全国181套中考数学试题分类汇编42解直角三角形和应用

全国181套中考数学试题分类汇编42解直角三角形和应用

‎42：解直角三角形和应用 一、选择题 ‎1.（浙江宁波3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），三角函数定义。‎ ‎【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角的正弦等于对边比斜边求出滑梯长：∵，‎ ‎∴。故选A。‎ ‎2.（广西北海3分）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60º方向上，‎ 渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，‎ 这时渔船与灯塔C的距离是 A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】由已知，可知∠ABC＝90º，∠BAC＝30º， AB＝12，所以BC＝，故选D。‎ ‎3.（湖南衡阳3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是 ‎ ‎ A、10m B、10m C、15m D、5m ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，含30度角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10。故选A。‎ ‎4.（山东滨州3分）‎ 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为（精确到0.1）‎ ‎ A、9.1 B、9.5 C、3.1 D、3.5‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义有cosA＝，∴ AC＝AB•cosA＝10·cos72°≈3.1。故选C。‎ ‎5.（山东东营3分）河堤横断面如图所示．堤高BC=5，迎水坡AB的坡比是 (坡比是坡面的铅直高度BC与水乎宽度AC之比)．则AC的长是 ‎ A，米 8．10米 C. 15米 D．米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】由已知BC：AC＝，即tanA＝；由正切函数的定义，tanA＝，而BC=5米，从而AC＝＝米。故选A。‎ ‎6.（山东潍坊3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.‎ 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 ‎140m ‎100m ‎95m ‎90m 线与地面夹角 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可：如图，‎ 甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70=‎ ‎；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=50‎ ‎=；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°==；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90‎ ‎×sin60°=45=。∵＜＜＜，∴GH＜AB＜DE＜JK。可见丁同学所放的风筝最高。故选D。‎ ‎7.（湖北荆门3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】作CD⊥BD，交BA的延长线于D，‎ ‎∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°。‎ ‎∴2AD=AC=2。∴AD=1，CD=。∴BD=5，∴BC=2。‎ ‎∴sinB= 。故选D。‎ ‎8.（内蒙古乌兰察布4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .（不考虑其它因素）‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得 ‎ BC＝BD－CD＝。‎ b a B A ‎9.（四川绵阳3分）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a 为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角b 为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10 cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ A．36.21米 B．37.71米 C．40.98米 D．42.48米 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）‎ ‎【分析】：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为米，则得：解得：≈42.48。故选D。‎ ‎10.（青海西宁3分）某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为 A．10米 B．20米 C．40米 D．20米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理。‎ ‎【分析】如图：∵坡度i=1： 3，∴设AC=x，BC= 3x，‎ 根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，则x2+（ 3x）2=202，解得x=10。故选A。‎ ‎11.（贵州毕节3分）如图，将一个Rt△ABC形状 的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩 底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 ‎200，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则 木桩上升了 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。‎ ‎【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°。故选A。‎ 二、填空题 ‎1.（天津3分）如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。‎ ‎【分析】∵在Rt△ABO中，，‎ ‎ ∴AD=2AO=。‎ ‎ 连接CD，则∠ACD=90°。‎ ‎ ∵在Rt△ADC中，，‎ ‎ ∴BC=AC－AB=15－10=5。‎ ‎2．（重庆潼南4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距‎300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=　 ▲ 　米．（结果精确到‎1米）‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】260。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义，解分式方程。‎ ‎【分析】设CD=，则由∠ADC=90°，∠ACD=60°可得AC=2， AD=，‎ 由BC=300，得BD=300＋，‎ 在Rt△ABD中， tinB=，∴，解并检验得：=150。‎ ‎∴AD==（米）。‎ 故答案为：‎260米．‎ ‎3.（浙江义乌4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ▲ m． ‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。‎ ‎【分析】过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，‎ ‎∵已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°－∠ABC=45°。‎ ‎∴CE=BC•sin∠CBE=·sin45°=。‎ ‎∴h=5。‎ ‎4.（湖南岳阳3分）如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】由已知设AB=AC=2，‎ ‎∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=AC=，则AD2=AC2﹣CD2=（2）2﹣2=32。‎ ‎∴AD=。‎ ‎∴BD=AB﹣AD=2﹣=（2﹣），‎ ‎∴tan15°=。‎ ‎5.（湖南株洲3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出 发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季 受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上 升的高度BC是 ▲ 米．‎ ‎【答案】40。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含30°的角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可求得BC=80× 12=40米。‎ ‎6.（江苏南通3分）如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，‎ 测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 ▲ ‎ ‎ m(结果保留根号)．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，二次根式计算。‎ ‎【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中 ‎7.（广东茂名3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=　 ▲ 　米．‎ ‎【答案】100。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，‎ ‎∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。‎ ‎8. （湖北襄阳3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=1000m，∠D=50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE= ▲ m．‎ ‎（供选用的三角函数值：sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192）‎ ‎【答案】642.8 。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可：‎ ‎∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°。‎ ‎∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。‎ ‎∴DE =BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8 （m）。‎ ‎9.（湖北黄冈、鄂州3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】三角形的面积。‎ ‎【分析】∵点D是AC的中点，S△ABC=12，∴S△ABD=×12=6。‎ ‎∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=×12=4。‎ ‎∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。‎ ‎10.（甘肃兰州4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为 ▲ ．‎ ‎【答案】75°。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），坡度计算，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】坝内斜坡的坡度i=1：，说明tga=，则a=30° 外斜坡的坡度i=1：1，说明tgv=1，v=450，两角和为75°。‎ ‎11.（福建三明4分）如图，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC=18m，则树高AB约为 ▲ m（结果精确到0.1m）‎ ‎【答案】12.6。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】利用所给角的正切函数求解：∵tanC，∴AB= BC ·tanC=18×tan35°≈12.6（米）。一般角的三角函数值需要利用计算器计算。‎ ‎12.（福建莆田4分）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= ▲ 米。‎ ‎【答案】58。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质。。‎ ‎【分析】过点A作AE⊥CD于点E．‎ 根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30，‎ ‎∴DC=DE＋EC=DE＋AB=30＋28=58（米）。 ‎ ‎13.（福建莆田4分）如图，一束光线从点A（3, 3）出发，经过y轴上的点C反射后经过点B（1, 0），则光线从A到B点经过的路线长是 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，轴对称的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，延长AC交x轴于B′，‎ 则根据光的反射原理点B、B′关于y轴对称，CB=CB′。‎ 作AD⊥x轴于D点，则AD=3，DB′=3+1=4， ‎ ‎∴由勾股定理可得AB′= 。‎ 即光线从点A到点B经过的路径长为5。‎ 三、解答题 ‎1.（北京5分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．‎ ‎（1）求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接AE。∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。‎ ‎ ∴∠1+∠2=90°。‎ ‎ ∵AB=AC，∴∠1=∠CAB。‎ ‎ ∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线。‎ ‎ （2）过点C作CG⊥AB于点G。‎ ‎ ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=。‎ ‎ ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=。