全国各地500套中考数学试题分类汇编 直线与圆的位置关系2
2011中考模拟分类汇编：直线与圆的位置关系
一、选择题
1、（2011年北京四中中考模拟19）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝8，OA＝6，则tan∠APO的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（2011年北京四中模拟26）
如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为 （ ）
A．3 B． C． D．
答案：B
3.（2011.河北廊坊安次区一模）一个钢管放在V形架内，图3是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 Cm，∠MPN = 60°，则OP 的长为
A．50 Cm B．25Cm C．Cm D．50Cm
答案:A
4.(2011湖北省天门市一模)如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆 与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（第4题）
答案:B
A
G
B
H
C
F
D
E
第5题
5．（2011年浙江省杭州市模2）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．9.6 D．10[来源:学科网]
答案：C
二、填空题
1、（2011年北京四中模拟26）
如图，PA切⊙O于点A，PC过点O且于点B、C，若PA=6㎝，PB=4㎝，则⊙O的半
径为 ㎝.
答案：2.5㎝
2、（北京四中模拟）已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P、O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC=4cm，PA=3cm，则⊙O的半径R= cm
答案：3cm
3、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，过D作DE//BC，交AC的延长线于E点。①则直线DE与⊙O的位置关系是 ▲ ；②若AB=4，AD=6，CE=3,则DE= ▲ 。
答案：相切，
4．（ 2011年杭州三月月考）如图所示，在中，，，若以为圆心，为半径所得的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是： ▲ 。
答案：或
B
C
D
A
（第5题图）
5. （2011年海宁市盐官片一模）如图、是的两条弦，=30°，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为 ．
答案：30°
6、（2011年北京四中34模）在直径为12的⊙O中，点M为⊙O所在平面上一点，且OM=5，则过点M的⊙O最短的弦长是
答案：
7．（2011杭州市模拟）如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则（1）AB= ，BC= ；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积= ．
A
EA
CA
BA
DA
OA
（第7题图）
FA
；
答案：AB=24，BC=30，⊙O的面积=100．（1+1+2分）
8. （2011广东南塘二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，内切圆半径＝ ；
答案：1
9.（浙江杭州靖江2011模拟）如图，AB是半图的直径，C为BA延长线上的一点，CD切半圆于点E。已知OA＝1，设DF＝x，AC＝y，则y关于x的函数解析式是_____________。（根据2009年衢州中考试卷改编）
答案：
10.（浙江杭州进化2011一模）如图，⊙O1和⊙O2的半径为2和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=7，若将⊙O1绕点按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为_______秒．
答案：3或6或9
E
M
N
O
C
B
A
F
第11题
11、（2011杭州模拟20）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F，若NC∶CF＝3∶2，则 sinB=_______．
答案：
12、（江西省九校2010—2011第一次联考）如图，某房间一角（AC⊥BC）
放有一张直径为2m的圆桌（桌面紧贴AC、BC两边）,则图中阴影部分的面积
是 ．21世纪教育网
A
第13题
O
C
B
答案： 1－
13、（江西省九校2010—2011第一次联考）如图，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，
在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，下列结论正确的序号是 [来源:Zxxk.Com]
(多填或错填得0分,少填酌情给分) ．
①AO=2CO ； ②AO=BC ； ③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
答案：①③④
14、（北京四中2011中考模拟13）如图：⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交
于点C，，则等于 .
答案：
21世纪教育网
15、（北京四中2011中考模拟14）已知圆的直径为13㎝,圆心到直线L的距离为6㎝,那么直线L和这个圆的公共点的个数为_________________.
答案：2个
三、解答题[来源:学§科§网Z§X§X§K]
1．（2011年黄冈中考调研六）（满分7分）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。
（1）求证：CD∥AO；
(2)∵CD∥AO
∴∠3=∠4
∵AB是⊙O的切线，DB是直径
∴∠DCB=∠ABO=90O
∴△BDC∽△AOB
∴=
∴=
∴y =
∴0
18，所以渔船A不会进入海洋生物保护区．
A B
O F
E
D C
15.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
（1）∵ 弧CB=弧CD
∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵ CF⊥AB，CE⊥AD
∴ CE=CF
∴ △CED≌△CFB
∴ DE=BF
（2）易得：△CAE≌△CAF[来源:学科网]
易求：
∴
x
y
O
P
A
-2
16.（2010年江西南昌一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线OA与轴的夹角为，以P为圆心， 为半径作⊙P,与交于点.
(1) 当r为何值时，△为等边三角形？
(2) 当⊙P与直线相切时,求的值.
答案：（1）作于M.
