二次函数中考压轴题三角形与存在性问题解析精选

二次函数中考压轴题三角形与存在性问题解析精选

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选 ‎【例1】. 已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线 段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当 t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）在中，由x=0得y=－2，∴C（0，－2）。‎ ‎ 由 y=0得 x=2，∴A（2，0）。‎ ‎ ∵AB=2，∴B（4，0）。‎ ‎ ∴可设抛物线的解析式为，代入点C（0，－2）得。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4－2t。‎ ‎∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。 ∴，即。∴ED=2t。‎ ‎∴。‎ ‎∴当t=1时，有最大值1。‎ ‎∴当t=1时，的值最小，最小值是1。‎ ‎（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，－2）得 ‎ ，解得，∴C所在直线的解析式为。‎ ‎ 由题意可得：D点的纵坐标为t－2，则D点的横坐标为2t。‎ ‎∴。‎ 又。‎ ‎∵∠PBD=∠ABC，∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：‎ 当时，即，解得；‎ 当时，即，解得。‎ 综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x－2）（x－4），代入点C的坐标求出a即可。‎ ‎（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB ，从而，求出ED=2CE=2t，根据 ‎ ‎，根据二次函数的最值求出即可。‎ ‎（3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：和代入求出即可。‎ ‎【例2】. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．‎ ‎(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；‎ ‎(2)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；‎ ‎(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN 与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(4)当≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。‎ ‎ （2）。‎ ‎ （3）存在。‎ 设M，‎ 则N（m，0）MN=，NA=6－m。‎ ‎ 又DA=4，CD=8，‎ ①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=6或m=10。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=－2或m=6。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，方程无解。‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。‎ ④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴，即，解得m=或m=6。‎ 当m=时符合条件。‎ ‎∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。‎ 综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。‎ ‎（4）设P（p，），‎ ‎ 在中，令y=0，得x=4或x=6。‎ ‎ ∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：‎ ‎ ①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H 则OH=p，HA=6－p ，PH=。‎ ‎∴‎ ‎ ∴当≤x＜4时，随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=时，取得最大值，最大值为。‎ ②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。‎ 则BH= p，HG=6－p，PH=，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴当4≤x＜6时，随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=4时，取得最大值，最大值为8。‎ ③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。‎ 则OH=p，HA= p－6，PH=。‎ ‎∴‎ ‎∴当6≤x≤7时，随p的增加而增加。‎ ‎∴当x=7时，取得最大值，最大值为7。‎ 综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6。∴A（6，0），B（0，－8）。‎ ‎（2）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∴这条抛物线的解析式是。‎ ‎（3）分①若点M在点N上方，，②若点M在点N下方，，③若点M在点N上方，，④若点M在点N下方，四种情况讨论即可。‎ ‎（4）根据二次函数的性质，分≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。‎ ‎【例3】. 在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．‎ ‎ （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式；‎ ‎ （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段 AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）‎ 中的抛物线交于第一象限的点M． ‎ ‎ ①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；‎ ‎ ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求 点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。‎ ‎ ∵A（—1，0）B（3，0）‎ ‎∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。‎ ‎ 又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。‎ ‎∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。‎ ‎（2）①当△OCE∽△OBC时，则。‎ ‎ ∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。‎ ‎ ∴当x=2时，△OCE∽△OBC。‎ ‎ ②存在点P。‎ ‎ 由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。‎ ‎ ∴∠AEC=∠A=60°。‎ 又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。‎ ‎ ∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。‎ ‎ ∵C（0，），∴M（2，）。‎ ‎ 过M作MN⊥x轴于点N（2，0），‎ ‎∴MN=。 ∴ EN=1。‎ ‎ ∴ 。‎ 若△PEM为等腰三角形，则：‎ ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。‎ ‎ ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。 ‎ ‎ ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)‎ ‎ ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，‎ ‎△EPM为等腰三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点 B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。‎ ‎（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。‎ ‎ ②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。‎ ‎【例4】. 已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．