2014年江西南昌中考数学试题

2014年江西南昌中考数学试题

‎2014年江西南昌中考数学 ‎(满分120分，时间120分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．(2014江西省南昌市，1,3分)下列四个数中，最小的数是(　　)‎ A．－　　B．0　　C．－2　　D．2‎ ‎【答案】A ‎2．(2014江西省南昌市，2,3分)据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点建议任务．5.78万可用科学记数法表示为(　　)‎ A．5.78×103B．57.8×103C．0.578×104D．5.78×104‎ ‎【答案】D ‎3．(2014江西省南昌市，3,3分)某市6月份某周气温(单位：℃)为23，25，28，25，28，31，28，则这组数据的众数和中位数分别是(　　)‎ A．25，25　　B．28，28　　C．25，28　　D．28，31‎ ‎【答案】B ‎4．(2014江西省南昌市，4,3分)下列运算正确的是(　　)‎ A．a2＋a3＝a5　　B．(－2a2)3＝－6a6　　‎ C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1　　D．(2a3－a2)÷a2＝2a－1‎ ‎【答案】D ‎5．(2014江西省南昌市，5,3分)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是(　　)‎ ‎(第5题)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎6．(2014江西省南昌市，6,3分)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意所列方程组正确的是( )‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎【答案】B ‎7．(2014江西省南昌市，7,3分)如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是(　　)‎ A．AB＝DEB．∠B＝∠EC．EF＝BCD．EF∥BC F E B C D A ‎(第7题)‎ B A D C O ‎(第8题)‎ ‎【答案】C ‎8．(2014江西省南昌市，8,3分)如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为( )‎ A．40°　　B．45°　　C．50°　　D．55°‎ ‎【答案】D ‎9．(2014江西省南昌市，9,3分)若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为(　　)‎ A．10　　B．9　　C．7　　D．5‎ ‎【答案】A ‎10．(2014江西省南昌市，10,3分)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别(　　)‎ A．4，30°　　B．2，60°　　C．1，30°　　D．3，60°‎ A B C A′‎ B′‎ C′‎ ‎(第10题)‎ ‎【答案】B ‎11．(2014江西省南昌市，11,3分)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为(　　)‎ A．2a－3bB．4a－8bC．2a－4bD．4a－10b b b b b b a a 图1 图2 图3‎ ‎(第11题)‎ ‎【答案】B ‎12．(2014江西省南昌市，12,3分)已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为(　　)‎ O x y ‎－1‎ ‎1‎ ‎(第12题)‎ y O ‎1‎ x ‎－1‎ y O ‎1‎ x ‎－1‎ y O ‎1‎ x ‎1‎ y O ‎1‎ x ‎－1‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)‎ ‎13．(2014江西省南昌市，13，3分)计算：＝______．‎ ‎【答案】3‎ ‎14．(2014江西省南昌市，14，3分)不等式组的解集是______． ‎ ‎(第15题)‎ O A B C D ‎【答案】x＞‎ ‎15．(2014江西省南昌市，15，3分))如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为______．‎ ‎【答案】12－4‎ ‎16．(2014江西省南昌市，16，3分)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为______．‎ ‎【答案】2，4，6‎ 三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)‎ ‎17．(2014江西省南昌市，17，6分)计算：(－)÷．‎ 解：(－)÷‎ ‎＝· 4分 ‎＝x－1． 6分 ‎18．(2014江西省南昌市，18，6分))已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．‎ ‎(1)在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；‎ ‎(2)在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．‎ A B C D A B C D 图1 图2‎ ‎(第18题)‎ 解：(1)如图1所示，△CDE即为所求(答案不唯一)． 3分 ‎(1)如图2所示，平行四边形ABFE即为所求(答案不唯一)． 6分 A B C D E 图1‎ ‎　‎A B C D E F 图2‎ ‎19．(2014江西省南昌市，19，6分)有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示．‎ ‎(1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解)．‎ ‎(2)若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．‎ ‎①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？‎ ‎②若揭开盖子，看到的卡片下面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ A组 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ B组 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ 正面 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ 反面 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 图1 图2‎ ‎(第19题)‎ 解：(1)解法一：根据题意可画出如下树形图：‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ A组 B组 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ 从树形图可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种．