∵是等边三角形,
∴
∵
∴
x
y
O
P
A
-2
C
M
∴
∴
(2)连结
∵与直线相切,
∴⊙P的半径为4+2=6.
∴
则
∵
∴
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
17.(2010年厦门湖里模拟) 如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.[来源:学。科。网]
（1）求图中阴影部分的面积；
A
B
D
O
F
C
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.
答案：（1）∵∠A=30° AC⊥BD
∴BF= ∠BOC=∠COD=60° OB=2OF
∴OF=2，OB=4
S阴=
（2）根据题意得: ∴=
18.(2010年厦门湖里模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30º．
A
O
B
D
C
P
(1)求劣弧的长；
(2)若∠ABD＝120º，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．
答案：.(1)解：延长OP交AC于E，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∵ P是△OAC的重心，OP＝，
∴ OE＝1，
且 E是AC的中点.
∵ OA＝OC，∴ OE⊥AC.
在Rt△OAE中，∵ ∠A＝30°，OE＝1，
∴ OA＝2.
∴ ∠AOE＝60°.
∴ ∠AOC＝120°.
∴ ＝π.
(2)证明：连结BC.
∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴ BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.
∴ △OBC是等边三角形.
法1：∴ ∠OBC＝60°.
∵ ∠OBD＝120°，∴ ∠CBD＝60°＝∠AOE.
∵ BD＝1＝OE，BC＝OA，
∴ △OAE ≌△BCD.
∴ ∠BCD＝30°.
∵ ∠OCB＝60°，
∴ ∠OCD＝90°.
∴ CD是⊙O的切线.
法2：过B作BF∥DC交CO于F.
∵ ∠BOC＝60°，∠ABD＝120°,
∴ OC∥BD.
∴ 四边形BDCF是平行四边形.
∴ CF＝BD＝1.
∵ OC＝2，[来源:学科网ZXXK]
∴ F是OC的中点.
∴ BF⊥OC.
∴ CD⊥OC.
∴ CD是⊙O的切线.
19.（2010年天水模拟）如图，AB是⊙O是直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC=AB，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，⊙F在AE上.
求证：（1）CD是⊙F的切线；
（2）CD=AE.
证明：（1）连接DF
∵CA 切⊙O于A，∴∠CAB=90°
又∵∠OAD=∠ODA ∠FAD=∠FDA
∴∠OAC=∠ODF=90°
∴∠FDC=90
∴CD是⊙F的切线
（2）FDC=DAC=90
∠C=∠C
∴△CDF∽△CAO
又∵AC=AB
∴==
又∵DF=FE AE=2DF
∴AE=CD
20．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图①②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝.
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）.
A
B
M
O
F
C
②
①
H
N
第20题图
答案：过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N.
（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5－4＝1（单位），1×5＝5（cm），所以铁环钩离地面的高度为5cm.
（2）因为∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，所以＝sinα＝，即得FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝11－3＝8（单位），由勾股定理FM2＝FN2+MN2，即FM2＝(FM)2+82，解得FM＝10（单位），10×5＝50（cm），所以铁环钩的长度FM为50cm.
直线与圆的位置关系
A组
一 选择题
1、（2011双柏县中考模拟）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P的度数为( )
P
E
A
B
60°
O
A．120° B.90° C.60° D.75°
【答案】C
2、(2011宁波江北模拟) 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A．2π B．4π C． D．4
考查内容：
答案：C
3、(2011宁波江北模拟) 如图，⊙O是⊿ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
[来源:Z§xx§k.Com]
[来源:Z.xx.k.Com]
考查内容：
答案：D
4（2011广州六校一摸）已知的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么直线和的位置关系是（ ）
Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．相交或相离
答案:C.
二 填空题
1．（南京市溧水县2011年中考一模）
如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝36°，则∠C= ▲ ．
（第1题）
O
C
B
A
答案：27°
1、(2011平顶山二模) 如图，⊙0内切于△ABC，切点分别为D、E、F. 已知＜B=50°，＜C=60°，连结OE、OF、DE、DF.则＜EDF= 度.
考查内容:
答案：55
三 解答题
1．(2011杭州市金山学校中考模拟) (6分) （根据2011年3月杭州市九年级数学月考试题第
21题改编）
如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
【答案】（ 6分）
解：（1）作出圆心O， ………………………………………………………………2分
以点O为圆心，OA长为半径作圆.…………………………………………1分
（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.
∴AD是⊙O的直径……………1分
连结OC，∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A =30°,…………1分
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°.