‎ ‎（1）如图①，当点M与点A重合时，求：‎ ‎①抛物线的解析式；（4分）‎ ‎②点N的坐标和线段MN的长；（4分）‎ ‎（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，‎ 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）‎ ‎【答案】解：（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）。‎ 当顶点M与点A重合时，∴M（，0）。‎ ‎∴抛物线的解析式是：，即。‎ ‎②∵N是直线与在抛物线的交点，‎ ‎∴，解得或。‎ ‎∴N（，－4）。‎ 如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C。‎ ‎∵N（，－4），∴C（，0）‎ ‎∴NC=4．MC=OM－OC=。 ‎ ‎∴。‎ ‎（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。‎ ‎ ②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x 轴，由勾股定理求出线段MN的长。‎ ‎（2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似：‎ ‎ 情况1，∠OMN=900，过M作MD⊥x轴，垂足为D。‎ ‎ 设M（m，），则OD= m，DM=。‎ ‎ 又OA=，OB=5，‎ ‎ 则由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。‎ ‎∴M（2，－1）。‎ ‎ 情况2，∠ONM=900，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN。‎ ‎ ∴OM=OB=5。‎ ‎ 设M（m，），则解得m=4。‎ ‎∴M（4，3）。‎ 综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似。‎ ‎【例5】. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求这个二次函数的关系解析式；‎ ‎（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ 考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则 ‎　　　　　　 ，解得 。‎ ‎　　　　　　 ∴二次函数的关系解析式为。‎ ‎ （2）设点P坐标为（m，n），则。‎ ‎ 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。‎ ‎ PM =， ，AO=3。‎ ‎ 当时，，所以OC=2。‎ ‎　　　　　 　[‎ ‎ ‎ ‎ ∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。‎ ‎ 此时。‎ ‎∴存在点，使△ACP的面积最大。 ‎ ‎ （3）存在。点。‎ ‎ （4）存在。点。‎ ‎ （5）点。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。‎ ‎（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。‎ ‎（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。‎ ‎（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。‎ ‎（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。‎ ‎【例6】. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。‎ ‎  （1）求该抛物线的解析式；‎ ‎  （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎  （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。 ‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，‎ ‎ ∴抛物线的解析式可设为，‎ ‎ 将C（0，3）代入得，解得。‎ ‎ ∴抛物线的解析式为，即。‎ ‎ （2）存在。如图，‎ ‎ 由得对称轴l为，‎ ‎ 由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，‎ ‎ ∴∠OBC==300。‎ ‎ 由轴对称的性质和三角形外角性质，得 ‎∠ADP==1200。‎ 由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。‎ ‎∴DP=CP=1，AD=4。‎ ①在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP，‎ 此时，Q1的坐标为（0，7）。‎ ②由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP，‎ 过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=600可得 CG=2，Q2G=2。∴OG=1。∴Q2的坐标为（－2，1）。‎ ③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则△Q3DC≌△ADP，‎ 此时，Q3的坐标为（，－2）。‎ ④由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP，‎ 过点Q4作Q4H⊥l于点H，则在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得 DH=2，HQ4=2。∴Q4的坐标为（3，4）。‎ 综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。‎ ‎（3）（）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。‎ ‎ （2）求出△ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。‎ ‎（3）如图，作做EF⊥l于点F，‎ 由题意易证明△PMD ≌△EMD，△CME ≌△DNE，‎ ‎ ∴PM=EM=EN=2DN。‎ 由题意DF=1，EF=，NF=1-DN ‎ 在Rt△EFN中，，‎ ‎ ∴，整理得，解得（负值舍去）。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴点N的纵坐标为。∴N（）。‎ ‎【例7】. 如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．‎ ‎（1）直接写出直线AB的解析式；‎ ‎（2）求点D的坐标；‎ ‎（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。‎ ‎（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，‎ ‎∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。‎ 又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。‎ ‎∴△ADG为等腰直角三角形。‎ ‎∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。‎ ‎∴D（2，6）。‎ ‎（3）存在。‎ 由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），‎ 将D（2，6）代入，得a=。∴抛物线解析式为y=x（x﹣4）。‎ 由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。‎ 设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，‎ ‎①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。‎ 则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，‎ 将E（x，x）代入抛物线y=x（x﹣4）中，‎ 得x=x（x﹣4），解得x=0或，‎ ‎∴P（，0）。‎ ‎②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。‎ 则PE=MC=2，‎ 将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，‎ 得2=x（x﹣4），解得x=或。‎ ‎∴P（，0）。‎ 综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。1367104‎ ‎【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。‎ ‎ （2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标。‎ ‎（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。‎ ‎【例8】. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。