中考数学模拟试题分类汇编压轴题

中考数学模拟试题分类汇编压轴题

压轴题 一、解答题 ‎1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。‎ ‎　　（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；‎ ‎　　（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ A B C N P M O x y x=1‎ 第1题图 ‎　　（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。‎ 答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，‎ ‎　　∴四边形OBNM为矩形。‎ ‎　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900‎ ‎　　∵，AO=BO=1，‎ ‎　　∴AM=PM。‎ ‎　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，‎ ‎　　∴OM=PN，‎ ‎　　∵∠OPC=900，‎ ‎　　∴∠OPM+CPN=900，‎ ‎　　又∵∠OPM+∠POM=900　　∴∠CPN=∠POM，‎ ‎　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　（2）∵AM=PM=APsin450=，‎ ‎　　∴NC=PM=，∴BN=OM=PN=1-；‎ ‎　　∴BC=BN-NC=1--=‎ ‎　　‎ ‎　　（3）△PBC可能为等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）‎ ‎　　②当点C在第四象限，且PB=CB时，‎ ‎　　有BN=PN=1-，‎ ‎　　∴BC=PB=PN=-m，‎ ‎∴NC=BN+BC=1-+-m，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　由⑵知：NC=PM=，‎ ‎　　∴1-+-m=，　　∴m=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　∴PM==，BN=1-=1-，‎ ‎　　∴P（,1-）.‎ ‎∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1-）‎ ‎2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x的二次函数y＝-x2＋(k2-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．‎ ‎(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；‎ ‎ (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；‎ ‎ (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．‎ 答案：(1)根据题意得：k2-4＝0，‎ ‎∴k＝±2 .‎ 第2题图 A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ C1‎ D1‎ C2‎ D2‎ x y 当k＝2时，2k-2＝2＞0,‎ 当k＝－2时，2k-2＝-6＜0.‎ 又抛物线与y轴的交点在x轴上方,‎ ‎∴k＝2 .‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝-x2＋2.‎ 函数的草图如图所示：‎ ‎(2)令-x2＋2＝0，得x＝±.‎ 当0＜x＜时，A1D1＝2x，A1B1＝-x2＋2‎ ‎∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝-2x2＋4x＋4.‎ 当x＞时，A2D2＝2x,A2B2＝-(-x2＋2)＝x2-2, ‎ ‎∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x-4.‎ ‎∴l关于x的函数关系式是：‎ ‎ ‎ ‎(3)解法①：当0＜x＜时，令A1B1＝A1D1,得x2＋2x－2＝0.‎ 解得x=-1-(舍)，或x=-1＋.‎ 将x=-1＋代入l=-2x2＋4x＋4,得l=8-8,‎ 当x＞时，A2B2=A2D2‎ 得x2-2x-2=0,‎ 解得x=1-(舍)，或x=1＋,‎ 将x=1＋代入l=2x2＋4x-4,‎ 得l=8＋8.‎ 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋时，正方形的周长为8-8；当x=1＋时，正方形的周长为8＋8． ‎ 解法②：当0＜x＜时，同“解法①”可得x=-1＋,‎ ‎∴正方形的周长l=‎4A1D1=8x=8-8 .‎ 当x＞时，同“解法①”可得x=1＋,‎ ‎∴正方形的周长l=‎4A2D2=8x=8＋8 .‎ 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋时，正方形的周长为8－8；当x=1＋时，正方形的周长为8＋8．‎ 解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上,‎ ‎∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，-x2＋2).‎ 令AB＝AD，则=2x,‎ ‎∴-x2＋2=2x, ①‎ 或-x2＋2=-2x, ②‎ 由①解得x=-1-(舍)，或x=-1＋,‎ 由②解得x=1-(舍)，或x=1＋.‎ 又l=8x,∴当x=-1＋时，l=8-8；‎ 当x=1＋时，l=8＋8.‎ 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋时，正方形的周长为8-8；当x=1＋时，正方形的周长为8＋8．‎ ‎3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为‎12cm、‎6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且‎18a + c = 0.‎ ‎(1)求抛物线的解析式. ‎ 第3题图 ‎(2)如果点P由点A开始沿AB边以‎1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以‎2cm/s的速度向终点C移动.‎ ‎①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.‎ ‎②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.‎ 答：（1）设抛物线的解析式为，‎ 由题意知点A（0，-12），所以，‎ 又‎18a+c=0，,‎ ‎∵AB∥CD,且AB=6,‎ ‎∴抛物线的对称轴是.‎ ‎∴.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎（2）①，.‎ ‎②当时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）.‎ 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：‎ ‎（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），‎ 将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，‎ 点R的坐标就是（3，－18）；‎ ‎（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），‎ 将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.‎ ‎（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），‎ 将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.‎ 综上所述，点R坐标为（3，-18）.‎ ‎4．(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.‎ ‎（1）求这个二次函数的关系式；‎ ‎（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.‎ ‎（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？ ‎ 答案：解：（1）由题意，得 解得 ‎ ‎ ∴二次函数的关系式是y=x2－1． ‎ ‎ （2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x． ‎ ‎ 由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．‎ ‎ 由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．‎ ‎ ∴⊙P的半径为r=|x|=． ‎ ‎ （3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，‎ ‎∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，‎ ‎ 又当x＝0时，y＝－1，‎ ‎∴当y＞0时， ⊙P与y相离；‎ ‎ 当－1≤y＜0时， ⊙P与y相交. ‎ 第5题图 ‎5．