：‎ 解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；‎ ‎②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；‎ ‎③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；‎ ‎④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④正确．‎ 综上可得①②④正确，共3个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．‎ 二、填空题 ‎10．（2012•义乌市）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 ．‎ ‎10．考点：多边形内角与外角．专题：探究型．‎ 分析：先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．‎ 解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，‎ ‎∴其内角的度数为：180°-60°=120°，‎ ‎∴(n-2)•180°÷n =120°，解得n=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．‎ ‎11．（2012•厦门）五边形的内角和的度数是 ．‎ ‎11．540°‎ 考点：多边形内角与外角．‎ 分析：根据n边形的内角和公式：180°（n-2），将n=5代入即可求得答案．‎ 解：五边形的内角和的度数为：180°×（5-2）=180°×3=540°．‎ 故答案为：540°．‎ 点评：此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．‎ ‎12．（2012•德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．‎ ‎12．5‎ 考点：多边形内角与外角．分析：根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．解答：解：设该多边形的边数为n 则（n-2）×180=×360‎ 解得：n=5‎ 故答案为5．‎ 点评：本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．‎ ‎13．（2012•成都）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．‎ ‎13．70°‎ 考点：平行四边形的性质．‎ 分析：根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．‎ 解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，‎ ‎∴∠BCD=∠A=110°，‎ ‎∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．‎ 故答案为：70°．‎ 点评：本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．‎ ‎14．（2012•黑龙江）如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．‎ ‎14．AE=CF 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：开放型．‎ 分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠BAE=∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．‎ 解：添加的条件是AE=CF，‎ 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE=∠DCF，‎ ‎∵在△ABE和△CDF中 ‎ AB=CD，∠BAE=∠DCF ，AE=CF，‎ ‎∴△ABE≌△CDF，‎ 故答案为：AE=CF．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．‎ ‎2．（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为　28　．‎ 考点：‎ 梯形中位线定理；菱形的判定与性质。810360 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，‎ ‎∴四边形BGEF是平行四边形，‎ ‎∵BE平分∠ABC且交CD于E，‎ ‎∴∠FBE=∠EBC，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠EBC=∠FEB，‎ ‎∴∠FBE=FEB，‎ ‎∴四边形BGEF是菱形，‎ ‎∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，‎ ‎∴EF=（AD+BC）=×（2+12）=7，‎ ‎∴四边形BGEF的周长=4×7=28．‎ 故答案为：28．‎ 点评：‎ 本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　　．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。810360 ‎ 分析：‎ 连接AE，BE，DF，CF，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边AB上的高线，同理可求出CD边上的高线，进而求出EF的长．‎ 解答：‎ 解：连接AE，BE，DF，CF．‎ ‎∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，‎ ‎∴AB=AE=BE，‎ ‎∴△AEB是等边三角形，‎ ‎∴边AB上的高线为：，‎ 同理：CD边上的高线为：，‎ 延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，‎ ‎∵AE=BE，‎ ‎∴点E在AB的垂直平分线上，‎ 同理：点F在DC的垂直平分线上，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB∥DC，‎ ‎∴MN⊥AB，MN⊥DC，‎ 设F到AB到距离为x，E到DC的距离为x′，EF=y，‎ 由题意可知：x=x′，‎ 则x+y+x=1，‎ ‎∵x+y=，‎ ‎∴x=1﹣，‎ ‎∴EF=1﹣2x=﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质解答即可．‎ ‎　‎ ‎4．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为　16　cm2．‎ 考点：‎ 菱形的性质；等边三角形的判定与性质。810360 ‎ 分析：‎ 连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴DE=AD=×8=4cm，‎ 根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，‎ ‎×8×4=16cm2．‎ 故答案为：16．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为　7　．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。810360 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．‎ 解答：‎ 解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，‎ ‎∵四边形ABDE为正方形，‎ ‎∴∠AOB=90°，OA=OB，‎ ‎∴∠AOM+∠BOF=90°，‎ 又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，‎ ‎∴∠BOF=∠OAM，‎ 在△AOM和△BOF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOM≌△BOF（AAS），‎ ‎∴AM=OF，OM=FB，‎ 又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，‎ ‎∴四边形ACFM为矩形，‎ ‎∴AM=CF，AC=MF=5，‎ ‎∴OF=CF，‎ ‎∴△OCF为等腰直角三角形，‎ ‎∵OC=6，‎ ‎∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，‎ 解得：CF=OF=6，‎ ‎∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，‎ 则BC=CF+BF=6+1=7．‎ 故答案为：7．‎ 解法二：如图2所示，‎ 过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．‎ 易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．‎ ‎∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．‎ ‎∵OC=6，∴CM=6．‎ ‎∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，‎ ‎∴BC=CN+NB=6+1=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．