‎ ‎ （1）求该抛物线的表达式；‎ ‎ （2）求点P的坐标；‎ ‎ （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为B（2，1），‎ ‎ ∴可设抛物线的解析式为。‎ ‎ 将A（0，2）代入，得，解得。‎ ‎ ∴该抛物线的表达式。‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎ ∴点C的坐标为（2，2），即CG=2。‎ ‎ ∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。‎ ‎ ∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM=。∴OM=，PM=4。‎ ‎ ∴点P的坐标为（，4）。‎ ‎（3）相等。理由如下：‎ ‎ 联立和得，解得，。‎ ‎ ∵不合题意，舍去，‎ ‎∴EF=，点E的坐标为（，）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 又∵，∴。‎ ‎ ∴CE=EF。‎ ‎（4）不存在。理由如下：‎ ‎ 假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。‎ ‎ ∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。‎ ‎∴△CNE是等边三角形。‎ ‎∴EN=CE，∠CEN=600。‎ 又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。‎ 又∵点E是直线上的点，∴∠CEF=450。‎ ‎∴点N与点F不重合。‎ ‎∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。‎ ‎（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。‎ ‎（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。‎ ‎（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。‎ ‎【例9】. 如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，‎ 与x轴交于A、B两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F ‎．问是否存在点E，使 得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．[来源:‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，－1)，‎ ‎ ∴可设抛物线的表达式为。‎ ‎ ∵点C(0，3)在上，∴，解得。‎ ‎ ∴抛物线的表达式为，即。‎ ‎ （2）令，即，解得。∴A（1，0），B（3，0）。‎ ‎ 设BC的解析式为，将B（3，0），C（0，3）代入得，‎ ‎ ，解得。∴BC的解析式为。‎ ‎ 当x=2时，y=－2＋3=1，∴D（2，1）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ （3）存在。假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似。‎ ‎ ∵△BCO是等腰直角三角形，∴以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。‎ ‎ ∵由EF∥OC得∠DEF=450，‎ ‎ ∴以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。‎ ‎ ①当点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO。‎ ‎ ∴DF所在直线为y=1。‎ ‎ 由，解得 ‎ 将代入，和，∴E（，）；‎ ‎ 将代入，和，∴E（，）。‎ ‎ ②当点D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO。‎ ‎ ∵点D在对称轴上，∴DA=DB。‎ ‎ ∵∠CBA=450，∴∠DAB=450，∴∠ADB=900。‎ ‎ ∴AD⊥BC。∴点F在直线AD上。‎ ‎ 设AD的解析式为，将A（1，0），D（2，1）代入得，‎ ‎ ，解得。∴AD的解析式为。‎ ‎ 由，解得或。‎ ‎ 将代入，和，∴E（1，2）；‎ ‎ 将代入，和，∴E（4，－1）。‎ ‎ 综上所述，点E的坐标为（，）或（，）或（1，2）或（4，－1）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。‎ ‎ （2）求出A、B、D点坐标，由即可求得△ACD的面积。‎ ‎ （3）分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。‎ ‎【例10】. 已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S 最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。‎ ‎ 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。‎ ‎ ∴点C的坐标为（4，0）。‎ ‎ （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，‎ ‎ 将A（0，2）代入，得，解得。‎ ‎ ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。‎ ‎ ∵，∴抛物线的对称轴为。‎ ‎ （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。‎ ‎ ∵点P（m，n）在上，‎ ‎ ∴P。‎ ‎ ∴，‎ ‎ ，。‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∵，∴当时，S最大。‎ 当时，。∴点P的坐标为（2，3）。‎ ‎（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。‎ ‎（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。‎ ‎（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。‎ ‎　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。‎ ‎　　由点P在和可得。‎ ‎　　∴，整理，得。‎ ‎　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。‎ ‎　　将代入得，将代入得。‎ ‎　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。‎ ‎（4）设点M（），‎ ‎ ∵C（4，0）, P（2，3）,‎ ‎ ∴PC=,‎ PM=,‎ ‎ CM=。‎ 分三种情况讨论：‎ ‎　　①当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。∴M1（）。‎ ‎　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。‎ ‎ ∴M2（），M2（）。‎ ‎ ③当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。‎ ‎ ∴M4（），M5（）。‎ ‎ 　 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，△MPC为等腰三角形。‎ ‎【例11】. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在 的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物 线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。‎ ‎ 设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得 ‎ ，解得。∴直线AC：。‎ ‎ ∵ 直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。‎ 设P，‎ ‎ 在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。‎ ‎ ∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。‎ ‎（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。‎ ‎ 若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。‎ ‎ 设P，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，‎ ‎ ∴，整理得，解得（舍去）。‎ ‎ 当时，。∴P（3，10）。‎ ‎ ∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。‎ ‎ ∴A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。‎ ‎ （3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。‎ ‎【例12】. 