∴BC⊥OC,
∴BC是⊙O的切线. ……………………………………………1分
2. （2011萧山区中考模拟）【改编】（本小题满分8分）
“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，
OB与小⊙O相交于点A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，
设∠FOB＝α，OB＝4，BC＝6．
（1）求证：AD为小⊙O的切线；
第21题
（2）在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；（根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异）
（3）当α＝30º时，求DH的长。（结果保留根号)
【答案】（1）证明：∵是大⊙O的切线，
∴∠＝90°.
∵∥,
∴∠OAD＝90°.即⊥.
又 ∵点A在小⊙O上，
∴AD是小⊙O的切线. ………………………………3分
(2)答案不唯一，略。 …………………………1分
(3)∵∥，∥,
∴四边形是平行四边形.
∴. …………………………………2分
∵∥，∴.
∴.
又∵,
∴.…………………………………………2分
②
①
③
P
④
3．（2011浙江新昌县模拟）图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为，铁环与地面接触点为，铁环钩与铁环的接触点为，铁环钩与手的接触点是，铁环钩长75cm, 表示点距离地面的高度.
[来源:Zxxk.Com]
(1)当铁环钩与铁环相切时(如图③)，切点离地面的高度为5cm，求水平距离 的长；
(2)当点与点同一水平高度时(如图④)，铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端从点提升到与点同一水平高度的点，铁环钩的另一端点从点上升到点，且水平距离保持不变，求的长（精确到1cm）.
【答案】解:（1）如图四边形，是矩形，
中， 2分
方法一 ∵是圆的切线，∴
∴,
得,又, ∴
P
∽△AIB,得
即得 2分
(cm) 1分
方法二：∵是圆的切线，∴
∴,
得,∴
中， 2分
（cm） 1分
(2)如图3，四边形是矩形，
1分
中;
中, 2分
,[来源:学。科。网]
() 2分
4．（南京市雨花台2011年中考一模）(8分)如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，点E是⊙O上一点，且∠AED=45°。
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由;
（2）若⊙O 的半径为，，求∠ADE的正弦值．
（第2题）
答案：（1）与相切。…………………1分
理由是：连接，
则
∵四边形是平行四边形，
∴∥
∴
∴ ∴与相切。………………4分
（2）连接，则，
∵是的直径，
∴，……………………6分
在△中 ，。
∴ ………………………………8分
（其它解法，正确合理可参照给分。）
5.（南京市玄武区2011年中考一模）（7分） 如图，AB为⊙O的直径，点C在上，点D在AB的延长线上于，且AC=CD，已知∠D＝30°.
⑴判断CD与⊙O的位置关系，请说明理由。
⑵若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF＝，求图中阴影部分的面积.
答案：（1）CD与⊙O相切………………..1分
理由：连接OC……………2分
∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°………….3分
∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD, ∴CD与⊙O相切………………4分
（2）∵CF⊥AB，∴CE=CF=……………..5分
在Rt△OCE中，sin60=, OC=2
OE=1 ,-==…………..7分
6．（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）
(10分)如图直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(0，3)，点M在线段AB上．
(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
图1
图2
(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
答案：(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝x＋3，
得－a＝a＋3，得a＝－．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，…………6分
AE＝x，所以AO＝x．………………8分
因为AO＝4，所以，x＝4．
解得x＝．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
7．（南京市浦口区2011年中考一模）（7分）如图，内接于⊙，点在半径的延长线上，．
（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
A
O
C
B
D
（2）若⊙的半径长为1，求由弧、线段和所围成的阴影部分面积（结果保留和根号）．
答案：（本题7分）
解：（1）直线与⊙O相切．------------------------------------------ 1分
理由：在⊙O中，．
又，是正三角形，.-------------------2分
又，，
．-------------------------------------------------- 3分
又是半径，直线与⊙O相切．----------------------------- 4分
（2）由（1）得是，．
，．------------------------------------------ 5分
．-------------------------------------- 6分
又，
．---------------------- 7分
8．（南京市六合区2011年中考一模）（8分）如图，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2，以BC为直径的半圆交AB于
点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．
（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说
明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和）．
答案：解：（1）相切．……………………1分
理由：∵22+(2)2=16=42, ∴AC2+BC2=AB2 ． ∴∠ACB=90°．
∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切．……………………4分
（2）∵Rt△ABC中，cosA= = ．
∴∠A=60°．……………………5分
∴S阴影=S半圆–（S△ABC–S扇形ACE）= π()2–(´2´2–π´22)=–2．……8分
9．（南京市江宁区2011年中考一模）(本题12分) 在正方形网格中以点为圆心，为半径作圆交网格于点（如图（1）），过点作圆的切线交网格于点，以点为圆心，为半径作圆交网格于点
（如图（2））．
图15
问题：
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）可以看作是由经过怎样的变换得到的？并判断的形状（不用说明理由）．
（4）如图（3），已知直线，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形，使三个顶点，分别在直线上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．
答案：（1）连接BC，由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC=BC，…………………………………………………………………………………1分
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即是等边三角形.……………………………………………2分
∴=60°；…………………………………………………………………………3分