‎ ‎ ∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2。‎ ‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2，∴sin∠2=，cos∠2=。‎ ‎ 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3。‎ ‎ ∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴。∴。‎ ‎【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。‎ ‎ （2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。‎ ‎2.（天津8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为‎300 m．在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C．在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离BC (取l.73．结果保留整数)．‎ ‎【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。‎ ‎ 在Rt△ADB中，∵ ∠BAD=300，∴。‎ ‎ 在Rt△CDB中，。‎ ‎ 答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为‎173 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。‎ ‎3.（重庆綦江6分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了‎6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=‎‎21米 ‎，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：∵∠CBE=45°，CE⊥AE，∴CE=BE =21。∴AE=AB+BE=21+6=27。‎ 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=AE·tan30°=27×=9，‎ ‎∴CD=CE﹣DE=21﹣9。‎ ‎∴广告屏幕上端与下端之间的距离约为21﹣9m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，从而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离。‎ ‎4.（浙江绍兴8分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为‎45cm，‎60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为‎20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．‎ ‎（1）求车架档AD的长；‎ ‎（2）求车座点E到车架档AB的距离．‎ ‎（结果精确到 ‎1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）‎ ‎【答案】解：（1）AD= ， ‎ ‎∴车架当AD的长为‎75cm。‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，‎ 距离EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63cm。‎ ‎∴车座点E到车架档AB的距离是‎63cm。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。‎ ‎【分析】（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可。‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案。‎ ‎5.（浙江金华、丽水6分）‎ 生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为‎6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．‎ ‎（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）‎ ‎【答案】解：当α=70°时，梯子顶端达到最大高度，‎ ‎∵sinα=，∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6（米）．‎ 答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），有效数字。‎ ‎【分析】易知α越大，梯子顶端达到最大高度，利用70°正弦值可得最大高度AC。‎ ‎6.（浙江台州10分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度(精确到个位，≈1.7)．‎ ‎【答案】解：由∠ABC＝120º可得∠EBC＝60º。 ‎ 在Rt△BCE中，CE＝51，∠EBC＝60º，‎ ‎∴tan60º＝， BE＝＝≈30 。‎ 在矩形AECF中，由∠BAD＝45º，得∠ADF＝∠DAF＝45º 。‎ ‎∴DF＝AF＝51。∴FC＝AE＝34＋30＝64。∴CD＝FC－FD≈64－51＝13。‎ 因此BE的长度约为30cm，CD的长度约为13cm 。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°，求得BE，在矩形AECF中，由∠BAD-45°，从而求得DF=AF=51，从而求得BE，CD的长度。‎ ‎7.（浙江省10分）图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为‎5m，每层楼高‎3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．‎ ‎(1)求16层楼房DE的高度；‎ ‎(2)若EF=‎16m，求塔吊的高CH 的长（精确到‎0.1m）.‎ ‎【答案】解：(1)据题意得：DE=3.5×16=56。‎ ‎ (2)AB=EF=16。‎ ‎∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠CAB。∴CB=AB=16。‎ ‎∴CG=BC×sin30°= 8。∴CH=CG＋HG=CG＋DE＋AD=8＋56＋5=69。‎ ‎∴塔吊的高CH的长为‎69.0m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】(1) 每层楼高×层数即得。‎ ‎ (2)要求CH 的长，求出CG即可，解直角三角形CBG即可得。‎ ‎8. （辽宁沈阳10分）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=‎2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=‎10米，且cosA=，sinA′=．‎ ‎⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；‎ ‎⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：⑴过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E。‎ 根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC，‎ ‎∴∠A′ED=∠ADO=90°。‎ 在Rt△AOD中，∵cosA=，OA=10，‎ ‎∴AD=6。∴OD==8。‎ 在Rt△A′OE中，∵sinA′=，OA′=10，‎ ‎∴ OE=5。∴BC=ED=OD－OE=8－5=3。‎ ‎⑵在Rt△A′OE中，A′E==。‎ ‎∴B′C=A′C－A′B′=A′E＋CE－AB=A′E＋CE－（AD＋BD）‎ ‎=＋2－（6＋2）=－6。‎ 答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（－6）米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。‎ ‎【分析】（1）先过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E，则得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE，从而求出BC。‎ ‎（2）先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C。‎ ‎9.（辽宁大连12分）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距‎12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为‎1.6m．‎ 求建筑物BC的高度；‎ ‎⑵求旗杆AB的高度．‎ ‎（结果精确到‎0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）‎ ‎【答案】解：（1）过点E作ED⊥BC于D，‎ ‎∵底部B的仰角为45°，即∠BED=45°，‎ ‎∴∠EBD=45°。∴BD=ED=FC=12。‎ ‎∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6。‎ 答：建筑物BC的高度为13.6m。‎ ‎（2）∵由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°，‎ ‎∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.4。‎ ‎∴AB=AD－-BD=15.4－12=3.4。‎ 答：旗杆AB的度约为3.4m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC。‎ ‎（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD－BD。‎ ‎10.（辽宁本溪10分）‎ 如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）‎ ‎【答案】解：过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E。‎ 在Ｒt △CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=50。‎ DF=CD•cos30°=。‎ ‎∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE，∴∠CEA=∠EAF=∠AFC=90°。‎ ‎∴四边形AECF是矩形。∴AE=CF=50，CE=AF。‎ 在Ｒt △AEB中，∠EAB=90°-45°=45°，∴BE=AE=50。‎ ‎∴CB=AD+DF－BE=。‎ ‎∴（海里/时）。‎ 答：快艇每小时航行33.3海里∕时。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由已知先构建Ｒt △CFD和矩形AEFC，能求出CF和FD，已知测得C处在D处得北偏西30°的方向上，港口B在港口A的西北方向，所以BE=AE=CF，由已知求出AE，则能求出BC，从而求出答案。‎ ‎11．（辽宁丹东10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=‎2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=l‎0m．请你根据以上数据计算GH的长。‎ ‎ (≈1.73．要求结果精确到‎0.1m) ‎ ‎【答案】解：延长CD交AH于点E，易知∠AEC＝90°，设GH＝CE＝，则DE＝－2。‎ ‎ 在Rt△BED中，，则AE＝AB＋BE＝10＋。‎ ‎ 在Rt△AEC中，，‎ 即，‎ ‎　　　　解得。‎ ‎　　　　∴GH的长为7.7 m。‎ ‎12.（辽宁抚顺10分）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE＝30°，AB＝‎6米，AC＝‎4米．求树高BD的长是多少米？(结果保留根号)‎ ‎【答案】解：延长DB交AE于F，由题可得BD⊥AB。‎ 在Rt△ABF中∠BAF＝30°，AB＝6，‎ ‎∴　BF＝AB·tan∠BAF＝6·tan30°＝2，‎ AF＝，‎ ‎∠DFC＝60°。‎ ‎∵　∠C＝60°，∴　∠C＝∠CFD＝∠D＝60°。‎ ‎∴　△CDF是等边三角形。∴　DF＝CF＝AC＋AF＝4＋。‎ ‎∴　DB＝DF－BF＝（4＋）－2＝2＋4。‎ 答：树高BD的长是(2＋4)米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】要求树高BD，即要将它放到三角形中，故作辅助线：延长DB交AE于F，这样DB＝DF－BF。一方面在Rt△ABF中应用锐角三角函数可求得BF和AF，另一方面可证△CDF是等边三角形。从而得求。‎ ‎13.（吉林省7分）如图所示，为求出河对岸两棵树A.B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线的前进了‎12米到达D，测得∠CDB=900。取CD的中点E，测∠AEC=560, ∠BED=670，求河对岸两树间的距离（提示：过点A作AF⊥BD于点F）‎ ‎(参考数据sin560≈ ,tan560 ≈,sin670≈,tan670≈)‎ ‎【答案】解：∵E为CD中点，CD=12，∴CE=DE=6。‎ 在Rt△ACE中，∵tan56°=，∴AC=CE·tan56°≈6×=9。‎ 在Rt△BDE中，∵tan67°=  ，∴BD=DE. tan67°=6×=14 。‎ ‎∵AF⊥BD ，∴AC=DF=9，AF=CD=12。∴BF=BD-DF=14-9=5。‎ 在Rt△AFB中，AF=12，BF=5，‎ ‎∴。‎ ‎∴两树间距离为‎13米。‎ ‎【考点】矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理。‎ ‎【分析】利用锐角三角函数求出AC，BD，即可在Rt⊿AFB中应用勾股定理求出AB。‎ ‎14.（吉林长春5分）平放在地面上的直角三角形铁板ABC的 一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A为54°，斜 边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．（结果精确到0.1m）‎ ‎【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38】‎ ‎【答案】解：CD＝BC－BD＝AB•sin54°－BD＝2.1×0.81－0.9＝0.801≈0.8（m）。‎ ‎ 答：板BC边被掩埋部分CD的长为‎0.8 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD＝BC－BD即可求解。‎ ‎15.