已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；‎ ‎（2）设点M 是直线AD 上一点，且，求点M 的坐标；‎ ‎（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。‎ ‎ ∴A（－2，0），D（0，4）。‎ ‎ 将A（－2，0），D（0，4）代入，得 ‎ ，解得。‎ ‎ ∴这条抛物线的解析式为。‎ ‎ 令，解得。∴B（4，0）。‎ ‎ （2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：‎ ‎ ①当M在线段AD上时，由得 ‎，‎ 解得，。∴M1（）。‎ ‎②当M在线段DA延长线上时，‎ 由得 ‎，解得。∴M2（）。‎ 综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。‎ ‎（3）存在。‎ ‎ ∵点C（2，y）在上，‎ ‎ ∴。∴C（2，4）。‎ ‎ 设P，根据勾股定理，得 ‎ ，‎ ‎ ，。‎ ‎ 分三种情况：‎ ‎①若PB=BC，则，解得，。‎ ‎∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。‎ ‎②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。‎ ③若BC=PC，则，解得，。‎ ‎∵点P在y 轴的正半轴上，∴不符合要求。‎ 当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。‎ ‎∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。‎ 综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使△BCP为等腰三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。‎ ‎（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。‎ ‎（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。‎ ‎【例13】. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；‎ ‎（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵一次函数交y轴于点A，‎ ‎∴令ｘ=0，得y=2。∴A（0，2）。‎ ‎ ∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线的图象上的点，‎ ‎ ∴，解得 。 ‎ ‎ ∴抛物线的解析式是：。‎ ‎（2）∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得ｘ=6。∴P（6，0）。‎ ‎ ∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA。∴。‎ ‎ ∵AO=2，PO=6，∴。∴。∴点C的坐标为。‎ ‎（3）存在。‎ 设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，‎ 即∠AMB=900或∠ABM=900。‎ ‎∵点B是直线和抛物线的交点，‎ ‎∴，解得。∴。‎ ‎ ①若∠AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。‎ ‎ 若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即。‎ ‎ 若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDA。∴ 。‎ ‎ ∵AO=2，MD=，OM=m，DB=，‎ ‎ ∴，解得。∴或。‎ ‎ ⑵若∠ABM=900，即过B作BM⊥AP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。 ‎ 若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△PDB。∴ 。‎ ‎∵BD=，MD=，PD=，‎ ‎∴，解得。∴。‎ ‎ 若交点在y轴的负半轴上（如图），设，过B作BF垂直y轴于点F，则有△ABF∽△BMF。∴ 。‎ ‎∵BF=，AF=，MF=，‎ ‎∴，解得。‎ ‎ ∴。‎ 综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件 的点M的坐标是：、或、或、或，或共五个点。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次、二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）求出点A的坐标，由点A、E在抛物线的图象上，用待定系数法即可求得抛物线的解析式。‎ ‎ （2）由△AOC∽△POA得比例式即可求得点C的坐标。‎ ‎ （3）分∠AMB=900（交点在y轴的正半轴上或交点在x轴的正半轴上），∠ABM=900（交点在x轴的正半轴上或交点在y轴的负半轴上）讨论即可。‎ ‎【例14】. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作 BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△COA；‎ ‎（2）求BC所在直线的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所 有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠OAC。‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。‎ 在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，‎ ‎∴△BDC≌△COA（AAS）。 ‎ ‎（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。‎ ‎∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。‎ 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，‎ ‎∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ 。‎ ‎（3）存在 。 ‎ ‎∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。‎ 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，‎ ‎∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。‎ 由题意可得： ， 解得，。∴P1（－，－）。‎ 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，‎ 则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，‎ ‎∵CD＝OA，∴A（0，2）。‎ 设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。‎ ‎∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。‎ ‎ 由题意可得：，解得，。∴P2（－，－）。‎ ‎∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。‎ ‎ （2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。‎ ‎ （3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。‎ ‎【例15】.如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，‎ OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON ‎（1）求该二次函数的关系式.‎ ‎（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.‎ ‎（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：‎ ‎①证明：∠ANM=∠ONM ‎②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。‎ ‎ 又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。‎ ‎ ∴二次函数的关系式为，即。‎ ‎ （2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。‎ ‎ ∴直线OA的解析式为。‎ ‎ 把代入得。∴M（4，－2）。‎ 又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。‎ ‎∴。‎ ‎ （3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则 ‎ 设A（）,‎ 则直线OA的解析式为。‎ 则M（），N（），H（）。‎ ‎∴OD=4，ND=，HA=，NH=。