上海徐汇区中考数学二模卷含答案

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2013 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初中数学学科 　 　 2014.4 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1. 本试卷含三个大题，共 25 题； 2. 答题时，考生务必按答题要求作答在答题纸规定位置，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算正确的是（ ▲ ） （ A ） ； （ B ） ； （ C ） ； （ D ） ． 2. 一次函数 的图像不经过的象限是（ ▲ ） （A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限． 3. 如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF∥AC 交 AB 于点 E． 若∠1=25°，则 的度数为（ ▲ ） （A）15°； （B）50°； （C）25°； （D）12.5° 4. 在 中，∠A、∠B 都是锐角，且 ，那么 的形状是（ ▲ ）. （A）钝角三角形； （B）直角三角形； （C）锐角三角形； （D）无法确定． 5. “大衣哥”朱之文是从“我是大明星” 这个舞台走出来的民间艺人。受此影响，卖豆腐的 老张也来参加节目的海选，当天共有 15 位选手参加决逐争取 8 个晋级名额。已知他们的分数 互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列 15 名选手成绩统计量中的（ ▲ ） （A） 众数； （B） 方差； （C） 中位数； （D）平均数． 6. 如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，联结 BC，若∠A=36°，则∠C 等于（ ▲ ） （A）36°； （B）54°； （C）60°； （D）27°． 2 3 6a a a⋅ = 6 2 3a a a÷ = 2 3 6( )a a= 6 2 4a a a− = 2 1y x= + BAF∠ ABC△ 1sin cos 2A B= = ABC△ A O B C A B C A O B M D C 第 10 图 y x O D A C B EDB C A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 函数 的定义域是 ▲ ． 8. 分解因式： ▲ ． 9. 如果反比例函数的图像经过点（1，－2），那么这个函数的解析式是 ▲ ． 10. 2014 年政府报告中安排财政赤字约为 13500 亿元，13500 亿用科学记数法表示为 ▲ 亿． 11. 不等式组 的解集是 ▲ ． 12. 若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则常数 的值是 ▲ ． 13. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是 3 的倍数的概率是 ▲ ． 14. 如图，在 中，D 是 BC 的中点，设 ， ，则 ▲ ． 15. 解放军某部承担一段长 1500 米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时 比原计划多清除 20 米，结果提前 24 小时完成任务，若设原计划每小时清除公路冰雪 米，则 可列出方程 ▲ ． 16. 如图， 中，AC、BC 上的中线交于点 O，且 BE⊥AD．若 ， ，则 AO 的长为 ▲ ． 17. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点 A、B、C、 D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 ，AB 为半圆的直径， 则这个“果圆”被 y 轴截得的弦 CD 的长为 ▲ . 18．如图，已知 中， ， ， ，D 是边 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，将 沿 DE 翻折得到 ，若 是直角三角形，则 AD 长为 ▲ . 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 1y x= + 2ab ab− = 3 2 0 6 2 2 x x − >  − ≥ 2 4 3 0ax x− + = a ABC△ AB a=  AC b=  BD = x ABC△ 5BD = 4BO = 2 2 3y x x= − − ABC△ 90B∠ = ° 3BC = 4AB = ADE△ 'A DE△ 'A EC△ 第 16 题 第 17 题第 14 题 第 15 题 第 18 题 B A CD 19. （本题满分 10 分） 计算： . 20. （本题满分 10 分） 先化简，再求值： ，其中 ． 21.（本题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，sinC= ，点 D 是 BC 上一点，且 DC=AC． （1） 求 BD 的长； （2） 求 tan∠BAD． 22. （本题满分 10 分） 春季流感爆发，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级对患流感人数的进 行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有 1 名、2 名、3 名、4 名、5 名、6 名这六种情况， 并制成如下两幅不完整的统计图： （1） 抽查了 ▲ 个班级，并将该条形统计图补充完整； （2） 扇形图中患流感人数为 4 名所在扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3） 若该校有 45 个班级，请估计该校此次患流感的人数． 