（黑龙江大庆6分）如图，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30º方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西45º方向．求当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时与灯塔C的距离(结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73)．‎ ‎【答案】解：设 在△中，得， ‎ ‎∵，∴。‎ 在△ACD中，，∴，即。‎ 解得。‎ ‎∴(海里)。‎ ‎∴当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，轮船与灯塔C的距离为81.9海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】因为CD是△CDB和△ADC的共有直角边，那么可用CD来表示出AD和BD，再根据AB的长来求出CD。‎ ‎16.（广西贺州7分）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，‎ 如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD＝68°．为 了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经 地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．‎ ‎（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；‎ ‎（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，‎ 问这样改造能确保安全吗？‎ ‎（参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，sin 58°12’≈0.85，tan 49°30’≈1.17）‎ ‎【答案】（1）解：在Rt△ABE中，AB＝26，∠BAD＝68° ，∴sin∠BAD＝。‎ ‎∴BE＝AB·sin∠BAD＝26×sin 68°≈‎24.2米。‎ A C B D E F ‎·‎ M ‎（2）解：过点F作FM⊥AD于点M，连结AF。‎ ‎∵BE⊥AD，BC∥AD，BF＝11，‎ ‎∴FM＝BE＝24.2，EM＝BF＝11。‎ 在Rt△ABE中，cos∠BAE＝，‎ ‎∴AE＝AB·cos∠BAE＝26×cos 68°≈‎9.62米。‎ ‎∴AM＝AE＋EM＝9.62＋11＝20.62 。 ‎ 在Rt△AFM中，∴tan∠FAM＝＝≈1.17。‎ ‎∴∠FAM≈49°‎30’‎＜50° ，‎ ‎∴这样改造能确保安全。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABE中，应用锐角三角函数直接可求BE的长。‎ ‎ （2）这样改造能否确保安全，只要∠FAM＜50°即安全，否则不安全。因此解Rt△ABE即可。‎ ‎17.（广西崇左12分）‎‎2011年3月11日 ‎13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=‎4米.‎ ‎（1）求∠DAC的度数；‎ ‎（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：）‎ ‎【答案】解：（1）∵∠GAE＝90°－∠AEG＝90°－23°＝67°，‎ ‎＝∠DAC＝180°－∠BAC－∠GAE ‎ ‎＝180°－38°－67°＝75°；‎ ‎（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，‎ 则在Rt△ADH中，∵∠ADC＝60°，AD＝4，‎ ‎∴DH＝2，AH＝。‎ 在Rt△ACH中，∵∠C＝45°，∴CH＝AH＝，AC＝。‎ ‎∴这棵大树折断前高为AC＋CH＋DH＝＋＋2≈‎10米.。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，三角形内角和定理，特殊角三角函数。‎ ‎【分析】（1）通过延长BA交EF于一点G，则∠CAD=180°-∠BAC-∠EAG即可求得。‎ ‎（2）作AH⊥CD于H点，作CG⊥AE于G点，先求得CD的长，然后再求得CG的长。‎ ‎18.（广西柳州8分）在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小 组到操场测量学校旗杆的高度．如图，在测点D处安置测倾器，测得 旗杆顶的仰角∠ACE的大小为30º，量得仪器的高CD为1.5米，测点 D到旗杆的水平距离BD为18米，请你根据上述数据计算旗杆AB的 高度（结果精确到0.1米；参考数据≈1.73）‎ ‎【答案】解：在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，CE＝BD＝15，‎ ‎∴tan∠ACE＝。‎ ‎∴AE＝CE·tan∠ACE＝15·tan30°＝5。‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝5＋1.5＝8.6＋1.5＝10.1（米）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可。‎ ‎19.（广西钦州8分）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，‎ 如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD＝68°．为 了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经 地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．‎ ‎（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；‎ ‎（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，‎ 问这样改造能确保安全吗？‎ ‎（参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，sin 58°12’≈0.85，tan 49°30’≈1.17）‎ ‎【答案】（1）解：在Rt△ABE中，AB＝26，∠BAD＝68° ，∴sin∠BAD＝。‎ ‎∴BE＝AB·sin∠BAD＝26×sin 68°≈24.2米。‎ A C B D E F ‎·‎ M ‎（2）解：过点F作FM⊥AD于点M，连结AF。‎ ‎∵BE⊥AD，BC∥AD，BF＝11，‎ ‎∴FM＝BE＝24.2，EM＝BF＝11。‎ 在Rt△ABE中，cos∠BAE＝，‎ ‎∴AE＝AB·cos∠BAE＝26×cos 68°≈9.62米。‎ ‎∴AM＝AE＋EM＝9.62＋11＝20.62 。 ‎ 在Rt△AFM中，∴tan∠FAM＝＝≈1.17。‎ ‎∴∠FAM≈49°30’＜50° ，‎ ‎∴这样改造能确保安全。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABE中，应用锐角三角函数直接可求BE的长。‎ ‎20.（广西梧州8分）如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m.在D点处观察点A的仰角为540，已知坡角为300，你能求出楼房AB的高度吗？‎ ‎（tan54°≈1.38，结果精确到0.1 m）‎ ‎【答案】解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F。‎ ‎ 在Rt△ECD中，CD＝6，∠ECD＝30°，∴DE＝3＝FB，EC＝3。‎ ‎ ∴DF＝EC＋CB＝8＋3。‎ ‎ 在Rt△ADF中，tan∠ADF＝，‎ ‎∴AF＝DF·tan54°＝（8＋3）×1.38≈18.20。‎ ‎ ∴AB＝AF＋FB=18.20＋3＝21.20≈21.2。 ‎ ‎ ∴楼房AB的高度约是21.2m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数。‎ ‎【分析】分别在Rt△ECD和Rt△ADF中应用锐角三角函数解直角三角形即可求得。‎ ‎21.（广西玉林、防城港8分）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.41，≈1.73 ）‎ ‎【答案】解：根据题意画出图形，在Rt△CEB中，sin60°＝，‎ ‎∴CE＝BC•sin60°＝10×≈8.65m。‎ ‎∴CD＝CE+ED＝8.65+1.55＝10.2≈10m，‎ 答：风筝离地面的高度为10m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，根据sin60°＝可求出CE的长，再根据CD＝CE＋ED即可得出答案。‎ ‎22．（湖南长沙9分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。已知天桥高度BC≈‎4.8米，引桥水平跨度AC=‎8米。‎ ‎（1）求水平平台DE的长度；‎ ‎（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为‎3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比。‎ ‎ (参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75)‎ ‎【答案】解：（1）延长BE交AC于F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，‎ 在Rt△BCF中，‎ CF=，‎ ‎∴AF=AC－CF=8-6.4=1.6。‎ 已知BE∥AD，∴四边形AFED为平行四边形，∴DE=AF=1.6。‎ 答：水平平台DE的长度为1.6米。 ‎ ‎（2）在Rt△EFG中，EG=MN=3，∴，即AD=5。‎ ‎∴BE=BF－EF=8－5=3。‎ 所以两段楼梯AD与BE的长度之比5：3。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，平行四边形和矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）首先由已知构造直角三角形如图，延长BE交AC于F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，解Rt△BCF求得CF，又由已知BE∥AD，四边形AFED为平行四边形，所以DE=AF=AC－CF。‎ ‎（2）由四边形EGNM是矩形可得，EG=MN=3，解Rt△EGF可求出EF，则BE=BF－EF，而AD=EF，从而求得两段楼梯AD与BE的长度之比。‎ ‎23.（湖南常德8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃，（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒羊羊在大树底下睡觉，此时，测得懒羊羊所在地B处得俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处得俯角为30°。已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）‎ ‎【答案】解：在Rt△BCD中，‎ ‎ ∵∠BCD=90°﹣30°=60°，∴，则 BD=CD，‎ ‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎ ∵∠ABD=60°，∴，即，解得：CD=20，‎ ‎ ∴t=。‎ ‎ ∴约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】分别在直角三角形中表示出BD，利用锐角三角函数求得CD的长即可。‎ ‎24.（湖南湘潭6分）‎ 莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°（测角器的高度不计）．‎ ‎（1）AD=　 　米；‎ ‎（2）求旗杆AB的高度（）．‎ ‎【答案】解：（1）6。‎ ‎（2）在Rt△ABD中，∵AD=6，∠ADB=60°，‎ ‎∴AB=。‎ ‎∴旗杆AB的高度为5.2米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】（1）∵∠DAC=∠ADB－∠C=60°－30°=30°，∴∠DAC=∠C。‎ ‎ ∴AD=CD=6。‎ ‎（2）在Rt△ABD中，应用正弦函数定义即可求。‎ ‎25.（湖南张家界8分）如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°,船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离.‎ ‎【答案】解：设OC=海里，依题意得 ‎ BC=OC=, AC = ‎ ‎ ∴AC－BC=10，即（），‎ ‎ 解得， 。 ‎ 答：船与小岛的距离是海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】设OC=x海里，依题意得，BC=OC=，AC= ，再根据AC－BC=10即可得到关于的一元一次方程，求出的值即可。‎ ‎26.（湖南益阳8分）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响 汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉 线．已知公路的宽AB为‎8米，电线杆AE的高为‎12米，水泥撑杆BD高为‎6米，‎ 拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同 一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．‎ ‎(参考数据:sin67.4°≈ ,cos67.4°≈ ,tan67.4°≈)‎ ‎【答案】解：⑴在RtDBC中，，‎ ‎∴（m）。‎ 作DF⊥AF于点F，则四边形ABDF为矩形。‎ ‎∴DF=AB=8，AF=BD=6，∴EF=AE－AF=6。‎ 在Rt△EFD中，。‎ ‎∴L=10＋6.5=16.5。‎ 答：拉线CDE的总长L为16.5m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质。‎ ‎【分析】根据，得出CD的长，再根据矩形的性质得出DF=AB=8，AF=BD=6，从而得出拉线CDE的总长L。‎ ‎27.（湖南邵阳8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道．设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图所示的测量方法．在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC＝325米，求索道AB的长度．（结果精确到1米）‎ 参考数据 sin16°≈0.28‎ cos16°≈0.96‎ tan16°≈0.29‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，AC=325， ∠B =160，sin16°≈0.28，‎ ‎ ∴ 即 AB≈1161（米）。