（2）∵CD切⊙A于点C，
∴
.…………………………………………………………………4分
在Rt与Rt中，
∵AB=AC,AE=AD.……………………………………………………………………5分
∴ （HL）.……………………………………………………6分
（3）可以看作是由绕点A顺时针旋转60°得到的. …………7分
是等边三角形.………………………………………………………………8分
（4）在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；………………………9分
过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′；……………………………………10分
以点A′为圆心，A ′C′ 长为半径画圆，此圆交直线b于点B′； ……………11分
连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形.………………………12分
10. （南京市建邺区2011年中考一模）（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点O为底边上的中点，以点O为圆心，1为半径的半圆与边AB相切于点D．
D
B
C
A
O
（第9题图）
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝60°时，求图中阴影部分的面积．
解：（1）直线AC与⊙O相切． 1分
理由是：
连接OD,过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB． 2分
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC 3分
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD= OE 4分
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，∴直线AC与⊙O相切． 5分
（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°， ∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD = ，∴AD==，同理可得AE=
∴S四边形ADOE =×OD×AD×2=×1××2= 6分
又∵S扇形形ODE==π 7分
∴S阴影= S四边形ADOE －S扇形形ODE=－π． 8分
11.（南京市鼓楼区2011年中考一模）（8分）如图，△ABC中,∠B＝45°,∠C＝30°,AC＝2，以A为圆心，1为半径画⊙A．
（1）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分面积（结果保留根号）．
C
B
A
。解：（1）直线BC与⊙A相切．
理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，…………………………1分
在Rt△ADC，∠C＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1．…………………………3分
又∵⊙A半径为1，
∴直线BC与⊙A相切．…………………………5分
（2）∵AD⊥BC，∠B＝45°，AD＝1，∠C＝30°，
∴BD＝1．CD＝,∴BC＝BD＋CD＝1＋.
∴S△ABC＝BC×AD＝×（1＋）×1＝．………………………6分
图中阴影部分的面积等于
S△ABC－S扇形＝－＝－．…………………………8分
12．（南京市高淳县2011年中考一模）(9分)如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．
（1）试说明：AE为⊙O的切线；
P
A
B
O
C
D
E
H
（第11题）
（2）延长AE与CD交于点P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．
答案：(9分) （1）连结OA
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO＝∠ADE ………1分
因为AB⊥CD，所以∠AED＝∠AHD＝90°．
又因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA …………………2分
所以∠OAD＝∠ADE，所以OA∥DE ………3分
所以∠OAP＝90°，又因为点A在圆上，所以AE为⊙O的切线． ………4分
C
A
B
O
D
E
H
（2）设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中，
OA2＋AP2＝OP2
x2＋22＝(x＋1)2 ………5分
解得x＝1.5
P
所以⊙O的半径为1.5 ………7分
因为OA∥DE，所以△PED∽△PAO
所以＝，＝，解得DE＝ ………9分
13、（2011名校联合一模）如图直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(0，3)，点M在线段AB上．
(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
图1
图2
(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
考查内容：直线与圆的位置关系
答案：
(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝x＋3，
得－a＝a＋3，得a＝－．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，……………………6分
AE＝x，所以AO＝x．………………8分
因为AO＝4，所以，x＝4．
解得x＝．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
14、（2011朝阳区一模） 已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB
于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．
考查内容: 直线与圆的位置关系
答案：（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF=∠AHF=90°.[来源:学科网]
∴CD为⊙O的切线. ……………… 2分
（2）解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AH=BH==4.
在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，
∴CH=3. ……………………………… 3分
∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF.
∴△HAF≌△HBC.
∴FH=CH=3，CF=6. ………………………………………………………… 4分
连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x-3.
在Rt△BHO中，由，解得. …………………… 5分
∴. .…………………………………………………… 6分
15、(2011海淀一模) 如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上， CF⊥OC，且CF=BF.
（1）证明BF是⊙O的切线;
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.
考查内容:
答案：证明：连接OF.
（1） ∵ CF⊥OC,
∴ ∠FCO=90°.
∵ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠CBO.
∵ FC=FB，
∴ ∠FCB=∠FBC. …………………………..1分
∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.
即 ∠FBO=∠FCO=90°.
∴ OB⊥BF.
∵ OB是⊙O的半径,
∴ BF是⊙O的切线. …………………………..2分
（2） ∵ ∠FBO=∠FCO=90°，
∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.