‎ ‎∴。‎ ‎∴。∴∠ANM=∠ONM。‎ ‎②能。理由如下：分三种情况讨论：‎ 情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，‎ ‎∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。‎ 整理，得，解得。‎ ‎∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。‎ 情况2，若∠AON是直角，则。‎ ‎∵ ，‎ ‎∴。‎ 整理，得，解得，。‎ 舍去，（在左侧）。‎ 当时，。‎ ‎∴此时存在点A（），使∠AON是直角。‎ 情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。‎ ‎∵OD=4，MD=，ND=，∴。‎ 整理，得，解得。‎ ‎∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。‎ 综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，存在点A（），使∠AON是直角，即△ANO为直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）由二次函数图象的顶点为P（4，－4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定系数法即可求。‎ ‎ （2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称性点N坐标，从而求得MN的长，从而求得△ANO的面积。‎ ‎ （3）①根据正切函数定义，分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。‎ ‎ ②分∠ONA是直角，∠AON是直角，∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。‎ ‎ 当∠AON是直角时，还可在Rt△OMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解：‎ ‎ ∵OP=PN=PM，OP=‎ ‎∵ PN=－4 ， ∴=－4 。 ∴‎ ‎【例16】. 如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).‎ ‎ （1）求二次函数的解析式：‎ ‎ （2）求证：△ACB是直角三角形；‎ ‎ （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中， ‎ ‎ ， 整理得： 解得 ‎ ∴二次函数的解析式为：，即：。 ‎ ‎ （2）由 整理得 ，解得。‎ ‎ ∴C （－2，0），D 。‎ ‎ ∴AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，‎ ‎ ∴ AC2+ BC2=AB2 。∴△ACB是直角三角形。‎ ‎ （3）设（x<0），则PH=， HD=。‎ 又∵AC=， BC=，‎ ‎ ①当△PHD∽△ACB时有：，即：，‎ 整理得 ，解得（舍去），此时，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：，‎ ‎ 整理 ，解得（舍去），此时，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 综上所述，满足条件的点有两个即，。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。‎ ‎ （2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。‎ ‎ （3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA ‎，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。‎ ‎【例17】. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式；‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，‎ ‎∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。‎ 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。‎ ‎ （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。‎ ‎ 则此时的点P，使△PAC的周长最小。‎ 设直线BC的解析式为y＝kx＋b，‎ 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：‎ ‎，解得：。‎ ‎∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。‎ 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。‎ ‎（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。‎ ‎ （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。‎ ‎（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：‎ ‎∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。‎ ‎∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。‎ ‎①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。‎ ‎②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±。‎ ‎③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，‎ 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。‎ 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。‎ ‎【例18】. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。‎ ‎∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点， ‎ ‎∴，解得 。‎ ‎∴抛物线解析式为y=－x2－3x＋4。‎ 令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1，‎ ‎∴C（1，0）。‎ ‎（2）如图1，设D（t，0）。‎ ‎∵OA=OB，∴∠BAO=45°。‎ ‎∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）。‎ PE=yP－yE=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4。‎ ‎∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。‎ ‎（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。‎ 设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。‎ ‎∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m。‎ 又M为OA中点，∴MH=2－m。‎ 当△MON为等腰三角形时：‎ ‎①若MN=ON，则H为底边OM的中点，‎ ‎∴m=1，∴yQ=4－m=3。‎ 由－xQ2－3xQ＋4=3，解得。‎ ‎∴点Q坐标为（，3）或（，3）。‎ ‎②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，‎ 根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，‎ 化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）。‎ ‎∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得。‎ ‎∴点Q坐标为（，2）或（，2）。‎ ‎③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，‎ 根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，‎ 化简得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，‎ ‎∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。‎ 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为 ‎（，3）或（，3）或（，2）或（，2）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。‎ ‎（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。