‎ 答：索道AB的长度为1161米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】在Rt△ABC中，直接应用正弦函数即可求解。‎ ‎28.（湖南娄底7分）‎ 喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．（最后结果精确到1米．已知：≈1.414，≈1.732，≈2.449，供选用）‎ ‎【答案】解：如图，由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°．‎ 在Rt△ABD中，BD=AD．‎ 在Rt△ACD中，CD=AD。‎ 设AD=，则有BD=，CD=．依题意，得BD+CD=300，即＋=300，‎ ‎∴（1＋）=300，∴（米）。‎ 答：河宽AD约为110米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】根据由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，利用BD=，CD=，即可得出＋=300，求出即可。‎ ‎29.（江苏苏州5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．‎ ‎ (1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 ▲ 度；‎ ‎ (2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．‎ ‎【答案】解：(1)30。‎ ‎ (2) 设过点P的水平线为PQ，则由题意得：∠QPA＝15°，∠QPB＝60°，‎ ‎ ∵PQ∥HC，∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB－∠QPA＝45°。‎ ‎ 又∵，∴∠ABC＝30°。‎ ‎∴∠ABP＝180°－∠ABC －∠PBH＝90°。‎ ‎∴在Rt△PBC中，PB＝。‎ ‎ ∴在Rt△PBA中，AB＝PB＝。‎ ‎ 答：A、B两点间的距离约34.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数, 三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1) 由tan∠ABC，知∠ABC=300。‎ ‎ (2) 欲求A、B两点间的距离, 由已知可求得△PBA是等腰直角三角形, 从而知AB=PB。因此在Rt△PBC中应用三角函数求解即可。‎ ‎30. (江苏无锡9分) 如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．‎ ‎【答案】解: 过C作CE⊥AD，垂足为点E。‎ 在△ABD中，，‎ ‎∴。‎ 在△ABC中，，‎ ‎∴。‎ 在△ACE中，。‎ ‎∴。‎ 在△CDE中，。‎ 根据勾股定理有, 。‎ ‎∴山头C、D之间的距离是千米 ‎【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，辅助线作法。‎ ‎【分析】要求CD的值就要把它放到－个直角三角形中，考虑作CE⊥AD。只要求出CE，ED即可。而CE可由Rt△ACE求得，Rt△ACE中AC又可由Rt△ABC求得，而ED可由AD－AE求得；AE同样可由Rt△ACE求得，AD由Rt△ABD求得。‎ ‎31.（江苏南京7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的 高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点 C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、‎ D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【答案】解:在中，＝．‎ ‎∴EC＝≈（）．‎ 在中，∠BCA＝45°，∴‎ 在中，＝．∴．∴（）． ‎ 答：电视塔高度约为120． ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】要求AB，由只要求出CA即可。在中，＝，故只要求出EC，而EC可由EC＝求得。‎ ‎32.（江苏泰州10分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。‎ ‎（1）求证：GF⊥OC；‎ ‎（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。‎ ‎（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）‎ ‎【答案】解:（1）在四边形BCFG中，‎ ‎ ∵∠GFC＝360°－90°－65°－（90°＋25°）＝90°，∴GF⊥OC。‎ ‎ （2）如图，作FM∥GH交EH与M， 则有平行四边形FGHM，‎ ‎∴FM＝GH＝2.6m，∠EFM＝25°。‎ ‎∵FG∥EH，GF⊥OC，∴EH⊥OC 在Rt△EFM中：EF＝FM·cos25°≈2.6×0.91＝2.4m ‎【考点】多边形内角和定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）欲证GF⊥OC，只要证90°，在四边形BCFG中应用四边形内角和是360°，即可证得。‎ ‎ （2）欲求EF的长，就要把它放到一个三角形中，作FM∥GH交EH与M，‎ 易证EH⊥OC，‎ 解Rt△EFM可得。‎ ‎33.（江苏扬州10分）如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．‎ ‎（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）‎ ‎（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：）‎ O D B A CA EA ‎【答案】解：（1）在中，DE＝76厘米，∠CED＝600，‎ ‎∴CD＝DE。‎ ‎（2）设OD＝OB＝，‎ 在中，∠BAC＝300，‎ ‎∴OA＝2OC，即 解得。‎ ‎∴水箱半径OD的长度为18.5cm。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角三角函数值，300直角三角形的性质，列方程解应用题（几何问题）。‎ ‎【分析】（1）在中直接应用正弦函数解直角三角形。‎ ‎ （2）在中，∠BAC＝300则OA＝2OC，从而列式求解。‎ ‎34.（江苏盐城10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）‎ ‎【答案】解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.。 ‎ 在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝30× ＝15。‎ 在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝40×＝20。‎ ‎∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋20＋2＝17＋20≈51.64≈51.6（cm）。‎ 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值，矩形的性质。‎ ‎【分析】要求CE就要考虑直角三角形，所以作辅助线：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. 得到两个直角三角形和一个矩形。这样利用解直角三角形就易求出。‎ ‎35.（江苏淮安10分）图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD＝‎30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.‎ ‎【答案】解：如图，设过点A的水平线AE与CD交于点E，‎ 由题意得 ‎∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝‎30m，‎ ‎∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝30＋30(m)。‎ ‎ 答：铁塔CD的高度为(30＋30)m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），特殊角三角函数，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】要求CD的长度，就要把它分解成两段，使它们成为两个直角三角形中的线段，所以作辅助线过点A的水平线AE，得到两个直角三角形ACE和ADE。这两个直角三角形的AE边与已知的BD是矩形的对边，是相等的。从而在这两个直角三角形分别应用特殊角的三角函数求解即可。‎ ‎36.（江苏宿迁10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面 上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向 建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测 角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结 果精确到1m）‎ ‎【答案】解：设CE＝m，则由题意可知BE＝m，AE＝(＋100)m。‎ ‎ 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝‎ ‎∴，3＝(＋100)‎ 解得＝50＋50＝136.6（检验合格）‎ ‎∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)‎ ‎ 答：该建筑物的高度约为138m。‎ ‎【考点】解直角三角形，解分式方程。‎ ‎【分析】因为CE＝BE则易在Rt△AEC中求解。‎ ‎37.（江苏连云港10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．‎ ‎（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；‎ ‎（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）‎ ‎【答案】解：（1）相等。‎ ‎ 由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，‎ ‎∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°。∴∠PBQ＝∠BPQ。∴BQ＝PQ。‎ ‎（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．‎ 在Rt△APQ中，AQ＝＝＝1600（m）。‎ 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，‎ ‎∴Rt△AQB中，AB＝＝＝2000（m）。‎ 答：A，B间的距离是2000 m。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定，用锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由已知可求出∠PBQ＝∠BPQ，从而根据等腰三角形等角对等边的判定，得到BQ＝PQ。‎ ‎ （2）要求A，B间的距离，就要把AB放到一个直角三角形里，由已知可求∠AQB为直角。BQ易证等于PQ＝1200 m（已知）。AQ可由解Rt△APQ求得。从而应用勾股定理求得AB。‎ ‎38.（山东德州10分）某兴趣小组用高为‎1.2米 的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为‎4米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．‎ ‎【答案】解：CD与EF的延长线交于点G，如图，设DG=米． ‎ 在Rt△DGF中，，即。‎ 在Rt△DGE中，，即。‎ ‎∴。‎ 解之，得=19.2。∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4。‎ 答：建筑物CD的高度为20.4米。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】CD与EF的延长线交于点G，设DG=米，在Rt△DGF和Rt△DGE中应用三角函数的定义得到和，根据EF=EG﹣FG，得到关于的方程，解出，再加上1.2即为建筑物CD的高度。 ‎ ‎39.（山东烟台8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为‎10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走‎50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.‎ ‎（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08） ‎ ‎【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G。‎ 则MG＝EF＝20米，∠FGN＝∠α＝36°，‎ ‎∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°。∴∠FGN＝∠GFN。∴FN＝GN＝50－20＝30（米）。‎ 在Rt△FNR中，FR＝FN·sinβ＝30·sin72°＝30×0.95≈29（米）。‎ ‎∴河宽29米。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数三角函数。‎ ‎【分析】‎ 添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识即可解决。‎ ‎40.（山东潍坊9分）今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．‎ ‎（1）求B点的海拔；‎ ‎（2）求斜坡AB的坡度．‎ ‎【答案】解：（1）如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足。‎ 在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD＝30°。‎ 又BC＝‎400米，‎ ‎∴CD＝400×sin30°＝400×＝200（米）。‎ ‎∴B点的海拔为：C点的海拔－A点的海拔＝721－200＝521（米）。‎ ‎（2）又∵BE＝DF＝CF－CD＝521－121＝400米，AB=1040米，‎ ‎∴AE＝＝960（米）。‎ ‎∴AB的坡度iAB＝，故斜坡AB的坡度为1：2.4。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题、仰角俯角问题），矩形的判定和性质，坡度的定义，勾股定理。 ‎ ‎【分析】（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，构造直角三角形ABE和直角三角形CBD，然后解直角三角形。‎ ‎（2）求出BE的长，根据坡度的概念解答。‎ ‎41.