23. （本题满分 12 分） 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点 E 是 BC 的中点、F 是 CD 上的点，联结 AE、EF、AC． （1） 求证： ； （2） 若点 F 是 DC 的中点，联结 BD 交 AE 于点 G， 求证：四边形 EFDG 是菱形． 0 2014 118 2 (2 2014 ) ( 1) 2 2 ( )2 −÷ + − − − + − + − 2 11 1 1 xxx x    + ÷ −   − +    3x = 3 5 AO OF OC OE⋅ = ⋅ 5 4 4 3 2 人数 班级个数 6名5名4名3名2名1名0 1 2 3 4 5 6 抽查班级患流感人数条形统计图 6名 20%5名 4名 1名 2名3名 抽查班级患流感人数扇形统计图各种患流感人数情况的班级数 占抽查班级总数的百分比分布图 5 4 4 3 2 人数 班级个数 6名5名4名3名2名1名0 1 2 3 4 5 6 抽查班级患流感人数条形统计图 6名 20%5名 4名 1名 2名3名 抽查班级患流感人数扇形统计图 抽查班级患流感人数条形图 30° 24. （本题满分 12 分） 如图，直线 与 x 轴、y 轴相交于 B、C 两点，抛物线 过点 B、C，且与 x 轴另一个交点为 A，以 OC、OA 为边作矩形 OADC，CD 交抛物线于点 G． （1）求抛物线的解析式以及点 A 的坐标； （2）已知直线 交 OA 于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线（CD 上方部分） 于点 P，请用含 m 的代数式表示 PM 的长； （3）在（2）的条件下，联结 PC，若△PCF 和△AEM 相似，求 m 的值． 25. （本题满分 14 分） 如图，已知∠MON 两边分别为 OM、ON， sin∠O= 且 OA=5，点 D 为线段 OA 上的动点 (不与 O 重合)，以 A 为圆心、AD 为半径作⊙A，设 OD=x． （1） 若⊙A 交∠O 的边 OM 于 B、C 两点， ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函 数的定义域； （2） 将⊙A 沿直线 OM 翻折后得到⊙A′． ① 若⊙A′与直线 OA 相切，求 x 的值； ② 若⊙A′与以 D 为圆心、DO 为半径的⊙D 相切，求 x 的值． 4 4y x= + 2 2 ( 0)y ax ax c a= − + ≠ x m= 3 5 BC y= 图 1 备用图 2013 学年第二学期徐汇区初三年级数学学科 学习能力诊断卷参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．C； 2．D； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D． 二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7 ． ； 8 ． ； 9 ． ； 10 ． ； 11 ． ； 12． ； 13． ；14． ； 15． ； 16．6； 17． ； 18． 或 ． 三、（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．解：原式＝ …………………………………………………（7 分） ＝ ………………………………………………………（3 分） 20．原式= ……………………………………………………（2 分） = ………………………………………………………（2 分） = = ……………………………………………（3 分） 将 代入 ， ……………………………………（3 分） 1x ≥ − ( )1ab b− 2y x = − 41.35 10× 2 23 x− < ≤ 4 3a = 1 3 1 1 2 2a b → → − 1500 1500 2420x x − =+ 3 3+ 7 8 25 8 2 1 1 2 2 2+ − + − − 2 2− 2 2 1 1 ( 1) 1 1 x x x x x x − + + −÷− + 2 2 2 1 1 x x x x +•− 2 2 1 ( 1)( 1) x x x x x +•+ − 1 1x − 3x = 1 1x − 1 1 3 1 1 23 1x += =− − B C A D H E 21．解：（1）过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，则 BH=CH= ………………………（2 分） 在 Rt△ACD 中，sinC= ， ∵AC=10，∴AH=6， ………………………………（2 分） ∴ ………………………………（1 分） ∴BD=BC－CD=6．……………………………………………………………………（1 分） （2）过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E， …………………………………………… （1 分） Rt△BED 中，sinB= ，BD= 6，∴ ……………………………（1 分） ∴ ,∴ …………………………………（1 分） ∴tan∠BAD= ………………………………………………………（1 分） 22. 解：（1）20 个班级；条形统计图中，缺少的部分对应纵轴值为 2；…………… （4 分） （2） ； ………………………………………………………（2 分） （3） ．…………… （1 分） 23．（1）证明：∵点 E 是 BC 的中点，∴BC=2EC= 2BE． 