‎ 三、解答题 ‎15．（2012•湖州）已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．‎ ‎（1）说明△DCE≌△FBE的理由；‎ ‎（2）若EC=3，求AD的长．‎ ‎15．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得AB=DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE=∠F，又由BF=AB，即可利用AAS，判定△DCE≌△FBE；‎ ‎（2）由（1），可得BE=EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得AD的长．‎ 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，AB∥DC，1分 ‎∴∠CDE=∠F，1分 又∵BF=AB，1分 ‎∴DC=FB，‎ 在△DCE和△FBE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DCE≌△FBE（AAS） ‎ ‎（2）解：∵△DCE≌△FBE，‎ ‎∴EB=EC，‎ ‎∵EC=3，‎ ‎∴BC=2EB=6，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∴AD=6．‎ 点评：此题考查了平行线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．‎ ‎16．（2012•黄石）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．‎ ‎16．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．‎ 分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．‎ 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，且AD=BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBF 又∵BE=DF，‎ ‎∴BF=DE，‎ ‎∵在△ADE和△CBF中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF，‎ ‎∴∠DAE=∠BCF．‎ 点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．‎ ‎17．（2012•泰州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎17．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．‎ 分析：由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．‎ 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，‎ ‎∴∠EAD=∠FCB=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBF，‎ 在Rt△AED和Rt△CFB中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△AED≌Rt△CFB，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．‎ ‎19．（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．‎ ‎（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数；‎ ‎（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长．‎ ‎19．考点：平行四边形的性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质．专题：几何综合题．‎ 分析：（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；‎ ‎（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．‎ 解：（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE= 3 ，EO=1，‎ ‎∴tan∠EPO=，‎ ‎∴∠EPO=30°，‎ ‎∵PE⊥AC，PF⊥BD，‎ ‎∴∠PEO=∠PFO=90°，‎ 在Rt△PEO和Rt△PFO中，，‎ ‎∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），‎ ‎∴∠FPO=∠EPO=30°，‎ ‎∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；‎ ‎（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，‎ ‎∴PF∥AO，且PF=AO，‎ ‎∵PF⊥BD，‎ ‎∴∠PFD=90°，‎ ‎∴∠AOD=∠PFD=90°，‎ 又∵PE⊥AC，‎ ‎∴∠AEP=90°，‎ ‎∴∠AOD=∠AEP，‎ ‎∴PE∥OD，‎ ‎∵点P是AD的中点，‎ ‎∴PE是△AOD的中位线，‎ ‎∴PE=OD，‎ ‎∵PE=PF，‎ ‎∴AO=OD，且AO⊥OD，‎ ‎∴平行四边形ABCD是正方形，‎ 设BC=x，‎ 则BF=x+×x=x，‎ ‎∵BF=BC+3-4=x+3 -4，‎ ‎∴x+3-4=x，‎ 解得x=4，‎ 即BC=4．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．‎ ‎6．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质。810360 ‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；‎ ‎（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠ACD，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠ACD=∠2，‎ ‎∴MC=MD，‎ ‎∵ME⊥CD，‎ ‎∴CD=2CE，‎ ‎∵CE=1，‎ ‎∴CD=2，‎ ‎∴BC=CD=2；‎ ‎（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，‎ ‎∴BF=CF=BC，‎ ‎∴CF=CE，‎ 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，‎ ‎∴∠ACB=∠ACD，‎ 在△CEM和△CFM中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CEM≌△CFM（SAS），‎ ‎∴ME=MF，‎ 延长AB交DF于点G，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠G=∠2，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1=∠G，‎ ‎∴AM=MG，‎ 在△CDF和△BGF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CDF≌△BGF（AAS），‎ ‎∴GF=DF，‎ 由图形可知，GM=GF+MF，‎ ‎∴AM=DF+ME．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．‎ ‎（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．‎ 考点：‎ 等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。810360 ‎ 分析：‎ ‎（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，‎ 又∵EA=ED，‎ ‎∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∴∠DEC=∠AEB，‎ 又∵EB=EC，‎ ‎∴△DEC≌△AEB，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ ‎（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．‎ 证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，‎ ‎∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．‎ ‎∴AB=ED，‎ ‎∵AB⊥AC，‎ ‎∴AE=BE=EC，‎ ‎∴四边形AECD是菱形．‎ 过A作AG⊥BE于点G，‎ ‎∵AE=BE=AB=2，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴∠AEB=60°，‎ ‎∴AG=，‎ ‎∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2‎ 点评：‎ 此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．‎