（山东济宁6分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？‎ ‎（参考数据：,,,）‎ ‎【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=海里。‎ 在Rt△APC中，∵tan∠A= ， ∴AC= 。‎ 在Rt△PCB中，∵tan∠B= ， ∴BC= 。‎ ‎ ∵ AC+BC=AB=21×5 ， ∴+=21×5 。解得 x=60。‎ ‎∵sin∠B= ， ∴PB= (海里)。‎ ‎∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】过点P作PC⊥AB，构筑直角三角形，设PC=海里，用含有的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答。‎ ‎42.（山东莱芜9分）莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图。按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入。请根据下图求出汽车通过坡道口的限高DF的长。（结果精确到0.1m）（参考数据；sin280≈0.47，cos280≈0.88，tan280≈0.53）‎ ‎【答案】解：在Rt △ ABC中，∠A＝280 , AC＝9 ，‎ ‎∴BC＝AC ·tan280≈9× 0.53 ＝4.77。‎ ‎∴ BD＝BC－CD ＝4.77－0.5＝ 4.27。‎ ‎∵在Rt △ BDF中，∠BDF＝∠A＝280 ,BD ＝4.27，‎ ‎∴DF＝BD· cos 280 ≈4.27×0.88=3.7576≈3.8。‎ 答：坡道口的限高DF的长是3.8 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡道坡度问题），锐角三角函数。‎ ‎【分析】分别在Rt △ ABC和Rt △ BDF中应用锐角三角函数即可。‎ ‎43.（山东聊城8分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是 我市现存的最古老的建筑．铁塔由塔身和塔座两部分组成．为了测得铁 塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45º，‎ 在D点测得塔顶E的仰角为60º．已知测角仪AC的高为‎1.6m，CD的 长为‎6m，CD所在的水平线CG⊥EF于点G．求铁塔EF的高(精确到 ‎0.1m‎)．‎ ‎【答案】解：设EG＝米，在Rt△CEG中，∵∠ECG＝45°，∴∠CEG＝45°，‎ ‎∴∠ECG＝∠CEC，∴CG＝EG＝米。‎ 在Rt△DEC中，∠EDG＝60° , tan∠EDG＝，∴。‎ ‎∵．∴，‎ ‎ 解得。‎ ‎∴EF＝EG+GF＝ (米)．‎ 所以铁塔的高约为l5.8米．‎ ‎【考点】解直角三角形，等腰直角三角形的判定，锐角三角函数。‎ ‎【分析】利用△CEG是等腰直角三角形的判定，在Rt△DEC中，应用锐角三角函数解直角三角形。‎ ‎44.（山东青岛6分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来 的40º减至35º．已知原楼梯AB长为‎5m， 调整后的楼梯所占地面CD有多 长？‎ ‎ (结果精确到‎0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)‎ ‎【答案】解：在Rt△ABD中，∴。‎ ‎ 在Rt△ACD中，∴。‎ ‎ 答： 调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中，应用锐角三角函数即可解答。‎ ‎45.（山东威海10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长。‎ ‎【答案】解：过B 点作BM⊥FD于点M。‎ 在△ACB中，∠ACB=900，∠A =600，AC=10，‎ ‎ ∴∠ABC=300，BC=AC·tan600=10。‎ ‎ ∵AB∥CF, ∴∠BCM=300。‎ ‎ ∴BM=BC·sin300=，CM=BC·cos300=。‎ ‎ 在△EFD中，∠F=900，∠E =450，∴∠EDF =450。∴MD=BM=。‎ ‎ ∴CD=CM－MD=15－。‎ ‎【考点】直角三角形的性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】作BM⊥FD即知CD=CM－MD，故只要分别解直角三角形ACB和EFD即可求得。‎ ‎46.（广东省7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.‎ ‎【答案】解：∵∠ABD=45º，∴AD=BD。∴DC=AD+50。‎ ‎ ∴在Rt∆ACD中，，‎ ‎ 解之，得AD=25(+1)≈68.3m ‎【考点】解直角三角形，450角直角三角形的性质，特殊角三角函数，根式化简。‎ ‎【分析】根据450角直角三角形的性质得到AD=BD，从而在Rt∆ACD中应用特殊角三角函数即可求解。‎ ‎47.（广东河源6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处，测得B在点C的南偏西60° 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？‎ ‎（结果保留整数，参考数据：）‎ ‎【答案】解：依题意，有AC=200，∠ACB=600，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 答：他们测得东江的宽度是346米。‎ ‎【考点】解直角三角形，特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得出结果。‎ ‎48.（广东清远6分）如图，小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点B A C ，已知点B到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28º，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）．（参考数据：sin28º＝0.46，cos28º＝0.87，tan28º＝0.53）‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，BC＝24，∠A＝28º，‎ ‎ ∴ AB＝BC÷sin∠A＝24÷sin28º＝24÷0.46≈52.18‎ ‎ ∴小明从山脚爬上山顶需要时间＝52.183÷3≈17.4 (秒)‎ ‎ 答：小明从山脚爬上山顶需要17.4秒。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】直接在Rt△ABC中应用正弦函数求解。‎ ‎49.（广东湛江10分）五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1米）‎ ‎【答案】解：由题意可知：作PC⊥AB于C，则 ‎ ∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．‎ ‎ 在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°，‎ ‎ ∴AC=AP=50，PC=AC=50。‎ ‎ 在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，‎ ‎ ∴BC=PC=50。‎ ‎ ∴AB=AC＋BC=50＋50≈50＋50×1.732≈136.6（米）．‎ ‎ 答：景点A与B之间的距离大约为136.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线。故由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PA=100m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长。‎ ‎50.（广东珠海7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树A、B，小华要测量此C B A 两 树之间的距离．他在距A树30 m的C处测得∠ACB＝30°，又在B处测得 ‎∠ABC＝120°．求A、B两树之间的距离 ‎（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎【答案】解：作BD⊥AC，垂足为点D 。 ‎ C B A ‎ ∵∠C＝30°，∠ABC＝120°，∴∠A＝30°。‎ ‎ ∴AB＝BC 。∴AD＝CD＝AC＝×30＝15 。‎ D ‎ 在Rt△ABD中，∵cosA＝， ‎ ‎ ∴ AB＝＝。‎ ‎ 答：A、B两树之间的距离约为17.3m。 ‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，则作BD⊥AC，垂足为点D， 在Rt△ABD中。解直角三角形即可求得A、B两树之间的距离。‎ ‎51. （河南省9分）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第﹣高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°．请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(≈1.732，≈1.414.结果精确到‎0.1米)‎ ‎【答案】解：∵DE∥BO，α=45°，∴∠DBF=α=45°。‎ ‎∴Rt△DBF中，BF=DF=268。‎ ‎∵BC=50，∴CF=BF﹣BC=268﹣50=218。‎ 由题意知四边形DFOG是矩形，∴FO=DG=10。∴CO=CF+FO=218+10=228。‎ 在Rt△ACO中，β=60°，‎ ‎∴AO=CO•tan60°≈228×1.732=394.896。‎ ‎∴误差为394.896﹣388=6.896≈6.9。‎ 即计算结果与实际高度的误差约为6.9米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据DE∥BO，α=45°可判断出△DBF是等腰直角三角形，从而可得出BF的值；根据四边形DFOG是矩形可求出FO与CO的值。在Rt△ACO中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AO的长，从而可得出其误差。‎ ‎52.（江西省A卷9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =‎34cm，AB=FE=‎5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.‎ ‎（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）‎ ‎【答案】解：连接OB，过点O作OG⊥BC于点G。‎ 在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，‎ ‎∴ tan∠ABO=， ∴∠ABO=73.6°。‎ ‎∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°。‎ 又 ∵，‎ ‎∴在Rt△OBG中，。‎ ‎∴水桶提手合格。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】根据AB=5，AO=17，得出∠ABO=73.6°，再利用∠GBO的度数得出GO=BO×sin∠GBO的长度即可得出答案。‎ ‎53.（湖北黄石8分）东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆 山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔。据黄石地理资料记载：东方山 海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向 水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角 为，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为 ‎，如图。已知，若飞机的飞行速度 为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，，‎ 在Rt△ABD中, ‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 故A到B所需的时间为（秒）。‎ 答：飞机从A到B处需44.4秒。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中表示出BC，AD，求出AB≈8000米，从而求出该飞机从A到B 处需要时间。‎ ‎54.（湖北十堰8分）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距‎600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨去层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成300角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成450角的方向继续飞行直到终点。这样飞机的飞行路程比原来的路程控交换机‎600km远了多少？‎ ‎（参考数据：≈1.73,≈1.41,要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，则AD= ,BD= ,‎ ‎∵AD+BD=AB,∴(＋1)CD=600, ∴CD=300(－1)。‎ ‎∴在Rt△ACD中，AC=600(－1)，‎ 在Rt△BCD中，BC=300(－1)。‎ ‎∴AC+BC=600(－1)+ 300(－1)≈747（km）。‎ ‎747－600=147(km)。‎ 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，勾股定理。‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由锐角三角函数的定义可得出AD= CDtan30°，BD= CDtan45°，由AD+BD=AB可求出CD的值，再分别在Rt△ACD、Rt△BCD中利用勾股定理即可求出AC、BC的长，从而可得出结论。‎ ‎55.（湖北荆州8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如 图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度＝1∶3.7，桥下水深OP＝5‎ 米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、‎ 过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°＝）‎ ‎【答案】解：连接OD、OE、OF，‎ 由垂径定理知：PD＝CD＝12（m）。‎ 在Rt△OPD中，‎ OD＝（m），‎ ‎∴OE＝OD＝13m。‎ ‎∵tan∠EMO== 1∶3.7 ，tan15°＝，∴∠EMO＝15°。‎ 由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。 