∵ OA=OC，
∴ ∠ACO=∠A.
∴ ∠FCM=∠M. ……………………………………3分
易证△ACB∽△ABM,
∴ .
∵ AB=4，MC=6，
∴ AC=2. ………………………………………..4分
∴ AM=8，BM==.
∴cos∠MC F = cosM ==.
∴ ∠MCF=30°. ……………………………………..5分
16、(2011怀柔一模) （本题满分5分）如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作 DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：△DFC是等腰三角形.
证明：
考查内容：
答案：证明：连结OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA……………（1分）
∵DC是切线
∴∠DCF=900-∠OCA……………（2分）
∵DE⊥AB
∴∠DFC=900-∠OAC……………（3分）
∵∠OAC=∠OCA，……………（4分）
∴∠DFC=∠DCF……………（5分）即△DFC是等腰三角形.
17、(2011黄冈张榜中学模拟) （满分6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AE=2，CD=3，求⊙O的直径.
考查内容：
答案：（1）证明：由AE⊥CD，可证∠EDA＋∠EAD＝90°；易证∠EDA＝∠ABC＝∠BAD，所以∠BAD＋∠EAD＝90°，即∠EAB＝90°，故AE为⊙O的切线。
（2）作OF⊥CD于F，连结OD，可证OF＝AE＝2，由垂径定理可得，，由勾股定理得，所以直径AB＝5。
6、(2011平顶山二模) （10分）如图，Rt△ABC中，＜ACB=90°,AC=4 ,AB=5 ,点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x,点P到AB的距离PQ为y.
（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）试讨论以P为圆心、半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x取值范围.
考查内容:
答案：解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理可得:BC=. ……1分
由题意可知:∠PQA=∠C=900,∠A=∠A,AP=AC-PC=4-x,
∴△APQ∽△ABC ∴ ,即: , ………………3分
变形得y与x的函数表达式为:,
其中自变量x的取值范围为:0＜x＜4. ………………5分
(2)令PC=PQ,即,解得:x=. ………………7分
∴当0＜x＜时,以P为圆心、半径长为x的圆与AB所在直线相离; ………………8分
当x=时, 以P为圆心、半径长为x的圆与AB所在直线相切; ………………9分
当＜x＜4时,以P为圆心、半径长为x的圆与AB所在直线相交. ………………10分
18、（2011年徐汇区诊断卷） （本题满分12分，第（1）题7分，第（2）题5分）
如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，A
F
C
G
O
D
E
B
将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）证明：直线FC与⊙O相切；
（2）若，求证：四边形OCBD是菱形．
考查内容:
答案：（1）连接． …………………………………………………………1分
A
F
C
G
O
D
E
B
（第23题）
1
3
2
∵， ∴ …………………………………………1分
由翻折得，，．…1分
∴． …………………………………1分
∴OC∥AF．……………………………… ……1分
∴．…………………………1分
∵点C在圆上
∴直线FC与⊙O相切． ………………………1分
（2）解一：在Rt△OCG中，∵，∴， …………1分
∵直径AB垂直弦CD， ∴ ………………………1分
∴ ………………………1分
∵
∴． ………………………1分
∴四边形OCBD是菱形． ………………………1分
解二：在Rt△OCG中，∵，∴， ………………1分
∵，∴ ………………………1分
∵AB垂直于弦CD， ∴ ………………………1分
∵直径AB垂直弦CD， ∴ ………………………1分
∴四边形OCBD是平行四边形
∵AB垂直于弦CD，∴四边形OCBD是菱形． …………………………………1分
19. （2011年从化市综合测试） 图8
如图8，△OAB中，OA=OB，，⊙O经过AB的中点E交OA，OB于C，D两点，连接CD.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求证：CD∥AB；
（3）若，求弧的长（结果保留）.
证明：（1）连接OE．
∵OA=OB，E是AB的中点，
∴OE⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．
（2）在△OAB，△OCD中，
∵∠COD=∠AOB，CO=OD，OA=OB，
∴∠OCD=∠OAB．
∴CD∥AB．
解：（3）∵CD∥AB，∠A=30°，OE⊥AB，,设OE交CD于F
∴∠OCD=30°，OE⊥CD，CF=，∠COD=120°．
OC= =4．
弧的长=
20. （2011番禺区综合训练）图12
如图12，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直，交AF延长线于点D，交AB延长线于点C.
（1）判断CD是否是⊙O的切线, 并说明理由.
（2）若⊙O的半径为1, 求的长.
答案: 图12
证明：（1）连结OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵∠DAE＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD.
.
∵AD⊥CD，
, 故.
∴OE⊥CD ,∴CD是⊙O的切线.
（2），
又 ，.