又∵BC=2AD，∴EC=AD． ………………………………（1 分） ，∴四边形 AECD 为平行四边形．……………………（1 分） ∴ ， ………………………………………………………（1 分） ∴ 即 ．………………………………（1 分） （2）证明：∵E、F 分别是 BC、CD 的中点， ∴ 且 ．………………………………………………（1 分） 又 ，∴四边形 EFDG 为平行四边形．………………… ……（1 分） ∵AD 平行且等于 BE，∴ 四边形 ABED 是平行四边形．………… ……（1 分） 1 2 BC 3 5 AH AC = 2 2 2 210 6 8HC BH AC AH= = − = − = ED BD 3 5 = 18 5DE = 2 2 24 5BE BD DE= − = 26 5AE = ED AE 9 13 = °=×° 7220 4360 45(1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 4) 18020 × + × + × + × + × + × × = / /AD EC / /AE CD AO OE OC OF = AO OF OC OE• = • / /EF BD 1 2EF BD= / /AE CD 又∵∠ABE=90°，∴ 四边形 ABED 是矩形．…………………………………（1 分） ∴ BD=AE 且 …………………………………………（2 分） ∴ ，∴四边形 EFDG 是菱形……………………………………（2 分） 24. 解：（1）直线 与 x 轴、y 轴交于 B（－1，0）、C（0，4），……………（1 分） ∵抛物线 （a ≠ 0）经过点 B（－1，0）、C（0，4）， ∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ．……（1 分） ∵抛物线 的对称轴为直线 ，∴A（3，0）．……………………（1 分） （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k ≠ 0）．∵A（3，0）、点 C（0，4）． ∴ ，解得 ∴直线 AC 的解析式为 ．…………（1 分） ∵点 M 在 AC 上，点 P 在抛物线 上，且点 M 的横坐标为 m， ∴M（m， ）、P（m， ）， ∴ PM=PE－ME= ．……………………………………………………（2 分） （3）由题意 PG= PE－EF= ， CG= ………………………………（1 分） ∵ ，∴所以∆AOC∽∆AEM． ∵∆PCF 和∆AEM 相似，∴∆PCF 和∆AOC 相似 ……………………………（1 分） ①若∆PFC∽∆AOC，则 ， 有 ，即 ；解得 ．（2 分） 1 2EG AE= 1 2 BD= EG EF= 4 4y x= + 2 2y ax ax c= − + 2 0 4 a a c c + + =  = 4 3 4 a c  = −  = 24 8 43 3y x x= − + + 2 2y ax ax c= − + 1x = 3 0 4 k b b + =  = 4 3 4 k b  = −  = 4 43y x= − + 24 8 43 3y x x= − + + 4 43 m− + 24 8 43 3m m− + + 24 43 m m− + 24 8 3 3m m− + m / /ME CO PCF ACO∠ = ∠ 3tan tan 4 PGPCG ACOCG ∠ = = ∠ = 24 8 3 3 3 4m m m − + ÷ =   23 16m = F C D AO B H A' F D AO ②若∆PFC∽∆ACO，则 ， 有 ，即 ，解得 ．………………………………………（2 分） 综上所述，当∆PCF 和∆AEM 相似时， 或 25.（1）解：作 ，垂足为点 F． ……（1 分） 在 中， ， ，∴ ， …………… （1 分） ∴ ，∴ ，……（1 分） ∴ ……（1 分） ， ∴ ． …… （2 分） （2）解：由题意得点 A′在 AF 的延长线上，且 A′F=AF=3…（1 分） 联结 A′D，作 ，垂足为点 H， 在 中 （1 分） 若⊙A′与直线 OA 相切，则有 （1`分） ∴ ………（1`分） （3）解： 在 中， ． ①若⊙ 与⊙D 外切，则 ， 有 ，得 ． ………………………（2`分） PCF AOC∠ = ∠ 3tan tan 4 CGCPG ACOPG ∠ = = ∠ = 24 8 4 3 3 3m m m − + ÷ =   1m = 23 16m = 1m = AF OB⊥ Rt AOF∆ 3sin 5 AFO OA ∠ = = 5OE = 3AF = 2 2 2 25 3 4OF OA AF= − = − = OD x= 5AB AD x= = − 2 2 2 2(5 ) 3BF AB AF x= − = − − 2 10 16x x= − + ,AB AC AF BC= ⊥ 2 12 2 0 16y BF x x= = − + (0 2)x< < A H OA′ ⊥ Rt A HA′∆ 4 24cos 6 5 5A H A A FAO′ ′= × ∠ = × = x−= 55 24 5 1=x 5 7−=−= xADHAHD Rt A HD′∆ 2 2 2 2 27 24 14 255 5 5A D A A HD x x x   ′ ′= + = − + = − +       'A A D DO A B′ ′= + 2 14(5 ) 255x x x x+ − = − + 14 5x = ②若⊙ 与⊙D 内切，则 ， 有 ，得 （舍）． ………………………（2 分） 综上所述，当 时两圆相外切。 'A A D DO A B′ ′= − 2 14(5 ) 255x x x x− − = − + 86 15x∴ = x = 14 5