同理得∠NOF＝75°。‎ ‎∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。‎ 在Rt△OEM中，tan∠EMO＝，∴tan15°=。‎ ‎∴EM＝（m）。‎ 又∵的弧长＝＝6.5（m）。‎ ‎∴48.1×2+6.5＝102.7（m）。‎ 即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME++FN，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度=1∶3.7和tan15°＝≈1∶3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°－15°=75°，则得出所对的圆心角∠EOF，相继求出的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。‎ ‎56.（湖北黄冈、鄂州8分随州10分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．‎ ‎【答案】解：设大堤的高度，以及点A到点B的水平距离，‎ ‎∵，∴坡AB与水平的角度为30°。‎ ‎∴，即得（m）；‎ ‎，即得（m）。‎ ‎∴MN=BC+=（30+10）（m）。‎ ‎∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，‎ ‎∴，解得：DN=10+10≈27.32（m），‎ ‎∴CD=DN+AM+≈27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）。‎ 答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角和仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】由的值求得大堤的高度，以及点A到点B的水平距离，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，求得高度CD。‎ ‎57.（湖北恩施8分）‎ 正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°（隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高度），计算隧道AB的长．（参考数据：sin53°=，tan53°=）‎ ‎【答案】解：作CD⊥AB，垂足为点D，‎ ‎∵勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°，‎ ‎∴CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°，‎ ‎∴tan53°=。∴AD=1125m，CD=BD=1500m。‎ ‎∴AB=1125+1500=2625m。‎ 答：隧道AB的长为2625m。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，三角函数的定义。‎ ‎【分析】根据题意得出CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°，即可得出CD=BD，以及利用解直角三角形求出即可。‎ ‎58.（湖北潜江仙桃天门江汉油田7分）五月石榴红，枝头鸟儿歌.一只小鸟从石 树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角 ‎,看房屋底部D处的俯角为,石榴树与该房屋之间的水平距离为米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.‎ ‎【答案】解：作AE⊥CD于点E. ‎ 由题意可知：∠CAE =30°，∠EAD =45°，AE=米，‎ 在Rt△ACE中，tan∠CAE=，即tan30°=.。‎ ‎∴CE==(米)。∴AC=2CE=2×3 =6(米)。‎ ‎ 在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠EAD =90°-45°= 45°，‎ ‎ ∴DE=AE=(米)。∴DC=CE+DE=（3+）米。‎ 答：小鸟飞行的距离AC为‎6米，房屋的高度DC为（3+）米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】分析图形，根据题意构造直角三角形，在两个直角三角形△BEC、△APC中，应用其等边BE=CP构造方程关系式，从而可解。 ‎ ‎59.（山西省7分）‎ 如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为‎2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC=)，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．‎ ‎【答案】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形。∴AF=BE，EF=AB=2。‎ 设DE=x，‎ 在Rt△CDE中，CE=，‎ 在Rt△ABC中，∵ AB：BC=，AB=2，∴BC=。‎ 在Rt△AFD中，DF=DE－EF=x－2，∴AF= 。‎ ‎∵AF=BE=BC+CE，∴，解得x=6。‎ 答：树DE的高度为6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。。‎ ‎【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可。‎ ‎60.（内蒙古呼和浩特6分）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC=‎30m，BC=‎70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．‎ ‎【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D．‎ 在Rt△CDA中，∵AC=30，‎ ‎∠CAD=180°－∠CAB=180°－120°=60°，‎ ‎∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15，‎ AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。‎ 在Rt△CDB中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，‎ ‎∴BD=。‎ ‎∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。‎ 答：A，B两个凉亭之间的距离为50m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】构造直角三角形，过C点作CD⊥AB于点D，先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，从而由AB=BD﹣AD即得A，B两个凉亭之间的距离。‎ ‎61.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）．‎ ‎【答案】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，‎ ‎ ∵EA∥BC，∴∠ABC=β=30°。‎ ‎ 又∵∠BAC=α－β=30°，∴∠ABC=∠BAC。‎ ‎ ∴AC=BC=2000。‎ ‎ ∴在Rt△ACD中，‎ AD= AC·cos∠CAD=AC·cos300=1000。‎ ‎ 答：此时飞机的高度为1000米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。‎ ‎62.（内蒙古包头8分）一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距36海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正北方向．（参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9）‎ ‎（1）求几点钟船到达C处；‎ ‎（2）当船到达C处时，求船和灯塔的距离．‎ ‎【答案】解：（1）延长CB与AD交于点E．∴∠AEB=90°，‎ ‎∵∠BAE=45°，AB=36，∴BE=AE=36。‎ 根据题意得：∠C=24°，sin24°=，‎ ‎∴AC=。‎ ‎∴90÷20=4.5。‎ ‎∴8＋4.5=12.5。‎ ‎∴12点30分船到达C处。‎ ‎（2）在直角三角形ACE中，cos24°=，即cos24°=，‎ ‎∴BC=45。‎ ‎∴船到C处时，船和灯塔的距离是45海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】（1）要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解．‎ ‎（2）船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长．‎ ‎63.（内蒙古呼伦贝尔6分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为‎90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离（结果保留根号）。‎ ‎【答案】解：∵‎ ‎ ，‎ ‎ ∴ 。 ‎ ‎ 在中，, ‎ ‎ ∴。‎ 在中， ，∴。‎ ‎∴。‎ 答：建筑物A、B间距离为米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分别在和中应用锐角三角函数求出AD，BD即可。‎ ‎64. （四川成都6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）‎ ‎【答案】解：由题意得∠A=60°，‎ ‎∴BC=AB×tan60°=500×=500m。‎ 答：该军舰行驶的路程为500m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值。‎ ‎65.（四川内江9分）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°． 为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处‎7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，≈1.414，≈1.732．最后结果精确到‎1米）‎ ‎ 【答案】解：设CD为x米。‎ ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD•cos30°= x，AD=2x，‎ 在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= 。‎ ‎∵AC－BC=AB=7，∴x －x=7，‎ 又∵≈1.4，≈1.7，∴x=10，AD－BD=2x－x=6。‎ ‎∴小明此时所收回的风筝的长度为6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】设CD为x米，根据三角函数即可表示出AC于BC的长，根据AC－BC=AB即可得到一个关于x的方程，解方程即可求得x的值。‎ ‎66.（四川达州6分）‎ 我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB（如图），准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB水平距离‎60米（BD=‎60米）处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高‎15米，在该该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：，）‎ ‎【答案】解：没有危险，理由如下：‎ 在△AEC中，∵∠AEC=90°，∴。‎ ‎∵∠ACE=30°，CE=BD=60，‎ ‎∴AE=（米）。‎ 又∵AB=AE+BE，BE=CD=15，∴AB（米）。‎ ‎∵，即BDAB，‎ ‎∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】由已知得，CE=BD=60，∠ACE=30°，所以能求出AE，BE=CD=15，则求出AB，通过比较AB与BD，得出结论。‎ ‎67.（四川宜宾7分）如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：‎ ‎(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)；‎ ‎(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.‎ ‎【答案】解：（1）如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连结AM，BM.。‎ ‎ （2）第一步骤：在Rt△AMN中，‎ ‎ ∵tanα = ∴AN = ①。‎ ‎ 第二步骤：在Rt△BMN中，‎ ‎ ∵tanβ = ∴BN = ②。‎ ‎ 第三步骤：将①②代入AN = d+BN， ‎ ‎ 解得：MN = 。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】（1）根据题意得出符合题意的图形如图所示。‎ ‎（2）分别在Rt△AMN和Rt△BMN中，求出AN，BN，代入AN = d+BN即可。‎ ‎68.（四川眉山8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为15cm．求旗杆的高度．‎ ‎【答案】解：过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，‎ ‎∴EC=AD=15，‎ 在Rt△AEC中，tan∠EAC=，‎ ‎∴AE=（米）。‎ 在Rt△AEB中，tan∠BAE=，‎ ‎∴BE=AE•tan∠EAB=•tan30°=5（米）。‎ ‎∴BC=CE+BE=20（米）。‎ 故旗杆高度为20米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答。‎ ‎69.（四川巴中10分） 某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20 m，斜坡上的影长CD=8㎝，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3 m．求旗杆AB的高度．(结果精确到1m)‎ ‎ (提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：≈1.414．≈1.732．≈2.236)‎ ‎【答案】解：过D点作CE的垂线，垂足为点F，连接AD并延长交CE于点G，设学生的身高为MN。‎ ‎ 则MN=1.65，NG=3.3。∴。‎ 在Rt△CDF中，CD=8，∠DCF=30°，‎ ‎∴CF=CDcos30°=,‎ DF=CDsin 30°=。‎ 由△DFG∽△MNG，得，‎ ‎∴FG=8。∴BG=BC＋CF＋FG≈20＋6.9＋8=34.9。‎ 由△ABG∽△MNG，得，∴AB≈17.45≈17。