在中, 即, .
在中, 即, .
21. （2011萝岗区综合测试一)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D，∠B = 30°．
求证：（1）AD平分∠BAC，（2）若BD = ，求B E的长．
答案：证明：A
C
D
O
E
B
1
2
3
（1）连接OD
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC
又∵AC⊥BC
∴OD∥AC，
∴∠2 =∠3；
∵OA = OD，
∴∠1 =∠3；
∴∠1 =∠2；
∴AD平分∠BAC，
（2）在Rt△ODB中，∠ODB=90°， ∠B=30°， BD=．
∵
∴OD=BD·tanB=×=3
∴BO=2OD =6
∵OE=OD=3，∴BE=BO-OE=6-3=3
A
C
D
O
E
B
1
2
第19题图
.
22（2011年天河区综合练习）在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.
（1）当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
（2）求DE的最长距离和最短距离；
（3）如图②，建立平面直角坐标系，当DE =10时，试求直线DE的解析式.
第24题---①
①
第24题---②
第25题
第25题
24.（本题满分14分）
24题第（1）问答案
（1）证明：连结，由题意得，
，，为公共边
∴
24题第（2）问答案
∴
（利用勾股定理逆定理相应给分）
∴
∴与圆相切
（2）当点运动到与点重合的位置时，
为正方形的对角线，所以此时最长，有：
当点运动到线段与半圆的交点处时，最短.
证明如下：
在半圆上任取一个不与点重合的点，连结，.
在中，∵ 即：，
∵ ∴
∵点是任意一个不与点重合的点，∴此时最短.
∴
（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
-
24题第（3）问答案
当点E与点A不重合时，过点E作GH ⊥轴，分别交
，轴于点，，连结.
则四边形是矩形，且为圆的切线
∴=90°
∴
又∵
∴∽
∴
设，则有：，
得：，
解得：， 即：
又直线DE过点D(10,10),设直线解析式为，则有：，
解得：，即：
∴当时，直线的解析式为或
以下两种解法涉及高中知识，仅供参考：
另解2:
（1）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
（2）当点E与点A不重合时，，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
设直线且经过点（10，10），代入求得
所以直线DE的解析式为
另解3:
依题意得:点O的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为
由点到直线的距离公式得: ,即 ①
直线DE过点D(10,10),得 ②
由①②解得：，解得
所以直线DE的解析式为
23. （2011广州六校一摸）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，求的长．（结果保留）
A
O
B
D
C
答案.
（1）证明：连结，
，
A
O
B
D
C
1
2
，，
，．
是的切线．
（2），
的长=．
答：的长为
5. （2010海珠区调研）如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且. 延长交圆的切线于点
(1) 判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2) 如果，，求的长。
（3）将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形
答案: 证明：连结OD ∵是圆的直径 ∴∠ADB=90°
∴∠ADO+∠BDO=90° 又∵DO=BO ∴∠BDO=∠PBD
∵ ∴∠BDO=∠PDA
∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD
∵点D在⊙O上，
∴直线为⊙O的切线.
（2）解：∵ BE是⊙O的切线 ∴∠EBA=90°
∵ ∴∠P=30°
∵为⊙O的切线 ∴∠PDO=90°
在RT△PDO中，∠P=30° ∴ 解得OD=1
∴
∴PA=PO-AO=2-1=1
（3）（方法一）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA ∠PAD=∠DAF
∵ ∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF
∵是圆的直径 ∴∠ADB=90°
设∠PBD=，则∠DAF=∠PAD=，∠DBF=
∵四边形AFBD内接于⊙O ∴∠DAF+∠DBF=180°
即 解得
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°
∵ BE、ED是⊙O的切线 ∴DE=BE ∠EBA=90°
∴∠DBE=60°∴△BDE是等边三角形。∴BD=DE=BE
又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60° ∠DBF==60°
∴△BDF是等边三角形。 ∴BD=DF=BF
∴DE=BE=DF=BF ∴四边形为菱形
（方法二）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA ∠APD=∠AFD
∵ ∠ADF=∠ABF ∠PAD=∠DAF
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF
∴ AD=AF BF//PD
∴ DF⊥PB ∵ BE为切线 ∴ BE⊥PB ∴ DF//BE
∴四边形为平行四边形
∵ PE 、BE为切线 ∴ BE=DE
∴四边形为菱形
24. (2011增城市综合测试)如图，与⊙O相切于点，，⊙O的直径为 4，AB=8
求：（1）的长；
（2）的值．
O
A
C
B
答案: （1）由已知，OC=2，BC=4。
在Rt△OBC中，由勾股定理，得
（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=，OC=2，
∴sinA=
[来源:学|科|网]
B组
40.直线与圆的位置关系
一 选择题
1. (2011广东化州市中考模拟)设⊙O的半径为4cm，点O到直线L的距离是d,若⊙O与直线无公共点，则（ ）
A．d=5 B．05 D．d≤5
答案:
2. (2011广东化州市中考模拟) 如图，PA切⊙O于点A，PO=6，，则图中阴影部分的面积为，则∠P=（ ）
A. 45° B. 60° C. 30° D. 75°
答案:C
图3
3.(2011年白云区初中毕业班综合测试)如图3，Ｐ为⊙Ｏ外一点，ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ，
且ＯＰ＝１０，ＰＡ＝６，则sin∠ＡＰＯ等于（＊）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
答案 B
4.（2011北京平谷区一模） 如图，是的直径，弦，是弦的中点，
．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，
（s）的值为
A． B．1 C．或1 D．或1 或
答案 D
5.（2011北京石景山一模）已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是 （ ）
O
B
C
D
A
第6题
A．1 cm B．2 cm C．3cm D．1 cm或3cm
答案 D
6 (2011武汉样卷) 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
二 填空题
1. （2011河南三门峡模拟一）如图（1），PA、PB分别切O于点A、B，点E是O上一点，用∠AEB = 60℃，则∠P的度数为 .
