初三数学中考复习专题方程与不等式知识点总结与练习

初三数学中考复习专题方程与不等式知识点总结与练习

方程与不等式 一、 方程与方程组 二、 不等式与不等式组 知识结构及内容： 1几个概念 ‎ 2一元一次方程 ‎（一）方程与方程组 3一元二次方程 ‎ 4方程组 ‎ 5分式方程 ‎6应用 1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程：‎ 解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）‎ 例题：.解方程：‎ ‎（1） （2）‎ 解：‎ ‎（3） 关于x的方程mx＋4＝3x＋5的解是x＝1，则m＝ ______________．‎ 解：‎ ‎3、一元二次方程：‎ （1） 一般形式：‎ （2） 解法：‎ 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式 ‎ 例题：‎ ①、解下列方程：‎ ‎（1）x2－2x＝0； 　　　 （2）45－x2＝0；‎ ‎（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0．‎ ‎（5）（t－2）（t＋1）＝0； （6）x2＋8x－2＝0‎ ‎(7 )2x2－6x－3＝0； （8）3（x－5）2＝2（5－x）‎ 解：‎ ② 填空：‎ ‎（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；‎ ‎（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；‎ ‎（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2‎ ‎（3）判别式△＝b²－4ac的三种情况与根的关系 ‎ 当时 有两个不相等的实数根 ，‎ 当时 有两个相等的实数根 当时 没有实数根．‎ 当△≥0时 有两个实数根 例题．①．（无锡市）若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 （　　）‎ A.k＞1 B.k≥‎1 C.k＝1 D.k＜1‎ ②（常州市）关于的一元二次方程根的情况是（ ）‎ ‎（A）有两个不相等实数根 （B）有两个相等实数根 ‎ （C）没有实数根 （D）根的情况无法判定 ③．（浙江富阳市）已知方程有两个不相等的实数根，则、满足的关系式是（　 　）‎ A、　　　B、　　　C、　　　D、‎ ‎ （4）根与系数的关系：x1＋x2＝，x1x2＝‎ 例题：已知方程的两根分别为、，则 的值是（　 　）‎ ‎　A、　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、‎ 4、 方程组：‎ 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元 例题：解方程组 解 解方程组 解 解方程组：‎ 解 解方程组：‎ 解 解方程组： 解 ‎5、分式方程：‎ ‎ 分式方程的解法步骤：‎ （1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 例题：①、解方程：的解为____________‎ 根为____________‎ ②、当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）‎ A．y2＋2y＋3＝0 B．y2－2y＋3＝0‎ C．y2＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0‎ ‎（3）、用换元法解方程时，设，则原方程可化为（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6、应用：‎ ‎（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）‎ ‎（2）一元二次方程（增长率、面积问题）‎ ‎（3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度）‎ 解：‎ ②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10‎ 千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度 解 ③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）‎ 解 ④已知等式 (‎2A－7B) x＋(‎3A－8B)＝8x＋10对一切实数x都成立，求A、B的值 解 ⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：‎ 捐款（元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人 数 ‎6‎ ‎7‎ 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．‎ 若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组 A、 B、 C、 D、‎ 解 ⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．‎ 解 ⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长．‎ 解：‎ ‎ 1几个概念 ‎ ‎（二）不等式与不等式组 2不等式 ‎3不等式（组） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1、几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）‎ ‎2、不等式：‎ ‎（1）怎样列不等式：‎ ‎1．掌握表示不等关系的记号 ‎2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．‎ ‎　　（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．‎ ‎　　（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．‎ 例题：用不等式表示：‎ ①a为非负数，a为正数，a不是正数 解：‎ ②‎ ‎　　‎ ‎　　（2）8与y的2倍的和是正数；‎ ‎　　（3）x与5的和不小于0；‎ ‎　　‎ ‎　　（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；‎ 解：‎ ‎（2）不等式的三个基本性质 不等式的性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c 推论：如果a＋c＞b，那么a＞b－c．