‎ ‎∴旗杆AB的高度为17 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，作出旗杆AB的在地面的影长BG，再根据同时测得的身高l.65m学生在操场上的影长为3.3 m和∠DCF=30°即可求解。‎ ‎70.（四川广安9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.7）．‎ ‎ 【答案】解：如图，过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， ‎ ‎∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，‎ ‎∴∠DCF=30°。‎ 而CD=3.2m，∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m。‎ ‎∵AC=8.8m，∴DE=AC+CF=8.8+。‎ ‎∵△BDE∽△DCF，‎ ‎∴，∴BE=。‎ ‎∴AB=BE+AE=1≈16m。‎ 答：树高AB为16m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含30度的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，根据坡比的定义得到tan∠DCF= ，则∠DCF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=CD=1.6m，CF=DF=m，所以DE=AC+CF=8.8+，再根据三角形相似的性质得到8，求出BE，即可得到AB。‎ ‎71.（四川遂宁9分）在“我爱家乡”的主题活动中，某数学兴趣小组决定测量灵泉寺观音塔DC的高度（如图）。在广场A处用测角仪测得塔顶D的仰角是45°，沿AC方向前进15米在B处测得塔顶D的仰角是60°，测角仪高1.5米。‎ 求塔高DC（保留3个有效数字）（ ）‎ ‎【答案】解：设DG=米，由题意EG=米，‎ 则FG=（－15）米。‎ ‎ 在RtDFG中 tan60 ， ，，‎ ‎ 35.49 。‎ ‎ ∴塔高DC=35.49＋1.5=36.9937.0（米）。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的判定，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及到两个直角三角形△DEG、△DFG，利用等腰直角三角形的判定和锐角三角函数，列方程求解。‎ ‎72.（四川泸州7分）如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根号）‎ ‎（1）求船在B处时与灯塔S的距离；‎ ‎（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．‎ ‎【答案】解：（1）过点B 作BC⊥AS 于点C。‎ 在Rt△ABC中，∠A=30 0，AB=60， ∴BC = 30 。‎ ‎∵航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，‎ ‎∴∠BSC =750－300=450。‎ 在Rt△BCS中，∠BSC =450，∴BS＝ 。‎ 答：船在B 处与灯塔S 的距离为海里。‎ ‎( 2 ）过点S 作SD⊥AD交AB 延长线于点D，‎ 则船与灯塔S 的最近距离是线段SD 的长度。‎ 在Rt△ABC中，∠A = 300 , AB =60，‎ ‎∴AC =AB ·cos300 = 30。‎ 在Rt△BCS 中，∠BSC =450, BC = 30 , ∴CS=30。∴AS=AC＋CS=30＋30。‎ 在Rt△ASD中，∠A = 300 ,∴AD=AS ·cos300=45＋15。‎ ‎∴BD=AD－AB=15（－1）。∴时间（小时）。‎ 答：经过小时，船与灯塔S的最近距离最近。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），含30度角的三角形的性质，三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）过点B 作BC⊥AS 于点C，构造两个直角三角形，由Rt△ABC求出BC，再由Rt△BCS求出BS即可。‎ ‎（2）过点S 作SD⊥AD交AB 延长线于点D，则船与灯塔S 的最近距离是线段SD 的长度。求出AD即可得到BD的长。再根据船的航速，利用时间=路程÷速度即可求出船从B处继续向正北方向航行与灯塔S的距离最近的时间。‎ ‎73.（四川凉山8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度。‎ （1） 求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）‎ （2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方 案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿AD方向加宽多少米？‎ ‎【答案】解：（1）过点B作BF⊥AD于F。 ‎ ‎ 在Rt△ABF中，∵，且BF=10 m。‎ ‎ ∴AF=6 m，AB= m。 ‎ ‎ （2）过点E作EG⊥AD于G。‎ ‎ 在Rt△AEG中，∵，且。BF=10 m，‎ ‎ ∴AG=12 m，BE=CF=AG－AF=6 m。 ‎ ‎ 如图，延长EC至点M，使CM=2.7m ，延长AD至点N，连接MN。‎ ‎∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。‎ ‎∴ ，，即 。‎ ‎∴ND=BE－MC=6－2.7=3.3（m）。 ‎ ‎ 答：坝底将会沿AD方向加宽。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度问题），锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）构造直角三角形，过点B作BF⊥AD，由即可求出AF，由勾股定理即可求出AB。‎ ‎ （2）构造直角三角形，过点E作EG⊥AD，由即可求出AG，，从而求出BE；作出梯形CMND，用方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，即求出ND。‎ ‎74. （青海省7分）某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：‎ 甲：我站在此处看树顶仰角为45°。‎ 乙：我站在此处看树顶仰角为30°。‎ 甲：我们的身高都是‎1.5m。‎ 乙：我们相距‎20m。‎ 请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度。（参考数据≈1.414，≈1.732，结果保留两位小数）。‎ ‎【答案】解：如图所示延长AB交DE于C，设CD的长为x米。 ‎ 在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∠DCB=90°，‎ 则∠BDC=45°，∴BC=CD=x。‎ 在Rt△ACD中，∠A=30°，DC=x。‎ ‎∴，即，∴。‎ ‎∵AC－BC=AB，AB=20，∴，解得，。‎ ‎∴DE=DC＋CE。‎ 答：这棵古松的高是‎28.82米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】延长AB交DE于C．设CD的长为x米，在Rt△DBC中，求得BC=CD，然后在Rt△ACD中求得AC，利用AC-BC=AB，解得DC，则DE=DC+CE。‎ ‎75．（新疆乌鲁木齐11分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P’的俯角为53°，（P’为P关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？‎ 注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈;‎ Sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈‎ ‎【答案】解：过点A作AD⊥PP′，垂足为D，则有CD=AB=7米，‎ 设PC为x米，则P′C=x米，PD=（x－7）米，P′D=（x＋7）米，‎ 在Rt△PDA中，AD= PDtan37°≈（x－7），‎ 在Rt△P′DA中，AD= P′Dtan53°≈（x＋7），‎ ‎∴（x－7）= （x＋7），‎ 解得：x=25．‎ 答：热气球P距湖面的的高度PC约为25米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）‎ ‎【分析】过点A作AD⊥PP′，垂足为D，构造矩形ABCD和直角三角形，根据三角函数的定义求出AD的长，根据AD=AD，列出方程解答即可。‎ ‎76.（安徽省10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的 飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长(≈1.73)．‎ A B O C D ‎1500m ‎45°‎ ‎60°‎ ‎【答案】解：在△ACO中，∠ACO=900－∠DCA=900－600=300，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 又∵∠BCO=900－∠DCB=900－450=450， ∴OB=OC=1500。‎ ‎ ∴AB=1500－500≈1500－865=635(m)。‎ ‎ 答：隧道AB的长约为635m.‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】在△ACO和△BCO两个直角三角形中求解即可。‎ ‎77.（安徽芜湖8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°。求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）。‎ ‎【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m 在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD 在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，得 又∵BC-AB=AC，∴，∴‎ 答：古塔BD的高度为27.3m。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】根据解直角三角形的方法，直接求解。‎ ‎78.（辽宁鞍山10分）某段限速公路m上规定小汽车的行驶速度不得超过70千米/时，如图所示，已知测速站C到公路m的距离CD为30米，一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车，在A处测得测速站在汽车的南偏东30°方向，在B处测得测速站在汽车的南偏东60°方向，此车从A行驶到B所用的时间为3秒．‎ ‎(1)求从A到B行驶的路程；‎ ‎(2)通过计算判断此车是否超速．‎ ‎【答案】解：(1)在Rt△ACD中，‎ ‎∵∠CDA＝90°，CD＝30，∠CBD＝60°，‎ ‎∴BC＝＝30×＝60。‎ ‎∵∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，∴∠BCA＝∠BAC＝60°－30°＝30°。‎ ‎∴AB＝BC＝60。‎ 答：从A到B行驶的路程为60米。‎ ‎(2)∵从A到B的时间为3秒，∴小汽车行驶的速度为v＝＝20(米/秒)＝72(千米/时)。‎ ‎∵72千米/时＞70千米/时，∴小汽车超速。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，三角形外角定理，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1) 在Rt△ACD中，应用锐角三角函数求出BC的长；应用三角形外角定理证出△ABC是等腰三角形即可。‎ ‎ （2）由(1)和时间为3秒求出小汽车的速度与规定限速比较即可。‎ ‎79.（辽宁锦州10分）‎ 如图，小明站在窗口向外望去，发现楼下有一棵倾斜的大树，在窗口C处测得大树顶部A的俯角为45°，若已知∠ABD＝60°，CD＝20m，BD＝16m，请你帮小明计算一下，如果大树倒在地面上，其顶端A与楼底端D的距离是多少米？(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)．‎ ‎【答案】解：作AF⊥CD于F，AH⊥DB于H，∴四边形AFDH为矩形。‎ ‎∴AF＝DH，AH＝DF。‎ 由题意可知∠ECA＝45°，∴AF＝CF。‎ 设大树高为x米，即AB＝x。‎ 在Rt△AHB中，AH＝ABsin60°＝x，BH＝AB·cos60°＝x，‎ ‎∴AF＝DH＝DB－BH＝16－x。‎ 在Rt△ACF中，AF＝CF＝16－x。‎ 又CD＝CF＋FD，∴20＝16－x＋x，解得x≈11。∴16－11＝5。‎ ‎∴ 大树倒下后其顶端A与楼底端D的距离是5米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形，作AF⊥CD于F，AH⊥DB于H，解Rt△AHB和Rt△ACF即可。‎ ‎80.（辽宁辽阳10分）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距‎50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP＝60°，然后沿河岸走了‎110米到达C处，测得∠BCP＝30°，求这条河的宽．(结果保留根号)‎ ‎【答案】解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F。‎ ‎∵PQ∥MN，∴四边形AECF为矩形。‎ ‎∴EC＝AF，AE＝CF。‎ 设这条河宽为x米，∴AE＝CF＝x。‎ 在Rt△AED中，‎ ‎∵∠ADP＝60°，∴ED＝＝＝x。‎ ‎∵PQ∥MN，∴∠CBF＝∠BCP＝30°。‎ ‎∴在Rt△BCF中，BF＝＝＝x。‎ ‎∵EC＝ED＋CD，AF＝AB＋BF，‎ ‎∴x＋110＝50＋x。解得x＝30。‎ ‎∴这条河的宽为30米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据已知条件，构造直角三角形，故作辅助线：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F。解Rt△AED和Rt△BCF即可求出这条河的宽。‎ ‎81.（辽宁盘锦10分）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(如图). 已知一梯子AB的长为6 m，梯子的底端A距离墙面的距离AC为2 m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？‎ ‎(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26)‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵AC＝ABcosα，AB＝6，‎ ‎∴当α＝50°时，AC＝6cos50°≈6×0.64＝3.84(m)，‎ 当α＝75°时，AC≈6cos75°≈6×0.26＝1.56(m) 。 ‎ ‎∵ 1.56＜2＜3.84，∴ 人能够安全地攀上梯子的顶端 。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】根据锐角三角函数求出α＝50°和α＝75°时AC的值，看2是否在其间即可作出判断。‎ ‎82.（辽宁营口8分）如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．‎ ‎(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示)；‎ ‎(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米). (参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574)‎ ‎【答案】解：(1)如图线段AC是小敏的影子。‎ ‎(2)过点Q作QE⊥MO于点E，过点P作PF⊥AB于点F，交EQ于点D，则PF⊥EQ。‎ 在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，‎ DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3(米)。‎ ‎∵tan55°＝，‎ ‎∴PD＝DQ·tan55°≈4.3(米)。‎ ‎∵DF＝QB＝1.6米，∴PF＝PD＋DF＝4.3＋1.6＝5.9(米)。‎ 答：照明灯到地面的距离约为5.9米。‎ ‎【考点】投影，解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】(1)根据投影的定义，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影。据此画出小敏在照明灯P照射下的影子AC。‎ ‎ （2）如图，构造直角三角形PDQ即可求解。‎ ‎83.（云南昆明7分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：‎ ‎∠CAB=45°，∠CBA=30°，‎ ‎∴CD=BC=200， ‎ BD=CB•cos（90°﹣60°）=400×=200， ‎ ‎ AD=CD=200，‎ ‎∴AB=AD+BD=200+200≈546（m）。‎ 答：这段地铁AB的长度为546m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度。‎ ‎84.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧8分）如图，甲、乙两船同时从港口出 发，甲船以60海里／时的速度沿北偏东600方向航行，乙船沿北偏 北 ‎60°‎ C B A ‎30°‎ 西300方向航行，半小时后甲船到达点，乙船正好到达甲船正西方 向的点，求乙船的速度. ‎ ‎【答案】解：∵甲船航行半小时后到达点，‎ ‎ ∴（海里）‎ ‎ 又∵，B点是C点的正西方向，。‎ ‎ ∴（海里）‎ ‎ 因此乙船的速度是海里／时。‎ ‎【考点】三角形内角和定理，解直角三角形。‎ ‎【分析】根据已知和三角形内角和定理，求出，，即可解直角三角形ABC求出AB，从而求出乙船的速度。‎ ‎85.（云南昭通9分）如图所示，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船从A到B处需时间分钟，求该船的速度。‎ ‎【答案】解：如图，过点B作BC垂直河岸，垂足为C。‎ 则在Rt△ACB中，有 ‎，‎ 因而速度。‎ 答：该船的速度为300米/分钟。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】过点B作BC垂直河岸，垂足为C，构造直角三角形，在Rt△ACB中由锐角三角函数可求AB的长，从而根据速度=距离÷时间可求该船的速度。‎ ‎86.（云南玉溪10分）张明同学想测量聂耳山上聂耳铜像的高度，于是他爸爸查阅资料后告诉他，聂耳 山的高度是12米，铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，且聂耳山的高度+铜像高度 ‎+底座高度等于聂耳遇难时的年龄．张明随后用高度 为‎1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰 角β＝51°24′，底座顶端点的仰角＝26°36′．请你 帮助张明算出聂耳铜像AB的高度及聂耳遇难时的 年龄（把聂耳铜像和底座近似看在一条直线上，它的 抽象几何图形如左图）．【参考数据：tan26°36′≈0.5，tan51°24′≈1.25】‎ ‎【答案】解：设聂耳铜像的高度AB为米，则BC=(－2)米。‎ 在Rt△BCF中，，∴FC=.‎ 在Rt△ACF中，∵， ∴FC=。‎ ‎∴2x－4=。∴=6。‎ ‎∴聂耳遇难时的年龄=12+6+5=23(岁)。‎ 答：聂耳铜像的高度是‎6米, 聂耳遇难时的年龄是23岁。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】首先设聂耳铜像的高度AB为米，则BC=(－2)米。然后分别在在Rt△BCF中和Rt△ACF中，利用正切函数的性质求得FC的值，即可得方程，解此方程即可求得答案。‎ ‎87.（贵州贵阳10分）某过街天桥的设计图是梯形ABCD（如图所示），桥面DC与地面AB平行，DC=‎62米，AB=‎88米．左斜面AD与地面AB的夹角为23°，右斜面BC与地面AB的夹角为30°，立柱DE⊥AB于E，立柱CF⊥AB于F，求桥面DC与地面AB之间的距离（精确到‎0.1米）‎ ‎【答案】解：设桥面DC与地面AB之间的距离为x米，即DE=CF=x，‎ 则AE= x cot23°，BF= x cot30°，AE+BF=AB﹣DC，‎ ‎∴x cot23°+ x cot30°=88﹣62，解得：x≈7.5。‎ 答：桥面DC与地面AB之间的距离约为7.5米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。‎ ‎【分析】设桥面DC与地面AB之间的距离为x米，分别用x表示出AE和BF，AE+BF=AB﹣DC，则得到关于x的一元一次方程，从而求出x。‎ ‎88.（贵州安顺8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，‎ 由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，‎ 则AD=AB+BD=（40+x）米，‎ 在Rt△ACD中，tan∠DAC=，即，‎ 解得x=60（米）。‎ ‎∴这条河的宽度为60米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，由此可以列出关于x的方程，解方程即可求解。‎ ‎89.（贵州六盘水12分）‎ 某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时。一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边‎10米O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东600的A点行驶到北偏东300的B点，所用时间为1秒。‎ ‎（1）试求该车从A点到B点的平均速度。‎ ‎（2）试说明该车是否超速。（、）‎ ‎【答案】解：（1）据题意，得∠AOC＝600，∠BOC＝300，‎ ‎ 在Rt△AOC中，∠AOC＝600，∴∠OAC＝300。‎ ‎ ∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝600－300＝300，∴∠AOB＝∠OAC。∴AB＝OB。。‎ 在Rt△BOC中，OB＝OCcos∠BOC＝10＝（米）， ∴AB＝。‎ ‎ ∴（米/秒）。‎ ‎（2）∵‎36千米/时＝‎10米/秒， 又∵，‎ ‎ ∴。 ∴小汽车超速了。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）据题意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在Rt△AOC中求出∠OAC=30°，接着求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到AB=OB，又在Rt△BOC中OB=OC÷cos∠BOC，由此求出OB，最后可以求出AB。‎ ‎（2）首先统一单位，然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间，然后比较大小即可解决问题。‎ ‎90.（贵州遵义8分）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天 桥，原设计天桥的楼梯长AB=6,∠ABC=45o，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使（如图所示）．‎ ‎（1）求调整后楼梯AD的长；‎ ‎（2）求BD的长．‎ ‎（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=45o，‎ ‎ ∵sin∠ABC=，AB=6， ∴AC=AB·sin45o=。‎ ‎ 又∵∠ACD=90O,∠ADC=30O， ∴ AD=2AC=。‎ ‎ 答：调整后楼梯AD的长为。‎ ‎（2）由（1）知：AC=BC=，AD=，‎ ‎∵∠ACD=90O，∠ADC=30O， ∴DC=AD·cos30o=。‎ ‎∴BD=DC-BC=。‎ ‎ 答：BD的长为。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）首先由已知AB=6m，∠ABC=45°求出AC和BC，再由∠ADC=30°求出AD=2AC。‎ ‎（2）先由锐角三角函数求出DC，从而求出BD。‎ ‎91.（贵州铜仁10分）如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ （参考数据：）‎ ‎【答案】解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°, ∠ACB=90°，∴BC=AC。 ‎ ‎∴在Rt△AOC中，由tan30°=, 得。‎ 解得AC=（海里）。‎ ‎∵27.32海里＞25海里，∴轮船不会触礁。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险。‎ ‎92.（贵州黔东南12分）如图所示，某公司办公楼的对面小山上矗立着一座铁塔 FD，小敏站在10米高的楼顶上A处测得塔顶F的仰角为45°，他从楼底B处水 平走到坡脚C，从C处测得塔底部D的仰角为60°，铁塔FD与水平地面BC垂直 于点E，若BC=‎100米，斜坡长CD=‎220米，试求铁塔FD的高（测量仪的高度忽 略不计，结果保留根号）。‎ ‎【答案】解：过点A 作AG⊥EF，垂足为点G。‎ ‎∵在Rt△DCE中，CD=220，∠DCE=600，‎ ‎∴CE=CD ·cos∠DCE=110，DE=CD·sin∠DCE=110。‎ ‎∴在矩形ABEG中，AG=BE=BC＋CE=210，GE=AB=10。‎ 又∵在Rt△AGF中，AG=210，∠FAG=450，∴FG=210。‎ ‎∴FD=FG－DG=FG－（DE－GE）=210－（110－10）=220－110（米）。‎ ‎∴铁塔FD的高为220－110米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的性质，等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】过点A 作AG⊥EF，构造直角三角形，分别在Rt△DCE和Rt△AGF中应用锐角三角函数和等腰直角三角形的性质求得有关长度即可。‎ ‎93.（福建漳州8分）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以下是该 课题小组研究报告的部分记录内容：‎ 课题 测量学校旗杆的高度 图示 A B G D F C E 小红 ‎1.6 m 小亮 ‎12 m ‎30°‎ ‎60°‎ 发言记录 小红：我站在远处看旗杆顶端，测得仰角为30°‎ 小亮：我从小红的位置向旗杆方向前进12 m看旗杆顶端，测得仰角为60°‎ 小红：我和小亮的目高都是1.6 m 请你根据表格中记录的信息，计算旗杆AG的高度．（取1.7，结果保留两个有效数字）‎ ‎【答案】解：设BD＝x m，AB＝ x m，‎ 在Rt△ABC中，cos30°＝，即＝ ，解得x＝6，‎ ‎∴AB＝6 。‎ ‎∴AG＝6＋1.6≈6×1.7＋1.6≈12。‎ 答：旗杆AG的高度为12 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】先分析图形，根据题意解直角三角形．本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，从而可求出答案。‎ ‎94.（福建宁德10分）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求 A D B C ‎ E ‎ ‎）‎ ‎25°‎ 图1‎ 图2‎ ‎⑴真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；‎ ‎⑵铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.‎ ‎【答案】解：⑴过B作BF⊥AD于F.‎ A F D B C ‎ E ‎ ‎）‎ ‎25°‎ 在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，‎ ‎∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350。‎ ‎∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米。‎ ‎⑵在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，‎ ‎∴AF＝ABcos∠DAF＝2.1cos40°≈1.609。‎ ‎∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形。∴BF＝CD，BC＝FD。‎ 在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝， ‎ ‎∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844。‎ ‎∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51。‎ ‎∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）构造直角三角形ABF，应用锐角三角函数求解。‎ ‎ （2）求出CD=BF和DE的长即可。‎ ‎95.（湖南郴州6分）如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°。‎ ‎∴BC=AB=30，‎ 在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，‎ ‎∴sin∠CBD=，sin60°=，‎ ‎∴。‎ 答：风筝此时的高度米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】先求出AB=BC，在Rt△CBD中，由CD=sin60°×BC即可得出答案。‎