答案：60
2.(广州四中2011年初三第一次模拟测试)如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是______________
图13
答案 65 或115
3.(广州四中2011年初三第一次模拟测试)如图13，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的1/3，另一根露出水面的长度是它的1/5．两根
铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm．
答案 20
三 解答题
1.（2011河南三门峡模拟一）（本小题满分10分）
如图，O是△ABC的外接圆，AB = AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于P.
（1）求证：AP是O的切线；
（2）若O的半径R = 6，△ACD为等边三角形时，求线段AP的长.
证明：（1）∵
作等腰三角形底边BC上的高AD，
∴AD过圆心O，.……2分
在Rt⊿ACD中∠DAC+∠DCA=90°
∵
∴∠PAC=∠DCA
∴∠DAC+∠PAC =90°
∴是⊙的切线.……6分
（2）∵⊿ACD为等边三角形
∴∠ABP=30°，
∴∠AOP=60°.……8分
在Rt⊿AOP中
.……10分
O
D
C
B
A
（第2题）
2．（2011南京白下区模拟测试一）（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
解：（1）直线CA与⊙O相切． …………………………………………1分
O
D
C
B
A
如图，连接OA．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，∠DOA＝2∠B＝60°．
………………2分
∴∠CAO＝90°，即OA⊥CA． ……………3分
∵点A在⊙O上，
∴直线CA与⊙O相切．
…………………………………………………………………4分
（2）∵AB＝2，AB＝AC，
∴ AC＝2． ………………………………………………………………5分
∵OA⊥CA，∠C＝30°，
∴OA＝AC·tan30°＝2·＝2． ……………………………………6分
∴S扇形OAD＝＝π．……………………………………………………7分
∴图中阴影部分的面积等于S△AOC－S扇形OAD＝2－π． ………………8分
3．（2011北京丰台区统一练习）在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.
（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.
（2）若OB=BD=2,求CE的长．
解：（1）直线FC与⊙O的位置关系是_相切_；………………1’
证明：联结OC
∵OA=OC，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°
∴∠3=∠2 ……………………………………………………2’
∴OC∥AF，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC与⊙O相切 …………3’
（2）在Rt△OCD中，cos∠COD=
∴∠COD=60° …………………………4’
在Rt△OCD中，CE=OC·sin∠COD= ………………………5’
4.(2010-2011学年两校联考综合测试)
如图，已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作
BC∥OP交⊙O于点C，连接AC.
（1）求证：△ABC∽△POA ；
答案
（2）若AB=2，PA=，求BC的长（结果保留根号）.
答案
(1) ∵AB是⊙O的直径 ∴ …………………………2分
∵PA是⊙O的切线 ∴ …………………………4分
∵ BC∥OP ∴
则 △ABC∽△POA ………………………………………………6分
(2) ∵AB是⊙O的直径，且AB=2
∴OA=1 ……………………7分
∵在中，PA=
∴ ……………9分
∵由(1)可知△ABC∽△POA
∴ ……………………………10分
则 ……………………11分[来源:Z_xx_k.Com]
∴求得 …………………………12分
5(2011年浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为，铁环与地面接触点为，铁环钩与铁环的接触点为，铁环钩与手的接触点是，铁环钩长75cm, 表示点距离地面的高度.