(2010年山东宁阳一模)如图示已知点M的坐标为（4，0），‎ 以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线 过A、B两点且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点C的坐标并画出抛物线的大致图象 ‎（2）已知点Q（8，m），P为抛物线对称轴上一动点，‎ 求出P点坐标使得PQ+PB值最小，并求出最小值．‎ ‎（3）过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式．‎ 答案：（1）将A（2，0）B（6，0）代入中 ‎ ‎ ‎∴‎ 将x=0代入，y=2‎ ‎∴C（0，2）‎ ‎（2）将x=8代入式中，y=2‎ ‎∴ Q（8，2）‎ 过Q作QK⊥x轴 过对称轴直线x=4作B的对称点A PB+PQ=QA 在Rt△AQK中，AQ= 即，PB+PQ= ‎ PM∥KQ 即△APM∽△AQK ∴PA= P（4，）‎ ‎6.（2010年河南中考模拟题1）如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.‎ ‎（1）．用x表示∆ADE的面积;‎ ‎（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；‎ ‎（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；‎ ‎（4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？‎ 答案：解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎ ∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴‎ ‎（4）在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为： ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为： ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时，y最大为： ‎ ‎7.（2010年河南中考模拟题2）如图，直线和x轴y轴分别交与点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE。‎ （1） 求A、B、C三点的坐标。‎ （2） 设点D的横坐标为x，△BED的面积为S，求S关于x的函数关系式。‎ （3） 是否存在点D，使△DPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x的值。‎ ‎ ‎ 答案：解：(1)将x=0代入y=x+3，得y=3，故点A的坐标为（0,3），‎ 因C为OA的中点，故点C的坐标为（0，1.5）‎ 将y=0代入y=x+3，得x=－4，故点B的坐标为（－4，0）‎ 所以A、B、C三点坐标为（0,3），（－4，0），（0，1.5）‎ ‎（2）由（1）得OB=4，OA=3则由勾股定理得AB=5‎ 因P点的横坐标为x，故OD=－x，则BD=4+x ‎ 又由已知得∠DEB=∠AOD=900 ，‎ ‎∴sin∠DBE=sin∠ABO===，，DE=（4+x），‎ cos∠DBE=cos∠ABO=，，BE，‎ S=××（4+x）=(4+x)2 （－40），则N（R+1，R），‎ 代入抛物线的表达式，解得 ‎②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），‎ 则N（r+1，－r），‎ 代入抛物线的表达式，解得 ‎ ‎∴圆的半径为或． ‎ ‎（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，‎ 易得G（2，－3），直线AG为．‎ 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．‎ ‎ ‎ 当时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为，． ‎ ‎22.（2010年武汉市中考拟）抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且，（1）求抛物线的解析式。‎ ‎（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。‎ 答案：（1）‎ ‎(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）‎ 设P（a,0），则Q（4+a,2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴Q(-3,2)或（1，2）‎ ‎（3）∵△AND～△RON，∴‎ ‎∵△ONS～△DNO，∴‎ ‎∴‎ ‎23．（黑龙江一模）（本小题满分10分）‎ 如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；‎ ‎（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？‎ 答案：‎ ‎（1）设抛物线解析式为，把代入得．‎ ‎，‎ 顶点 ‎（2）假设满足条件的点存在，依题意设，‎ 由求得直线的解析式为，‎ 它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．‎ 则，点到的距离为．‎ 又．‎ ‎ ．‎ 平方并整理得：‎ ‎．‎ 存在满足条件的点，的坐标为．‎ ‎（3）由上求得．‎ A B C O x y D F H P E ‎①若抛物线向上平移，可设解析式为．‎ 当时，．‎ 当时，．‎ 或．‎ ‎． （8分）‎ ‎②若抛物线向下移，可设解析式为．‎ 由，‎ 有．‎ ‎，．‎ 向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长． （10分）‎ ‎24.（济宁师专附中一模）‎ 如图，直线 ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）如果点在线段上,将沿直线折叠,点恰好落在轴上的点,求直线的解析式.‎ ‎（3）如果点在坐标轴上，以点为圆心，，求点的坐标。‎ 答案：‎ 解（1）M(3，0) N(0,4)；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）第一种情况：当P1在y轴上且在点N下方时，P1坐标是（0，0）‎ 第二种情况：当P2在x轴且在M点的左侧时，P2坐标是（0，0）‎ 第三种情况：当P3在x轴且在M点右侧时，P3坐标是（6，0）‎ 第四种情况：当P4在y轴且在点N上方时，P4的坐标是（0，8）‎ 综上，P坐标是（0，0）（6，0）（0，8）‎ A B O C ‎-1‎ ‎1‎ y x 第25题图 ‎25. (2010三亚市月考)（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。‎ ‎（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；‎ ‎（2）求△AOC和△BOC的面积比；‎ ‎（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。‎ 若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。‎ 解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3)‎ y A B O C ‎-1‎ ‎1‎ x 第25题图 P D 又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3) ‎ ‎ ∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，‎ 即y=x2-2x-3 ‎ ‎（2）依题意，得OA=1,OB=3,‎ ‎∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB ‎=1∶3 ‎ （1） 在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。‎ 解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。‎ ‎∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）‎ ‎∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。‎ 设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。‎ ‎∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2） ‎ 解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D ‎∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。‎ ‎∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即 ‎ ‎∴DP=2‎ ‎∴点P的坐标为（1，-2）‎