‎ 不等式的性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc．‎ 不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc．‎ （1） 解不等式的过程，就是要将不等式变形成x＞a或x＜a的形式 步骤：（与解一元一次方程类似）‎ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一 ‎（注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变）‎ 例题：①解不等式 （1－2x）＞‎ 解：‎ ②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每天至少读多少页？‎ 解：‎ （1） 在数轴上表示解集：“大右小左”“”‎ （2） 写出下图所表示的不等式的解集 ‎________________________________‎ ‎________________________‎ ‎ 3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边 例题：①‎ 不等式组 数轴表示 解集 ②‎ 例题：如果a＞b，比较下列各式大小 ‎（1）___，（2）____，（3）___‎ ‎（4）___，（5）___‎ ③不等式组的解集应为（　　）‎ ‎　　A、　　　　B、　　　　C、　　D、或≥1‎ 解 ④求不等式组2≤3x－7＜8的整数解．‎ 解：‎ 课后练习：‎ ‎1、下面方程或不等式的解法对不对？‎ （1） 由－x＝5，得x＝－5；（ ）‎ （2） 由－x＞5，得x＞－5；（ ）‎ （3） 由2x＞4，得x＜－2；（ ）‎ （4） 由－≤3，得x≥－6．（ ）‎ ‎2、判断下列不等式的变形是否正确：‎ （1） 由a＜b，得ac＜bc；（ ）‎ （2） 由x＞y，且m0，得－＜；（ ）‎ （3） 由x＞y，得xz2 ＞ yz2；（ ）‎ （4） 由xz2 ＞ yz2，得x＞y；（ ）‎ ‎3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？‎ 辅导班方程与不等式资料答案：‎ 例题：.解方程：‎ ‎（1）解：（x＝1） （x＝1）‎ ‎（3）【05湘潭】 解： （m＝4 ）‎ 例题：‎ ①、解下列方程：‎ 解： （1）（ x1＝ 0 x2＝ 2 ） （2） （x1＝ 3√5 x2＝ —3√5 ）‎ ‎（3）（x1＝0 x2＝ 2／3） （4）（x1＝ — 4 x2＝ 1）‎ ‎（5）（ t1＝ — 1 t2＝ 2 ） （6）（x1＝ — 4＋3√2 x2＝ — 4—3√2 ）‎ ‎（7）（x1＝（3＋√15）/2 x2＝ （ 3—√15）/2 ）‎ ‎（8）（x1＝ 5 x2＝ 3/13）‎ ② 填空：（1）x2＋6x＋（ 9 ）＝（x＋ 3 ）2；‎ ‎（2）x2－8x＋（16）＝（x－4 ）2；‎ ‎（3）x2＋x＋（9/16 ）＝（x＋3/4 ）2‎ 例题．①． ( C ) ② B ③．（A）‎ ‎（4）根与系数的关系：x1＋x2＝，x1x2＝‎ 例题：（　 A　）‎ 例题：【05泸州】解方程组 解得： x＝5‎ ‎ y＝2‎ ‎ ‎ ‎【05南京】解方程组 解得： x＝2‎ ‎ y＝1‎ ‎【05苏州】解方程组： 解得： x＝3‎ ‎ y＝1/2‎ ‎【05遂宁课改】解方程组： 解得 ： x＝3‎ ‎ y＝2‎ ‎【05宁德】解方程组： 解得： x＝3‎ ‎ y＝6‎ 例题：①、解方程：的解为_（__x＝_－1__）__‎ 根为___（x＝_2）_‎ ②、【北京市海淀区】（ D ）‎ ‎（3）、（ A ） ‎ 例题：①解：设船在静水中速度为x千米/小时 ‎ 依题意得：80/（x＋3）＝ 60/(x－3) 解得：x＝21 答：（略）‎ ②解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x＋10）千米/小时 ‎ 依题意得：450/（x＋10）＝400/x ‎ 解得x＝80 x＋1＝90 答：（略）‎ ③解：设原零售价为a元，每次降价率为x 依题意得：a(1－x )²＝a/2 解得：x≈0.292 答：（略）‎ ④【05绵阳】解：A＝6/5 B＝ －4/5‎ ⑤解：A ⑥解：三个连续奇数依次为x－2、x、x＋2‎ 依题意得：（x－2）² ＋ x² ＋（x＋2）² ＝371 解得：x＝±11‎ 当x＝11时，三个数为9、11、13；‎ 当x＝ —11时，三个数为 —13、—11、—9 答（略）‎ ⑦解：设小正方形的边长为x cm依题意：（60－2x）（40－2x）＝800 解得x ‎1＝40 （不合题意舍去）‎ ‎ x2＝10 答（略）‎ 例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数 解： a≥0 a﹥0 a≤0‎ ② 　　解：（1）2x/3 —5＜1 （2）8＋2y＞0 （3）x＋5≥0‎ ‎（4）x/4 ≤2 （5）4x＞3x—7 （6）2（x—8）/ 3 ≤ 0‎ 例题：①解不等式 （1－2x）＞‎ 解得：x＜1/2‎ ②解：设每天至少读x页 依题意（10－5）x ＋ 100 ≥ 300 解得x≥40 答（略）‎ （1） 写出下图所表示的不等式的解集 x≥_－1/2______________________‎ ‎___x＜0________________________‎ 例题：① ②‎ 例题：如果a＞b，比较下列各式大小 ‎（1）_＞__，（2）_＞___，（3）_＜__‎ ‎（4）__＞_，（5）_＜__ ‎ ③【05黄岗】（　C　　）‎ ④求不等式组2≤3x－7＜8的整数解．解得：3≤x＜5‎ 课后练习：‎ ‎1、下面方程或不等式的解法对不对？‎ （1） 由－x＝5，得x＝－5；（ 对 ）‎ （2） 由－x＞5，得x＞－5；（错 ）‎ （3） 由2x＞4，得x＜－2；（ 错 ）‎ （4） 由－x≤3，得x≥－6．（对 ）‎ ‎2、判断下列不等式的变形是否正确：‎ （1） 由a＜b，得ac＜bc；（ 错 ）‎ （2） 由x＞y，且m0，得－＜；（ 错 ）‎ （3） 由x＞y，得xz2 ＞ yz2；（ 错 ）‎ （4） 由xz2 ＞ yz2，得x＞y；（对 ）‎ ‎3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？‎ 解：设有x个孩，依题意：3x＋8 － 5（x－1）＜3 解得5＜x≤6.5‎ X＝6 答（略）‎