(1)当铁环钩与铁环相切时(如图③)，切点离地面的高度为5cm，求水平距离 的长；
(2)当点与点同一水平高度时(如图④)，铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端从点提升到与点同一水平高度的点，铁环钩的另一端点从点上升到点，且水平距离保持不变，求的长（精确到1cm）.
解:（1）如图四边形，是矩形，
中， 2分
方法一 ∵是圆的切线，∴
∴,
得,又, ∴
∽△AIB,得
即得 2分
(cm) 1分
方法二：∵是圆的切线，∴
∴,
得,∴
中， 2分
P
（cm） 1分
(2)如图3，四边形是矩形，
1分
中;
中, 2分
,
() 2分
6.（2011北京东城一模）已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，
求⊙O的半径．
答案（1）证明：在⊙O中，OD⊥AB，CB⊥AB，
∴AM＝MB，OD∥BC. …………………1分
∴AD＝DC. ……………2分
（2）∵DE为⊙O切线，
∴OD⊥DE ……………3分
∴四边形MBED为矩形.
∴DE∥AB. ……………4分
∴MB=DE=2，MD=BE＝EC=1.
连接OB.
在Rt△OBM中，OB2=OM2+BM2.
解得 OB= . …………………5分
7.（2011北京平谷区一模）如图，在中，，是角平分线，
平分交于点，经过两点的交于
点，交于点，恰为的直径．
（1）求证：与相切；
（2）当时，求的半径．
解：（1）证明：连结，则．
∴ ．
O
B
G
E
C
M
A
F
1
2
3
∵ 平分．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．…………………………..1分
在中，
∵ ，是角平分线，
∴ ．………………………………………………………………………..….2分
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与相切．………………………………………………………………………3分
（2）解：在中，，是角平分线，
∴．
∵，
∴,
在中，，
∴．………………………………………………………………….4分
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴ ．
∴ ．
解得．∴ 的半径为．………………………………………………………….5分
8.（2011北京怀柔一模）如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作 DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：△DFC是等腰三角形.
答案 证明：连结OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA……………（1分）
∵DC是切线
∴∠DCF=900-∠OCA……………（2分）
∵DE⊥AB
∴∠DFC=900-∠OAC……………（3分）
∵∠OAC=∠OCA，……………（4分）
∴∠DFC=∠DCF……………（5分）即△DFC是等腰三角形.
9（2011北京石景山一模）．已知：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的⊙与，分别交于点E、点F，且∠=∠．
（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求⊙的半径．
答案 解：(1)直线与⊙O相切……………………………………………………1分
证明：联结
在矩形中, ∥
∴∠=∠
∵
∴∠=∠
又∵∠=∠
∴∠=∠……………………………………………………………2分
∵矩形,∠
∴
∴
∴………………………………………………………………3分
∴直线与⊙O相切
(2) 联结
方法1：
∵四边形是矩形,
∴,
∵∠=∠
∴
∴…………………………………………………4分
在中,可求
∴勾股定理求得
在中，
设⊙O的半径为
则
∴= ……………………………………………………………………5分
方法2：∵是⊙O的直径
∴
∵四边形是矩形
∴,
∵∠=∠
∴
设，则
∵
∴ ……………………………………………………………4分
∵
∴
∴
∴
∴为中点．
∵为直径，∠
∴
∴
∴⊙O的半径为 ……………………………………………………………5分
10（2011路桥二中一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45º．
（1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3cm，AE＝4 cm．求∠ADE的正弦值．
答案 21.（1） 直线CD与圆O相切； ……………………… 1分
连接OD，则∠AOD=2∠AED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°，∴OD⊥CD，∴直线CD与圆O相切；……… 4分
(2) 连接BE，则∠ADE=∠ABE，∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=6. ……………………… 2分
在Rt△ABE中，sin∠ABE=AE/AB = 2/3， ……………………… 2分∴sin∠ADE=sin∠ABE=2/3. ……………………… 1分
11（2011从化综合） 图8
如图8，△OAB中，OA=OB，，⊙O经过AB的中点E交OA，OB于C，D两点，连接CD.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求证：CD∥AB；
（3）若，求弧的长（结果保留）.
答案 证明：（1）连接OE． …………1分
∵OA=OB，E是AB的中点，
∴OE⊥AB． …………3分
∴AB是⊙O的切线． …………4分
（2）在△OAB，△OCD中，
∵∠COD=∠AOB，CO=OD，OA=OB，
∴∠OCD=∠OAB． …………6分
∴CD∥AB． …………8分
解：（3）∵CD∥AB，∠A=30°，OE⊥AB，,设OE交CD于F
∴∠OCD=30°，OE⊥CD，CF=，∠COD=120°．
OC= =4． …………10分
弧的长= …………12分