‎ ‎∴P(两张都是“√”)＝． 4分 解法二：根据题意，可列表如下：‎ B组 A组 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎(√，√)‎ ‎(√，×)‎ ‎(√，×)‎ ‎×‎ ‎(×，√)‎ ‎(×，×)‎ ‎(×，×)‎ ‎√‎ ‎(√，√)‎ ‎(√，×)‎ ‎(√，×)‎ 从上表可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种．‎ ‎∴P(两张都是“√”)＝． 4分 ‎(2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，‎ ‎∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为． 5分 ‎②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”．‎ ‎∴猜对反面也是“√”的概率为． 6分 ‎20．(2014江西省南昌市，20，6分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD＝．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA＝4，OB＝3．‎ ‎(1)求点C的坐标；‎ ‎(2)若点D在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，求反比例函数的解析式．‎ x O y A D B P ‎(第20题)‎ C 解：(1)∵PB是Rt△PBD的斜边，‎ ‎∴∠BDP＝∠BOC＝90°．∴∠BCO＝∠BPD．‎ ‎∴tan∠BCO＝tan∠BPD＝．‎ 又∵OB＝3，∴OC＝＝3÷＝6．‎ ‎∴点C的坐标为(6，0)． 3分 ‎(2)由(1)知OC＝6，又OA＝4，∴AC＝2．‎ ‎∵在Rt△DAC中，tan∠DCA＝，‎ ‎∴AD＝AC·tan∠DCA＝2×＝1． 5分 ‎∴点D的坐标为(4，1)．∴k＝4．‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝． 6分 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎21．((2014江西省南昌市，21，8分)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：‎ 重视 一般 不重视 说不清楚 类别 人数 ‎57‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎0‎ 某校初中生阅读数学教科书情况统计图表 重视 一般 不重视 说不清楚 a ‎57‎ b ‎9‎ ‎0.3‎ ‎0.38‎ c ‎0.06‎ 类别 人数 占总人 数比例 ‎(1)求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；‎ ‎(2)若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数；‎ ‎(3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；‎ ‎②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？‎ 解：(1)由统计表可知，样本容量为57÷0.38＝150．‎ ‎∴a＝150×0.3＝45，‎ c＝1－0.3－0.38－0.06＝0.26，‎ b＝150×0.26＝39． 2分 补全统计图如图4所示． 4分 重视 一般 不重视 说不清楚 类别 人数 ‎45‎ ‎57‎ ‎39‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎0‎ 图4‎ ‎(2)2300×0.26＝598，‎ ‎∴可估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人． 6分 ‎(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看，该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够，建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书，逐步提高学生数学阅读能力，重视数学教材在数学学习过程中的作用；‎ ‎②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性，要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校． 8分 ‎(只要给出合理建议即可给分)‎ ‎22．(2014江西省南昌市，22，8分)图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．‎ ‎(1)连接CE，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；‎ ‎(2)求A，B两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)．‎ 参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)‎ 图1‎ A C ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D 图2‎ ‎(第22题)‎ 解：(1)CD∥EB．‎ 证明：连接AC，DE．‎ ‎∵四边形AGCH是菱形，且∠GCH＝60°，‎ ‎∴∠1＝∠GCH＝30°．‎ 同理∠2＝30°．‎ ‎∴∠ACD＝90°． 2分 同理可得∠CDE＝∠DEB＝90°．‎ ‎∴CD∥EB． 3分 ‎(2)方法一：‎ 如图5，连接AD，BD．‎ 由(1)知∠ACD＝90°．‎ ‎∵CA＝CD，‎ ‎∴∠CDA＝∠CAD＝45°．‎ 同理∠EDB＝∠EBD＝45°，又由(1)知∠CDE＝90°．‎ ‎∴∠CDA＋∠CDE＋∠EDB＝180°，‎ 即点A，D，B在同一直线上． 4分 连接GH交AC于点M．‎ 由菱形的性质可知∠CMH＝90°，CM＝AC．‎ 在Rt△CMH中，CM＝CH·cos∠1＝10·cos30°＝5，‎ ‎∴CD＝AC＝2CM＝10． 6分 ‎∴在Rt△ACD中，AD＝＝10． 7分 同理BD＝10．‎ ‎∴AB＝AD＋DB＝20≈20×2.45＝49．‎ 答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分 H G C M ‎1‎ ‎2‎ ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D 图5‎ A H G C M ‎1‎ ‎2‎ ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ E B D F 图6‎ A 方法二：如图6，连接AB，延长AC交BE的延长线于点F．‎ 由(1)知∠ACD＝∠CDE＝∠DEB＝90°，‎ ‎∴四边形CDEF是矩形．‎ ‎∵四个菱形全等，‎ ‎∴AC＝CD＝DE＝EB．‎ ‎∴四边形CDEF是正方形． 4分 ‎∴CF＝FE＝CD且∠F＝90°．‎ ‎∴AF＝BF＝2AC． 5分 在菱形AGCH中，连接GH交AC于点M，‎ ‎∴AC⊥GH．‎ 在Rt△CMH中，CM＝CH·cos∠1＝10·cos30°＝5， 6分 ‎∴AC＝2CM＝10，AF＝BF＝2AC＝20． 