‎ ‎（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。‎ ‎【例19】. 如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。‎ ‎∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。‎ 又∵OA=OB=4，‎ ‎∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A．B，‎ ‎ ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴此抛物线的解析式为。‎ ‎（3）存在。‎ 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。‎ ‎①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，‎ 当y=时，‎ 在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，‎ ‎∴∠POD=60°‎ ‎∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。‎ ‎∴y=不符合题意，舍去。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。‎ ‎【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。‎ ‎（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。‎ ‎（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。‎ ‎【例20】. 已知抛物线经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；‎ ‎（2）如图，在直线 上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过A（2，0），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎∵，‎ ‎∴顶点P的坐标为（4，）。‎ 令y=0，得，解得。‎ ‎∴点B的坐标是（6，0）。‎ ‎（2）在直线 上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：‎ 设直线PB的解析式为，把B（6,0）,P(4, )分别代入，得 ‎ ， 解得。‎ ‎ ∴直线PB的解析式为。‎ ‎ 又∵直线OD的解析式为 ‎ ∴直线PB∥OD。‎ ‎ 设直线OP的解析式为，把P(4, )代入，得 ‎ ，解得。‎ 如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形。‎ 设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴直线BD的解析式为。‎ 联立方程组，解得。‎ ‎∴D点的坐标为（2, ）。‎ ‎ （3）符合条件的点M存在。验证如下：‎ 过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=，AC=2，‎ 由勾股定理，可得AP=4，PB=4。‎ 又∵AB=4，∴△APB是等边三角形。‎ 作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM。‎ ‎∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，∴△AMP≌△AMB.（SAS）。‎ 因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB.。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由抛物线经过A（2，0），代入即可求出b的值；从而得出抛物线的解析式，化为顶点式即可求出顶点P的坐标；令y=0，即可求出点B的坐标。‎ ‎ （2）用待定系数法，求出直线PB、BD的解析式，联立和，解之即得 点D的坐标。‎ ‎（3）由勾股定理求出AP、BP和AB的长，证出△APB是等边三角形，即可作BP的中垂线AM交BP于点M，点M即为所求。‎ ‎【例21】. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△COA；‎ ‎（2）求BC所在直线的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所 有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠OAC。‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。‎ 在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，‎ ‎∴△BDC≌△COA（AAS）。 ‎ ‎（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。‎ ‎∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。‎ 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，‎ ‎∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ 。‎ ‎（3）存在 。 ‎ ‎∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。‎ 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，‎ ‎∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。‎ 由题意可得： ， 解得，。∴P1（－，－）。‎ 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，‎ 则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，‎ ‎∵CD＝OA，∴A（0，2）。‎ 设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。‎ ‎∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。‎ ‎ 由题意可得：，解得，。∴P2（－，－）。‎ ‎∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。‎ ‎ （2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。‎ ‎ （3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。‎ ‎【例22】. 如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求直线AF的解析式；‎ ‎（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。‎ ‎ ∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。‎ 把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。‎ ‎（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。‎ ‎ ∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。‎ 设直线AF的解析式为y=kx+b，‎ 把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得 ‎，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。‎ ‎（3）存在。理由如下：‎ ‎①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，‎ ‎∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。‎ ‎②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。‎ 设P（x1，﹣x1﹣1），‎ ‎∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），‎ ‎∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。‎ ‎∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。‎ 把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。‎ 综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。‎ ‎（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。‎ ‎（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。‎