7分 ‎∴在Rt△AFB中，AB＝＝20≈20×2.45＝49．‎ 答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分 ‎23．(2014江西省南昌市，23，8分)如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．‎ ‎(1)求△OPC的最大面积；‎ ‎(2)求∠OCP的最大度数；‎ ‎(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．‎ A O B C P A O B C P D 图1 图2‎ ‎(第23题)‎ A O B C P D 图7‎ 解：(1)∵△OPC的边长OC的是定值，‎ ‎∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大． 1分 ‎∵AB＝4，BC＝2，‎ ‎∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4．‎ ‎∴S△OPC＝OC·OP＝×4×2＝4．‎ 即△OPC的最大面积为4． 2分 ‎(2)当PC与⊙O相切即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大． 3分 在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，‎ ‎∴sin∠OCP＝＝．‎ ‎∴∠OCP＝30°． 5分 ‎(3)连接AP，BP．如图7，‎ ‎∵∠AOP＝∠DOP，‎ ‎∴AP＝DB． 6分 ‎∵CP＝DB，‎ ‎∴AP＝PC．‎ ‎∴∠A＝∠C．‎ ‎∵∠A＝∠D，‎ ‎∴∠C＝∠D． 7分 ‎∵OC＝PD＝4，PC＝DB，‎ ‎∴△OPC≌△PBD．‎ ‎∴∠OPC＝∠PBD． 8分 ‎∵PD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠PBD＝90°．‎ ‎∴∠OPC＝90°．‎ ‎∴OP⊥PC．‎ 又∵OP是⊙O的半径，‎ ‎∴CP是⊙O的切线． 9分 五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)‎ ‎24．(2014江西省南昌市，24，12分)如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合)．‎ 第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；‎ 第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；‎ 依此操作下去…‎ A B F C D G H E A B F C D E A B F C D E 图1 图2 备用图 ‎(第24题)‎ ‎(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为________，求此时线段EF的长；‎ ‎(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．‎ ‎①请判断四边形EFGH的形状为________，此时此刻AE与BF的数量关系是________；‎ ‎②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．‎ 解：(1)等边三角形；‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°．‎ ‎∵DE＝DF，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CDF．‎ ‎∴AE＝CF．‎ ‎∴BE＝BF．‎ ‎∴△BEF是等腰直角三角形．‎ 设EF长为x，则BE＝x，‎ ‎∴AE＝4－x．‎ ‎∵在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，DE＝EF，‎ ‎∴x2＝42＋(4－x)2．‎ ‎∴x2＋8x－64＝0． 2分 解得x1＝－4＋4，x2＝－4－4(不合题意，舍去)．‎ ‎∴EF＝－4＋4． 3分 ‎(2)①正方形(如图8)；AE＝BF； 5分 A B F C D G H E 图8‎ ‎②∵AE＝x，‎ BE＝4－x．‎ ‎∵在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，‎ ‎∴y＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16(0＜x＜4)． 7分 ‎∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，‎ ‎∴当x＝2时，y取得最小值；当x＝0时，y＝16．‎ ‎∴y的取值范围是8≤y＜16． 9分 ‎25．(2014江西省南昌市，25，12分)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离为碟高．‎ ‎(1)抛物线y＝x2对应的碟宽为______；抛物线y＝4x2对应的碟宽为______；抛物线y＝ax2(a＞0)对应的碟宽为______；抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)对应的碟宽为______；‎ ‎(2)若抛物线y＝ax2－4ax－(a＞0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；‎ ‎(3)将抛物线yn＝anx2＋nbx＋cn(an＞0)的对应准碟形记为Fn(n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…，Fn为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准碟形记为F1．‎ ‎①求抛物线y2的表达式；‎ ‎②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…，Fn的碟高为hn，则hn＝______，Fn的碟宽右端点横坐标为______；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．‎ x O y A B M 准碟形AMB 图1 备用图 ‎(第#题)‎ x O y A B y＝m M 解：(1)4，，，； 4分(每空1分)‎ ‎(2)解法一：‎ 由(1)可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的准碟形碟宽为，‎ 所以＝6，a＝． 6分 解法二：‎ 由y＝ax2－4ax－＝a(x－2)2－4a－，又已知碟宽在x轴上，‎ 所以碟高|－4a－|＝＝3，又a＞0，解得a＝． 6分 ‎(3)①由(2)知，y1＝(x－2)2－3，碟顶M1的坐标为(2，－3)．‎ ‎∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点，‎ ‎∴F2的碟顶M2的坐标为(2，0)，可设y2＝a2(x－2)2．‎ ‎∵F2与F1的相似比为，F1的碟宽为6，‎ ‎∴F2的碟宽为6×＝3，即＝3，a2＝．‎ ‎∴y2＝(x－2)2＝x2－x＋． 8分 ‎②；2＋； 10分 F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是在一条直线上，该直线的表达式为y＝－x＋5． 12分